磁场区域的最小面积问题

磁场区域的最小面积问题
考题中多次出现求磁场的最小围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。

下面我们以实例对此类问题进行分析。

一、磁场围为树叶形
例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=m
q C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。

⑴求离子在匀强磁场中运动周期；
⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106
-⨯πs 时间这些离子所在位置
构成的曲线方程；
⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。

15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2
mv qvB R
=２分
运动周期22R m
T v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间6
11066
t s T π-=⨯= ２分
根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，
转过的角度均为126
3
π
θπ⨯=
＝ １分
这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan
2
y x x θ
==
２分
⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有
2
mv qv B R =００ ２分
mv R qB
=1=ｍ １分
这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90︒）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 ２分
调整后磁场区域的最小面积2
2min
22()422
R R S ππ-=⨯-=m
2
２分
例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电
场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。

在电场左边界上A （-2l 0，
x
O
y
-l0）到C（-2l0，0）区域的某些位置，分布着电荷量+q．质量为m的粒子。

从某时刻起A点到C点间的粒子，依次以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。

若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。

不计粒子的重力及它们间的相互作用。

（1）求匀强电场的电场强度E：
（2）若带电粒子通过电场后都能沿x轴正方向运动，请推测带电粒子在AC间的初始位置到C点的距离。

（3）若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，求磁场区域的最小半径及相应的磁感应强度B的大小。

【解析】
二、磁场围为圆形
例1．如图所示，在真空室中平面直角坐标系的y 轴竖直向上，x 轴上的P 点与Q 点关于坐标原点O 对称，PQ 间的距离d =30cm 。

坐标系所在空间存在一匀强电场，场强的大小E =1.0N/C 。

一带电油滴在xOy 平面，从P 点与x 轴成30°的夹角射出，该油滴将做匀速直线运动，已知油滴的速度v =2.0m/s 射出，所带电荷量q =1.0×10-7C ，重力加速度为g=10m/s 2。

（1）求油滴的质量m 。

（2）若在空间叠加一个垂直于xOy 平面的圆形有界匀强磁场，使油
滴通过Q 点，且其运动轨迹关于y 轴对称。

已知磁场的磁感应强度大小为B=2.0T ，求：
a ．油滴在磁场中运动的时间t ；
b ．圆形磁场区域的最小面积S 。

【 解析】（1）对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律有
0qE mg -= 所以81.010qE
m g -==⨯kg ……（4分）
（2）带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如图所示，设其做匀速圆周运动
设圆周运动的半径为R 、运动周期为T 、油滴在磁场中运动的时间为t ，根据牛顿第二定律：
所以 20.10mv mv
qvB R R qB =⇒==m
所以 20.1R
T v
==ππs
设带电油滴从M 点进入磁场，从N 点射出磁场，由于油滴的运动轨迹关于y 轴对称，如图所示，根
据几何关系可知60MO N '∠=o ，所以，带电油滴在磁场中运动的时间
20.166
T t =
=
π
s 由题意可知，油滴在P 到M 和N 到Q 的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等。

根据几何关系可
知，sin 300.2
23m cos303
d
R PM NQ -===o
o
所以
油滴在P 到M 和N 到Q 过程中的运动时间130.1
33
PM t t v ==
=s 则油滴从P 到Q 运动的时间1230.20.1
(
3)s 36
t t t t π=++=+0.17≈s ……（8分） （3）连接MN ，当MN 为圆形磁场的直径时，圆形磁场面积最小，如图所示。

根据几何关系圆形磁场的半
径
sin 300.05r R ==o m
其面积为20.0025S r ==ππm 282
7.910m -≈⨯ m 2 ………………（6分） 三、磁场围为矩形
例1：如图所示，直线OA 与y 轴成30θ︒
=角。

