高中江西省宜春市万载中学高一上学期9月月考数学试题

江西省宜春市万载中学【精品】高一上学期9月月考数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合{1,,4}A x =,2{1,}B x =，且B A ⊆，则x = ( ) A ．2,或-2,或0 B ．2,或-2,或0,或1 C ．2
D ．2±
2．已知集合A ＝{x ｜2x －2x －3≤0}，B ＝{x ｜y ＝ln （2－x ）}，则A∩B＝ A ．（1，3）
B ．（1，3]
C ．[－1，2）
D ．（－1，2）
3．函数()21,1
ln ,1
x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩,则()()e (f f =其中e 为自然对数的底数)（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．(
)
ln e 1x
+
4．设112
2
a a m
--=，则21a a
+= ( )
A ．m 2－2
B ．2－m 2
C ．m 2＋2
D ．m 2
5．已知 1.30.7a =,0.23b =,5
0.2log c =,则,,a b c 的大小关系( ) A ．a c b <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
6．若lg lg x y a -=,则3
3
lg lg 22x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．3a
B ．
32
a C ．a
D ．
2
a 7．若指数函数x y a =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（ ）
A
B
C
D
8．函数||22()x y x x R =-∈的图象为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系
y=e kx+b (e=2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是（ ） A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时
D ．28小时
10．函数()f x 在()-∞+∞，
上单调递增，且为奇函数，若(2)3f =，则满足3(1)3f x -+≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[22]-，
B ．[33]-，
C ．[04]，
D ．[31]-，
11．对于函数()lg f x x =定义域内任意1212,()x x x x ≠，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=+； ②1212()()()f x x f x f x ⋅=+；
③
1212
()()
0f x f x x x ->-；
④1212()()
22x x f x f x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
. 上述结论正确的是（ ） A ．②③④ B ．①②③ C ．②③
D ．①③④
12．若函数222
22,2()log (),2
3x x f x a x ax x -⎧≤⎪
=⎨-+>⎪⎩
的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为（ ）
A
．3a ≤+
a ≥； B
．3a ≤
a ≥； C
．3a ≤+
a ≥
D
．3a ≤-
a ≥
二、双空题 13
．映射:f x →2的象为__________，2的原象为__________．
三、填空题
14
．已知34a b ==则
11
a b
+=_____________． 15．方程ln 82x x =-的实数根(,1)x k k ∈+，k Z ∈，则k =________. 16．已知函数()log (1)k f x kx =-在[0,2]上是关于的增函数，则k 的取值范围是_____．
四、解答题
17．已知集合{}1A x a x a =-<<，集合{}
12B x x =-<<. （1）若A B ⋂=∅，求a 的取值范围；
（2）若{}
1,C x m x m C B =-<≤⊆，求实数m 的取值范围. 18．已知函数3
1()log 1x
f x x
+=-． （1）判断()f x 的奇偶性并证明; （2）判断()f x 的单调性，并求当14
25
x -≤≤时，函数()f x 的值域． 19．计算下列各式的值.
(1)
21log 33
9log log 2723
+++；
(2) 1
20.750
3
10.027
()2566----++.
20．已知二次函数()f x 满足()()011f f ==，且()f x 的最小值是3
4
. （1）求()f x 的解析式：
（2）若关于x 的方程()f x x m =+在区间()1,2-上有唯一实数根，求实数m 的取值范围.
21．已知函数()()2,2
01log ,2
x a x f x a a x x ⎧<=>≠⎨≥⎩且，不等式()2f x ≥的解集为M .
（Ⅰ）若2a =，求M ；
（Ⅱ）若()3,M ⊆+∞，求实数a 的取值范围. 22．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R.
