2023学年江苏高一下数学同步精品讲义第06讲 向量坐标表示与运算+向量平行的坐标表示(含详解)

第9章平面向量
第06讲向量的坐标表示及运算
课程标准重难点1.掌握向量的坐标表示，会进行向量线性运
算的坐标表示.2.能够利用向量的坐标解决
向量共线(平行)等有关的问题．3.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算.4.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．1.向量的坐标运算
2.定比分点坐标公式及应用
3.向量平行垂直的坐标表示
知识点一向量的坐标表示
1．向量的坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝x i＋y j我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
2．点的坐标与向量坐标的区别和联系
区别
表示形式
不同
向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，
y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既可
以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点二向量的坐标运算
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ
数学公式文字语言表述
向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
知识精讲目标导航
2.已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
知识点三 向量数量积的坐标表示 若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．
知识点四 向量的模向量的模及两点间的距离
|AB →
|＝
x 2－x 1
2＋
y 2－y 12
设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b
|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 思考 若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？ 答案 不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°. 知识点六 向量平行的坐标表示 1．向量平行的坐标表示
一般地，设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 2．若P 1P →＝λPP 2→
，则P 与P 1，P 2三点共线．
(1)当λ∈(0，＋∞)时，P 位于线段P 1，P 2的内部，特别地，当λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点． (2)当λ∈(－∞，－1)时，P 在线段P 1P 2的延长线上． (3)当λ∈(－1,0)时，P 在线段P 1P 2的反向延长线上． 【思考辨析】
1．在平面直角坐标系内，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →
＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．( × ) 2．与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量分别为i ＝(1,0)，j ＝(0,1)．( √ ) 3．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ ) 4．设非零向量a ，b ，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( √ )
5．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( × ) 6．若向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则|a |＝|b |.( × )
7．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2
y 2
.( × )
8．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .( × ) 9．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .( √ ) 10．向量a ＝(1,2)与向量b ＝(4,8)共线．( √ )
考法01 向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →
＝
b .四边形OABC 为平行四边形．
(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →
的坐标； (3)求点B 的坐标． 【方法总结】
在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标． 【跟踪训练】
在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．
例 1
能力拓展
考法02 共线的坐标运算
已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：
(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －1
3b .
【方法总结】 向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 【跟踪训练】
1.已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)
D ．(1,4)
考法03 向量坐标运算的应用
已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12
AB →
，则点C 的坐标为________．
【方法总结】
坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
【跟踪训练】在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；
(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？
考法04 定比分点坐标公式及应用
(1)直线l 上有两点P 1，P 2，在l 上取不同于P 1，P 2的任一点P ，存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2→
，
λ叫做点P 分有向线段P 1P 2所成的比．设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 分P 1P 2所成的比为λ，求P
例 4
例 3
例 2
点的坐标．
(2)如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D 是边AB 的中点，G 是CD 上的一点，且
CG
GD
＝2，求点G 的坐标．
【素养提升】
(1)用有向线段的定比分点坐标公式⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1
＋λx 2
1＋λ，
y ＝y 1
＋λy
2
1＋λ
可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段
所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．
(2)通过定比分点坐标公式的推导与应用，培养逻辑推理和数学运算素养．
考法05 数量积的坐标运算
(1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( )
A ．10
B ．－10
C ．3
D ．－3
(2)已知a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，若(8a －b )·c ＝30，则x 等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【方法技巧】
进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系 (1)|a |2＝a ·a .
(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. (3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2. 【跟踪训练】
1.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，AF →＝2FD →，则BE →·CF →
＝________. 【答案】23
【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,2)，B (0,0)，C (2,0)，E (2,1)，D (2,2)，
例 5
因为AF →＝2FD →，所以AF →＝23
AD →
＝⎝⎛⎭⎫43，0，所以F ⎝⎛⎭⎫43，2.
