【中小学资料】山西省运城市空港新区2017年高考数学模拟试卷(5)理(含解析)

2017年山西省运城市高考数学模拟试卷（理科）（5）
一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）
1．已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4 B．4+4i C．﹣4 D．2i
2．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2
3．已知等差数列{a n}，a1=﹣2013，其n前项和=（）A．2017 B．3 C．6051 D．﹣2017
4．变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则
实数a的取值集合是（）
A．{﹣3，0} B．{3，﹣1} C．{0，1} D．{﹣3，0，1}
5．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是（）
A．3 B．2 C．6 D．8
6．（文）设函数y=xsinx+cosx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k=g（x0），则函数k=g（x0）的图象大致为（）
A．B．C．
D．
7．下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两
个班的数学平均分为；
②10名工人某天生产同一零件的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；
③从总体中抽取的样本为
，则回归
直线必过点（）
④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=4，则P（ξ＞2）=0.2
其中正确的个数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8．已知，则sin2α=（）
A．B．C．D．
9．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）
A．i≤100 B．i＞100 C．i＞50 D．i≤50
10．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，给定两个平面单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆
弧AB上，且（其中x，y∈R），则满足x+y≥的概率为（）
A．B．C．D．
12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸的相应位置）13．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a= ．
14．已知直线l过抛物线x=的焦点，且被圆x+y2﹣4x+2y=0截得的弦长最长时，直线l的方程为．
15．三棱锥A﹣BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径．
16．已知数列{a n}满足[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，则a25﹣a1= ．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为
；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2 （1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．
19．高三第一学期期末四校联考数学第I卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求出该考生：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分数ξ的数学期望．
20．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，
证明：直线AB过定点（）．
21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0对定义域中的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对任意正整数m，n，不等式++…+＞恒成立．
[选修44：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R．
（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，求a的值；
（2）若g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．
2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（5）
参考答案与试题解析
一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）
1．已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4 B．4+4i C．﹣4 D．2i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数相等的性质求出x，y，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果．
【解答】解：∵x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=﹣1+i，
∴，解得x=3，y=1，
∴（1+i）x+y=（1+i）4=（2i）2=﹣4．
故选：C．
2．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【分析】先求出∁R B，从而根据集合A及A∪（∁R B）=R即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵∁R B={x|x≤1，或x≥2}，
∴若A∪（∁R B）=R；
∴a≥2．
故选C．
3．已知等差数列{a n}，a1=﹣2013，其n前项和=（）A．2017 B．3 C．6051 D．﹣2017
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】设公差为d，由=2，得d=1，从而，由此能求出S2017．
【解答】解：∵{a n}为等差数列，∴为等差数列，
设公差为d，∵ =2，
∴d=1，，
∴S2017=2017×3=6051．
故选：C．
4．变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则
实数a的取值集合是（）
A．{﹣3，0} B．{3，﹣1} C．{0，1} D．{﹣3，0，1}
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：
由z=ax+y得y=﹣ax+z，
若a=0时，直线y=﹣ax+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．
若﹣a＞0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=﹣ax+z与y=x﹣2平行，
此时﹣a=1，解得a=﹣1．
若﹣a＜0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=﹣ax+z与y=﹣3x+14平行，
此时﹣a=﹣3，解得a=3．
综上满足条件的a=3或a=﹣1，
故实数a的取值集合是{3，﹣1}，
故选：B．
5．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是（）
A．3 B．2 C．6 D．8
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可．
【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，
后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为： =，
所以后面三角形的面积为：×4×=2．
两个侧面面积为：×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，
四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．
故选C．
6．（文）设函数y=xsinx+cosx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k=g（x0），则函数k=g（x0）的图象大致为（）
A．B．C．
D．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先根据导数的几何意义写出g（x）的表达式．再根据图象的对称性和函数值的分布，逐一判断．
【解答】解：由题意，得g（x）=xcosx，因为g（﹣x）=﹣g（x）所以它是奇函数，
k=g（x0）=y′（x0）=x0cosx0，图象关于原点对称，排除A，C，排除B，C．
又当0＜x＜1时，cosx＞0，∴xcosx＞0，知D项不符合，
故选：B．
7．下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两
个班的数学平均分为；
②10名工人某天生产同一零件的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；
③从总体中抽取的样本为
，则回归
直线必过点（）
④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=4，则P（ξ＞2）=0.2
其中正确的个数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】由平均数的定义，计算即可判断①；
运用平均数、中位数和众数的定义，即可判断②；
