数轴-距离
数轴的经典题型和易错题型
数轴的经典题型和易错题型数轴是数学中一个非常重要的概念，经常出现在各类考试中。
数轴题型主要包括以下几种：1. 经典题型：- 求解绝对值方程：例如，求 |x - 3| = 2 的解。
- 求解一次方程：例如，x + 2 = 5。
- 求解一次不等式：例如，x > 2。
- 求解复合函数：例如，求 f(g(x)) 的值，其中 f(x) = x^2，g(x) = 2x + 1。
2. 易错题型：- 求解带有绝对值的不等式：例如，|x - 3| > 2。
- 数轴上的点与距离：例如，求点 A(-3, 0) 和点 B(1, 2) 之间的距离。
- 数轴上的最值问题：例如，求函数 f(x) = x^2 - 2x + 1 在数轴上的最小值。
- 数轴与函数图像：例如，给定函数 y = f(x)，求函数图像与数轴的交点。
以下是一些数轴相关的经典例题：1. 求解绝对值方程：题目：|x - 5| = 3解：x - 5 = 3 或 x - 5 = -3得：x = 8 或 x = 22. 求解一次方程：题目：2x + 1 = 7解：2x = 6，x = 33. 求解一次不等式：题目：3x - 2 < 1解：3x < 3，x < 14. 求解复合函数：题目：求 f(g(x))，其中 f(x) = x^2，g(x) = 2x + 1解：f(g(x)) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 15. 求解带有绝对值的不等式：题目：|2x - 3| < 1解：-1 < 2x - 3 < 1，得 1 < x < 26. 数轴上的点与距离：题目：点 A(-3, 0) 和点 B(1, 2) 之间的距离是多少？解：距离为 |1 - (-3)| = 47. 数轴上的最值问题：题目：求函数 f(x) = x^2 - 2x + 1 在数轴上的最小值。
解：f(x) = (x - 1)^2，最小值为 0，当 x = 1 时取得。
人教版初一数学上册数轴上两点间的距离
两点间的距离【学习目标】会借助数轴理解绝对值的几何意义进而求数轴上两点间的距离.【回顾】1、数轴上两点A,B，（1）若A点表示2，B点表示4，则A、B两点间的距离等于________;-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5（2）若A点表示2，B点表示4-，则A、B两点间的距离等于________;-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5（3）若A点表示2-，B点表示4-，则A、B两点间的距离等于________.-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 52、通过以上特例，可以发现：数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.如图所示，点A,B在数轴上分别对应的数为a,b，则A,B两点间的距离表示为|AB|= ______________ B例如5与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离可列式为|5(2)|7--=列式计算：（1）若A点表示8，B点表示26,求A,B两点间的距离；（2）若A点表示8-，B点表示26,求A,B两点间的距离；（3）若A点表示8-，B点表示26-,求A,B两点间的距离；【应用】3、我们知道|5(2)--|表示5与2-之差的绝对值，实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离.那么，（1）|4-2|表示_________与________之差的绝对值，实际上也可理解为______与_____两数在数轴上所对应的两点之间的距离；（2）|5(3)---|表示_________与________之差的绝对值，实际上也可理解为______与_____两数在数轴上所对应的两点之间的距离；（3）|53--|表示_________与________之差的绝对值，实际上也可理解为______与_____两数在数轴上所对应的两点之间的距离；（4）①数轴上表示x和3的两点A和B之间的距离是______________,如果|AB|=2，那么x的值是___________.②数轴上表示x和1-的两点A和B之间的距离是______________,如果|AB|=2，那么x的值是___________.（5）①找出所有符合条件的整数x，使得|x-5|+|x-2|=3,这样的整数x是_____________;②找出所有符合条件的整数x，使得|x-5|+|x|=5,这样的整数x是_____________;③找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7,这样的整数x是_____________;④找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x+2|=3,这样的整数x是_____________;(6) 找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=9,这样的整数x是_____________;(7)若|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值是__________,此时最小值是___________.【巩固练习】1、利用数轴求下列每组数在数轴上对应点之间的距离：（1） 如图所示，A,B 两点的距离为___________；（2） 如图所示，C,D 两点的距离为___________；（3） 如图所示，A,D 两点的距离为___________；DC B A -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4(4)若在数轴上M 点表示的数为m,N 点表示的数为n ，如图所示，则点M 与点N 的距离为__________.M Nm 0 n2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为2，则所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和为 _____________3、已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．（1）若点P 到点A ，点B 的距离相等，求点P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为6？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由；【课后反思】数轴上两点间的距离，实质是绝对值的知识，体现了数形结合的思想，在初中教学中是一个难点。
8.1.1数轴上的距离公式和中点公式--李晓玲
如，点 A 的坐标为 1 ，记作 A(1)；
点 B 的坐标为－4，记作 B(－4) ．
观察数轴，完成下列题目：
P
－4 －3
B
－2 －1
O
0 1 2
A
3 4 x
（1）点 P 与 －3.5 对应，则点 P 的坐标是 （2）点 A 的坐标是 （3）点 B 的坐标是 （4）点 O 的坐标是 ，记作 ，记作 ，记作 ； ； ．
（2）设点 M(x) 是 A，B 两点的中点，则
x=
3 5 ＝1． 2
即 A，B 的中点坐标为 1 ．
已知点 A（－6），B（－1）， C（2），D（4.5），E（7）
求：（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|； （2）A，B 的中点坐标；B，E
的中点坐标．
1．数轴上点的坐标． 2．数轴上两点间的距离公式．
x B 1 0 －1 A －2 －3 －4 2 4 3 4 3 2 1 0 －1 －2 －3 －4 B
A
试求两个图中点 A 与 B 之间的距离．
如图：
C
－4 －3 －2
A
－1 0 1
D
2 3 4 x
（1）点 A（－1），C（－3）的中点坐 标是多少？中点坐标与 A，C 两点的坐标有 怎样的关系？ （2）点 A（－1），D（2）的中点坐标是
3．数轴上两点的中点公式．
1. 已知点 A（－5），B（－1），
C（3），D（4），E（8）
求：（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|；
（2）A，B 的中点坐标；B，E 的中点坐标．
2.在数轴上标出坐标满足下列条 件的所有点： （1）x＜2; (2) ∣x∣≥5;
(3)2＜x＜5;
数轴上的点的距离与加减法
数轴上点A、B表示的数分别是a、b. 则AB两点之间的距离为 若a＞b（A在B的右边)，则AB=a-b 若a＜b（A在B AB 的中点表示的数是
2若a＞0 ,b＜0, 则AB 的中点表示的数是
3若a＜0 ,b＜0, 则AB 的中点表示的数是
数轴上点A、B表示的数分别是a、b.