所以CF →＝⎝⎛⎭⎫43，2－(2,0)＝⎝⎛⎭⎫－23，2，又BE →
＝(2,1)， 所以BE →·CF →＝(2,1)·⎝⎛⎭
⎫－23，2 ＝2×⎝⎛⎭⎫－23＋1×2＝23
.
考法06 向量的模
已知向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)．
(1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |. 【反思感悟】
求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方．
(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【跟踪训练】
1.已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25
考法06 向量的夹角、垂直问题
已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．
(1)求a 与b 夹角的余弦值；
(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值． 【反思感悟】
解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝a ·b
|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22
直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝
a ·b
|a ||
b |
判断
θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
【跟踪训练】
1.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π
6，则实数m 等于( )
A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3
2.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m ,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.
考法07 向量共线的坐标判定
(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( )
A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)
B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2)
C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)
D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4) 【方法技巧】
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 【跟踪训练】
1.已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，判断AB →与AC →
是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
考法08 由向量平行（共线）求参数的值
已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？
【延伸探究】
若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？ 【解题技巧】
根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解． 【跟踪训练】
1.设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)平行，则λ＝________.
考法09 由向量平行（共线）求参数的值
已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭
⎫8，1
2，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线． 【解题技巧】
(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点． (2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线． 【跟踪训练】
1.已知向量OA →＝(k ,12)，OB →＝(4,5)，OC →
＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？
题组A 基础过关练
一、单选题 一、单选题
1．已知向量(2,)a λ=，(1,2)b =-，若a b ⊥，则a b +=（ ） A ．3
B
C
．D
．2．设x ∈R ，向量()2,a x =，()3,2b =-，且a b ⊥，则a b -=（ ） A ．5
B
C
．D ．6
3．已知向量a 与向量b 不共线，()1,1b =，对任意t R ∈，恒有2a tb a b -≥-，则（ ） A ．a b ⊥
B ．()
2a a b ⊥-
C ．()2b a b ⊥-
D ．()()
22a b a b +⊥-
4．已知()2,4a =-，(),1b m =，则“2m <”是“a 与b 的夹角为钝角”的（ ） A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD 内一点，则()
PA PB PC +⋅的最小值是（ ） A ．2- B ．52
-
C ．3-
D ．4-
二、多选题
6．在平面直角坐标系中，以()0,0O ，()1,1A ，()3,0B 为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ） A ．()3,1-
B ．()4,1
C ．()2,1-
D ．()2,1-
7．已知平面上三点坐标为()()()37,46,1,2A B C -，，，若点D 使这四个点构成平行四边形的四个顶点，则点D 的坐标可以是（ ）
分层提分
A ．()01-，
B ．()3-2，
C ．()615，
D ．()2,3
8．已知向量()2,1a =，()3,1b =-，则（ ） A ．a 与a b -的夹角余弦值为25
5
B ．()
//a b a +
C ．向量a 在向量b 上的投影向量的模为10
2
D ．若525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则a c ⊥ 三、填空题
9．已知()2,0a =-，()1,4b =-，若实数λ满足()
a b a λ+⊥，则λ=____________． 10．向量(2,1),(2,3),(,1)a b c m =-=-=-，c ∥b ，则||a c -=___________． 四、解答题
11．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =． （1）若||25b =，且//a b ，求b 的坐标；
（2）若10c =，且2a c +与43a c -垂直，求a 与c 的夹角θ.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．给定两个长度均为2的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为150︒.点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，如图所示.若3
3
OC xOA yOB =
+，其中x ，y R ∈，则x y +的最大值是（ ）
A ．27
B 19
C ．2
D ．472．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，34
BCP π∠=