由线性回归直线必过样本中心点，即可判断③；
由ξ服从正态分布N（0，σ2），即曲线关于y轴对称，求得P（ξ＜﹣2），即可判断④．
【解答】解：①由题意可得这两个班的数学平均分为，故①错；
②由题意可得a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7，b=15，c=17，
即有c＞b＞a，故②错；
③由线性回归方程的特点，可得回归直线必过样本中心点（），故③对；
④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＜﹣2）=0.5﹣0.4=0.1，则P（ξ＞2）=P（ξ＜﹣2）=0.1，故④错．
故选：D．
8．已知，则sin2α=（）
A．B．C．D．
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】比较题设条件与结论，可知应利用角的关系2α=（α+β）+（α﹣β）求解．【解答】解：∵sin2α=sin[（α+β）+（α﹣β）]=sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β），
又∵，
∴﹣＜α﹣β＜0，π＜α+β＜，
∴sin（α﹣β）=﹣，cos（α+β）=﹣，
∴sin2α=（﹣）×﹣×（﹣）=﹣．
故选：A．
9．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）
A．i≤100 B．i＞100 C．i＞50 D．i≤50
【考点】EF：程序框图．
【分析】由题意可知，首先是判断框中的条件满足，所以框图依次执行循环，框图执行第一
次循环后，S的值为，执行第二次循环后，S的值为前2项的和，满足
时，此时I的值为100，判断框中的条件应该不满足，算法结束，由此得到判断框中的条件．【解答】解：框图首先给累加变量S赋值为0，I赋值2，
此时判断框中的条件满足，执行S=0+，I=2+2=4；
此时判断框中的条件满足，执行S=0++，I=4+2=6；
此时判断框中的条件满足，执行S=0+++，I=6+2=8；
…
观察规律可知：
判断框中的条件满足，执行S=，I=100+2=102；
此时判断框中的条件不满足，
故判断框内应填入的一个条件为I≤100．
故选：A．
10．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】KA：双曲线的定义；HR：余弦定理．
【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．
解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．
【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，
由余弦定理得
cos∠
F1PF2=
∴|PF1|•|PF2|=4．
法2；由焦点三角形面积公式得：
∴|PF1|•|PF2|=4；
故选B．
11．如图，给定两个平面单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆
弧AB上，且（其中x，y∈R），则满足x+y≥的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】9V：向量在几何中的应用．
【分析】根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则由
得x，y的值，从而求得x+y，结合正弦函数的性质可求满足条件的角α的范围，可求
【解答】解：建立如图所示的坐标系，
则A（1，0），B（cos120°，sin120°），
即B（﹣）
设∠AOC=α，则=（cosα，sinα）
∵=（x，0）+（﹣，）=（cosα，sinα）．
∴
∴
∴x+y=sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．
∴30°≤α+30°≤150°．
当x+y≥时，可得sin（α+30°）
∴45°≤α+30°≤135°即15°≤α≤105°，
∴满足x+y≥的概率P==
故选B
12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），可以令x=﹣1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x ﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利
用数形结合的方法进行求解；
【解答】解：因为 f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数
令x=﹣1 所以 f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），f（﹣1）=f（1）
即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）
f（x）是周期为2的偶函数，
当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2
图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线
∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
∵f（x）≤0，
∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
令g（x）=log a（|x|+1），
如图要求g（2）＞f（2），可得
就必须有 log a（2+1）＞f（2）=﹣2，
∴可得log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜又a＞0，
∴0＜a＜，
故选A；
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸的相应位置）13．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a= ﹣1 ．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】根据x2产生的两种可能分别得到其系数的等式解出a．
【解答】解：因为（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则=5，即10+5a=5，解得a=﹣1；
故答案为：﹣1．
14．已知直线l过抛物线x=的焦点，且被圆x+y2﹣4x+2y=0截得的弦长最长时，直线l的方程为x+y﹣1=0 ．
【考点】K8：抛物线的简单性质；QK：圆的参数方程．
【分析】求出抛物线焦点与圆心坐标，故当直线l经过圆心时弦长最长，利用两点式求出直线方程．
【解答】解：抛物线标准方程为y2=4x，焦点坐标为（1，0），
圆的圆心坐标为（2，﹣1），
∴当直线l经过圆心（2，﹣1）时，弦长最长，
故直线l的方程为，即x+y﹣1=0．
故答案为：x+y﹣1=0．
15．三棱锥A﹣BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L3：棱锥的结构特征．
【分析】法一：内切球球心O到各面的距离相等，如图，可以推断出球心在AB和CD的中点的连线的中点，求出OH即可．
法二：先求四面体的体积，再求表面积，利用体积等于表面积和高乘积的，求出内切球半径．
【解答】解：法一：易知内切球球心O到各面的距离相等．
设E、F为CD、AB的中点，则O在EF上且O为EF的中点．
在△ABE中，AB=6，AE=BE=4，OH=．
解法二：设球心O到各面的距离为R．
4×S△BCD×R=V A﹣BCD，
∵S△BCD=×6×4=12，
V A﹣BCD=2V C﹣ABE=6．
∴4××12R=6．
∴R=．
16．已知数列{a n}满足[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，则a25﹣a1= 300 ．【考点】8H：数列递推式．
【分析】由[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，当n=2k（k∈N*），可得：a2k+3a2k+1=1+6k，n=2k﹣1（k∈N*），可得：3a2k﹣1+a2k=1﹣6k+3，于是a2k+1﹣a2k﹣1=4k﹣1，利用“累加求和”方法与等差数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，
∴n=2k（k∈N*），可得：a2k+3a2k+1=1+6k，
n=2k﹣1（k∈N*），可得：3a2k﹣1+a2k=1﹣6k+3，
∴a2k+1﹣a2k﹣1=4k﹣1，
∴a25=（a25﹣a23）+（a23﹣a21）+…+（a3﹣a1）+a1
=（4×12﹣1）+（4×11﹣1）+…+（4×1﹣1）+a1=﹣12+a1=300+a1．
则a25﹣a1=300，
故答案为：300．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为
；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
【考点】HO：已知三角函数模型的应用问题．
【分析】（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|
（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．
【解答】解：（1）因为图象的最高点为
所以A=，
由图知y=Asinϖx的周期为T=12，又T=，所以ω=，所以y=
所以M（4，3），P（8，0）
|MP|=
（2）在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）
由正弦定理得，
所以NP=，MN=
设使折线段赛道MNP为L则
L=
=
=
所以当角θ=30°时L的最大值是．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2 （1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．
