(新人教A版)2019高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元测试(一)选修2-2

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数i(2－i)＝（ ） A ．1＋2i
B ．1－2i
C ．－1＋2i
D ．－1－2i
2．|21＋i |＝（ ）
A ．2 2
B ．2
C ． 2
D ．1
3．设x ∈R ，则“x＝1”是“复数z ＝(x 2
－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的（ ） A ．充分必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若复数i 3i
()12i
a a ∈++R,为虚数单位是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．－2
B ．4
C ．－6
D ．6
5．设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z|＝（ ）
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．2
6．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y)i ，则x ＋y 等于（ ） A ．1＋52
i
B ．－1＋5
2
I
C ．1－52
i
D ．－1－5
2
i
7．当z ＝1－i 2时，z 100＋z 50
＋1的值等于（ ）
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
8．已知复数z 满足2－i
z ＝1＋2i ，则z ＝（ ）
A ．4＋3i
B ．4－3i
C ．－I
D ．i
9．复数z ＝m －2i
1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．已知复数z ＝
i ＋i 2
＋i 3
＋…＋i
2013
1＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为（ ） A ．2cos α
2
B ．－2cos α
2
C ．2sin α
2
D ．－2sin α
2
12．设z ＝(2t 2
＋5t －3)＋(t 2
＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是（ ）
A ．z 对应的点在第一象限
B ．z 一定不为纯虚数
C ．z 对应的点在实轴的下方
D ．z 一定为实数
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z·z ＋z ＝_________________． 14．若复数z 满足z ＝|z|－3－4i ，则z ＝_________________．
15．i 是虚数单位，若复数()(12i i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为________． 16．已知复数()i ,z a b a b =+∈R 且1i a
-＋b 1－2i ＝53＋i
，则复数z 在复平面对应的点位于第__________象限．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2
－3(i ＋1)m －2(1－i)是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数？
18．（12分）已知关于x 的方程x 2
＋(k ＋2i)x ＋2＋ki ＝0有一实根，求这个实根以及实数k 的值．
19．（12分）已知复数x 2
＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R)是复数4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．
20．（12分）设z ∈C ，求适合z 2
＝z －的复数z ．
21．（12分）设z ＝log 2(1＋m)＋ilog 12(3－m)(m ∈R)．
（1）若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； （2）若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．
22．（12分）已知复数z 1＝i(1－i)3
， （1）求1z ；
（2）若|z|＝1，求|z －z 1|的最大值．
答 案
一、选择题．
【解析】i(2－i)＝1＋2i ． 2．【答案】C
【解析】∵21＋i ＝1－i ，∴|21＋i |＝|1－i|＝2，故选C ．
3．【答案】A
【解析】z 是纯虚数⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－1＝0，
x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A ．
4．【答案】C 【解析】∵
()()()()()3i 12i 632i 3i 12i 12i 12i 5
a a a a +-++-+==++-为纯虚数， ∴60
320a a +=⎧⎨-≠⎩
，∴6a =-．故选C ．
5．【答案】A
【解析】由1＋z 1－z ＝i 得，z ＝－1＋i 1＋i ＝()()()()1i 1i 1i 1i -+-+-＝i ，故|z|＝1，故选A ．
6．【答案】D
【解析】设x ＝it(t ∈R 且t≠0)，于是2ti －1＋i ＝y －(3－y)i ， ∴()i 121(i 3=)t y y -++--， ∴1213y t y =-⎧⎨+=--⎩，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
t ＝－52y ＝－1．∴x ＋y ＝－1－5
2
i ．故选D ．
7．【答案】D
【解析】z 2＝12(1－2i －1)＝－i ，z 50＝(－i)25
＝－i ，
z 100
＝(－i)2
＝－1，故原式＝－i ．故选D ． 8．【答案】D
【解析】由2－i z ＝1＋2i ，得z ＝2－i 1＋2i ＝()()2125i i --＝2－4i －i －25＝－i ，
∴i z =．故选D ． 9．【答案】A
【解析】z ＝m －2i 1＋2i ＝()()()()2i 12i 12i 12i m --+-＝1
5
，
其实部为m －45，虚部为()215m -+，由()40
210
m m ->⎧⎪⎨-+>⎪⎩，得⎩⎪⎨
⎪⎧
m>4m<－1，此时无解．
故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A ．
【解析】∵i,41
1,42i i,431,4n
n k n k n k n k
=+⎧⎪-=+⎪=⎨-=+⎪⎪=⎩，k ∈Z ，
∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i