.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的值为（ ）
A ．2
B ．102
C ．3
D ．1033．设向量()1,2OA =-，(),1OB a =-，(),0OC b =-，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则11
2+a b
的最小值为（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．9
4．已知向量(),2,()1,a x b y =-=，若()22,6a b +=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．
34
π B ．
2
π C ．
3
π D ．6
π
5．已知向量(2,1),(1,)a b t =-=，则下列说法不正确的是（ ） A ．若//a b ，则t 的值为1
2
-
B ．若||||a b a b +=-，则t 的值为2
C ．||a b +的最小值为1
D ．若a 与b 的夹角为钝角，则t 的取值范围是2t <
二、多选题
6．已知向量()1,1,1a =-，(1,1,6b =-，则（ ） A ．向量333,3c ⎛=- ⎝⎭
是与向量a 方向相反的单位向量 B ．2=a b
C ．向量a ，b 的夹角大小为
23
π
D ．若向量()
3,1,62m xa yb =-=+（,x y 为实数），则1x y -=-
7．如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △是全等的等腰直角三角形，12OA =，()1,2,3i B i =处为直角顶点，且O ，1A ，2A ，3A 四点共线.，若点1P ，2P ，3P ，分别是边11A B ，22A B ，33A B 上的动点（包含端点），记113I OB OP =⋅，
222I OB OP =⋅，331I OB OP =⋅，则（ ）
A ．16I =
B ．31I I ≥
C ．32I I ≤
D ．256I ≤≤
三、填空题
8．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则
λ
μ
的最小值为___________．
9．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，M ，N 分别为线段BC ，CD 上的点，且Rt CMN 斜边上的高为1，若，AC x AM y AN =+，则x y +的最小值是______．
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．在Rt ABC ∆中，4CA =，3CB =，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且2MN =，则CM CN ⋅的取值范围为
A ．5
[2,]2
B ．[4,6]
C ．11948
[
,]255 D ．14453
[
,]255
2．已知平面向量a ，b ，c （a 与b 不共线），满足2a b c -==，1c a c b -=-=，设
(),c a b λμλμ=+∈R ，则λμ+的取值范围为（ ）
A ．[)2,2,3⎛
⎤-∞+∞ ⎥
⎝⎦
B ．2,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．[)2,+∞
D ．(],2-∞
3．如图，延长正方形ABCD 的边CD 至点E ，使得DE= CD ，动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A ，若AP AB AE λμ=+，则下列判断正确的是（ ）
A ．满足λ+μ=2的点P 必为BC 的中点
B ．满足λ+μ=1的点P 有且只有一个
C ．满足λ+μ=3的点P 有且只有一个
D ．λ+μ=3
2的的点P 有且只有一个
二、多选题
4．设1A ，2A ，3A ，4A 是两两不同的四个点，若1312A A A A λ=，1412A A A A μ=，且
11
2λμ
+=，则称3A ，4A 调
和分割1A ，2A ．现已知平面上两点C ，D 调和分割A ，B ，则下列说法正确的是（ ） A ．点C 可能是线段AB 的中点 B ．点D 不可能是线段AB 的中点 C ．点C ，D 可能同时在线段AB 上
D ．点C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 三、填空题
5．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 点在正方形内（含边界），且AP AB →
→
=．①
若BP AB →
→
=，则AP BP →→
⋅的值是_______；②若向量AC DE AP λμ→
→→=+，则λμ+的最小值为________．
6．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆x 2＋（y －1）2＝1上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为________． 四、解答题
7．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)C -，(2,0)D ，曲线E 上的动点P 满足||||PC PD +=2l 过D 交曲线E 于A 、B 两点． （1）求曲线E 的方程；
（2）当AC AD ⊥时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；
（3）设(22,2),(22,2)M N ，P 是曲线E 上的任意一点，若OP mOM nON =+，求证：动点(),Q m n 在定圆上运动．
第9章平面向量
第06讲向量的坐标表示及运算
课程标准重难点1.掌握向量的坐标表示，会进行向量线性运
算的坐标表示.2.能够利用向量的坐标解决
向量共线(平行)等有关的问题．3.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算.4.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．1.向量的坐标运算
2.定比分点坐标公式及应用
3.向量平行垂直的坐标表示
知识点一向量的坐标表示
1．向量的坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝x i＋y j我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
2．点的坐标与向量坐标的区别和联系
区别
表示形式
不同
向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，
y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既可
以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点二向量的坐标运算
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ
数学公式文字语言表述
向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
知识精讲目标导航
2.已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
知识点三 向量数量积的坐标表示 若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．
知识点四 向量的模向量的模及两点间的距离
|AB →
|＝
x 2－x 1
2＋
y 2－y 12
设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b
|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 思考 若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？ 答案 不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°. 知识点六 向量平行的坐标表示 1．向量平行的坐标表示
