高中物理万有引力与航天 第1节精品同步学案

第六章万有引力与航天
第1节行星的运动
【学习目标】：
知识与技能
1．知道地心说和日心说的基本内容．
2．知道所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
3．知道所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，且
这个比值与行星的质量无关，但与太阳的质量有关．
4．理解人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，真理是来之不易的．
过程与方法
通过托勒密、哥白尼、第谷·布拉赫、开普勒等几位科学家对行星运动的不同认识，
了解人类认识事物本质的曲折性并加深对行星运动的理解．
情感、态度与价值观
1．澄清对天体运动裨秘、模糊的认识，掌握人类认识自然规律的科学方法．
2．感悟科学是人类进步不竭的动力．
【预习要点】：
要点一开普勒行星运动定律适用于各种天体系统
1．来源：开普勒行星运动定律是在研究行星绕太阳转动，在前人大量地准确观测数据的基础上，利用高超的数学技巧总结出的定律．
2．适用对象
虽然定律来自于行星的规律探究，但实践证明该定律同样适用于其他天体系统，如地—月系统，地—卫系统等．
要点二对开普勒行星运动定律的理解
1．由开普勒第一定律可知，不同行星绕太阳运行时的轨道是不同的，它们的半长轴也各不相同．
2．由开普勒第二定律可知：行星从近日点向远日点运动时，其速率减小，由远日点向
近日点运动时其速率增大．
3．由开普勒第三定律可知：太阳系中任何两个行星均满足：a 3
1T 21＝a 3
2
T 22
＝k ，k 值的大小与
行星无关，而仅与太阳有关．本定律也适用于圆形轨道，只要把半径看成半长轴，即可知道公转周期与半径的关系R
3
T 2＝k.在应用开普勒第三定律解题时，要注意不同的天体系统中k 值
不同．k 值的大小只与被环绕的中心天体有关，也就是说中心天体不同的系统，k 值是不同的，在中心天体相同的系统里k 值是相同的．
4．开普勒三定律是根据行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，其每一条都是经 验定律.
【典例剖析】：
一、开普勒三定律的理解
例1 关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( ) A ．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B ．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C ．离太阳越近的行星的运动周期越长
D ．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 解析 由a
3
T 2＝k 知，半长轴a 越小，公转周期T 越小，C 错误，D 正确．
答案 D
二、开普勒第二定律的应用
例2 我国发射的第一颗人造卫星，其近地点高度是h 1＝439 km ，远地点高度h 2＝2 384 km ，求在近地点与远地点的卫星运动速率之比v 1∶v 2.(已知R 地＝6 400 km ，用h 1、h 2、R 地表示，不计算具体结果)．
解析 根据开普勒第二定律：地球和卫星的连线在相等时间内扫过相同的面积． 卫星近地点和远地点在Δt 内扫过的面积分别为12R 21θ1和12R 2
2θ2，则
12R 21θ1＝12R 2
2θ2 即12R 21ω1Δt ＝12R 2
2ω2Δt 又v 1＝R 1ω1，v 2＝R 2ω2
故v 1R 1＝v 2R 2 所以v 1v 2＝R 2R 1＝R 地＋h 2
R 地＋h 1
答案
R 地＋h 2
R 地＋h 1
方法总结
1．开普勒第二定律不仅适用于以太阳为中心天体的运动，而且也适用于以地球或其他星体为中心天体的运动．
2．由开普勒第二定律可知：行星从近日点向远日点运动，其速率减小，而由远日点向近日点运动，其速率增大．
例3 已知海王星绕太阳运转的平均轨道半径为4.50×1012
m ，地球绕太阳公转的平均轨道半径为1.49×1011
m ，试估算海王星绕太阳运转的周期．
解析 设海王星绕太阳运转的平均轨道半径为R 1，周期为T 1，地球绕太阳公转的轨道半径为R 2，周期为T 2，由开普勒第三定律有R 3
1T 21＝R 3
2
T 22
故T 1＝
R 3
1
R 32
·T 2＝ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4.50×1012
1.49×10113×1年＝166年． 答案 166年 方法总结
天，月球公转周期为1个月.
