邵阳一中高一年级上学期期末考试数学试题(含答案)

90°
湖南省邵阳市一中高一年级期末考试
数学试卷
(时量120分钟 满分120分) 第一卷：必修二结业考试卷
一、选择题（每题只有一个答案是正确的，每小题4分,共计40分） 1．直线03=-+y x 的倾斜角是
A ．0
45 B ．0
60 C ．0
120 D ．0
135 2．直线0632=+-y x 在x 轴上的截距与它在y 轴上的截距之和为 A ．1 B ．1- C ．5 D ．5-
3．一个空间几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆， 则这个几何体的体积是 A ．
4
π B ．45π C ．π D ．23π
4．下列命题中正确的是
A ．若一条直线垂直平面内的两条直线，则这条直线与这个平面垂直；
B ．若一条直线平行平面内的一条直线，则这条直线与这个平面平行；
C ．若一条直线垂直一个平面，则过这条直线的所有平面都与这个平面垂直；
D ．若一条直线与两条直线都垂直，则这两条直线互相平行。

5．如图，一个圆锥的侧面展开图是中心角为90°面积为1S 的扇形，若圆锥
的全面积为2S ，则
1
2
S S 等于 A ．
4
5
B ．2
C ．
3
8
D ．
8
9 6．方程01422
2
=++-++a y x y x 表示圆，则a 的取值范围是 A ．6->a B ．5->a C ．5<a D ．4<a 7. 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,正确的是
A. 若β⊂l 且βα⊥,则α⊥l
B. 若β⊥l 且βα//,则α⊥l .
C. 若β⊥l 且βα⊥,则α//l
D. 若m =⋂βα且m l //,则α//l 8．到点)0,1(-和到y 轴的距离相等的点的轨迹方程为
A ．122
-=x y B ．01=+x C ．122
--=x y D ．01=-x 9．直线m y m x -=++2)1(和直线082=++y mx 平行，则m 的值为
A ．1
B ．2-
C ．1或2-
D ．3
2- 10．如图所示，棱长都相等的三棱锥A —BCD 中，E 、F 分别 是棱AB 、CD 的中点，则异面直线AD 与EF 所成的角是
A ．030
B ．045
C ．060
D ．0
90 二、填空题（每题4分，共20分）
11．ABC ∆的三顶点分别是)5,8(-A ，)2,4(-B ，)3,6(-C ，则BC 边上的高
所在的
直线的一般式方程是_______________________
12．经过两直线01232=--y x 和01=-+y x 的交点，并且在两坐标轴上的截距
相等的直线方程为_______________
13．直线3)1(++=x k y 与以点)5,2(-A ，)2,4(-B 为端点的线段AB 有公共点，
则k 的取值范围是________________
14．直径为10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的
小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为__________个 15．已知三棱锥ABC P -中，BC ⊥平面PAC ，PC=1，PB=2，
则PB 与平面PAC 所成的角的大小是 .
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（5分）已知)2,3(-A ，)4,1(B ，求以AB 为直径的圆的标准方程。

17．（5分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，F 是A 1C 1的中点，
连结FB 1、AB 1、FA ，求证：BC 1//平面AFB 1.
1
A
B
A 第二卷
18．（10分）已知函数x x f a log )(=在区间[3，9]上的最大值比最小值大1. （Ⅰ）求a 的值 ； （Ⅱ）解不等式1)12(-<-x f .
19．（10分）将直线043:1=+-a y x l 沿x 轴向左平移1个单位，再沿y 轴向上
平移2个单位得到直线2l . （Ⅰ）求1l 与2l 之间的距离 ；
（Ⅱ） 若2l 与圆0422=-+x y x 相切，求a 的值。

20．（10分）已知函数a x
x f x
+-+
=21
2)( 在区间)1,1(-内有零点，试问)(x f 有几个零点？并证明你的结论，然后求出a 取值范围。

21．（10分）四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，∠SCD =90°，
∠SBC =90°，二面角S —CD —B 为60°，且AB = SC = 4. （Ⅰ）求证：平面SAB ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求三棱锥C —ASD 的体积。

22．（10分）如图，有一块抛物线形钢板，其尺寸如图所示，计划将此钢
板切割成等腰梯形的形状，下底AB 与上底CD 的端点在抛物线上， 且AB 、CD 与抛物线的对称轴垂直。