一般地，设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 2．若P 1P →＝λPP 2→
，则P 与P 1，P 2三点共线．
(1)当λ∈(0，＋∞)时，P 位于线段P 1，P 2的内部，特别地，当λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点． (2)当λ∈(－∞，－1)时，P 在线段P 1P 2的延长线上． (3)当λ∈(－1,0)时，P 在线段P 1P 2的反向延长线上． 【思考辨析】
1．在平面直角坐标系内，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →
＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．( × ) 2．与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量分别为i ＝(1,0)，j ＝(0,1)．( √ ) 3．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ ) 4．设非零向量a ，b ，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( √ )
5．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( × ) 6．若向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则|a |＝|b |.( × )
7．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2
y 2
.( × )
8．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .( × ) 9．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .( √ ) 10．向量a ＝(1,2)与向量b ＝(4,8)共线．( √ )
考法01 向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →
＝
b .四边形OABC 为平行四边形．
(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →
的坐标； (3)求点B 的坐标．
【解析】(1)如图，作AM ⊥x 轴于点M ，
则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×2
2＝22，
AM ＝OA ·sin 45° ＝4×2
2
＝2 2.
例 1
能力拓展
∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，
∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，
即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.
(2)BA →＝－AB →
＝⎝⎛⎭⎫32
，－332.
(3)OB →＝OA →＋AB →
＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332
＝⎝
⎛⎭⎫
22－32，22＋332.
∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫
22－32，22＋332
【方法总结】
在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标． 【跟踪训练】
在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．
【解析】设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， c ＝(c 1，c 2)，
则a 1＝|a |cos 45°＝2×2
2＝ 2.
a 2＝|a |sin 45°＝2×2
2
＝2，
b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32
， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝33
2
，
c 1＝|c |cos(－30°)＝4×
3
2
＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭
⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭
⎫
－32，332，c ＝(23，－2)．
考法02 共线的坐标运算
已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：
(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －1
3b .
【解析】(1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－1
3(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 【方法总结】 向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 【跟踪训练】
1.已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)
【答案】A
【解析】设C (x ，y )，则AC →
＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 即x ＝－4，y ＝－2，
故C (－4，－2)，则BC →
＝(－7，－4)．
考法03 向量坐标运算的应用
已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12
AB →
，则点C 的坐标为________．
【答案】(0,2)
【解析】设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝1
2
(－4,2)＝(－2,1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝－2，y －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2，
∴C (0,2)． 【方法总结】
坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
【跟踪训练】在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；
(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．
考法04 定比分点坐标公式及应用
(1)直线l 上有两点P 1，P 2，在l 上取不同于P 1，P 2的任一点P ，存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2→
，
λ叫做点P 分有向线段P 1P 2所成的比．设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 分P 1P 2所成的比为λ，求P 点的坐标． 【解析】设P (x ，y )．
∵P 1P →＝(x －x 1，y －y 1)，PP 2→
＝(x 2－x ，y 2－y )， P 1P →＝λPP 2→，
∴(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －x 1＝λx 2－x ，y －y 1＝λy 2－y
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1
＋λx
2
1＋λ，y ＝y 1
＋λy
2
1＋λ.
