2018年秋高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象学案 新人教A版必修4

1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象
学习目标：1.理解参数A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响；能够将y ＝sin x 的图象进行变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象．(难点)2.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图；能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点)3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响
2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响
3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响
，ω＞0中参数的物理意义
[基础自测]
y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.( )
(2)y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝sin 2x .( )
(3)y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝1
2
sin
x ．( )
[解析] (1)错误．y ＝sin 3x 的图象向左平移
π4个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝
sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫3x ＋34π. (2)错误．y ＝sin 2x 应改为y ＝sin 1
2x .
(3)错误．y ＝1
2sin x 应改为y ＝2sin x .
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π
4，π
C ．0，π，2π，3π，4π
D ．0，π4，π3，π2，2π
3
B [2x 应依次取0，π2，π，3π2，2π，所以描出的五点的横坐标可以是0，π4，π
2，
3π
4
，π.] 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为5，则A ＝________. 4 [由已知得A ＋1＝5，故A ＝4.]
4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π6的频率为________，相位为________，初相为________．
1
3x ＋
π
6取0，π2，π，3π
2
，2π即可找到五点．
[解] 先画函数在一个周期内的图象．令X ＝3x ＋π6，则x ＝13⎝
⎛⎭⎪⎫
X －π6，列表
[规律方法] 1.用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点．
2．用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤是： 第一步：列表：
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． [跟踪训练]
1．已知f (x )＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，画出f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象． [解] 列表：
(1)将函数y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋3的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为______________________．
(2)将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象？
【导学号：84352114】
[思路探究] (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式． (2)法一：y ＝sin x →纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移． 法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．
的图象向左平移π3个单位长度，
＝－2cos 2x ，
]
2倍，得到
y 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，得y ＝2sin 2x 的图
⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π8的图象；
法二：(先平移法)①将y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移
π4个单位，得y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4的
图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；④将所得图象
沿y 轴向上平移1个单位，得y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．
[规律方法] 由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y ＝sin x ――――→相位变换
y ＝sin(x ＋φ)――――→周期变换
y ＝sin(ωx ＋φ) ――――→振幅变换
y ＝A sin(ωx ＋φ)．
(2)y ＝sin x ――――→周期变换
y ＝sin ωx ――――→相位变换
y ＝sin ωx ＋ ⎦
⎥⎤
⎭⎪⎫φω＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换
y ＝A sin(ωx ＋φ)．
提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的
地方，应特别注意．
[跟踪训练]
2．(1)要得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π
8个单位
B ．向右平移π
8个单位
C ．向左平移π
4个单位
D ．向右平移π
4
个单位
(2)把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π
6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，
再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，则f (x )的解析式是
( )
【导学号：84352115】
A ．f (x )＝3cos x
B ．f (x )＝3sin x
C ．f (x )＝3cos x ＋3
D ．f (x )＝sin 3x
(1)A (2)A [(1)因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4
＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4
＝sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π8，
所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移π
8个单位，
得到y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象． (2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3―――――→纵坐标伸长到原来的3
2
倍
y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π3
――――――→横坐标缩短
到原来的1
2
倍
y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3
y ＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋π
6＋π
3
＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x ．]
的部分图象
图1­5­1
A ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－π4＋4
B ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π4＋4 C ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－π4＋2 D ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π4＋2 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2，且图象如图1­5­2所示，求
其解析式．
图1­5­2
[思路探究] 由最大(小)值求A 和B ，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ. (1)A [(1)由函数f (x )的最大值和最小值得
A ＋
B ＝6，－A ＋B ＝2，所以A ＝2，B ＝4，
函数f (x )的周期为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2×4＝4π，又ω＞0， 所以ω＝12，又因为点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，6在函数f (x )的图象上 所以6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＋4，所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝1， 所以π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，所以φ＝2k π－π4，k ∈Z ，又|φ|＜π
2
所以φ＝－π4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π4＋4.]