在AO y 围有沿y 轴负方向的匀强电场，在AOx 围有一个
矩形区域的匀强磁场，该磁场区域的磁感应强度0.2T B =，方向垂直纸面向里。

一带电微粒电荷量
14210C q -=+⨯，质量20410kg m -=⨯，微粒在y 轴上的某点以速度o v 垂直于y 轴进入匀强电场，并以速
度4
v 310m/s =⨯垂直穿过直线OA ，运动中经过矩形磁场区域后，最终又垂直穿过x 轴。

不计微粒重力，求：(结果保留两位有效数字)
（1）带电微粒进入电场时的初速度o v 多大?
（2）带电微粒在磁场中做圆周运动的半径r
（3）画出粒子运动轨迹图并求出最小矩形磁场区域的长和宽。

解析：带电微粒做类平抛运动4
cos30 2.610m/s o v v ︒==⨯ ①
（2）洛仑兹力提供向心力，有
2
v qvB m r = ②
0.30m mv r qB
== ③
（3）画出粒子的运动轨迹如图所示 ④ 设最小矩磁场区域的长为a 、宽为b ，由数学知识可知 20.60m a R == ⑤
cos30b r r ︒=+ ⑥ 0.56m b = ⑦
例2：如图所示，第四象限有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1，E 的大小为0.5×103V/m ，B 1大小为0.5T ；第一象限的某个矩形区域，有方向垂直于纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合。

一个质量m =1×10-14kg 、电荷量q =1×10-10C 的带正电的微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向成60°角从M 点沿直线运动，经P 点进入第一象限的磁场B 2区域。

一段时间后，小球经过y 轴上的N 点并沿与y 轴正方向成60°角的方向飞出。

M 点的坐标为(0，-10)，N 点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，取g =10m/s 2。

(1)请分析判断匀强电场E 的方向并求出微粒的运动速度v ； (2)匀强磁场B 2为多大?
(3)B 2磁场区域的最小面积为多少? 解析：（1）1q B qE =v ,所以31
1.010E
B =
=⨯v m/s E 方向如图
（2）230.23r OM ==,由2m r qB =v
，得23B =T
（3）最小面积如图阴影部分：330.20.1S =⨯⨯
=m 2
四、磁场围为三角形及其他形状 例1．如图所示，在倾角为30°的斜面OA 的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P ，OP=0.5m.现有一质量 m =4×10－ 20kg ，带电量q =+2×10－14C 的粒子，从小孔以速度v 0=3×104m/s 水平射向磁感应强度B=0.2T 、方向垂直纸面向里的一圆形磁场区域．且在飞出磁场区域后能垂直打在OA 面上，粒子重力不计．求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径； （2）粒子在磁场中运动的时间；
（3）圆形磁场区域的最小面积．
（4）若磁场区域为正三角形且磁场方向垂直向里，粒子运动过程中始终不
碰到挡板，其他条件不变，求：此正三角形磁场区域的最小边长。