(2)如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D 是边AB 的中点，G 是CD 上的一点，且
CG
GD
＝2，求点G 的坐标．例 4
例 3
【解析】∵D 是AB 的中点，
∴点D 的坐标为⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∵CG GD
＝2，∴CG →＝2GD →， 设G 点坐标为(x ，y )，由定比分点坐标公式可得
x ＝x 3＋2×x 1＋x 221＋2
＝x 1＋x 2＋x 33， y ＝y 3＋2×y 1＋y 221＋2
＝y 1＋y 2＋y 33， 即点G 的坐标为⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33. 【素养提升】
(1)用有向线段的定比分点坐标公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋λx 21＋λ，
y ＝y 1＋λy 21＋λ可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段
所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．
(2)通过定比分点坐标公式的推导与应用，培养逻辑推理和数学运算素养．
考法05 数量积的坐标运算
(1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( )
A ．10
B ．－10
C ．3
D ．－3
【答案】B
【解析】∵a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，
∴(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)已知a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，若(8a －b )·c ＝30，则x 等于( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【答案】C
例 5
【解析】由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4. 【方法技巧】
进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系
(1)|a |2＝a ·a .
(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2.
(3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.
【跟踪训练】
1.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，AF →＝2FD →，则BE →·CF →＝________. 【答案】23
【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,2)，B (0,0)，C (2,0)，E (2,1)，D (2,2)，
因为AF →＝2FD →，所以AF →＝23
AD →＝⎝⎛⎭⎫43，0，所以F ⎝⎛⎭⎫43，2. 所以CF →＝⎝⎛⎭⎫43，2－(2,0)＝⎝⎛⎭
⎫－23，2，又BE →＝(2,1)， 所以BE →·CF →＝(2,1)·⎝⎛⎭
⎫－23，2 ＝2×⎝⎛⎭⎫－23＋1×2＝23
.
考法06 向量的模
已知向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)．
(1)求a －2b 及其模的大小；
(2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.
【解析】(1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，
∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
∴|a －2b |＝72＋32＝58.
(2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1，
∴c ＝a ＋b ＝(1,6)，
∴|c |＝12＋62＝37.
【反思感悟】
求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a 2＝|a|2＝x 2＋y 2
例 6
，求模时，勿忘记开方．
(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
【跟踪训练】
1.已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25
【答案】C
【解析】∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5，
又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，
∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.
考法06 向量的夹角、垂直问题
已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．
(1)求a 与b 夹角的余弦值；
(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．
【解析】(1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a |＝42＋32＝5，|b |＝
－12＋22＝5， 设a 与b 的夹角为θ，
所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525
. (2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，
又(a －λb )⊥(2a ＋b )，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝529
. 【反思感悟】
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：由cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22
直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝a ·b |a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
【跟踪训练】
例 6
1.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6
，则实数m 等于( ) A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3
【答案】B
【解析】因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ，
又a ，b 的夹角为π6，所以cos π6＝a ·b |a ||b |，即3＋3m 29＋m
2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3. 2.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m ,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.
【答案】7
【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(m ,1)，
∴a ＋b ＝(－1＋m ,2＋1)＝(m －1,3)．
又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，
即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m ＝7.
考法07 向量共线的坐标判定
(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( )
A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)
B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2)
C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)
D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)
【答案】ABC
【解析】能作为平面内的基底，则两向量a 与b 不平行，A 选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a 与b 不平行；B 选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a 与b 不平行；
C 选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a 与b 不平行；
D 选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a ∥b .
【方法技巧】
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
【跟踪训练】
1.已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，判断AB →与AC →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【解析】因为AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
AC →＝(2－(－1)，5－(
－1))＝(3,6)，因为2×6－3×4＝0，
所以AB →∥AC →，所以AB →与AC →共线．又AB →＝23
AC →，所以AB →与AC →的方向相同． 考法08 由向量平行（共线）求参数的值
已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？
【解析】方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，
a －3
b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，
使k a ＋b ＝λ(a －3b )．
由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．
得⎩⎪⎨⎪⎧
k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，
a －3
b ＝(10，－4)，
∵k a ＋b 与a －3b 平行，
∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13
. 【延伸探究】
若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？
【解析】由例2知当k ＝－13
时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13
(a －3b )， ∵λ＝－13
<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 方法二 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，
a －3
b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，
使k a ＋b ＝λ(a －3b )．
由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．
得⎩⎪⎨⎪⎧
k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 【解题技巧】
根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解．
【跟踪训练】
1.设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)平行，则λ＝________.
