2024届江西省铅山一中、横峰中学高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届江西省铅山一中、横峰中学高一数学第二学期期末联考模
拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设向量(1,)AB k =-，(2,1)BC =-，若,,A B C 三点共线，则k =（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．2-
D ．2
2．函数2sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象（ ） A ．关于点（－6
π
，0）对称 B ．关于原点对称 C ．关于y 轴对称
D ．关于直线x=
6
π
对称 3．数列1，
112+，1123++， (112)
++⋯+的前n 项和为 A ．
221n n + B ．
21
n
n + C ．
2
1
n n ++ D ．
21
n
n + 4．已知1
1b a
>
>则（ ） A ．log 2log 2a b >
B ．224a b +>
C ．1ab <
D ．2a b +<
5．已知扇形AOB 的圆心角3
AOB π
∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为（ ）
A ．6π
B ．12π
C ．6
D ．12
6．在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =，且2
3
CD AC CB λ=+，则λ的值为（ ） A ．
14
B ．14
-
C ．
13
D ．13
-
7．如直线1:260l ax y ++=与()()
2
2:110l x a y a +-+-=平行但不重合，则a 的值
为（）．
A ．1-或2
B ．2
C ．1-
D ．
23
8．已知幂函数()f x 过点，则(9)f 的值为( ) A ．
13
B ．1
C ．3
D ．6
9．已知,,x y z ∈R ，222
1x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ）
A ．9
B ．3
C ．1
D ．27
10．已知,x y 都是正数,且
21
1x y
+=，则x y +的最小值等于
A ．6
B ．
C ．3+
D ．4+二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且2
12n n S S n n p ++=++，若{}
n a 单调递增，则p 的取值范围是__________． 12．已知0a >，0b >，
18
2+1
a b +=，则2a b +的最小值为__________． 13．在四面体ABCD 中，AD ⊥平面ABC ，3AB AC BC ===，若四面体ABCD 的外接球的表面积为16π，则四面体ABCD 的体积为_______． 14．在数列{}(
)*
n a n N
∈中，1
2a
=，n S 是其前n 项和，当2n ≥时，恒有n a 、n S 、
2n S -成等比数列，则()2
lim 1n n n n a →∞
++⋅=________．
15．已知等差数列{}n a ，若192x a a a a +=+，则x =______. 16．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．若3x ≥不等式
(1)
12
a x x --＜恒成立，求实数a 的取值范围。

18．已知4a =，8b =，a 与b 的夹角是120 （1）计算：①a b +，②42a b -；
（2）当k 为何值时，2a b +（）与ka b -（）
垂直？ 19．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点(),n n S 在函数()2
2f x x x =+的图像上.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
2
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前9项和. 20．某企业生产的某种产品，生产总成本()f x （元）与产量x （吨）（080x ≤≤）函
数关系为32250,030()2503600,3080
x x ax x f x x x x ⎧-+≤
≤=⎨++<≤⎩，且函数()f x 是[0,80]上的连续函
数
（1）求a 的值；
（2）当产量为多少吨时，平均生产成本最低？ 21．已知数列的前项和为
，等差数列
满足
．
（1）分别求数列的通项公式；
（2）若对任意的
，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解题分析】
利用向量共线的坐标表示可得120k -=，解方程即可. 【题目详解】
,,A B C 三点共线，
AB BC ∴，
又
(1,)AB k =-，(2,1)BC =-，
120k ∴-=，解得k =
12
. 故选：A 【题目点拨】
本题考查了向量共线的坐标表示，需掌握向量共线，坐标满足：12210x y x y -=，属于基础题.
2、A 【解题分析】
,06
x y π
=-
=∴关于点（－6
π，0）对称，选A.
3、B
【解题分析】
数列为{}n a ，则11211
2()(1)12(1)12
n a n n n n n n n =
===-+++⋅⋅⋅+++ 所以前n 项和为11111122[(1)()()]2(1)223111
n n
S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++．故选
B 4、B 【解题分析】
根据条件式,判断出01a <<,1b >,且1ab >.由不等式性质、基本不等式性质或特殊值即可判断选项. 【题目详解】 因为1
1b a
>
> 所以可得01a <<,1b >,且1ab >
对于A,由对数函数的图像与性质可知,log 20,log 20a b <>,所以A 错误;
对于B,由基本不等式可知22a b +>,即22a b +>
由于11b
a
>
>,则224a b +>>>=,所以B 正确; 对于C,由条件可得1ab >,所以C 错误; 对于D,当1
,32
a b =
=时满足条件,但2a b +>,所以D 错误. 综上可知,B 为正确选项 故选:B 【题目点拨】
本题考查了不等式性质的综合应用,根据基本不等式求最值,属于基础题. 5、A 【解题分析】
可先由弧长计算出半径，再计算面积．
【题目详解】 设扇形半径为R ，则
23
R π
π=，6R =，
1
2662
S =
⨯π⨯=π． 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查扇形面积公式，考查扇形弧长公式，掌握扇形的弧长和面积公式是解题基础． 6、D 【解题分析】
根据2AD DB =，用基向量,AC CB 表示CD ，然后与题目条件对照，即可求出． 【题目详解】
由在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =， 则1112
()3333
CD CB BD CB BA CB CA CB AC CB =+=+=+-=-+， 即1
3
λ=-，故选D ．
【题目点拨】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算． 7、C 【解题分析】
两直线斜率相等，且截距不相等。