(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式[f (x )]2
＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．
参考答案
1．A 【分析】
由题得x 2=x 或x 2=4，且x ≠1，解不等式即得解. 【详解】
解：∵集合A ={1，x ，4}，B ={1，x 2}，且B ⊆A ， ∴x 2=x 或x 2=4，且x ≠1， 解得x =0，±2． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查根据集合的关系求参数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2．C 【解析】
分析：解一元二次不等式得到集合A ，求对数函数的定义域得到集合B ，然后再求交集即可．
详解：由题意得{}
{}2
A x|2x 30x|1x 3x ＝－－≤=-≤≤，
{}{}B x|y ln2x x|x 2=<＝＝－，
∴A∩B＝{}[
)x|1x 21,2-≤<=-． 故选C ．
点睛：本题考查二次不等式的解法、函数定义域的求法和集合的交集，考查学生的运算能力，属于容易题． 3．C 【解析】
∵函数()21,1
ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨
>⎩
， ∴()1f e lne ==，
则()()1112f f e f ⎡⎤==+=⎣⎦， 故选C.
4．C 【分析】
根据指数幂的运算性质，将等式两边平方，进而得到结论. 【详解】 将1122
a a m
--=两边平方得2
1112222a a a a m --⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭
,所以a ＋a －1＝m 2＋2， 而21
1a a a
a
++=
－ ，即21
a a += m 2＋2 故选C. 【点睛】
本题考查负分数指数幂的运算，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键, 考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5．D 【解析】 【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】
∵0＜a ＝0.71.3＜1，b ＝30.2＞1，c ＝log 0.25＜0， ∴c ＜a ＜b ． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．A 【解析】
lg lg x y a -=,lg ,x a y ⎛⎫∴=∴ ⎪⎝⎭33
lg lg 22x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3
332
lg[]lg 3lg 32x x x a y y y ⎛⎫
⎪⎛⎫⎛⎫
⎝⎭=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭
⎪⎝⎭
,故选A. 7．D 【分析】
指数函数单调性不确定，可以分类讨论. 【详解】
指数函数x
y a =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1 则1
a
a 1--= 解得
a=12
故选D 【点睛】
该题考查指数函数单调性，a>1,函数单调递增，0<a<1函数单调递减. 8．A 【分析】
利用函数的奇偶性质及过特殊点判断图象特征. 【详解】
由于函数||
2
2()x y x x R =-∈是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ，
再由0x =时，函数值1y =，可得图象过点(0,1)，故排除C ，从而得到应选A. 【点睛】
根据函数的解析式判断函数的图象，要充分挖掘函数的性质，如单调性、奇偶性、过特殊点等，再从选项逐一进行排除. 9．C 【分析】
首先根据题意得到192b e =，222248k b k b e e e +=⋅=，从而得到111
2
k
e
=
，再将33x =代入e kx b y +=即可得到答案.
【详解】
由题意得192b e =①，222248k b k b e e e +=⋅=②. 将①代入②得2214k
e
=
，则1112
k
e =， 当33x =时，3
33331192242+⎛⎫
==⋅=⨯= ⎪⎝⎭
k b
k
b
y e e
e .
故选：C 【点睛】
本题主要考查指数函数的实际应用，属于简单题. 10．D 【解析】
由奇函数的性质可得：()()223f f -=-=-，
则不等式()313f x -≤+≤即：()()()212f f x f -≤+≤， 结合函数的单调性脱去f 符号有：212,31x x -≤+≤∴-≤≤. 本题选择D 选项.
点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．
11．C 【详解】
由对数的运算性质可得f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)＝f (x 1x 2)，所以①错误，②正确； 因为f (x )是定义域内的增函数，所以③正确；
12
2x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝lg 122x x +， ()()
122
f x f x +＝
12
2
lgx lgx +＝
因为
122
x x +(x 1≠x 2)，
所以lg
12
2
x x +
即12
2
x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭>()()12 2
f x f x +，所以④错误． 故选C. 12．D 【分析】 先确定()2
2
,2x f x x -=≤单调递减，()()21min f x f ==则转化为
()222log 3a f x x ax ⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭在2x >的最小值大于等于f(2)即可.