则AB的中点表示的数为
a+b 2
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表 示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．
上面的规律能不能统一起来？用一 个式子表示？
数轴上点A、B表示的数分别是a、b. 则AB两点之间的距离为 |a-b|或|b-a|
总条件： 数轴上点A、B表示的数分别是a、b.
1、若a=3 ,b=5, 则AB= —— 2、若a= -7 ,b=-3, 则AB= —— 3、若a= -5 ,AB= 3, 则b= —— 4、若AB= 15 ,b= -5, 则a= ——
总条件： 数轴上点A、B表示的数分别是a、b.
1若a=1 ,b=5, 则AB= —— AB 的中点表示的数是 2若a= -7 ,b=-3, 则AB= ——AB 的中点表示的数是 3若a= -5 ,b= 3, 则AB= ——AB 的中点表示的数是 4若a= -1 ,b= -5, 则AB= —— AB 的中点表示的数是 你能 总结出什么规律了吗？
回答下列问题： （1）数轴上表示2和5两点之间的距离是_________，数轴上表 示1和﹣3的两点之间的距离是_________； （2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为_________； （3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x-3|有最小值吗？若有，请 求出最小值；若没有，请说明理由． （4）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+7|有最小值吗？若有， 请求出最小值；若没有，请说明理由 （5）若x表示一个有理数，则|x﹣1| - |x-3|有最大值还是最小值？
数轴上的距离公式和中点公式
8.1.1 数轴上的距离公式和中点公式
发一张白纸，第一步画数轴；校正 第二步写两个数； 第三步同桌交换标点 A(3)
例1
1．数轴上点的坐标． 记作 P(x)．
B(1)
O(0)
C(-2)
D(-3.5)
|OA|=3=xA B(x2) A(x1) 解：设P点的坐标为x，则 2．数轴上两点间的距离公式． |AO|=3=xA |AP|=|PB| |OA|=|x1| |OC|=2=|xB| |AB|=|x2-x1| =x2-x1 (X2>X1) |x-(-1)| =|x-2| |AB|= 2=xA -xB 3．数轴上两点的中点公式． |CA|= 5=xA -xC
例2
x=
x1 + x2
一般化
2
3. 数轴上的中点公式
x= x1 + x2
2
A(x1)
P(x)
-1 0 1
B(x2) 2
-4
-3
-2
3
4
x
观察数轴，完成下列题目：
D C -2 -1
O
0
B 1 2
A
-4
-3
3
4
x
（1） A，B 的中点坐标是
2
；
（2） B，C 的中点坐标是 -0.5 ;
（3）点 D 与 －3.5 对应， C，D 的中点坐标是 -2.75 .
例：已知点 A（－6），B（－1），C（2），
D（4.5），E（7），
求：（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|；
（2）A，B 的中点坐标；B，E 的中点坐标．
1．数轴上点的坐标．
2．数轴上两点间的距离公式．
3．数轴上两点的中点公式．
数轴上的距离与动点问题专题练习(解析版)
数轴上的距离与动点问题专题练习(解析版)数轴上的距离与动点问题专题练1.在数轴上到数为1的点距离等于2的点表示的数是 -1 或3.解析：在数轴上，距离为2的点有两个，分别在1的左右，向左移动2个单位得到-1，向右移动2个单位得到3，因此答案为-1或3.2.一个数在数轴上所对应的点向右移动8个单位后，得到它的相反数，则这个数是 -4.解析：设这个数为x，则向右移动8个单位后得到x+8，根据题意，x+8是x的相反数，即x+8=-x，解得x=-4.3.在数轴上，与表示数-2的点的距离是5的点表示的数是3或-7.解析：到-2的点距离为5的点可能在-2的左侧，即为-7，也可能在-2右侧，即为3.4.已知A、B是数轴上任意两点，对应的数分别是a、b，则表示A、B两点的距离正确的是|a-b|。
解析：数轴上的数从左到右依次变大，用右边的数减去左边的数，即为两点之间的距离，所以表示A、B两点的距离为|a-b|。
5.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且d-2a=10，那么数轴的原点应是B点。
解析：若原点是A点，则a=0，d=7，此时d-2a=7，与题意不符，故A排除。
若原点是B点，则a=-3，d=4，此时d-2a=10，与题意相符，B选项正确。
若原点是C点，则a=-4，d=3，此时d-2a=11，与题意不符，C排除。
若原点是D点，则a=-7，d=0，此时d-2a=14，与题意不符，D排除。
因此，选B。
6.把一个刻度尺按如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“cm”和“8cm”分别对应数轴上的-3.6和x，则x的值为4.4.解析：根据数轴可知：x-（-3.6）=8-0，解得x=4.4.7.数轴上P点对应的数是5，把P点右移3个单位长度后，再向左移动1个单位长度到达Q点，这时Q点表示的数是7.解析：先向右移动3个单位长度得到8，再向左移动1个单位长度得到7，因此Q点表示的数是7.8、已知数轴上A、B两点对应数分别为-2和4，P为数轴上一点，对应数为x，若数轴上存在点P，使P点到A点、B点距离和为10，则x的值为-4或6.解答：设P表示的数为x。
数轴上的距离公式与中点公式
