2018届高考数学二轮复习：小题分层练(五)含答案解析

小题分层练(五) “985”跨栏练(1)
1．已知a ，b 为实数，则“ a ＋b ≤2”是“a ≤1且b ≤1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.由“a ≤1且b ≤1”可推出“a ＋b ≤2”，但“a ＋b ≤2”推不出“a ≤1且b ≤1”，故选C.
2．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A ＝“第一次取到的是奇数”，B ＝“第二次取到的是奇数”，则P (B |A )＝( )
A.15
B.310
C.25
D.12
解析：选D.由题意可得：P (A )＝C 15C 19＝59，P (AB )＝C 15C 14C 19C 18＝518，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝51859
＝12
. 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝( ) A.12n (n ＋1) B.12
n (3n －1) C ．n 2－n ＋1 D ．n 2－2n ＋2
解析：选A.由a n －a n －1＝n (n ≥2)得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，……，a n －a n －1
＝n ，上面(n －1)个式子相加得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝12
n (n ＋1)(n ≥2)，又a 1＝1符合上式，∴a n ＝12
n (n ＋1)(n ∈N *)． 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是(
)
A.203
B ．4 C.83 D.163
解析：选D.如图所示，该几何体(设为ABCDEF )可看作是一个正方体截去两个三棱锥后
剩余的部分，故其体积为V ＝23－13×(12×2×2)×2×2＝163
.故选D. 5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2
)的部分图象如图所示，其中点P (1，2)为函数图象的一个最高点，Q (4，0)为函数图象与x 轴的一个交点．O 为坐标原点．则f (3)
的值为(
)
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2 解析：选A.由题易得A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω
＝T ，则ω＝π6.将点P (1，2)代入f (x )＝2sin(π6x ＋φ)，得sin(π6
＋φ)＝1. ∵0<φ<π2，∴φ＝π3，f (x )＝2sin(π6x ＋π3)，则f (3)＝2sin(π6×3＋π3
)＝1，选A. 6．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝5，AA 1⊥平面ABC ，其所有顶点都位于半径为6的球O 的表面上，则直线AO 与平面ABC 所成的角的余弦值为( )
A.513
B.1213
C.512
D.25
解析：选C.依题意得AB 2＋AC 2＝BC 2，AB ⊥AC ，可将该三棱柱补形成一个长方体，其中该长方体的体对角线长为12，点O 在平面ABC 上的射影M 是BC 的中点，直线AO 与平面
ABC 所成的角为∠OAM .在Rt △OAM 中，AM ＝12BC ＝52，cos ∠OAM ＝AM OA ＝512，选C. 7．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，O 为坐标原点，直线OA 的斜率为22
，OA →·OF 2→＝|OF 2→|2，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12
C.32
D.23
解析：选A.设A (x A ，y A )是位于第一象限内的一点，F 2(c ，0)，OA →·OF 2→＝(x A ，y A )·(c ，0)
＝cx A ，|OF 2→|2＝c 2，因为OA →·OF 2→＝|OF 2→|2，所以x A ＝c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2A b 2＝1，解得y A ＝b 2a ，故k OA ＝b 2a c ＝b 2ac ＝a 2－c 2ac ＝22，得到(c a )2＋22×c a －1＝0，解得c a ＝22或c a ＝－2(舍去)，故椭圆的离心率为22
，选A. 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b 2＋a 2＋ab －c 2＝0，则c ·cos （30°－A ）b ＋a
的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32
解析：选B.由b 2＋a 2＋ab －c 2＝0得b 2＋a 2－c 2
＝－ab ，则cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝－12，所
以C ＝120°，则A ＋B ＝60°，所以B ＝60°－A ，所以由正弦定理得
c cos （30°－A ）b ＋a ＝
sin C cos （30°－A ）sin A ＋sin B ＝sin 120°cos （30°－A ）sin A ＋sin （60°－A ） ＝sin 120°（
32cos A ＋12sin A ）32 cos A ＋12
sin A ＝32，故选B. 9．在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，
E 、
F 分别为AB 、BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE ︵上
移动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围
是( )
A ．[－1，1]
B ．[0，1]
C ．[－1，0]
D ．(－1，1)
解析：选A.建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，E (1，
0)，D (0，1)，F (32，12
)，P (cos α，sin α)(0°≤α≤90°)．因为AP →＝λ ED →＋μ AF →，所以(cos α，sin α)＝λ(－1，1)＋μ(32，12
)，所以cos α＝－λ＋32μ，sin α＝λ＋12μ，所以λ＝14(3sin α－cos α)，μ＝12
(cos α＋sin α)，所以2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－45°)．因为0°≤α≤90°，所以－45°≤α－45°≤45°，所以－22
≤sin(α－45°)≤22
，所以－1≤2sin(α－45°)≤1.所以2λ－μ的取值范围是[－1，1]． 10．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈
N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如f (12)＝34
.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916
.其中所有正确的序号为( ) A ．①② B ．①③