解析：（1）由r v m qvB 2=，v
r
T π2=得：m qB mv r 3.0== （2）画出粒子的运动轨迹如图，可知T t 6
5
=
，得： s s qB m t 551023.5103
535--⨯=⨯==ππ
（3）无确定解，圆形面积只能无限接近)(09.02
2
m r s ππ== （4）由数学知识可得：︒
︒
+=
30cos 30cos 2r r L 得：
m qB mv L 99.010
334)134(=+=+=
例2．如图所示，虚线MO 与水平线PQ 相交于O ，二者夹角θ=30°，在MO 左侧存在电场强度为E 、方
向竖直向下的匀强电场，MO 右侧某个区域存在磁感应强度为B 、垂直纸面向里的匀强磁场，O 点处在磁场的边界上.现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面以速度v(0E
v B
≤≤
)垂直于MO 从O 点射入磁场,所有粒子通过直线MO 时，速度方向均平行于PQ 向左.不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： （1）速度最大的粒子自O 点射入磁场至返回水平线POQ 所用的时间.
（2）磁场区域的最小面积.
（3）根据你以上的计算可求出粒子射到PQ 上的最远点离O 的距离，请写出该距离的大小（只要写出最远距离的最终结果，不要求写出解题过程）
【答案】(1) 2(33)m t π+= 或 qB
m
3236π+
30°
P
A
v 0
a b
c
o 1
60°
e g
f
30
P A
v
(2) 22
24
433()m E S q B π-∆=或22
243()34m E
q B π- (3)d=2)2134(qB mE + （qB
mv 2134+ 【解析】（1）(11分)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，周期为
T ，粒子在匀强磁场中运动时间为t 1
则 2mv qBv R = 即mv R qB = 2m
T qB
π= 113t T =
最大速度v m 的粒子自N 点水平飞出磁场，出磁场后做匀速运动至OM ，设匀速运动的时间为t 2， 有：θ
tan v m 2R
t =
过MO 后粒子做类平抛运动，设运动的时间为3t ， 则：233122qE R t m =
又由题知最大速度v m=
B
E
则速度最大的粒子自O 进入磁场至重回水平线POQ 所用的时间123t t t t =++ (1分)
解以上各式得：2(33)m t π+= 或 qB
m
3236π+
（2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM ，则其飞出磁场的位置均应在ON 的连线上，故磁场围的最小面积S ∆是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON 所围成的面积。

扇形'OO N 的面积21
3
S R π=
'OO N ∆的面积为：
2002
3'cos30sin 30S R R ==
又'S S S ∆=-
联立得：22
24433()m E S q B
π-∆=或22
243()3m E q B π-
（3）(4分)粒子射到PQ 上的最远点离O 的距离d=2
)2
134(qB mE + （qB
mv 2
134+扣2分）
例3．如图甲所示，直角坐标系中直线AB 与横轴x 夹角∠BAO=30°，AO 长为a 。

假设在点A 处有一放
射源可沿∠BAO 所夹围的各个方向放射出质量为m 、速度大小均为v 、带电量为e 的电子，电子重力忽略不计。

在三角形ABO 有垂直纸面向里的匀强磁场，当电子从顶点A 沿AB 方向射入磁场时，电子恰好从O 点射出。

试求：
（1）从顶点A 沿AB 方向射入的电子在磁场中的运动时间t ； （2）磁场大小、方向保持不变，改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于三角形ABO 的左侧，要使放射出的电子穿过磁场后都垂直穿过y 轴后向右运动，试求匀强磁场区域分布的最小面积S ； （3）磁场大小、方向保持不变，
现改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于y 轴与虚线之间，示意图见图乙所示，仍使放射出的电子最后都
垂直穿过y轴后向右运动，试确定匀强磁场左侧边界虚线的曲线方程。

解：（1）根据题意，电子在磁场中的运动的轨道半径R=a
由evB=mv2/a 得：B=mv/ea
由T=2πm/eB
t=T/6=πa/3v
（2）有界磁场的上边界：以AB方向发射的电子在磁场中的运动轨迹与AO中垂线交点的左侧圆弧
有界磁场的下边界：以A点正上方、距A点的距离为a的点为圆心，以a为半径的圆弧
故最小磁场区域面积为：
（3）设在坐标（x，y）的点进入磁场，由相似三角形得到：
圆的方程为：
消去（y+b），磁场边界的方程为：
例4.如图所示，方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，是一个半径为r的圆，圆心O1在x轴上，OO1距离等于圆的半径。

虚线MN平行于x轴且与圆相切于P点，在MN的上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的大小为E，方向沿x轴的负方向，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外。

有一群相同的正粒子，以相同的速率，在纸面沿不同方向从原点O射入第Ⅰ象限，粒子的速度方向在与x轴成θ=30˚角的围，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动。