数轴上的距离公式与中点公式考点解析及例题讲解1. 数轴上点的坐标在数轴上，如果点P 与x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．练习一观察数轴，完成下列题目：（1）点P 与－3.5对应，则点P 的坐标是 ，记作 ；（2）点A 的坐标是 ，记作 ；（3）点B 的坐标是 ，记作 ；（4）点O 的坐标是 ，记作 ．2. 数轴上的距离公式探究一如图，填空：（1）图中点A 的坐标是 ，B 的坐标是 ，C 的坐标是 ，点D 的坐标是 ；（2）点A 与B 之间的距离|AB |=，点C 与A 之间的距离|CA |=，点B 与C 之间的距离|BC |=；（3）你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？ 一般地，如果A (x 1)，B (x 2)，则这两点的距离公式为|AB |=|x 2－x 1|．探究二在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平放置的(如下图所示)，数轴上的距离公式成立吗？x ● xP ● ● ● B A O ● x● ● C ● ● 1 2 4 12 34B试求两个图中点A 与B 之间的距离．3. 数轴上的中点公式探究三根据下图回答问题：（1）点A (－1)，C (－3)的中点坐标是多少？中点坐标与A ，C 两点的坐标有怎样的关系？（2）点A (－1)，D (1)的中点坐标是多少？中点坐标与A ，D 两点的坐标有怎样的关系？一般地，在数轴上，A (x 1)，B (x 2)的中点坐标x 满足关系式x ＝ x 1＋x 22．4. 应用例 已知点A (－3)，B (5)，求：（1）|AB |；（2）A ，B 两点的中点坐标．解 （1）|AB |＝|5－(－3)|＝8；（2）设点M (x )是A ，B 两点的中点，则x ＝ －3＋52＝1．即A ，B 的中点坐标为1．平面直角坐标系中的距离公式和中点公式1. 距离公式探究一如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 轴作垂线AA 1，AA 2和BB 1，BB 2，垂足分别为A 1，A 2，B 1，B 2，其中直线BB 1和AA 2相交于点C ．两点的距离公式|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2．x● ● C A D ●探究二求两点之间的距离的计算步骤：S1 给两点的坐标赋值x 1＝？，y 1＝？，x 2＝？，y 2＝？S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即d x ＝x 2－x 1，d y ＝y 2－y 1；S3 计算d ＝d 2x ＋d 2y ； S4 给出两点的距离d ．例1 已知A (2，－4)，B (－2，3)，求|AB |．解 因为x 1＝2，x 2＝－2，y 1＝－4，y 2＝3，所以dx ＝x 2－x 1＝－2－2＝－4，d y ＝y 2－y 1＝3－(－4)＝7．因此|AB |＝d 2x ＋d 2y ＝(－4)2＋72 ＝65．练习一求两点之间的距离：（1）A (6，2)，B (－2，5)；（2）C (2，－4)，D (7，2)．2. 中点公式探究三如图所示，若已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么怎么求它们的对称中心的坐标？设M (x ，y )是A ，B 的对称中心，即线段AB 的中点．过A ，B ，M 分别向x 轴，y 轴作垂线，AA 1，AA 2，BB 1，BB 2，MM 1，MM 2，垂足分别是A 1，A 2，B 1，B 2，M 1，M 2．在平面直角坐标系内，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点M (x ，y )的坐标满足x ＝x 1+x 22，y ＝y 1+y 22．例2 求证：任意一点P (x ，y )与点P '(－x ，－y )关于坐标原点成中心对称． 证明 设P 与P '的对称中心为(x 0，y 0)，则x 0＝x +(－x )2＝0，y 0＝y +(－y )2＝0．所以坐标原点为P 与P ′的对称中心．练习二求下列各点关于坐标原点的对称点：A (2，3)，B (－3，5)，C (－2，－4)，D (3，－5)．例3 已知坐标平面内的任意一点P (a ，b )，分别求它关于x 轴的对称点P ′，关于y 轴的对称点P ′′的坐标．练习三求下列点关于x 轴和y 轴的对称点坐标：A (2，3)，B (－3，5)，C (－2，－4)，D (3，－5)．例4 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A (－3，0)，B (2，－2)，C (5，2)，求顶点D 的坐标．解 因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．设点D 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x +22＝－3+52＝1y －22＝0＋22＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝4所以顶点D 的坐标为(0，4)．。
【例题讲解】数轴上两点间距离公式的应用例完整版课件
|x-1|的几何意义
|x-1|
|x+1|的几何意义
|x+1|
|x+1|= |x－ (-1)|
0
1
x
-1
0
x
|x－a|＋|x－b|的几何意义：数轴上表示数x的点与数a、b两点的距离之和．
|x-1|＋|x-2|表示x到1和x到2的距离之和．
0
1
2x
0
1 x2
x0
1
2
例 数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（ D ）
-3
5
B
A
A．﹣3＋5
B．﹣3﹣5
C．|﹣3＋5|
D．|﹣3﹣5|
分析
数轴上两点之间的距离的概念
确定正确答案
解答 ∵点A、B表示的数分别是5、﹣3， ∴它们之间的距离为：|﹣3﹣5|＝8，或 |5－(﹣3)|＝8， 故选：D．
本题考查了数轴上两点间的距离的求法，理解数轴上两点间的距离与绝对值的关系是解决 问题的关键．
环节1 数轴上两点间距离公式的应用
环节2 利用绝对值的性质化简求值
有范围限定的绝对值题型 无范围限定的绝对值题型
环节3 求含绝对值式子的最值
运用绝对值的几何意义求最值 ；
运用零点分段法求最值．
数轴上两点间距离公式的应用
|x|的几何意义：数轴上表示数x的点与原点的距离；
|-3|
|பைடு நூலகம்|
-3
0
3
|x－a|的几何意义：数轴上表示数x的点与数a的点之间的距离；
再见
数轴与坐标系的基本公式
数轴与坐标系的基本公式一、数轴数轴是用于表示实数的一条直线。
数轴上的每个点都与一个实数对应，可以用来表示有向距离和大小关系。
数轴上的基本公式如下：1.数轴上的点P与实数a的对应关系可以表示为：P(a)。
2.数轴上的点P与点Q之间的距离等于它们所对应的实数的差的绝对值，即：，P(a)-Q(b)，=，a-b。
3.数轴上两点P(a)与Q(b)之间的有向距离可以表示为：P(a)-Q(b)=a-b。