C ．①②④
D ．①③④
解析：选B.利用题干中提供的新定义信息可得，对于①，因为7＝1×7，所以f (7)＝17，①正确；对于②，因为24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以f (24)＝46＝23
，②不正确；对于③，因为28＝1×28＝2×14＝4×7，所以f (28)＝47
，③正确；对于④，因为144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，所以f (144)＝1212
＝1，④不正确． 11．已知函数g (x )＝x (e x －e －x )－(3x －1)(e 3x －1－e 1－3x )，则满足g (x )>0的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，12)
B ．(12
，＋∞) C ．(14，12) D ．(－∞，14)∪(12
，＋∞) 解析：选C.由g (x )>0得x (e x －e －x )>(3x －1)(e 3x －1－e 1－3x )，设f (x )＝x (e x －e －x )，则f (x )>f (3x
－1)，∵f (x )是偶函数，∴f (|x |)>f (|3x －1|)，又∴f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )，∴x >0时，f ′(x )>0，
f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴|x |>|3x －1|，解得1
4<x <12
. 12．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x (a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0，且f (x )的极小值为－1，则a ＋b ＋c ＝( )
A ．3
B ．1
C ．0
D ．－1
解析：选B.f ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝[ax 2＋(2a ＋b )x ＋b ＋c ]e x .令g (x )＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋b ＋c ，∵e x >0，∴y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋b ＋c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又a >0，∴当x <－3或x >0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当－3<x <0时，g (x )<0，即f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－3，0)．x ＝0是f (x )的极小值点，
∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，b ＋c ＝0，9a －3（2a ＋b ）＋b ＋c ＝0，
解得a ＝1，b ＝1，c ＝－1，∴a ＋b ＋c ＝1.
13．参加在浙江省乌镇举办的第二届世界互联网大会的6个互联网大佬从左至右排成一排合影留念，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．
解析：分两类：第一类，甲在最左端，共有A 55＝5×4×3×2×1＝120种排法；第二类，乙在最左端，甲不在最右端，共有4A 44＝4×4×3×2×1＝96种排法．所以一共有120＋96＝216种排法． 答案：216
14．将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，…，第n 群，…，第n 群恰好有n 个数，则第n 群中n 个数的和是________．
解析：通过观察可得每群的第1个数1，2，4，8，16，…，构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以第n 群的第1个数是2n －1，第n 群的第2个数是3×2n －2，…，第n 群的第n －1个数是(2n －3)×21，第n 群的第n 个数是(2n －1)×20，所以第n 群的所有数之和为2n －1＋3×2n －2＋…＋(2n －3)×21＋(2n －1)×20，根据错位相减法求其和为3×2n －2n －3.
答案：3×2n －2n －3
15．对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n
为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，
则实数k 的取值范围为________．
解析：由H n ＝2n ＋1，得n ·2n ＋1＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ①，(n －1)·2n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1 ②，①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ，所以a n ＝2n ＋2，a n －kn ＝(2－k )n ＋2，
又S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5≥0a 6≤0，即⎩
⎪⎨⎪⎧5（2－k ）＋2≥06（2－k ）＋2≤0，解得73≤k ≤125. 答案：[73，125
]
16．定义在R 上的函数f (x )满足条件：存在常数M >0，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 恒成立，则称函数f (x )为“V 型函数”．现给出以下函数，其中是“V 型函数”的是________．
①f (x )＝x x 2＋x ＋1
； ②f (x )＝x 2；
③f (x )＝sin x ；
④f (x )是定义域为R 的奇函数，且对任意的x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|成立．
解析：对于①，|f (x )|＝|x |x 2＋x ＋1＝|x |（x ＋12）2＋34
≤43
|x |，即存在M ≥43，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 恒成立，故①是“V 型函数”；对于②，|f (x )|＝|x 2|≤M |x |，即|x |≤M ，不存在这样的实数M ，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 恒成立，故②不是“V 型函数”；对于③，|f (x )|＝|sin x |
≤M |x |，即|sin x x
|≤M ，即存在M ≥1，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 恒成立，故③是“V 型函数”；对于④，f (x )是定义域为R 的奇函数，故|f (x )|是偶函数，由|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|得到|f (x )|≤2|x |成立，即存在M ≥2，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 恒成立，故④是“V 型函数”．
答案：①③④。