【题目详解】 解析：由题意得，121
a a =-，解得1a =-或2，经检验2a =时两直线重合，故1a =-. 故选C. 【题目点拨】
本题考查两直线平行，属于基础题. 8、C 【解题分析】 设()
a f x x ，代入点的坐标，求得a ，然后再求函数值．
【题目详解】
设()
a
f x x ，由题意(2)2a
f ==1
2a =，即12()f x x =，
∴1
2(9)93f ==． 故选：C. 【题目点拨】
本题考查幂函数的解析式，属于基础题． 9、B 【解题分析】
由已知2
2
2
1x y z ++=，可利用柯西不等式
2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．
【题目详解】
由已知，可知,,x y z ∈R ，2
2
2
1x y z ++=，
利用柯西不等式2
2
2
2
2
2
2
()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，
可构造得2222222
(122)()(22)x y x x y z ++++≥++，
即2
(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ． 【题目点拨】
本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 10、C 【解题分析】
()212
333y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥=
⎪⎝⎭
,故选C.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
【解题分析】
由2
12n n S S n n p ++=++可得：()()()2
11212n n S S n n p n -+=-+-+≥
两式相减得：()1212n n a a n n ++=+≥
()1213n n a a n n -∴+=-≥
两式相减可得：()1123n n a a n +--=≥
∴数列2a ，4a ，6a ...是以2为公差的等差数列，数列3a ，5a ，7a ...是以2为公差的等
差数列
将1n =代入2
12n n S S n n p ++=++及11a =可得：21a p =+
将2n =代入()1212n n a a n n ++=+≥可得34a p =-
4223a a p =+=+
要使得*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立 只需要1234a a a a <<<即可
1143p p p ∴<+<-<+
解得
1322
p << 则p 的取值范围是13
22⎛⎫
⎪⎝⎭
，
点睛：本题考查了数列的递推关系求通项，在含有n S 的条件中，利用1n n n a S S -=-来求通项，本题利用减法运算求出数列隔一项为等差数列，结合11a =和数列为增数列求出结果，本题需要利用条件递推，有一点难度． 12、8 【解题分析】
由题意可得：
(
)2111821211161102111029,
a b a b a b a b b a ++⎛⎫⎡⎤=
++⨯+ ⎪⎣⎦+⎝⎭
+⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭⎛≥+ ⎝=
则2a b +的最小值为918-=. 当且仅当3
,52
a b =
=时等号成立. 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一
正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
13
【解题分析】
设AD h =,再根据外接球的直径与AD 和底面ABC 外接圆的一条直径构成直角三角形求解h 进而求得体积即可. 【题目详解】
设AD h =,底面ABC 外接圆直径为d .
易得底面是边长为3的等边三角形.
则由正弦定理得3
sin 60d =
=︒
又外接球的直径L 与AD 和底面ABC 外接圆的一条直径构成直角三角形有
222212L d h h =+=+.又外接球的表面积为16π,即222161216L L h ππ=⇒=+=.
解得2h =.
故四面体ABCD
体积为2132342
⨯
⨯⨯=
.
【题目点拨】
本题主要考查了侧棱垂直于底面的四面体的外接球问题.需要根据题意建立底面三角形外接圆的直径和三棱锥的高与外接球直径的关系再求解.属于中档题. 14、2-. 【解题分析】
由题意得出()22n n n S a S =-，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，代入()2
2n n n S a S =-，
化简得出1
122
n n n S S S --=
+，利用倒数法求出{}n S 的通项公式，从而得出1n n n a S S -=-的
表达式，于是可求出(
)
2
lim 1n n n n a →∞
++⋅的值. 【题目详解】
当2n ≥时，由题意可得()2
2n n n S a S =-，即()()2
12n n n n S S S S -=--，
化简得1122n n n n S S S S --+=，得1
1
22n n n S S S --=
+，
两边取倒数得11111211222n n n n n S S S S S ----=+=+，1111
2
n n S S -∴-=， 所以，数列{}n S 是以
11111
2S a ==为首项，以12
为公差的等差数列， ()1111222n n
n S ∴
=+-⋅=，2n S n
∴=， 则()122222
11n n n a S S n n n n n n
-=-=
-=-=----， 因此，()()2
2
2
211
121lim 1li 2m lim 211n n n n n n n n n n n n
n a →∞→∞→∞+++-++=-=-
⋅=--+，故答案为：2-.
【题目点拨】
本题考查数列极限的计算，同时也考查了数列通项的求解，在含n S 的数列递推式中，若作差法不能求通项时，可利用1n n n a S S -=-转化为n S 的递推公式求通项，考查分析问题和解决问题的能力，综合性较强，属于中等题. 15、8 【解题分析】
利用等差数列的通项公式直接求解. 【题目详解】
设等差数列{}n a 公差为d ，由192x a a a a +=+，得
()111181a a a d a d x d +=++-++，
解得8x =. 故答案：8. 【题目点拨】
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 16、15π 【解题分析】
分析：由已知中圆锥的底面半径是3，高是4，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式S rl π=，即可得到结论. 详解：
圆锥的底面半径是3r =，高是4h =，
圆锥的母线长5l =，
则圆锥侧面积公式15S rl ππ==，故答案为15π.
点睛：本题主要考查圆锥的性质与圆锥侧面积公式，意在考查对基本公式的掌握与理解，属于简单题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【解题分析】
恒成立的条件下由于给定了x 的范围，故可考虑对a 进行分类，同时利用参变分离法求解a 的范围. 【题目详解】 由题意得
(1)0a ≤,3x ≥时，1
02
x x --＞
(1)
12
a x x --＜恒成立 (2)0a ＞,等价于1
2
x a x --＜
又211
1112x y x x -=
=-≥-- ∴12
a <
∴实数a 的取值范围是1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
【题目点拨】
含有分式的不等式恒成立问题，要注意到分母的正负对于不等号的影响；若是变量的范围给出了，可针对于变量的范围做具体分析，然后去求解参数范围.
18、（1）①（2）7k =-. 【解题分析】
利用数量积的定义求解出a b ⋅的值；（1）将所求模长平方，从而得到关于模长和数量积的式子，代入求得模长的平方，再开平方得到结果；（2）向量互相垂直得到数量积等于零，由此建立方程，解方程求得结果. 【题目详解】
由已知得：cos ,48cos12016a b a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=- （1）①222216326448a b a a b b +=+⋅+=-+= 43a b ∴+= ②2224216164256256256768a b a a b b -=-⋅+=++=
42163a b ∴-=
（2）若2a b +与ka b -垂直，则()()
20a b ka b +⋅-= ()222120ka k a b b ∴+-⋅-=
即：1616(21)2640k k ---⨯=，解得：7k =-
【题目点拨】
本题考查利用数量积求解向量的模长、利用数量积与向量垂直的关系求解参数的问题.求解向量的模长关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和数量积运算的形式，从而使问题得以求解.
19、（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）27
. 【解题分析】
(1)本题首先可根据点(),n n S 在函数()2
2f x x x =+的图像上得出22n S n n =+，然后根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；
(2)首先可根据数列{}n a 的通项公式得出112123
n
b n n ，然后根据裂项相消法求和即可得出结果。