二、坐标系坐标系是用于表示平面上点的工具，包括直角坐标系和极坐标系。
1.直角坐标系直角坐标系由两条互相垂直的直线（x轴和y轴）组成。
点在直角坐标系中的位置可以通过两个数值（横坐标x和纵坐标y）来确定。
直角坐标系上的基本公式如下：1.一个点P(x,y)的横坐标x表示点P在x轴上的投影，纵坐标y表示点P在y轴上的投影。
2.两点P(x1,y1)与Q(x2,y2)之间的欧几里得距离可以表示为：d(P,Q)=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
3.两点P(x1,y1)与Q(x2,y2)之间的有向距离可以表示为：d(P,Q)=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
2.极坐标系极坐标系以一个原点和一个极轴为基础，通过极径和极角来确定平面上的点。
极坐标系上的基本公式如下：1.一个点P(r,θ)的极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示从极轴到线段OP的角度。
2. 两点P(r1, θ1)与Q(r2, θ2)之间的欧几里得距离可以表示为：d(P, Q) = √(r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1))。
3. 两点P(r1, θ1)与Q(r2, θ2)之间的有向距离可以表示为：d(P, Q) = √(r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1))。
三、示例应用1.数轴：假设数轴上有两个点P(3)和Q(7)，它们之间的距离是，3-7，=4、点P到点Q的有向距离是3-7=-42.直角坐标系：假设直角坐标系上有两个点P(2,3)和Q(-1,4)，它们之间的欧几里得距离是d(P,Q)=√[(2-(-1))²+(3-4)²]=√[9+1]=√10。
2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式教材知识检索考点知识清单1．数轴：一条给出了 、 和 的直线叫做数轴，也称直线坐标系．2．数轴上的向量：数轴上的任意一点A 沿着数轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上作了一次 ，简称为向量；用一个实数表示轴上的向量，实数的绝对值为线段AB 的 ，如果起点到终点的方向与轴同向，则此实数为 ．否则为 ，那么这个实数为向量AB 的3．设A 、B 、C 是数轴上的三点，则=AC4．数轴上两点间的距离公式：设),()(21x B x A 、则-== =),(,B A d要点核心解读1．数轴一条给出了原点、度量单位和正方向的直线，叫做数轴或直线坐标系，当点P 与实数x 对应时，称x 为点P 的坐标，记作P （x ）．如图2-1-1 -1所示，数轴x 上的点P 、Q 、R 的坐标依次是x 、-1、2，可分别记为⋅-)2()1()(R Q x P 、、2．向量当数轴上的任意一点A 移动到另一点B 时，就说点在轴上作了一次位移，当点不动时，就说点作了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．今后，我们统一用有向线段表示向量.起点为A 、终点为B 的向量，记为,AB 线段AB 的长度叫做向量AB 的长度或模，记为|,|AB 它体现的是向量的大小；向量的方向由起点指向终点．同向且等长的向量叫做相等的向量；模为1 个单位长度的向量叫做单位向量；向量的坐标(或称数量AB)是一个实数，实数的绝对值就是|,B |A 当向量起点指向终点的方向与轴同向时，这个实数就是AB ；反之，就是BA.例如，如图2-1-1-2所示 ，⋅-=--=-=211212)(,A x x x x BA x x B起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的模和坐标都是0．3．数轴上的基本公式如图2 -1 -1 -2所示，不难看出，下面的公式成立： ,BC AB AC +=,12x x AB -=.||||),(2112x x x x B A d -=-=其中，d(A ，B)表示A 、B 两点间的距离．4．利用数轴上两点间的距离公式解决某些绝对值不等式绝对值不等式，尤其是一元一次绝对值不等式，与两点间的距离公式之间存在一定的联系，因此我们可以借助距离公式的几何意义来解决绝对值不等式问题．符合条件1|2|>-x 的点)(x P 位于x 轴的何处？可以用代数法即去掉绝对值符号解不等式，也可以运用距离公式的几何意义即“几何法”来求解．[解析] 解法一：（代数法）解绝对值不等式1|2|>-x 得12>-x 或,12-<-x 即x>3或x<l ，故点P 位于x 轴上M(l)的左侧或N(3)的右侧，解法二：（几何法）如图2 -1-1-3所示，设Q(2)，则,(P d |,2|)-=x Q 由题意可知，P 、Q 两点间的距离大于1，结合数轴可以确定P 点位于M(l)的左侧或N(3)的右侧．典例分类剖析考点1 求数轴上点的坐标及两点间的距离命题规律2已知坐标求距离或已知距离求坐标（或数量）.[例1] 已知数轴上的三点).()5()1(x C B A 、、-(1)当8),(||=+C B d 时，求x ；(2)当0=+CB AB 时，求x ；(3)当B =时，求x ；(4)当1=AC 时，求证：.AC BC AB =+[解析] 本例用到两个公式，即=-=),(,12N M d x x MN ==|MN ||MN =-||12x x .||21x x -其中1x 与2x 分别是M 、N 两点的坐标．[答案] (1)由),()5()1(x C B A 、、-可知.|5|),(,6){1(5|||-==--=x C B d 当8),(||=+C B d 时，有,8|5|6=-+x解得 .73==x x 或(2)由,0=+CB AB 可知,05)1(5=-+--x解得 .11=x(3)由=可知，|,||=且||AB 与||同向，即5)1(5-=--x所以 ,65=-x解得 .11=x(4)当1=AC 时，有 ,1)1(=--x解得 ,0=x所以 .150)1(5AC BC AB ==-+--=+母题迁移 1．若数轴上的顺次四点A ，B ，C ，D ，且),6(),0(),(),7(D C x B A -满足,CD AB =求实数x 考点2 向量的数量与点的坐标的关系命题规律把数轴上的向量转化为点的坐标进行运算，进而求值或证明.