2021-2022学年人教A版必修5 1.1.2余弦定理 教案(2)

余弦定理(第一课时)
一、教材分析
余弦定理选自人教A版高中数学必修五第一章第一节。

本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角〞“三边〞的解三角形的问题。

余弦定理的学习有充分的根底，初中的勾股定理、必修一中的向量知识，上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识根底，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。

其次，余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。

二、教学目标
知识与技能：
1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。

2、掌握余弦定理的推导、证明过程。

3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角〞“三边〞问题。

4、能运用余弦定理判断三角形的形状。

过程与方法：
1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。

2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。

3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观：
1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。

2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。

三、教学重难点
重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用
难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。

四、教学用具
普通教学工具、多媒体工具
五、教学过程
温故知新:
1:向量的数量积：θcos ||||b a b a =⋅
2.勾股定理：222c b a =+
新课导入：
在ABC ∆中，当090=∠C 时，222b a c +=，
当090<∠C 时，222b a c +<，
当090>∠C 时，222b a c +>。

提出问题：假设ABC ∆为任意三角形，角C ，BC=a ，CA=b ，求AB 边c.
用向量运算求解，并推导出余弦定理。

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

A bc c b a cos 2222-+=;
B ac c a b cos 2222-+=;
C ab b a c cos 2222-+=;
其及推论：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=；ab
c b a C 2cos 2
22-+=。

结论：那么利用余弦定理，可以解决
（1）三边，求三个角；ab
c b a C 2cos 222-+= （2）两边及夹角，求第三边和其他两个角。

C ab b a c cos 2222-+= 应用举例：类型一：用余弦定理解三角形
例1：在ABC ∆中,AB=3,BC=37,AC=4,求ABC ∆中的最大角。

解： 三边中BC 最大，∴BC 其所对角A 最大，令AB=c ，BC=a ，AC=b ， 根据余弦定理：
21432)37(432cos 222222-=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，
000120,1800=∴<<A A
ABC ∆中的最大角是0
120=A
练习1：在ABC ∆中a=3，b=5，c=7，求角C 。

解：根据余弦定理：213527352cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ab c b a C ，
000120,1800=∴<<C C
例2：在ABC ∆中，32=a ，26+=c ，︒=45B ，求b 及A.
解析：由余弦定理得
练习2：在ABC ∆中，︒===120,6,4C b a ，求边c 的值。

解：由余弦定理得76120cos 6423616cos 2222=︒⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，192=∴c
例3：在ABC ∆中，假设bc c b a ++=222，求角A 。

解析：2122cos ,222222-=-=-+=∴-=-+bc bc bc a c b A bc a c b ，
00120,1800=∴<<A A
练习3：在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，那么此三角形的最大内角是 解：设k c k b k a 7,5,3===，由余弦定理易求得21
cos -=C ，所以最大角
C 为︒120
应用举例类型二：用余弦定判断三角形的形状
例4在ABC ∆中，bc a c b c b a 3))((=-+++且C B A cos sin 2sin =，试确定ABC ∆的形状。

解析：∵(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，
∴a 2＝b 2＋c 2－bc .
又∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，那么2cos A ＝1，∴A ＝60°.
又∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .
又∵B ＋C ＝120°，∴△ABC 是等边三角形．
练习4：在△ABC 中，cos 2
A 2＝b ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，
B ，
C 的对边)，判断△ABC 的形状。

[小结] 判断三角形形状的方法
(1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三边的关系；
(2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和定理得到内角关系，从而判定形状．
六、课堂小结：
知识梳理：1、余弦定理及其推论;2、余弦定理在解三角形的应用；3、体会余弦定理的推导方法中蕴含的数学思想方法。

课堂小结：使学生对所学的知识有个比拟全面的认识，对学生知识网络结构的建立有较好的指导作用。