直线与方程

直线与方程（二）
一、知识概述
本节主要是通过直线的方程，研究直线间的位置关系：平行和垂直，以及两条直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等．本章自始至终贯穿数形结合的思想．在图形的研究过程中，注意代数方法的使用；在代数方法的使用过程中，加强与图形的联系．
二、重难点知识归纳
1、两条直线的交点坐标
联立两方程组成方程组并求解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两直线平行．
2、两点间的距离
对于平面任意两点，，有．
3、点到直线的距离
对于任意一点，直线l:Ax＋By＋C=0．
(1)若直线l平行与x轴，即A=0，此时直线方程为．
点P到直线l的距离．
(2)若直线l垂直于x轴，即B=0，此时直线方程为．
点P到直线l的距离
(3)若直线l既不垂直于x轴，又不平行于x轴．
点P到直线l的距离．
三、典型例题剖析
1、直线系方程及其应用
一般地说具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．
(1)已知直线l:Ax＋By＋C=0，则和l平行的直线系方程为Ax＋By＋m=0(m为参数，m C)．和l垂直的直线系方程为Bx－Ay＋n=0(n为参数)．
x＋B1y＋C1＋(A2x＋B2y＋C2)=0．
(2)经过两直线交点的直线系方程为A
1
:x－2y＋4=0和l2：x＋y－2=0的交点P，并且与直线l3:3x－4y＋例1、求经过两直线l
1
5=0垂直的直线l的方程．
分析：本题可先通过解方程组求出点P的坐标，再利用，求得直线l的斜率，最后利用点斜式求出l的方程，也可用直线系方程求解．
解法1：解方程组，得交点P(0,2)．
，且，．
由点斜式得直线l的方程为4x＋3y－6=0．
解法2：设所求直线l的方程为(x－2y＋4)＋(x＋y－2)=0，
整理得(1＋)x＋(－2)y＋4－2=0．
(＋1)×3＋(－2)×(－4)=0,得=11．
故所求直线l的方程为4x＋3y－6=0．
2、利用两直线的位置关系求参数值
两直线平行或垂直时，斜率满足一定的关系利用这一关系求参数的值是一个重要的题型．
例2、已知直线l:(a－1)x＋y＋a＋1=0及定点A(3,4)，a为何值时，点A到l的距离最大？解析：将直线l的方程化为(a－1)x＋a－1=－y－2．
即y＋2=(1－a)(x＋1)．
直线l恒过定点P(－1,－2)，
当且仅当时，点A到l的距离最大．
，．
即1－a=,.
故当时，点A到l的距离最大．
规律总结：对于点到直线的距离最值问题可用点到直线的距离公式化为函数问题求最值，或利用几何性质，数形结合处理．
3、点线距离公式的应用
点线距离公式的应用较为广泛，如在求直线方程，求参数，求最值等问题中常常用到，且题型变化多，常变常新．
例3、分别过A(6,2)、B(－3,－1)两点的两条直线相平行，并且各自绕着AB旋转，如果两平行线间距离为d．
(1)求距离d的取值范围；
(2)求当d取最大值时两条直线的方程．
解析：设两平行线的斜率为k，则两直线方程分别为
y－2=k(x－6)，y＋1=k(x＋3)，
即kx－y－6k＋2=0，kx－y＋3k－1=0．
，
整理得．
若d=9，则；
若，k R，
，
，．
当直线斜率不存在时，两直线分别为x=6，x=－3，此时d=9．
，此时．
此时两直线分别为3x＋y－16=0，3x＋y＋10=0．
4、对称问题及应用
对称问题有很多应用：光线的反射、在直线上求一点到这条直线同一侧的两点距离之和最小等等都是其对称的重要应用．
例4、已知P(2,3)和直线l:x＋y＋1=0．求
(1)点P关于直线l的对称点；
(2)若一束光线由P点射到l上，反射后经过点Q(1,1)，求入射光线及反射光线的方程．
解析：(1)P点和点关于直线l对称，则且的中点在l上，
又，，，
即x＋y＋7=0．①
又．②
解①②可得x=－4,y=－3．
点的坐标是(－4,－3)．
(2)由光线最短原理知，连线即为反射线，
由两点式，得，即4x－5y＋1=0．
设反射线与l的交点M（x,y），则有，
解得．
所以入射点．PM连线为入射线，
由两点式可知，即5x－4y＋2=0．
故入射光线方程为5x－4y＋2=0，反射光线方程为4x－5y＋1=0．
5、两直线相交的问题
例5、已知两定点A(2,5)，B(-2,1)，直线y=x上有两动点M,N，且|MN|=．如果直
线AM与BN的交点正好落在y轴上，求M,N的坐标以及两直线AM与BN的交点C 的坐标．
解析：设点C的坐标为(0,b)，
可求得AC的方程为．①
BC的方程为．②
①与y=x联立，解得点M的坐标为．
②与y=x联立，解得点N的坐标为．
由|MN|=，得，
解得b=－3或b=1．
所以M(1,1)，N(－1,－1)，C(0,－3)，
或M(－1,－1)，N(1,1)，C(0,1)．
因此，所求点C的坐标是(0,－3)，或(0,1)．。