[例2] 设A 、B 、C 是数轴上不同于原点O 的任意三点，且.000=+CA C BA B 求证：⋅=+AC B 020101 [解析] 把向量的数量转化为点的坐标．[答案] 设A 、B 、C 在数轴上的坐标分别为).()(b B a A 、),(c C 则.,,,,c a CA b a BA c OC b OB a OA -=-====,0,00=-+-∴=+c a c b a b CA C BA OB 即abc c b 2=+ 又,11011bc c b c b C OB +=+=+且⋅=+∴=AC OB a A 02011,202 [点拨] 证明有关同一数轴上的若干点所成的向量的数量等式或条件等式时，关键要抓住“数量”这一本质，设数轴上点的坐标，把向量的数量转化为点的坐标，通过化简即可证明．母题迁移 2．已知数轴上点A 、B 、P 的坐标分别为).()3()1(x P B A 、、-(1)当P 与B 的距离是P 与A 的距离的3倍时，求⋅)(x P(2)若 P 到A 和B 的距离都是2时，求),(x P 此时P 与线段AB 有怎样的关系？ (3)在线段AB 上是否存在点P(x)，使得P 到A 和B 的距离都是3?若存在，求出P(x)；若不存在，请说明理由.考点3 利用数轴上的基本公式解决实际问题命题规律将实际问题转化为数轴上的基本公式这一数学问题，进而加以解决．[例3] 一条公路由西向东设有A 、B 、C 、D 、E 五个站点，相邻两个站点之间的距离依次为32千米、48千米、40千米、36千米，且在公路旁A 、E 两站的中点处设有加油站．请你以加油站为原点，正东为正方向，cm 201为单位长度画数轴，并将五个站点在数轴上表示出来． [解析] 由于例题中已规定了数轴的原点、正方向和单位长度，因此，解决问题的关键在于确定五个站点分别在加油站的哪一侧，与加油站的距离是多少？[答案] 因为,36404832+>+所以A 、B 两站在加油站西侧（原点左侧），G 、D 、E 三站在加油站东侧（原点右侧）．因为A 站到E 站的距离为156********=+++（千米），所以A 、E 两站到加油站（原点）的距离为78千米，而+-=-4078,463278（,2)36=,423678=-所以B 、C 、D 三站到加油站（原点）的距离依次为46千米、2千米、42千米，即A 、B 、C 、D 、E 五站在数轴上表示的数依次为 .784224678、、、、--取cm 201为单位长度，画数轴如图2 -1-1-4所示．[点拨] 解决实际问题的关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，而数学模型是近几年高考的热点，同学们在日常生活中要注意观察、了解、总结数学与社会、生活之间的密切联系．母题迁移 3．某海洋救护站接到一船只发出的求救信号，船只在救护站正东方100 km 的A 处，正以每小时20 km 的速度缓慢靠近救护站，接到求救信号后，救护站立即派出救护艇以每小时180 km 的速度驶向求救船只，问救护艇会在何位置遇到求救船只？考点4 ∣a-b ∣的几何意义命题规律利用∣a –b ∣的几何意义解决不等式或方程中的问题．[例4] 对一切,R x ∈证明.5|3||2|≥-++x x[解析] 讨论2-≤x 或32≤<-x 或3>x 三段可求得原不等式的解，这里给出用数轴上两点间的距离公式解题的方法，即将|2|+x 看成数轴上的坐标为x 与-2的两点的距离，把|3|-x 也看成两点的距离，结合数轴求解不等式．[答案] 设点A 、B 、P 在数轴上的坐标为-2、3、x ，则.|3||||,2|||,5|32|||-=+==--=x BP x AP AB由平面几何知识知|,|||||AB BP AP ≥+当且仅当P 点在线段AB 上时取“=”， .5|3||2|≥-+⋅+∴x x上式当且仅当32≤≤-x 时，“=”成立．母题迁移 4．根据下列条件，在数轴上分别画出点⋅)(x P;2||)1(<x ;2||)2(=x ;2||)3(>x ;2|1|)4(>-x .2|1|)5(>+x优化分层测讯学业水平测试1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪一组中的点C 位于点D 的右侧( )．A ．C （-3）和D( -4)B ．C(3)和D(4)C ．C （-4）和D(3)D ．C （-4）和D( -3)2．下列说法中正确的个数有( )．①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB 与向量BA 的长度是一样的；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．1.A2.B3.C4.D3．A 、B 、C 三点都在数轴上，且A 是线段BC 的中点，则以下四个结论：;BC AB =①;AC BC =②0||||=-CA AB ③中，正确命题的序号是4．若点A （x ）位于点B(2)和点C(8)之间，则x 的取值范围是5．在数轴上画出以下各点．⋅=/=/+-)0,0)(||||();2();3();2(y x yy x x D C B A6．对点A(a)和点B( -a)在数轴上的位置，你认为有几种，依据是什么？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．数轴上A 、B 、C 的坐标分别为-7、2、3，则CA AB +的值为( )1.A 19.B 1.-C 19.-D2．对于数轴上的任意三点A 、B 、0，在如下向量的坐标关系中，不成立的是( )．A B AB A 00.-= 00.=++BA B AO B OB AO AB C +=. 0.=++BO AO AB D3．当数轴上的三点A 、B 、0不重合时，它们的位置关系有六种情况，其中使-=和 ||||||OA OB AB -=同时成立的情况有( )．A.l 种B.2种C.3种D.6种4．数轴上的两点),2()2(a x B x A +、则A 、B 两点的位置关系为( )．A.A 在B 的左侧B.A 在B 的右侧C.A 与B 重合 D ．由a 的值决定5.A 、B 为数轴上的两点，A 点坐标为,5,2=AB 则B 点坐标为( )．3.-A 7.B 37.-或C 37.或-D6．A 、B 、C 是同一直线上的三点，若等式AC BC AB =+成立，则( )．A.A 在B 、C 之间B.B 在C 、A 之间 C ．C 在A 、B 之间 D ．以上都有可能7．已知数轴上的点A 、B ，其中点B 的坐标为,2||,2=BA 则点A 的坐标为( )．4.A 2.