记2CD x =，梯形面积为S ． （I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）当2
1
=x 时，求梯形ABCD 的外接圆的半径。

参考答案
一、选择题(请将选择题答案填入下列表格中，满分40分)
二、（共2011．0212=+-y x 12．01=-+y x 或032=+y x
13．13-≤≤-k 14．25 15．090
三、解答题
16．解：AB 的中点坐标为)3,1(-，……………………………………………1分 52)42()13(22=-+--=
AB ………………………………………2分
所以圆的半径为5， …………………………………………………3分 所求圆的标准方程为5)3()1(22=-++y x ……………………………5分 17．证明：连结A 1B 交AB 1于G 点，连结FG …………………………1分
∵四边形ABB 1A 1为平行四边形， ∴A 1G =BG
又∵A 1F =C 1F ∴FG // BC 1 ……………………………………………3分 又∵FG ⊂平面AFB 1 BC 1⊄平面AFB 1
∴BC 1//平面AFB 1 …………………………………………………………5分
18．解：（Ⅰ）当1>a 时，由条件得13log 9log =-a a 解得3=a …………………2分 当10<<a 时，由条件得19log 3log =-a a 解得3
1
=a ………………4分 ∴3=a 或3
1
=
a ………………………………………………………5分 （Ⅱ）当3=a 时，得 1)12(log 3-<-x ，解得 3
2
21<<x ………………2分 当31
=
a 时，得 1)12(log 3
1-<-x 解得 2>x . ……………………5分 19．解：（Ⅰ）2l 的方程为0)2(4)1(3=+--+a y x ，…………………………2分 即01143=++-a y x ……………………………………………3分 ∴1l 与2l 之间的距离为
5
11
16
911=
+-+a a ……………………………5分 （Ⅱ）圆的方程为4)2(2
2
=+-y x ，其圆心为（2，0），半径为2，……2分
∴
27216
9110423-=⇒=+++⨯-⨯a a
或7-. ………………………5分
20．解：设1121<<<-x x ，
则=-)()(21x f x f 2
121
2212
21
x x x x --
--+
=)
2)(2(22
212
121
x x x x x x ---+
- ……………………………………………3分
∵1121<<<-x x ∴022
21
<-x x ，
0)
2)(2(212
1<---x x x x ，从而0)()(21<-x f x f
∴ )(x f 在区间)1,1(-是增函数. …………………………………………5分 ∵)(x f 在区间)1,1(-内有零点，
∴ )(x f 在区间)1,1(-内有唯一的零点。

…………………………………6分 由上面的结论可知：0)1()1(<⋅-f f ……………………………………8分 ∴ 6
5
30)12()3121(
-<<-⇒<++⋅++a a a ………………………………10分 21．证明：（Ⅰ）∵DC ⊥BC DC ⊥SC ∴DC ⊥平面SCB
∴DC ⊥SB 且∠SCB 为二面角S —CD —B 的平面角，
则∠SCB =60° 又∵SB ⊥BC ∴SB ⊥平面ABC D ………………… 4分 又∵SB ⊂平面SAB ∴平面SAB ⊥平面ABCD ………………………5分 （Ⅱ）连结AC ，在Rt △SBC 中，SC=4，∠SCB =60°
∴ BC=2，SB=32 ∴ SB S V V ACD ACD S ASD C ⨯⨯=
=∆--31=3
3
832242131=⨯⨯⨯⨯……10分
22．解：（I ）以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点，
建立直角坐标系如图，则 B （1，0），……1分 依题意，可设抛物线的方程为42
+=ax y …2分 由B 点在抛物线上求得4-=a .
∴442
+-=x y ，∴ 点)44,(2x x C - ………3分
∴ )44()(2
12x CD AB S -⋅+==)1)(1(42
x x -+
0(< …………5分
（II ）当21=
x 时，得C （2
1
，3）， 显然ABCD 的外接圆的圆心在y 轴上. ……………………………1分
612
10
3-=--=
BC K ，BC 的中点坐标为（43，23） ∴线段BC 的垂直平分线的方程为)4
3
(6123-=-x y ………………3分 令0=x 得圆心E 坐标为（0，
8
11
） …………………………………4分 ∴梯形ABCD 的外接圆的半径为8
185
641211=
+=BE .…………5分。