粒子的质量为m，电荷量为q（不计粒子的重力）。

求：
（1）粒子的初速率；
（2）圆形有界磁场的磁感应强度；
（3）若只撤去虚线MN上面的磁场B，这些粒子经过y轴的坐标围。

6.解析：
（1）Eq=qv0B 1分
得：v0=E
B1分（2）设正粒子在圆形有界磁场中做匀速圆周运动的半径R，有：R=r 1分
qv0B′=mv02
R1分
得：B′=mE
qBr1分
（3）沿x轴正方向进入圆形有界磁场的粒子经电场E偏转后，过y轴上点的坐标最大
r =12 Eq
m t 12 1分
Δy 1=v 0t 1 1分
y 1=Δy 1＋r
得：y 1=r ＋
E
B
2mr
Eq
1分
沿与x 轴正方向成θ=30˚角进入圆形有界磁场的粒子经电场E 偏转
后，
过y 轴上点的坐标最小 12r =12 Eq
m t 22 1分
Δy 2=v 0t 2 1分
y 2=Δy 2＋r
得：y 2=r ＋
E
B
mr
Eq
1分 即：r ＋
E B
mr Eq ≤ y ≤r ＋E B 2mr Eq
1分 例5．如图所示，在 xy 坐标系中的一个矩形区域里，存在着沿y 轴负方向的匀强电场，场强E ＝1.0×10２N/C ，该区域的水平宽度为L ＝3.0ｍ，竖直宽度足够大．一带电粒子从y 轴上的A 点（纵坐标为h ＝2.0m ）以初动能E k ＝1.0×10－8J 沿x 轴正方向射出，粒子的带电量为q ＝1.0×10－10 C ，为使粒子通过x 轴上的B 点（横坐标为d ＝ 4.0m ），则该电场区域应处于何位置，求出其左边界位置对应的横坐标？（不计粒子
的重力作用）
8．解析：设粒子的质量为m ，初速度为v 0．则 2
02
1mv E K =
① 粒子在电场的运动规律为 m qE
a =
② 2
2
1at y = ③
t v x 0= ④
由以上各式解得
K
E qEx y 42
= ⑤
讨论：
（1）若粒子从匀强电场通过B 点，则
h y = ⑥ 代入数据解得
22=x m=2.8m ⑦
因为x < L ，且x < d ，所以粒子能从匀强电场B 点通过 这种情况下电场区左边界位置对应的横坐标 x d x -=1=1.2m ⑧
（2）若粒子穿过完整的电场区，因为x = L ，所以y > h ，粒子不能通过B 点
第19题图
（3）若粒子开始时处于电场区射出，离开电场时 at v y = ⑨
''t v y h y y =-= ⑩
''0t v x d x =-= ⑾
由以上各式代入数据解得
224-=x m=1.2m ⑿
这种情况下电场区左边界位置对应的横坐标 L x x -=2=－1.8m ⒀
例6． 如图1所示，在xoy 平面有垂直纸面的有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B ，其中0<x<a 区域磁场方向垂直xoy 平面向里，a<x 区域磁场方向垂直xoy 平面向外，x<0区域无磁场。

一个带正电q 、质量为m 的粒子（粒子重力不计）在坐标原点处，以某一初速度沿x 轴正方向射入磁场。

（1）求要使粒子能进入第二个磁场，初速度要满足的条件；
（2）粒子初速度改为v 1，要使粒子经过两个磁场后沿x 轴负方向经过O 点，求图中磁场分界线（图中虚线）的横坐标值为多少？要在图2中画出轨迹图。

（3）在第二问的情况下，要使带电粒子第二次回到O 点，且回到O 点时的速度方向沿x 轴正方向，请在x<0设计符合要求的磁场，在图2上标明磁场的方向、磁感应强度的大小和边界的坐标？
（4）若粒子在第一个磁场中作圆周运动的轨迹半径为R =a 2 ，求粒子在磁场中的轨迹与x 轴的交点坐标。