-B 0.C 40.或D8．数轴上点),4()8()(--B A x P 、、若|,|2||=则=x ( )．0.A 316.⋅-B 316.C 3160.-或D 二、填空题（5分x4 =20分）9. A 、B 、C 、D 是数轴上的任意四点，则=+++DA CD BC AB10.已知数轴上三点),3()0()2(C B A 、、-则的坐标为 ，BC 的坐标为 ,的坐标为11．若不等式a x x >++-|3||1|恒成立，则实数a 的取值范围为12.已知数轴上的向量、、B AB 的坐标分别为==BC AB 、2,45-=-DC 、则=|| =AD ,三、解答题（10分x4 =40分）13.求满足下列各式的x 的范围． );,29(2)9,()1(x d x d < ⋅-≥+)0,()20,86()2(2x x d x d14．(1)在数轴上求一点的坐标，使它到点A （-1）与到点B(5)的距离相等；(2)在数轴上求一点的坐标，使它到点A(O)的距离是它到点B(-9)的距离的⋅2115.已知点A （x)位于)(2x B 的右侧，求d(A ，B)的最大值．16.已知数轴上有点),3()1()2(D B A 、、-点C 在直线AB 上，且有,21=BC AC 延长DC 到E ，使,41),(),(=E D d E C d 求点E 的坐标，。
数轴上两点间的距离ppt课件
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 3
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离为 4
（2）数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为 |x-2|
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4
（3）若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|有最小值吗？ 若有，求出最小值；若没有，请 说明理由.
解：|x-1|+|x+3| =|x-1|+|x-（-3）| 它的几何意义： 在数轴上表示x的点与1和-3这两个点的距离和
4
-1 0 1 2 3 有最小值，是4.
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5
数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的 绝对值。
“数轴”是数形结合的重要工具。数轴上两 点之间的距离是数轴和绝对值的巧妙结合，是由 “数”到“形”的转化。
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1数轴上表示2和5两点之间的距离是数轴上表示1和3的两点之间的距离为2数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为x2可编辑ppt3若x表示一个有理数则x1x3有最小值吗
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1
例1 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离。
解：如图示
-4
-1.5
1
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
（1）3 与 1 2 （2）3与-1.5 4.5 （3）1与-4 5 （4）4与-1.5 5.5
思考： （1）你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系？
数轴上的距离公式和中点公式省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
A(x1)
Hale Waihona Puke B(x2)－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
一般地，在数轴上，假如 A(x1)，B(x2)， 则这两点旳距离公式为
|AB|＝|x2－x1|．
在以上例子中，我们遇到旳数轴都是水平放置旳，
假如数轴不是水平放置旳 ( 如图所示 ) ，数轴上旳距离
公式成立吗？
x
B4 3
2
1
0
A
－1 －2
观察数轴，完毕下列题目：
PB O
A
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
（1）点 P 与 －3.5 相应，则点 P 旳坐标是 ，记作 ； （2）点 A 旳坐标是 ，记作 ； （3）点 B 旳坐标是 ，记作 ； （4）点 O 旳坐标是 ，记作 ．
C A DB
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
数轴上旳中点公式
A(x1)
B(x2)
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 旳中点坐 标x满足关系式
x=
x1 x2 ． 2
例 已知点 A（－3），B（5），求： （1）|AB|；（2）A，B 两点旳中点坐标． 解：（1）|AB|＝|5－(－3)|＝8；
（2）设点 M(x) 是 A，B 两点旳中点，则
x=
35 2
＝1．
即 A，B 旳中点坐标为 1 ．
已知点 A（－6），B（－1），C（2），D（4.5）， E（7），求：
（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|； （2）A，B 旳中点坐标；B，E 旳中点坐标．
1．数轴上点旳坐标． 2．数轴上两点间旳距离公式． 3．数轴上两点旳中点公式．
数轴上两点间的距离公式及中点公式
x
（1）线段 AC的中点对应的数是多少？中点 对应的数与 A、C 两点对应的数有怎样的关系？
（2） 线段AD的中点对应的数是多少？中点对应 的数与 A、D 两点对应的数有怎样的关系？
数轴上两点的中点公式
A(a)
B(b)
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
一般地，在数轴上，A对应的数为a，B对应 的数为b，则AB中点对应的数x满足关系式
若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|有最小值吗？若有，求 出最小值；若没有，请 说明理由.