【答案】2
【解析】λa ＋b ＝λ(1,2)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，
∵λa ＋b 与c 平行，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0，
∴λ＝2.
考法09 由向量平行（共线）求参数的值
已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭
⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线． 【证明】AB →＝⎝
⎛⎭⎫8－1，12＋3＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，
∵7×4－72
×8＝0， ∴AB →∥AC →，且AB ，AC →有公共点A ，
∴A ，B ，C 三点共线．
【解题技巧】
(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．
【跟踪训练】
1.已知向量OA →＝(k ,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？
【解析】AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，
AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，
若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，
∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )，
解得k ＝－2或11，
又AB →，AC →有公共点A ，
∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C
三点共线．
题组A 基础过关练
一、单选题
一、单选题
1．已知向量(2,)a λ=，(1,2)b =-，若a b ⊥，则a b +=（ ）
A ．3
B
C
．D
．【答案】B 【解析】依题意，0a b ⋅=，故220λ-+=，解得1λ=，故(2,1)a =，(1,3)a b +=，故10a b +=，故选:B ．
2．设x ∈R ，向量()2,a x =，()3,2b =-，且a b ⊥，则a b -=（ ）
A ．
5 B
C ．
D ．6 【答案】B
【解析】因为向量()2,a x =，()3,2b =-，且a b ⊥，
所以620a b x ⋅=-=，解得3x =，即()2,3a =
所以()1,5a b -=-，所以26a b -=.故选： B 3．已知向量a 与向量b 不共线，()1,1b =，对任意t R ∈，恒有2a tb a b -≥-，则（ ）
A ．a b ⊥
B ．()2a a b ⊥-
C ．()2b a b ⊥-
D ．()()
22a b a b +⊥- 【答案】C
【解析】设(),a x y =，则()(),22,2a tb x t y t a b x y -=---=--，
2a tb a b ∴-≥-可化简为 ()()()()222222x t y t x y -+-≥-+- 根据题意，()()()()2222
,22t R x t y t x y ∀∈-+-≥-+-恒成立
即，()()2,240t R t x y t x y ∀∈-+++-≥恒成立 ()()2
4240x y x y ⎡⎤∴=+-⨯+-≤⎣⎦，解得 4x y += 分层提分
()()·,?1,140a b x y x y ==+=≠，选项A 错误；
()()()()22·2,?2,220a a b x y x y x y x y -=--=+-+≠，选项B 错误；
()()()·21,1?2,240b a b x y x y -=--=+-=，选项C 正确；
()()()()222?22,2?2,280a b a b x y x y x y -+=--++=+-≠，选项D 错误.
故选：C.
