初中数学沪科八年级下17.3一元二次方程根的判别式
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当方程有两个相等的实数根时， △ = 0；
当方程没有实数根时， △ ＜0。
例 不解方程，判别下列方程的根 的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
15x2 3x 2 0
解： （ 3）2 45（ 2） 49＞0 原方程有两个不相等的实数根。
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
b2 4ac
b2 4ac 0
例2：已知关于 x 的方程 x2 3x k 0， 问 k取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
解： （ 3）2 41 k 9 4k
（2）当b2-4ac=0时 ， b2 4ac 0 ，因此，方
程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
;
（3）b2-4ac＜0时， b2 4ac在实数范围内无意义。
因此方程没有实数根。
可见，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的情况
由b2-4ac来确定。我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
⑴ 方程有两个不相等的实数根
9 4k ＞0 解得 k ＜ 9
当
k＜
9
4
时，原方程有两个不相等的实数根
4
⑵ 方程有两个相等的实数根
9 4k 0 解得 k 9
当k9
4
时，原方程有两个相等的实数根
⑶
9
当k
＞449k＜时0，原解方得程k没＞有实94 数根
2 25y2 4 20y
解：原方程可变形为25y2 20 y 4 0 （ 20）2 4 25 4 0
原方程有两个相等的实数根。
3 2x2 3x 1 0
解： （ 3）2 4 21 5＜0
原方程没有实数根。
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不 相等的实数根。
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这 方面的知识主要用来求取值范围等问题.
个相等的实数4根，且a ，b ，c 满
足 b 3a 2c 。试判断ABC的
形状。
解 原方程有两个相等的实数根
a 41 1 (2b c) 0 4
a 2b c 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 a c 又 b 3a 2c c a b c
1 2x2 5x 4 0 2 7t2 5t 2 0 3 x(x 1) 3 43y2 25 10 3y
2.在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 （ A ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
前面，通过配方，得到一元二次方程ax2 +bx+c = 0
(a≠0)的求根公式： x b b2 4ac 2a
因为a ≠0,所以 （1）当b2-4ac>0时， b2 4ac 是正实数，因此， 方程有两个不相等的实数根：
b x1
b2 4ac 2a
, x2 b
b2 4ac 2a
ABC是等边三角形。
问题 设关于x的方程,x2 2mx 2m 4 0 证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相 等的实数根。
解 : 4m2 4 2m 4
4m2 8m 16
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
利用公式法解下列方程
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 源自20 y 3 2x2 3x 1 0
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有
什么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
ax2+bx+c=0（a≠0)的根的判别式，通常用符号“△”来 表示，即△ =b2-4ac.
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0),
当△ ＞0时，有两个不相等的实数根；
当△ = 0时，有两个相等的实数根；
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有:当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0；
4
1.方程 x2 a ax 有等根时,实数 a
的个数是( c )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
2. 关于 x 的一元二次方程
(m 1)x2 2mx m 0
有两个实数根，则m的取值范围为
m≥0且m≠1
设ABC的三边为a ，b ，c，方程
x2 a x 1 (2b c) 0 有两
当方程没有实数根时， △ ＜0。
例 不解方程，判别下列方程的根 的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
15x2 3x 2 0
解： （ 3）2 45（ 2） 49＞0 原方程有两个不相等的实数根。
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
b2 4ac
b2 4ac 0
例2：已知关于 x 的方程 x2 3x k 0， 问 k取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
解： （ 3）2 41 k 9 4k
（2）当b2-4ac=0时 ， b2 4ac 0 ，因此，方
程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
;
（3）b2-4ac＜0时， b2 4ac在实数范围内无意义。
因此方程没有实数根。
可见，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的情况
由b2-4ac来确定。我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
⑴ 方程有两个不相等的实数根
9 4k ＞0 解得 k ＜ 9
当
k＜
9
4
时，原方程有两个不相等的实数根
4
⑵ 方程有两个相等的实数根
9 4k 0 解得 k 9
当k9
4
时，原方程有两个相等的实数根
⑶
9
当k
＞449k＜时0，原解方得程k没＞有实94 数根
2 25y2 4 20y
解：原方程可变形为25y2 20 y 4 0 （ 20）2 4 25 4 0
原方程有两个相等的实数根。
3 2x2 3x 1 0
解： （ 3）2 4 21 5＜0
原方程没有实数根。
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不 相等的实数根。
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这 方面的知识主要用来求取值范围等问题.
个相等的实数4根，且a ，b ，c 满
足 b 3a 2c 。试判断ABC的
形状。
解 原方程有两个相等的实数根
a 41 1 (2b c) 0 4
a 2b c 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 a c 又 b 3a 2c c a b c
1 2x2 5x 4 0 2 7t2 5t 2 0 3 x(x 1) 3 43y2 25 10 3y
2.在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 （ A ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
前面，通过配方，得到一元二次方程ax2 +bx+c = 0
(a≠0)的求根公式： x b b2 4ac 2a
因为a ≠0,所以 （1）当b2-4ac>0时， b2 4ac 是正实数，因此， 方程有两个不相等的实数根：
b x1
b2 4ac 2a
, x2 b
b2 4ac 2a
ABC是等边三角形。
问题 设关于x的方程,x2 2mx 2m 4 0 证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相 等的实数根。
解 : 4m2 4 2m 4
4m2 8m 16
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
利用公式法解下列方程
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 源自20 y 3 2x2 3x 1 0
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有
什么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
ax2+bx+c=0（a≠0)的根的判别式，通常用符号“△”来 表示，即△ =b2-4ac.
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0),
当△ ＞0时，有两个不相等的实数根；
当△ = 0时，有两个相等的实数根；
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有:当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0；
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1.方程 x2 a ax 有等根时,实数 a
的个数是( c )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
2. 关于 x 的一元二次方程
(m 1)x2 2mx m 0
有两个实数根，则m的取值范围为
m≥0且m≠1
设ABC的三边为a ，b ，c，方程
x2 a x 1 (2b c) 0 有两