【课堂练习】：
1．关于行星运动，下列说法正确的是( )
A ．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动
B ．太阳是宇宙的中心，地球是围绕太阳的一颗行星
C ．宇宙每时每刻都是运动的，静止是相对的
D ．不论是日心说还是地心说，在研究行星运动时都是有局限的 答案 CD
解析 宇宙是一个无限的空间，太阳系只是其中很小的一个星系，日心说的核心是认为太阳是行星运动的中心，故选C 、D 正确．
2．发现行星运动规律的天文学家是( ) A ．第谷 B ．哥白尼 C ．牛顿 D ．开普勒 答案 D
3．关于开普勒行星运动的公式a
3
T 2＝k ，下列理解正确的是( )
A ．k 是一个与行星无关的量
B ．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为a 地，周期为T 地；月球绕地球运转轨道的半长轴为a 月，周期为T 月，则a 3
地T 2地＝a 3
月
T 2月
C ．T 表示行星运动的自转周期
D ．T 表示行星运动的公转周期 答案 AD
解析 a
3
T 2＝k 是指围绕太阳的行星或者指围绕某一行星的卫星半长轴与周期的的关系，T
是公转周期，k 是一个与环绕星体无关的量，只与被环绕的中心天体有关，中心天体不同，其值不同，只有围绕同一天体运动的行星或卫星，它们半长轴的三次方与公转周期的二次方之比才是同一常数．故a 3
地T 2地≠a 3
月T 2月
.
4．哈雷彗星绕太阳运动的轨道是比较扁的椭圆，下列说法中不正确的是( ) A ．彗星在近日点的速率大于在远日点的速率 B ．彗星在近日点的角速度大于在远日点的角速度 C ．彗星在近日点的向心加速度大于在远日点的向心加速度 D ．若彗星周期为75年，则它的半长轴是地球公转半径的75倍 答案 D
解析 根据开普勒第二定律，为使相等时间内扫过的面积相等，则应保证在近日点与远日点相比在相同时间内走过的弧长要大．因此在近日点慧星的线速度(即速率)、角速度都较大，故A 、B 正确．而向心加速度a ＝v
2
R
，在近日点，v 大、R 小，因此a 大，故C 正确．根
据开普勒第三定律a 3T 2＝k ，则a 31a 32＝T 2
1T 22
＝752
，即a 1＝35 625a 2，D 错误．
5．已知两个行星的质量m 1＝2m 2，公转周期T 1＝2T 2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为( )
A.a 1a 2＝12
B.a 1a 2＝21
C.a 1a 2＝34
D.a 1a 2＝1
3
4 答案 C
解析 由开普勒第三定律R
3
T
2＝k ，分析得C 项正确．
6．两个质量分别是m 1、m 2的人造地球卫星，分别绕地球做匀速圆周运动，若它们的轨道半径分别是R 1和R 2，则它们的运行周期之比是多少？
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫R 1R 232
解析 所有人造卫星在绕地球运转时，都遵守开普勒第三定律．因此，对这两个卫星有R 3
1T 21＝R 3
2T 22，所以它们的运行周期之比T 1
T 2
＝ R 1
R 2
3
＝(R 1R 2)32
.
7．假设行星绕太阳运动的轨道是圆形，火星与太阳的距离比地球与太阳的距离大53%，试确定火星上一年是多少地球年？
答案 1.9
解析 设地球距太阳距离为R
则火星距太阳为R 火＝R ＋0.53 R ＝1.53 R
由开普勒第三定律R 3
T 2＝k ，得R 3
火T 2火＝R 3
地
T 2地
，代入已知量得T 火＝1.9T 地.