4．已知()2,4a =-，(),1b m =，则“2m <”是“a 与b 的夹角为钝角”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】a 与b 的夹角为钝角，则要满足1cos ,0-<<a b ，即()224
1,0251a b
m a b m ⋅-=∈-⋅⋅+，解得：2m <且
12
m ≠- 因为11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭是(),2-∞的真子集 所以2m <是“a 与b 的夹角为钝角”的必要不充分条件
故选：C
5．已知ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD 内一点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ） A ．2-
B ．52-
C ．3-
D ．4-
【答案】B
【解析】ABCD 是边长为2的正方形，则以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：
则(0,0),(2,0),(2,2)A B C ，设点(,)P x y ，
(,),(2,),(2,2)PA x y PB x y PC x y =--=--=--，
于是得：)(22,2)(2,2)2(1)(2)2(2)(PA PB PC x y x y x x y y +=--⋅--=---⋅+=22352()2(1)22
x y -+--，
当3,12x y ==时，()PA PB PC +⋅取得最小值52
-， 所以()PA PB PC +⋅的最小值是52
-
. 故选：B
二、多选题 6．在平面直角坐标系中，以()0,0O ，()1,1A ，()3,0B 为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A ．()3,1-
B ．()4,1
C ．()2,1-
D ．()2,1-
【答案】BCD
【解析】设第四个顶点为C ．
对于A 选项，当点C 的坐标为(3,1)-时，||OC =||AB =||4AC =， ||3OB =．∵||||OC AB ≠，||||AC OB ≠，∴四边形ABOC 不是平行四边形．A 不正确；
对于B 选项，当C 点坐标为(4,1)时，因为()1,1OA BC ==，即//OA BC 且=OA BC ，
故OBCA 是平行四边形，B 正确；
对于C 选项，当C 点坐标为(2,1)-时，因为()2,1OC BA ==-，即//OC BA 且=OC BA ，故OBAC 是平行四边形，C 正确；
对于D 选项，当C 点坐标为(2,1)-时，因为()2,1OC AB ==-，即//OC AB 且=OC AB ，故OCBA 是平行四边形，D 正确；故选：BCD ．
7．已知平面上三点坐标为()()()37,46,1,2A B C -，
，，若点D 使这四个点构成平行四边形的四个顶点，则点D 的坐标可以是（ ）
A ．()01-，
B ．()3-2，
C ．()615，
D ．()2,3
【答案】ABC 【解析】由题意，三点坐标为()()()37,46,1,2A B C -，
，， 当平行四边形为ABCD 时，设点D 的坐标为(,)x y ，
则AB DC =，可得(4,6)(3,7)(1,2)(,)x y -=--，即1121x y -=⎧⎨--=-⎩
，解得0,1x y ==-， 即点D 的坐标为()01-，；
当平行四边形为ABDC 时，设点D 的坐标为(,)x y ，
则AB CD =，可得(4,6)(3,7)(,)(1,2)x y -=--，即11
21x y -=⎧⎨+=-⎩
，解得2,3x y ==-，
即点D 的坐标为()3-2，
； 当平行四边形为ADBC 时，设点D 的坐标为(,)x y ，
则AC DB =，可得(1,2)(3,7)(4,6)(,)x y --=-，即42
69x y -=-⎧⎨-=-⎩
，解得6,15x y ==，
即点D 的坐标为()615
，，综上可得，点D 的坐标可能为()01-，或()3-2，或()615，.故选：ABC 8．已知向量()2,1a =，()3,1b =-，则（ ）
A ．a 与a b -
B ．()
//a b a +
C ．向量a 在向量b
D ．若5,5c ⎛= ⎝⎭
，则a c ⊥
【答案】ACD
【解析】对于A ：因为向量()2,1a =，()3,1b =-，所以()50a b -=，
，所以a 与a b -的夹角余弦值为
=
，故A 正确； 对于B ：因为()+1
2a b =-，，所以()
+12+120a b a ⋅=-⨯⨯=，所以()
+a b a ⊥，故B 不正确；
对于C ：向量a 在向量b 上的投影为
(
(23a b b
⨯-=
=
=-⋅，所以向量a 在向量b 上的投影向量
C 正确；
对于D ：因为5,5c ⎛= ⎝⎭
，所以5
2+105a c ⎛⋅=⨯⨯= ⎝⎭，所以a c ⊥，故D 正确，故选：ACD. 三、填空题
9．已知()2,0a =-，()1,4b =-，若实数λ满足()
a b a λ+⊥，则λ=____________． 【答案】2
【解析】因为()2,0a =-，()1,4b =-， 所以(2,4)a b λλλ+=--， 因为()
a b a λ+⊥， 所以2(2)0λ--=， 解得2λ=.故答案为：2.
