北师大版八上第五章《三元一次方程组》示范课课件

x y z 23, ①

x

y

1,
②
2x y z 20. ③
解：由方程②得：x＝y＋1．④
把④分别代入①③，得
2y＋z＝22， ⑤ 3y－z＝18． ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
y 8, z 6.
把y＝8代入④，得x＝8＋1＝9． 经检验，x＝9，y＝8，z＝6适合原方程组．
4．总结求解三元一次方程组的整体思路——消 元，实现三元--二元一元的转化．在消元过程中， 消“谁”都行，用那种消法（代入法、加减法）也 可，但如果选择合适，可提高计算的效率．
解方程：
x y z 26, ①
（1）2x-y+z 18, ②

x-y

1.
③
3x 2 y z 8. ③
解：②－①，得x＋2y＝7，④
①＋③，得4x＋3y＝18．⑤
解由④⑤组成的二元一次方程组，得
x 3,

y

2.
把x＝3，y＝2代入①，得z＝5． 经检验，x＝3，y＝2，z＝5适合原方程组．
所以原方程组的解是 x 3,

y

2,
z 5.
三元一次方程组
问题1．已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比 乙数大1，甲数的两倍与乙数的和比丙数大20，求这 三个数．
在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z， 由题意可得到方程组：
x y z 23,

x

y

1,
2x y z 20.
在这个方程组中，x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝ 20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次 数都是1，这样的方程叫做三元一次方程（linear equation with three unknowns）．
所以原方程组的解是 x 9,

y

8,
z 6.
由上例的解法，可知： 1．三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程 组的消元进行； 2．用代入消元法：由于方程组③式的特点，可将 ③式分别代入①②式，消去x，从而转化为关于y，z的 二元一次方程组的求解；
3．用加减消元法：由于③式中没有含z，可以将 ①，②式联立相加，消掉z，从而得到关于x，y的二元 一次方程组的求解；

x

y(1+5%) ③ Nhomakorabeaz 200.
答：七、八、九年级的学生人数分别为231人、 220人、200人．
x 3 y 2z 2， ① 例1 解方程组 3x 2 y 4z 3，②
2x y 7． ③
分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程 ③不含有字母z，而①，②中的未知数z的系数成倍数 关系，故可用加减消元法消去字母z，然后将所得的方 程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解， 即可得到原方程组的解．
解：由方程③得，x＝y＋1， ④
把④分别代入①③，得
2y＋z＝25，⑤ y＋z＝16．⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
y 9,

z

7.
把y＝9代入④，得x＝10． 经检验，x＝10，y＝9，z＝7适合原方程组．
所以原方程组的解是 x 10,

y

9,
z 7.
x y z 10, ① （2）2x 3 y z 17, ②
像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成 的一组方程，叫做三元一次方程组（system of linear equations with three unknowns）
三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数； ③未知数同时满足三个等量关系 .
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个 三元一次方程组的解．
2．三元一次方程组的解法；
三元
消元
二元
消元
一次方程组
一次方程组
一元 一次方程
注意选好要消的“元”，选好要消的“法”：代入消
元、加减消元；
3．谈谈求解多元一次方程组的思路，提炼化归的思想．

y

8,
z 2
D ． x 3,

y

8,
z 1
2x 4 y 3z 9, 2．方程组 3x 2 y 5z 11, 中，未知数__y__的 系数成倍数关系，5x解此6方y 程7组z 首1先3 考虑消去未知数
____较简单，得到关于________的二元一次方程组为
c 3.
答：原来的三位数是243．
3x y 2z 3, 1．方程组 2x y 3z 11, 的解是（ D ）
x y z 12
A． x 3,

y

6,
z 3
B ． x 5,

y

4,
z 3
C． x 2,
a 3,
b

1 2
.
把 b 1 代入②，得c＝﹣1．
经检验，2 a＝3， b

1
，c＝﹣1适合原方程组．
2
所以原方程组的解是 a 3,
b

1 2
,
c 1.
x y z 2, ①
(2)

x

2
y

z

1,
②

x

2
y

3z

1.
③
解：①－②，得y＝1．
把y＝1分别代入①③，得
x＋z＝1，④
x＋3z＝﹣3．⑤
解由④⑤组成的二元一次方程组，得
x 3, 经检验，x＝3，z y＝12，z＝﹣2适合原方程组．
所以原方程组的解是
x 3,

y

1,
z 2.
本节课主要学习了以下内容： 1．三元一次方程组的概念；
解：①×2＋②，得5x＋8y＝7，④ x 3，
解由③④组成的二元一次方程组，得

y

1．
把x＝3，y＝﹣1代入①，得z＝1．
经检验，x＝3，y＝﹣1，z＝1适合原方程组．
所以原方程组的解是

x y

3， 1，
z 1．
例2 某个三位数是它各位数字和的27倍，已知百位 数字与个位数字之和比十位数字大1，再把这个三位数 的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位 数，新三位数比原三位数大99，求原来的三位数．
解：设百位数字为a、十位数字为b，个位数字为 c，则这个三位数为100a＋10b＋c，由题意，得
a c b 1, 27(a b c) 100a 10b c, 100a 10b c 99 100c 10b a.
a 2, 解得 b 4,
某校初中三个年级共有651人，八年级的学生比 九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级多 5%，求三个年级各有多少学生？
解：由题意设七，八，九年级的学生人数分别为 x，y，z人，得方程：
x y z 651 ①
x 231,

y

z(1+10%)
②
解得

y

220,
___y_______________．
8x 13z 31, 4x 8z 20
x，z
3．解下列三元一次方程组．
a 2b 4 0，① (1)2b c 0， ②
a 4b c 0. ③
解：③－②，得a－6b＝0．④
解由①④组成的二元一次方程组，得