【课内探究】：
题型 ① 关于开普勒定律的理解
月球沿近似于圆的椭圆轨道绕地球运动，其公转周期是27天，关于月球的下
列说法正确的是( )
A ．绕地球运动的角速度不变
B ．近地点处线速度大于远地点处的线速度
C ．近地点处加速度大于远地点处加速度
D ．其椭圆轨道半长轴的立方与公转周期的平方之比是一个与月球质量有关的常数 答案 BC
解析 由开普勒第二定律知，A 错误，B 正确；加速度由万有引力提供，根据GMm
r 2＝ma
知，C 正确；由开普勒第三定律知，a
3
T
2＝k ，而k 与月球的质量无关，故D 错误．
拓展探究 关于太阳系中各行星的运动，下列说法正确的是( ) A ．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆 B ．所有行星绕太阳运行的轨道都是圆 C ．不同行星绕太阳运行的轨道不同 D ．不同行星绕太阳运动一周的时间不同 答案 ACD
题型 ② 开普勒第二定律的应用
如图1所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点距太阳距离为a ，近日点距太阳距离为b ，过远日点时行星的速率为v a ，则过近日点时速率v b 为( )
图1
A ．v b ＝b
a v a B ．v
b ＝
a
b v a C ．v b ＝a
b v a D ．v b ＝
b a
v a 答案 C
解析 若行星从轨道的A 点经足够短的时间t 移动到A ′点，与太阳的连线扫过的面积可表示为S A ＝a ·v a t 2；若行星从轨道的B 点也经时间t 而到B ′点，与太阳的连线扫过的面
积可表示为S B ＝b ·v b t 2，由开普勒第二定律得a ·v a t 2＝b ·v b t 2，即v b ＝a
b
v a ，C 正确．故选C.
拓展探究 某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图2所示，F 1和F 2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A 点的速率比在B 点的大，则太阳是位于( )
图2
A ．F 2
B ．A
C ．F 1
D ．B 答案 A
方法总结
解题的关键就是利用行星和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等. 题型 ③ 开普勒第三定律的应用
如图3所示，2006年8月24日晚，国际天文学联合会大会投票，通过了新的
行星定义，冥王星被排除在行星行列之外，太阳系行星数量将由九颗减为八颗．若将八大行星绕太阳运行的轨迹粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如下表所示
图3
从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( ) A ．80年 B ．120年 C ．165年 D ．200年 答案 C
解析 设海王星绕太阳运行的平均轨道半径为R 1，周期为T 1，地球绕太阳公转的轨道半径为R 2，周期为T 2(T 2＝1年)，由开普勒第三定律有R 3
1T 21＝R 3
2
T 22
，故T 1＝
R 3
1
R 32
·T 2＝164年． 拓展探究 上表中，哪一颗行星的周期最小？最小周期是多少？ 答案 水星 0.24年
解析 由数据表中数据知水星的轨道半径最小，设为R 3＝0.579×1011
m.利用地球绕太阳的公转的已知量，由R 3
2T 22＝R 3
3
T 23
，得T 3≈0.24年．
方法总结
1．开普勒行星运动定律不仅适用于以太阳为中心天体的星系，而且也适用于以其他星
球为中心天体的星系，但不同的星系k 值不同．
2．由于行星的椭圆轨道都跟圆近似，在近似计算中，可以认为行星都以太阳为圆心做匀速圆周运动．在这种情况下，若用R 代表轨道半径，T 代表公转周期，开普勒第三定律可
【课后练习】：
1．16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心说”的如下四个基本论点，这四个论点就目前看存在缺陷的是( )
A ．宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动
B ．地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运转的同时还跟地球一起绕太阳运动
C ．天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象
D ．与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多 答案 ABC
解析 天文学家开普勒在认真整理了第谷的观测资料后，在哥白尼学说的基础上，抛弃了圆轨道的说法，提出了以大量观测资料为依据的三大定律，揭示了天体运动的真相．它们中的每一条都是以观测事实为依据的定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上；行星在椭圆轨道上运动的周期T 和轨道半长轴a 满足a
3
T 2＝恒量，
故所有行星实际并不是在做匀速圆周运动．整个宇宙是在不停地运动的．
2．设行星绕恒星的运行轨道是圆，则其运行轨道半径R 的三次方与其运行周期T 的平方之比为常数，即R
3
T
2＝k ，那么k 的大小( )
A ．只与行星的质量有关
B ．只与恒星的质量有关
C ．与恒星和行星的质量都有关
D ．与恒星的质量及行星的速率有关 答案 B
3．关于天体的运动，下列说法中正确的是( ) A ．天体的运动和地面上物体的运动遵循不同的规律
B ．天体的运动是最完美、最和谐的匀速圆周运动
C ．太阳从东边升起，西边落下，所以太阳绕地球运动
D ．太阳系中所有的行星都绕太阳运动 答案 D
解析 天体的运动与地面上物体的运动都遵循相同的物理规律，都遵守牛顿运动定律等，A 错误，天体的运动轨道都是椭圆而非圆，只是椭圆比较接近圆，有时将椭圆当作圆处理，但椭圆毕竟不是圆，B 错误．太阳从东边升起，又从西边落下，是地球自转的结果，C 错误．
4．某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的1/3，则此卫星运行的周期大约是( )
A ．1～4天之间
B ．4～8天之间
C ．8～16天之间
D ．16～20天之间 答案 B
解析 根据开普勒第三定律可得R 3
月T 2月＝R 3
卫
T 2卫
，即T 卫＝
R 3卫 T 2
月
R 3
月
，又因为T 月≈27天，所以T 卫＝27天≈5.2天，故B 选项正确．
5.