25.解：(1) 质子在磁场中受洛仑兹力做匀速圆周运动，根据
牛顿第二定律有：R
v m qvB 2
= 2分
进入第二个磁场的条件：R>a, 2分 初速度满足：m
Bqa
V >
1分 （2）有对称性分析，右边的圆弧的圆心一定在X 轴上， 正确画出轨迹图， 2分
且三段圆弧的圆心正好构成一个正三角形， 所以θ=600 2分 a 点的坐标变为x=Rsin θ=Bq
mv 230
2分
x 0
A
y x=a 第25题图1
x
0 y 第25题图2
（3）5分（答案不唯一，正确的都给分，其中磁感应强度和边界坐标的乘积是常数） (4)
质子在磁场中受洛仑兹力做匀速圆周运动，根据
牛顿第二定律有：R
v m qvB 2
=
得质子做匀速圆周运动的半径为：qB
mv R =, 带电粒子在两个磁场中的
半径都为R=a 2，
分
有sin θ=a/R,得到θ=450
圆心C 的坐标为x C =2Rsin θ=2a y C =－（2a-R ）=a )22(-
-
所以圆方程为222
2)22()2(a a a y a x =-
++- 2分
将y=0代入得x=a )121(2-+
所以交点坐标为（a )121(2-+
，0） 2分
例7. 如图所示,半径为R 的半圆形区域分布着垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ，半圆的左边垂直x 轴放置一粒子发射装置，在-R ≤y ≤R 的区间各处均沿x 轴正方向同时发射出一个带正电粒子，粒子质量均为m 、电荷量均为q 、初速度均为v ，重力忽略不计，所有粒子均能穿过磁场到达y 轴，其中最后到达y 轴的粒子比最先到达y 轴的粒子晚Δt 时间，则 A ．粒子到达y 轴的位置一定各不相同 B ．磁场区域半径R 应满足mv
R Bq
≤
C ．从y 轴
D ．Δt =
m
R qB
v θ-
，其中角度θ的弧度值满足sin BqR m θυ
= 答案：
例8．一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O 。

筒有垂直于纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度为B 。

圆筒下面有相距为d 的平行金属板M 、N ，其中M 板带正电荷．N 板带等量负电荷。

质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子自M 板边缘的P 处由静止释放，经N 板的小孔S 以速度v 沿半径SO 方向射入磁场中．粒子与圈筒发生两次碰撞后仍从S 孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求： (1)M 、N 间电场强度E 的大小； (2）圆筒的半径R:
（3）保持M 、N 间电场强度E 不变，仅将M 板向上平移2/3d ，粒子仍从M 板边缘的P 处由静止释放粒子自进入圆筒至从S 孔射出期间，与圆筒的碰撞次数n 。

x
y O R
B
粒
子发射装置
【答案】(1) 22mv qd (2) (3) 3 【解析】(1)设两极板间的电压为U ，由动能定理得
212
qU mv = ① 由匀强电场中电势差与电场强度的关系得
U=Ed ②
联立上式可得 2
2mv E qd
= ③ (2)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系做出圆心O ’， 圆半径为r ，设第一次碰撞点为
A ，由于粒子与圆筒发生两次碰撞又从S 孔射出，因此SA 弧所对圆心角3AO S π'∠=。

由几何关系得 tan 3r R π
= ④
粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律，得
2
v qvB m r
= ⑤
联立④⑤式得 3R qB
= ⑥ (3)保持M 、N 间电场强度E 不变，M 板向上平移23
d 后，设板间电压为U '，则 33
Ed U U '== ⑦ 设粒子进入S 孔时的速度为v '，由①式看出 2
2U v U v
''= 结合⑦式可得
3
v v '=
⑧ 设粒子做圆周运动的半径为r '，则
3r qB
'= ⑨ 设粒子从S 到第一次与圆筒碰撞期间的轨道所对圆心角为θ，比较⑥⑨两式得到r R '=，可见 2
π
θ= ⑩ 粒子须经过这样的圆弧才能从S 孔射出，故
n =3 ○
11。