10．向量(2,1),(2,3),(,1)a b c m =-=-=-，c ∥b ，则||a c -=___________． 【答案】
103
【解析】由c ∥b ，且(2,3),(,1)b c m =-=-， 可知(2)(1)30m -⨯--=，即2
3
m = 所以2(,1)3c =-，8
(,2)3
a c -=-
所以810
()33
a c -=-故答案为：103
四、解答题
11．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =． （1）若||25b =，且//a b ，求b 的坐标；
（2）若10c =，且2a c +与43a c -垂直，求a 与c 的夹角θ. 【解析】（1）设(),b x y =，因为//a b ，所以2y x =．①
又25b =，所以22
20x y +=．②，由①②联立，解得24x y =⎧⎨=⎩或24
x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,4b =或()2,4b =--．
（2）由()()243a c a c +⊥-，得()()22
2438320a c a c a c a c ⋅+-=--⋅=，
又||5,||10a c ==，解得5a c ⋅=，所以5cos [0,π]||||5a c a c θθ⋅==∈⨯， 所以a 与c 的夹角π4
θ=.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．给定两个长度均为2的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为150︒.点C 在以O 为圆心的圆弧AB
上运动，如图所示.若3
3
OC xOA yOB =
+，其中x ，y R ∈，则x y +的最大值是（ ）
A ．27
B ．19
C ．2
D ．47
【答案】A
【解析】建立如图所示的坐标系，
则(2,0)A ，(2cos150,2sin150)B ︒︒， 即(3B -1).
设AOC α∠=，则(2cos ,2sin )OC αα=.
3
3
OC xOA yOB =+ 3
(
∴，30)(y +，1)(cos 2y α=，sin )α. ∴33cos 1sin 2
y
x y αα=⎨⎪=⎪⎩ ∴3sin 32sin x y ααα⎧=⎪
⎨
=⎪⎩
5sin 327)x y αααθ∴+==+，（此时有3
tan θ，θ是个锐角）. 0150α︒︒.
αθ∴+可取到90︒.
x y ∴+有最大值27
故选：A .
2．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，34
BCP π∠=
.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的值为（ ）
A ．2
B ．10210
-
C ．3
D ．10310
-
【答案】B
【解析】设圆C 的半径为r ，则225
55
BC CD r BD ⋅=
==， 以点C 为坐标原点，BC 、CD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则()2,1A -、()2,0B -、()0,1D 、1010P ⎝⎭
，
()0,1AB =-，()2,0AD =，101015AP ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
， 由AP AB AD λμ=+，得()()()101010,12,02,λμμλ⎫-=-+=-⎪⎪⎝⎭
，
所以，221μλ⎧+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，解得11μλ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，因此，2λμ+=. 故选：B.
3．设向量()1,2OA =-，(),1OB a =-，(),0OC b =-，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则11
2+a b
的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．9
【答案】A
【解析】由题设，(1,1)AB OB OA a =-=-，(1,2)AC OC OA b =-=--，A ，B ，C 三点共线，∴AB AC λ=且
R λ∈，则1(1)
21a b λλ-=-+⎧⎨=⎩
，可得21a b +=，
∴
1111()(2)2242222b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当122b a ==时等号成立.∴
112+a b 的最小值为4.故选：A
4．已知向量(),2,()1,a x b y =-=，若()22,6a b +=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．
34
π
B ．
2
π C ．
3
π D ．6
π
【答案】B
【解析】因为(),2,()1,a x b y =-=，且()22,6a b +=，所以222
26x y -=⎧⎨+=⎩得2,4x y ==，
即()(2,1,2,4)a b =-=则()2214
cos ,0a b a b a b
a b
⨯-+⨯⋅<>==
=，
又[],0,a b π<>∈，所以,2
a b π<>=
即a 与b 的夹角为
2
π
．故选：B 5．已知向量(2,1),(1,)a b t =-=，则下列说法不正确的是（ ） A ．若//a b ，则t 的值为1
2
-
B ．若||||a b a b +=-，则t 的值为2
C ．||a b +的最小值为1
D ．若a 与b 的夹角为钝角，则t 的取值范围是2t <
【答案】D
【解析】A 选项，若//a b ，则1
2112
t t -⨯=⨯⇒=-，A 选项说法正确.。