【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）当t=时，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，根据线面平行
得到PA∥MN，从而，即PM=PC，从而求出t的值；
（2）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
先求出平面MQB的法向量，取平面ABCD的法向量设所求二面角为θ，
根据公式即可求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．
【解答】解：（1）当t=时，PA∥平面MQB
下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，
∴…
PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，
平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN…
即：PM=PC∴t=…
（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．．
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，
四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，
Q为AD中点，∴AD⊥BQ…
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为
x ，y ，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为
A （1，0，0），
B （0，，0），Q （0，0，0），P （0，0，
）
设平面MQB 的法向量为
，可得
而PA ∥MN ∴，
取z=1，解得…
取平面ABCD 的法向量
设所求二面角为θ，
则故二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小为60°…
19．高三第一学期期末四校联考数学第I 卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求出该考生： （1）得40分的概率； （2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分数ξ的数学期望．
【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为，有一
道题目做对的概率为，有一道做对的概率为，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．
（2）由题意知可能得到的分数是25，30，35，40，结合每一个分数对应的事件，根据相互独立事件和互斥事件做出每一种分数的概率，比较出大小．
（3）根据第二问所做出的结果，列出随机变量的分布列，算出期望值．
【解答】解：（1）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率
为，
有一道题目做对的概率为，有一道做对的概率为，
∴所得40分的概率为
（2）依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40
得25分做对了5题，其余3题都做错了，
∴概率为
得30分是做对5题，其余3题只做对1题，
∴概率为
得35分是做对5题，其余3题做对2题，
∴概率为
得40分是做对8题，
∴概率为
∴得30分的可能性最大
（3）由（2）得ξ的分布列为：
∴
20．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，
证明：直线AB过定点（）．
【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K3：椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，再根据a2=b2+c2可求得a；
（Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为：y=kx+m，联立直线AB 方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及k1+k2=8可得关于k，m的关系式，消m代入直线AB方程可求得定点坐标；（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，由已知可求得AB方程，易验证其过定点；
【解答】（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，a2=8，
故椭圆方程为： =1．
（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，
则．
由已知 k1+k2=8，可得，
所以，即．
所以，整理得．
故直线AB的方程为，即y=k（）﹣2．
所以直线AB过定点（）．
（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，
设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），
由已知，得．
此时AB方程为，显然过点（）．
综上，直线AB过定点（）．
21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0对定义域中的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对任意正整数m，n，不等式++…+＞恒成立．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出f（x）的导数，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由于f（1）=﹣，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不
是恒成立的．当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上取得最小值为f（1）=﹣，由此能求出实数a的取值范围．
（3）由（2）知，当a=﹣时，f（x）≥0，当且仅当x=1时，等号成立，这个不等式等价于lnx≤x2﹣x．由此能够证明对任意的正整数m，n，不等式恒成立．
【解答】解：（1）∵f′（x）=+x﹣（1+a），
①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；
若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；
单调增区间是（0，a），（1，+∞）．
③当a=1时，则f′（x）=≥0，
故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
④当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；
函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=﹣，
当a＞0时，f（1）＜0，
此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．
当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=﹣，
此时，f（1）≥0，解得a≤﹣，
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）．
（3）由（2）知，当a=﹣时，
f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0，当且仅当x=1时，等号成立，
这个不等式等价于lnx≤x2﹣x．
当x＞1时，变换为＞=﹣，
因此不等式左边＞（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=，从而得证．
[选修44：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．
【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．
【解答】解：（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y ﹣3）2=9．
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，
由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，
∴，
又直线过点（1，2），故结合t的几何意义得
=，
∴|PA|+|PB|的最小值为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R．
（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，求a的值；
（2）若g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．
【分析】（1）由f（x）≤a，得≤x≤．再根据不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x
≤1}，可得，由此解得a的值．
（2）根据g（x）=的定义域为R，可得|2x﹣1|+|2x+1|+m≠0恒成立．求得|2x﹣1|+|2x+1|的最小值为2，可得m的范围．
【解答】解：（1）由f（x）≤a，得≤x≤．
因为不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，所以，解得a=1．
（2）g（x）==的定义域为R，可得|2x﹣1|+|2x+1|+m ≠0恒成立．
∵|2x﹣1|+|2x+1|≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，∴m＞﹣2．。