解：|x-1|+|x+3| =|x-1|+|x-（-3）|
它的几何意义： 在数轴上表示x的点与1和-3这两个点的距离和
4
-1 0 1 2 3
∴有最小值，最小值是4.
如下图：
CA
D
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
假设：数轴上点A、B表示的数分别是a、b. 用|AB|表示点A和点B之间的距离 若a＞b（A在B的右边)，则|AB|=a-b 若a＜b（A在B的左边)，则|AB|=b-a
以上规律能统一吗？你能用一个式子表示吗？
数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的绝 对值。即A,B两点之间的距离为|AB|= |a-b|
规律：数轴上的点，向正方向移动就加上移 动的单位，向负方向移动，就减去移动的单位
练习：若b= - 3,把B点向正方向移动2个单位， 再向左运动5个单位后表示的数是 ——，
练习：若a= - 3, 点A和点B之间的距离为4,则B表示 的数是 ————
若b= 2019, 点A和点B之间的距离为3,则A 表示的数 是 ————
a b
X=－3，点B对应的数为5，求： （1）|AB|；（2）A，B 两点的中点对应的数x．
数轴上两点间的距离
（3）1与-4 5 （4）4与-1.5 5.5
思考： （1）你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系？
数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的绝对值。 （2）若点A表示数m,点B表示数n,则A、B之间
的距离是 |n-m| .
例2 点A、B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B 两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两 点之间的距离AB=|a-b|.
1数轴上表示2和5两点之间的距离是数轴上表示1和3的两点之间的距离为2数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为x23若x表示一个有理数则x1x3有最小值吗
使用对象：七年级 所属学科：华师版数学 单元章节：第2章
例1 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离。
解：如图示
-4
-1.5
1
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
A
B
a0
b
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 3
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离为 4
（2）数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为 |x-2|
（3）若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|有最小值吗？ 若有，求出最小值；若没有，请 说明理由.
解：|x-1|+|x+3| =|x-1|+|x-（-3）| 它的几何意义： 在数轴上表示x的点与1和-3这两个点的距离和
4
-1 0 1 2 3 有最小值，是4.
数轴上两点之间的距离等于对应两 数之差的绝对值。
“数轴”是数形结合的重要工具。数轴 上两点之间的距离是数轴和绝对值的巧 妙结合，是由“数”到“形”的转化。
初中数学(北师大版)七年级-数轴上任意两点间的距离公式(青苗教育)
数轴上任意两点间的距离公式
（2002南京中考数学试题）阅读下列材料：点A 、B 在数轴上分别表示数a 和b ，A 、B 两点之间的距离为AB 。
当A 、B 两点有一点在原点时，不妨设A 点在原点，如图1， b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点，如图2，点A 、B 都在原点的右边，b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=；
如图3，点A 、B 都在原点的左边， b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=)(；如图4， A 点和B 点在原点的两边， b a b a b a OA OB AB -=-+=+=+=)(。
综上所述，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=。
回答下列问题：
（1） 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之
间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；
（2） 数轴上表示x 与-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么
x 为 ；
（3） 当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 。
A B O
图3 O A B
图2 O A B
图1
A B
O 图4。
七上专题-数轴与点的距离问题
七年级数学上专题一：数轴与点的距离问题【方法技巧】熟练掌握数轴上两点间的距离的表示方法，运用分类讨论思想及方程思想解题.1、如图,A,B,C 是数轴上的三点(点B在点A的右边)，点A表示的数为一8,A,B两点的距离AB是点A到原点O的距离OA的3倍,即AB= 3OA.(1)求点B表示的数;(2)若AC+ BC= 32，求点C表示的数;(3)若AC=3BC,求点C表示的数.归纳总结数轴上点的距离问题的处理方法:通常可将要求的点表示的数设为x,用含x的式子表示出两点之间的距离，根据距离关系建立绝对值方程，或运用分类讨论思想列方程求解.2、如图，点A,B在数轴上表示的数分别为一4和十16,A,B两点间的距离可记为AB.(1)点C在数轴上A,B两点之间，且AC= BC,则点C对应的数是 ;(2)点C在数轴上A,B两点之间，且BC=3AC,求点C对应的数;(3)点C在数轴上，且AC+BC=30,求点C对应的数?3、【知识链接】数轴上任意两点A、B(A在B的左边)所对应的数分别为：x A、x B，则A与B的距离可表示为：x B－x A。
如数轴上表示4和1的两点之间的距离是4－1＝3；表示－3和2两点之间的距离是2－(－3)＝5.【问题解决】已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？。