(2)法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6＝π，所以ω＝2，
又由点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0，
根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－π6×2＋φ＝0得φ
＝π
3
， 所以f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 法二：(方程法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6＝π，所以ω＝2，
又图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，－π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，
所以f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
法三：(变换法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6＝π，所以ω＝2，且f (x )＝
A sin(ωx ＋φ)是由y ＝3sin 2x 向左平移
π
6
个单位而得到的，解析式为f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
[规律方法] 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－φω，0作为突破
口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π
；
“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ“第五点”为ωx ＋φ＝2π. [跟踪训练]
3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象与x M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，求f (x )的解
2.
，故T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2π
π＝2.
2sin ⎝ ⎭⎪2×3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，
∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
1．如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴．
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )，则x ＝k ＋
π－2φ
2ω
(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴
方程为x ＝
k ＋
π－2φ
2ω
(k ∈Z )；
函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φ
ω
(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝
k π－φ
ω
(k ∈Z )．
2．如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称中心？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点．
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝
k π－φ
ω
(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝
⎛⎭
⎪
⎫k π－φω，0(k ∈Z )
成中心对称；
函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π
2(k
∈Z )，则x ＝
k ＋
π－2φ
2ω
(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点
⎝
⎛⎭
⎪⎫k ＋
π－2φ
2ω，0(k ∈Z )成中心对称．
(1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，且f (x )在区间
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A.2
3 B.143 C.
26
3
D.383
(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R 上的偶函数，其图象关于点
M ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值.
【导学号：84352116】
[思路探究] (1)先由题目条件分析函数f (x )图象的对称性，何时取到最小值，再列方
程求ω的值．
(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.
(1)B [(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以直线x ＝π6＋
π32＝π4是函数f (x )图象的一条对称轴，
又因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，
所以当x ＝π
4
时，f (x )取得最小值．
所以π4ω＋π3＝2k π－π2，k ∈Z ，解得ω＝8k －10
3，(k ∈Z )
又因为T ＝2πω≥π3－π6＝π
6，所以ω≤12，又因为ω＞0，
所以k ＝1，即ω＝8－103＝14
3
.]
(2)由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴f (x )在x ＝0时取得最值，即 1. 依题设0≤φ＜π，∴解得φ
k π，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z .
故φ＝π2，ω＝2或2
3
.
母题探究：1.将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，0对称，且在
区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数”改为“在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2
，π2上为增函数”，试求ω的最大值．
[解] 因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0 因为f (x )＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤－
π2ω，π2ω上是增函数．
所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2
，π2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，于是⎩⎪⎨⎪⎧
ω＞0
，
－3π2
≥－π2
ωπ2≤π2ω
，解得0＜ω≤1
3
，
所以ω的最大值为1
3
.
2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y ＝f 2
(x )＋sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π8，π8的最大值．
[解] 由条件知f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8得2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22
，22
y ＝f 2(x )＋sin 2x ＝cos 22x ＋sin 2x ＝1－sin 22x ＋sin 2x ＝－(sin 2x －12)2＋54
所以当sin 2x ＝12时y max ＝54
.
[规律方法] 1.正弦余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和余弦型函数y ＝A cos(ωx ＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数，当φ＝k π±π
2(k ∈Z )时为偶函
数；对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数，当φ＝k π±π
2(k ∈Z )时
为奇函数．
2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( )
A ．3π，13，π
6
B ．6π，13，π
6
C ．3π，3，－π
6
D ．6π，3，π
6
B [y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6的周期T ＝2π13＝6π，振幅为13，初相为π
6
.]
2．函数f (x )＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
x －π3的图象的一条对称轴是( )
【导学号：84352117】
A ．x ＝－π
2
B ．x ＝π2
C ．x ＝－π
6
D ．x ＝π6
C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－12， 所以直线x ＝－π
6
是函数f (x )的图象的一条对称轴．]
3．函数y ＝cos x
倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．
12 [函数y ＝cos x 纵坐标不变，横坐标变为y 4．由y ＝3sin x 的图象变换到的图象主要有两个过程：先平移后伸
缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位.
【导学号：84352118】
x y ＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋π3
，
2倍，纵坐标不变
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.] 5．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6＋3(x ∈R )，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上
的图象．
图1­5­3 [解](1)列表：。