2013
＝503×(i＋i 2＋i 3＋i 4)＋i
2013
＝503×0＋i ＝i ，
∴z ＝i 1＋i ＝()()()i 1i 1i 1i -+-＝1＋i 2，在复平面内的对应点(12，1
2
)在第一象限．故选A ．
11．【答案】B
＝2＋2cos α＝
4cos
2
α
2
， ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α
2＜0，∴
4cos
2
α2＝－2cos α
2
．故选B ． 12．【答案】C
【解析】∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2
＋1>0，∴z 对应的点在实轴的上方． 又∵z 与z 对应的点关于实轴对称，∴故选C ．
二、填空题． 13．【答案】6－2i
【解析】∵z ＝1－2i ，∴z ＝1＋2i ，
∴z·z ＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i ． 14．【答案】7
6
－4i
【解析】设复数()i ,z a b a b =+∈
R ，
则3
4a b ⎧⎪=⎨=-⎪⎩，∴764a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴z ＝76－4i ． 15．【答案】－2
【解析】()()()i 12i i 212a a a =-+++-是纯虚数，∴20a +=，即2a =-． 16．【答案】四 【解析】∵a 、b ∈R 且
1i a
-＋b 1－2i ＝53＋i
，即()()1123252a i b i i ++-+=， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4bi ＝15－5i ， ∴5215545a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得7
10a b =⎧⎨=-⎩
．
∴复数i =710i z a b =+-在复平面内对应的点位于第四象限．
三、解答题．
17．【答案】（1）m ＝1或2；（2）m≠1且m≠2；（3）m ＝－1
2
．
【解析】z ＝(2＋i)m 2
－3(i ＋1)m －2(1－i)＝2m 2
＋m 2
i －3mi －3m －2＋2i
＝(2m 2
－3m －2)＋(m 2
－3m ＋2)i ．
（1）由m 2
－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．
（2）由m 2－3m ＋2≠0得m≠1且m≠2， 即m≠1且m≠2时，z 为虚数．
（3）由⎩
⎪⎨⎪⎧
2m 2－3m －2＝0
m 2
－3m ＋2≠0，得m ＝－1
2
，
即m ＝－1
2
时，z 为纯虚数．
18．【答案】方程的实根为x ＝2或x ＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝22． 【解析】设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 2
0＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k)i ＝0，
由复数相等的充要条件得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
0＋kx 0＋2＝02x 0＋k ＝0，
解得⎩⎨
⎧
x 0＝2
k ＝－22
或⎩⎨
⎧
x 0＝－2k ＝22
，
∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝22． 19．【答案】－3．
【解析】因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ， 由题意得x 2
＋x －2＋(x 2
－3x ＋2)i ＝4＋20i ，
根据复数相等的充要条件，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋x －2＝4， ①x 2
－3x ＋2＝20. ②
方程①的解为x ＝－3或x ＝2． 方程②的解为x ＝－3或x ＝6． ∴实数x 的值为－3．
20．【答案】z ＝0或1或－12＋32i 或－12－3
2i ．
【解析】解法一：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)， 则z 2
＝(x ＋yi)2
＝x 2
－y 2
＋2xyi ， z －＝x －yi ，∴x 2＋y 2
＋2xyi ＝x －yi ．
由复数相等得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2－y 2
＝x ，
2xy ＝－y ，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝0，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝0，或⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝±3
2，x ＝－12.
∴所求的复数z ＝0或1或－12＋32i 或－12－3
2
i ．
解法二：对z 2＝z －两边取共轭复数得z －2＝z ，将z －＝z 2代入得z 4
＝z ， ∴z ＝0或z 3
＝1，
∴z ＝0或z ＝1或z ＝－12±3
2
i ．
21．【答案】（1）{x|－1<m<0}；（2）m ＝1±2．
【解析】（1）由已知，得()()212log 10,log 30,m m +<⎧⎪
⎨-<⎪⎩①
②
解①得－1<m<0．解②得m<2． 故不等式组的解集为{x|－1<m<0}， 因此m 的取值范围是{x|－1<m<0}．
（2）由已知得，点(log 2(1＋m)，log 1
2(3－m))在直线x －y －1＝0上，
即log 2(1＋m)－log 1
2(3－m)－1＝0，
整理得log 2＝1．
从而(1＋m)(3－m)＝2，即m 2
－2m －1＝0，
解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m>0，且3－m>0． 故m ＝1±2．
22．【答案】（1
）（2）22＋1．
【解析】（1）z 1＝i(1－i)3
＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)， ∴
1z =
（2）解法一：|z|＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|
．
当sin(θ－π
4)＝1时，|z －z 1|取得最大值9＋42，
从而得到|z －z 1|的最大值22＋1．
解法二：|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0，0)的圆，而z1对应坐标系中的点()
-．
2,2
∴|z－z1|的最大值可以看成点()
-到圆上的点距离最大，则|z－z1|max＝22＋1．
2,2。