图4
如图4所示是行星m 绕恒星M 运动的情况示意图，则下列说法正确的是( ) A ．速度最大点是B 点 B ．速度最小点是C 点 C ．m 从A 到B 做减速运动 D ．m 从B 到A 做减速运动 答案 C
解析 因恒星M 与行星m 的连线在相同时间内扫过的面积相同，又因BM 最长，故B 点是轨道上的最远点，所以速度最小，所以m 从A 到B 做减速运动，而从B 到A 做加速运动．故C 选项正确．
6．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可
求得( )
A ．火星和地球的质量之比
B ．火星和太阳的质量之比
C ．火星和地球到太阳的距离之比
D ．火星和地球绕太阳运行速度大小之比 答案 CD
解析 由于火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，由开普勒第三定律R
3
T 2＝k ，k 为常量，
又v ＝2πR T
，则可知火星和地球到太阳的运行速度大小之比，所以C 、D 选项正确．
7．两颗人造卫星A 、B 绕地球做圆周运动，周期之比为T A ∶T B ＝1∶8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为( )
A ．R A ∶R
B ＝4∶1，v A ∶v B ＝1∶2 B ．R A ∶R B ＝4∶1，v A ∶v B ＝2∶1
C ．R A ∶R B ＝1∶4，v A ∶v B ＝1∶2
D ．R A ∶R B ＝1∶4，v A ∶v B ＝2∶1 答案 D
解析 因为R 3
T 2＝k ，所以R ∝3T 2
由T A ∶T B ＝1∶8 得R A ∶R B ＝1∶4
又v ＝2πR T 所以v A ∶v B ＝R A T A ·T B R B ＝14·81＝2∶1
故选D.
8．太阳系八大行星公转轨道可近似看做圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比．地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为( )
A.1.2亿千米 B ．2.3亿千米 C ．4.6亿千米 D ．6.9亿千米
答案 B
解析 由开普勒第三定律R 3T 2＝k 知T 2地r 3地＝T 2火r 3火，故r 火＝r 地 3T 2火T 2地
＝2.3亿千米． 9．木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍，那么，木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道的半长轴的多少倍？
答案 5.24倍
解析 木星、地球都绕着太阳沿不同的椭圆轨道运动，太阳在它们的椭圆轨道的一个焦点上．设木星、地球绕太阳运动的周期分别为T 1、T 2，它们椭圆轨道的半长轴分别为a 1、a 2，
根据开普勒第三定律得：a 31T 21＝a 32T 22
则a 1a 2＝ 3T 21T 22
＝3122≈5.24 木星绕太阳运动轨道的半长轴约为地球绕太阳运动轨道半长轴的5.24倍．
10．月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，其运行周期约为27天．现应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多高时，人造地球卫星可随地球一起转动，就像其停留在天空中不动一样．若两颗人造卫星绕地球做圆周运动，周期之比为1∶8，则它们轨道半径之比是多少？(已知R 地＝6.4×103 km)
答案 3.63×104 km 1∶4
解析 月球和人造地球卫星都在环绕地球运动，根据开普勒第三定律，它们运行轨道的半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的．设人造地球卫星运动的半径为
R ，周期为T ＝1天，根据开普勒第三定律有R 3T
2＝k ，同理设月球轨道半径为R ′，周期为T ′，也有R ′3T ′2＝k 由以上两式可得R 3T 2＝R ′3T ′
2 R ＝ 3
T 2T ′2R ′3＝ 3127260R 地3＝6.67R 地
在赤道平面内离地面高度
H ＝R －R 地＝6.67R 地－R 地＝5.67R 地
＝5.67×6.4×103 km ＝3.63×104 km.
由开普勒第三定律R 31T 21＝R 32T 22
又因为T1∶T2＝1∶8，解得R1∶R2＝1∶4。