【详解】
由题函数()2
2
,2x f x x -=≤单调递减，所以在()()2,21min x f x f ≤==;
则()222log 3a f x x ax ⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭在2x >的最小值大于等于f(2)=1；
令t= 22
3a x ax -+，则t≥2在2x >恒成立，即22
3
a x ax -+
-2≥0恒成立， 令g(x)=223a x ax -+
-2,其对称轴x=2a ,22
42,3a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
∴22
4203a a ⎛⎫--≤ ⎪
⎝⎭或()22420
32220a a a g ⎧⎛⎫
-->⎪ ⎪⎝⎭⎪
⎪⎪≤⎨⎪
≥⎪⎪⎪⎩
综上解得3a ≤-
a ≥故选D. 【点睛】
本题考查函数的单调性，二次函数根的分布问题，熟练运用函数单调性，灵活转化为函数
2
2
3
a x ax -+ -2≥0恒成立是本题关键，是难题.
13
4 【解析】
2
，2的原象为224
=．
14．2
【分析】
由指数和对数函数的运算公式，计算即可. 【详解】
由3a=
a=
3
log
4b=，得
b=
4
log.
所以11
a b
+
2
=+=
故答案为:2
【点睛】
本题考查的是指数与对数的互化及对数公式的运算，熟练掌握公式是关键，属于基础题. 15．3
【解析】
【分析】
构造函数f（x）＝lnx+2x﹣8，由函数零点存在性定理可得k值.
【详解】
令f（x）＝lnx+2x﹣8，
∵f（3）＝ln3+6﹣8＜0，f（4）＝ln4+8﹣8＞0，
又函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，
由函数零点存在性定理可知零点在（3，4）上，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查函数零点存在性定理的应用，属于基础题.
16．
1 (0,)
2
【解析】
【分析】
考查内外函数的单调性，结合函数的定义域，即可求实数k的取值范围．【详解】
依题函数可看成是由log k y t =和1t kx =-复合而成.
∵0k >
∴1t kx =-在其定义域上是减函数
由复合函数的单调性法则可知log k y t =在其定义域上为减函数，所以01k <<.
又∵1t kx =-在[]0,2上恒成立
∴(2)120t k =->，即12
k <
. ∴102k << 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.
【点睛】
本题考查对数函数的单调性，考查复合函数的单调区间，体现了数形结合的数学思想．复合函数的单调性的判断方法，即同增异减，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域. 17．(1) 13a a ≤-≥或 (2)(),2-∞
【解析】
试题分析：(1)根据条件A B ⋂=∅进行分类讨论，求出a 的取值范围（2）条件C B ⊆即集合C 是集合B 的子集要进行分类讨论
解析：（1）1a ≤-或3a ≥ .（2）{12}C x x ⊆-<<,
∴①当C =∅ 时，满足要求， 此时1m m -≥， 得12m ≤
; ②当C ≠∅ 时，要{12}C x x ⊆-<<，则1112m m m m -<⎧⎪-≥-⎨⎪<⎩，解得122m <<，由①② 得2m <， ∴实数m 的取值范围(),2-∞.
点睛：注意条件的转换，C B ⊆即集合C 是集合B 的子集要进行分类讨论，首先，集合C 的限制条件为1m x m -<≤，可以为空集，空集是任何集合的子集，然后再讨论不是空集的情况，列出不等式组求解．
18．(1) ()f x 为奇函数.证明见解析；(2) ()f x 在定义域内为增函数．值域[1,2]-.
【解析】
【分析】
（1）由真数为正求出函数的定义域，根据奇函数的定义判定为奇函数（2）判断()f x 单调性利用函数单调性求出函数值域.
【详解】
（1）由10(1)(1)0111x x x x x
+>⇔+->⇔-<<-， ∴此函数定义域为{|11}x x -<<，
1333111()log log log ()111x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭
， ()f x ∴为奇函数.