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数轴-距离
1. 数轴上表示－5的点离开原点的距离是( )
个单位长度，数轴上离开原点6个单位长度的点有（ ）个，它们表示的数是（ ）．
2. 数轴上的A 点与表示－3的点距离4个单位长
度，则A 点表示的数为（ ）．
3. 点A 在数轴上距离原点3个单位长度，将点A 向右移动4个单位长度，再向左移7个单位长度，此时点A 表示的数是（ ）．
4. 在数轴上表示－2的点与表示＋7的点之间的
距离是（ ）．
5. 数轴上A 、B 两点离开原点的距离分别为2和
3，则AB 两点间的距离为（ ）．
6. 在数轴上点A 、B 分别表示
-
12
和
12
，则数轴
上与A 、B 两点的距离相等的点表示的数是（ ）．
7. 在数轴上到原点距离等于2的点所对应的数是（ ）．这两点之间的距离是（ ）．
8. 点A B ，在数轴上对应的实数分别为m
n ，，（n 在m 的右边）则A B ，间的距离是（ ）．
9. 因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，
有这样的关系
()6221
4+=
，那么到点
100和
到点999距离相等的数是（ ）．到点
7
6
,54-距离相等的点表示的数是（ ）．到点m 和
点–n 距离相等的点表示的数是（ ）．
10. 若数轴上的点A 和点B 分别表示相反的两个
数，A 在B 的左侧，且A 、B 两点的距离等于7，那么A 、B 分别为（ ）和（ ）
11. 数轴上a 、b 、c 三点分别表示-7，-3，4，则这
三点到原点的距离之和是（ ）
12. －3和3的符号一个是（ ）．一个是
（ ）．－3和3到原点的距离都是（ ）．像这样只有（ ）的数，称他们为互为相反数。
在数轴上，可发现互为相反的两个数到原点的距离（ ）．
13. 数轴上A 点表示－3，B 、C 两点表示的数互
为相反数，且点B 到点A 的距离是2，则点C 表示的数应该是（ ）．
14. 已知数轴上有A 、B 两点，它们之间的距离为
5，点A 离原点的距离为2，请探求满足条件的点B 所表示的数.
15. 如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数的点
B,再把点A 向左移动1.5个单位,得到点C,求点B,C 表示的数,以及B,C 两点间的距离.
16. 已知在纸面上有一数轴，折叠纸面
若1表示的点与－1表示的点重合，则－2表示的点与数（ ）．表示的点重合；
若－1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数（ ）．表示的点重合； ②若数轴上A 、B 两点之间的距离为9（A 在B 的左侧）．且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是（ ）．
17. 甲数的绝对值是乙数绝对值的2倍，在数轴上
甲、乙两数在原点的同侧，并且对应两点的距离等于10，求这两个数．
0 2.5
18. 数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示
的数为
A.6或6-
B. 6
C.6-
D.3或3-
19. 如图所示，A 表示-2，B 表示4，
（1）．在数轴上标出原点0． （2）．有一点C 到原点与到B 点距离相等．写出C 点表示的数
20. 数轴上的两点M 、N 分别表示－5和－2，那
么M 、N 两点间的距离是（ ）． A 、－5+（－2）． B 、－5－（－2）． C 、|－5+（－2）| D 、|－2－（－5）|
21. 数轴上点A 表示－4，点B 表示2，则表示A 、
B 两点间的距离的算式是（ ）． A. －4＋2 B. －4－2 C. 2―（―4） D. 2－4
22. 同学们都知道,|5－(－2)|表示5与－2之差的绝
对值,实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离。
试探索： (1)求|5－(－2)|=（ ）．
(2)找出所有符合条件的整数x ，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是（ ）．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x －3|+|x －6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由。
23. 一个数在数轴上对应点到原点的距离为m ，则
这个数为（ ）．
A. －m
B. m
C. ±m
D. 2m
24. 在数轴上负2对应点A ，则离A 点的距离不超
过2的点所表示的数有
A.2个
B.3个
C.5个
D.无数个
25. 已知数轴上三点A.B.C 分别表示有理数a 、1、
－1，那么
1
+a 表示（ ）．
A ．A.
B 两点的距离 B ．A.
C 两点的距离
C ．A.B 两点到原点的距离之和
D ．A.C 两点到原点的距离之和
26. 点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、
B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB=|a-b|.回答下列问题： ○1数轴上表示2和5两点之间的距离是（ ）．,数轴上表示
1和3-的两
点之间的距离是（ ）．
○2数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为（ ）．
27. 如果点A 表示数﹣2，将点A 向右移动5个单
位长度到达点B ，那么点B 表示的数是
（ ）．A 、B 两点间的距离是（ ）．
如果点A 表示数5，将点A 先向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度到达点B ，那么点B 表示的数是（ ）．A 、B 两点间的距离是（ ）．
一般的，如果点A 表示的数为a ，将点A 先向左移动b 个单位长度，再向右移动c 个单位长度到达点B ，那么点B 表示的数是（ ）．
28. 在数轴上若点A 到原点的距离为2个单位长
度，则到点A 的距离为3个单位长度且位于点A 右侧的点表示什么数？（ ）． A. －1或5 B. －1或－5 C. 1或－5 D. 1或5
29. 在数轴上，到原点的距离小于3的所有整数有
（ ）．
A B a b
A．2，1 B．2，1，0 C．±2，±1，0 D．±2，±1。