【题目详解】
(1)由题意知22n S n n =+.
当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+；
当1n =时，113a S ==，适合上式.
所以21n a n =+. (2)()()1221121232123n n n b a a n n n n +===-++++. 则129111111116235571921321217
b b b 。

【题目点拨】
本题考查根据数列{}n a 的前n 项和为n S 求数列{}n a 的通项公式，考查裂项相消法求
和，n a 与n S 满足1n n n a S S -=-以及11a S =，考查计算能力，是中档题。

20、 (1) 1000a =； (2) 当产量60x =吨，平均生产成本最低.
【解题分析】
（1）根据函数连续性的定义，可得在分段处两边的函数值相等，可得a 的值；（2）求出平均成本的表达式，结合二次函数和基本不等式，可得平均生产成本的最小值点．
【题目详解】
（1）设321()50,[0,30]g x x x ax x =-+∈，22()2503600,(30,80]g x x x x =++∈
由函数()f x 是[0,80]上的连续函数.
即12(30)g (30)g =，代入得1000a =
（2）设平均生产成本为()G x ， 则2501000,[0,30]()()3600250,(30,80]x x x f x G x x x x x ⎧-+∈⎪==⎨++∈⎪⎩
当[0,30]x ∈中，2()501000G x x x =-+，函数连续且在[0,25]单调递减，[25,30]单调递增
即当[0,30]x ∈，()(25)375G x G ==小元
当(30,80]x ∈，3600()250G x x x =++，由360036002120x x x x
+≥⋅=，当且仅当60x =取等号，即当(30,80]x ∈，()(60)120250370G x G ==+=小元
综上所述，当产量60x =吨，平均生产成本最低.
【题目点拨】
本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，基本不等式求最值，属于中档题.
21、（1）
,；（2）
【解题分析】
（1）设等差数列
公差为，则， 解得
，， 当时，，则，
是以1为首项3为公比的等比数列，则．；（2）由（1）知，，
原不等式可化为,
若对任意的恒成立，，
问题转化为求数列的最大项
令，则，
解得，所以，
即的最大项为第项，，所以实数的取值范围．。