（2）3312()log log 111x f x x x +⎛⎫==-+ ⎪--⎝
⎭，可得()f x 在定义域内为增函数． ()f x 在区间14,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴函数的值域为14,25f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
， 即[1,2]-为所求.
【点睛】 本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，单调性的判断，值域，属于中档题.
19．（1）17
4；（2）1323
. 【解析】
试题分析：利用根式、指数、对数的计算公式解题。

试题解析：
（1
）22211log 3log 3343933131log log 272log 3log 322673424
-+++=++⨯=-++= （2
）0210.7513110.0272560.3366413263--
-⎛⎫--++=-++= ⎪⎝⎭ 20．（1）2()1f x x x =-+；（2）{}
|014m m m =≤<或 【解析】
【分析】
(1)由题意利用待定系数法可得函数的解析式；
(2)由题意结合函数的解析式和函数的图像，将原问题转化为函数交点个数的问题即可确定m 的取值范围.
【详解】
(1)设函数的解析式为：()()11f x ax x =-+，
函数有最小值，则0a >， 由二次函数的性质可知函数在12x =处取得最小值，即：1113112224f a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 解得：1a =，故函数的解析式为：()()2111f x x x x x =-+=-+.
(2)()f x x m =+即21x x x m -+=+，据此可得：221m x x =-+，
原问题等价于函数y m =与函数221y x x =
-+在区间()1,2-上有且只有一个交点，
绘制函数图像如图所示，
观察可得：实数m 的取值范围是：{}|014m m m =≤<或.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，二次函数解析式的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．（I ）{}412M x x x =≥≤<或；（II ）(
.
【分析】
（Ⅰ）通过分类讨论解不等式可得结果；（Ⅱ）分01a <<和1a >两种情况求出集合M ，再根据集合的包含关系得到关于a 的不等式，解不等式后可得所求范围．
【详解】
（Ⅰ）不等式()2f x ≥等价于2
22log 222x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨≥≥⎩⎩或， 解得124x x ≤<≥，或， ∴{}
412M x x x =≥≤<，或． （Ⅱ）由()2f x ≥得：2
22log 22x x x x a ≥<⎧⎧⎨⎨≥≥⎩⎩或，即242x x x a <⎧≥⎨≥⎩或， ①当01a <<时，由22
x x a <⎧⎨≥⎩，得log 20a x ≤<， ∴{}
log 2,4a M x x x =≤≥或，不满足()3,M ⊆+∞． ②当1a >时，由22x x a <⎧⎨≥⎩，得()2*log 2
a x x <⎧⎨≥⎩， ∵()3,M ⊆+∞，
∴不等式组()*的解集为φ，
∴log 22a ≥
，解得1a <≤
综上可得1a <≤
∴实数a
的取值范围是(.
【点睛】
解答本题时注意分类讨论的利用，特别是第二问中，一定要根据()3,M ⊆+∞来判断出集合M 的元素的特点，进而得到所求的范围，考查分析问题的能力和计算能力．
22．（1）当m ＝0或m ≥2时，方程有一个解；当0<m <2时，方程有两个解．（2）m 的取值范围为(－∞，0]．
【分析】
（1）有一个解、两个解问题，转化成F （x ）=|f （x ）-2|与G(x)=m 有一个交点还是两个交点问题；
（2）不等式[f （x ）]2+f （x ）-m ＞0在R 上恒成立，即4x +2x -m ＞0在R 上恒成立，利用参变量分离法，转化成求4x +2x 的取值范围.
【详解】
(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．
(2)令f(x)＝t(t>0)，t=2x，则H(t)＝t2＋t，（t>0）
因为H(t)＝
2
1
2
t
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
－
1
4
在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，
应有m≤0，
即所求m的取值范围为(－∞，0]．
【点睛】
方程解的个数问题可以转化为两个函数图象的交点的个数问题，已知不等式恒成立，求参数范围，可用参变量分离法，将问题转化为求新函数的值域问题.。