【易错题】高三数学下期中试题及答案(4)

【易错题】高三数学下期中试题及答案(4)
一、选择题
1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S
B ．5S
C ．6S
D ．7S
2．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6
B π
=，4
C π
=
，
则ABC ∆的面积为（ ） A ．223+
B ．31+
C ．232-
D ．31-
3．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2
cos 22C a b a
+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
4．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）
A ．3
B ．8
C ．12
D ．24
5．已知,,a b R +∈且11
5a b a b
+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]
B ．[)2,+∞
C ．(2,4)
D ．(4,)+∞
6．设实数,x y 满足242210
x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩
，则1
y x +的最大值是（ ）
A ．-1
B ．
12
C ．1
D ．
32
7．若不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．(]0,1
C ．41,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
U
8．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞⋃+∞
上的如下函数： ①()3
f x x =；
②()x
f x e =；
③()f x x =
；
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
9．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸
B ．二尺五寸
C ．三尺五寸
D ．四尺五寸
10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2
cos 22A b c c
+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
11．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018
B ．2019
C ．4036
D ．4037
12．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或1
3
- B ．-3或
13
C ．3或
13
D ．-3或13
-
二、填空题
13．若变量,x y 满足约束条件12,
{20,20,
x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.
14．若
为等比数列
的前n 项的和，
，则=___________
15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）． 16．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______. 17．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足
222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V 3，则ab =__
18．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 19．对一切实数x ，不等式2
||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______
20．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？
三、解答题
21．已知数列中，
，
. （1）求证：是等比数列，并求
的通项公式； （2）数列
满足
，求数列
的前项和
.
22．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
cos cos 2cos 0a C c A b B ++=. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若ABC ∆的面积为
33
4
，其外接圆的半径为533，求ABC ∆的周长.
23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；
（2）若3a =，ABC △的面积为
33
2
，求11b c +的值．
24．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求
12111
n
S S S ++⋯+． 25．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令
，求证：数列
是等比数列．
（3）令1
1
n n n c a a +=
，求数列{}n c 的前n 项和n S . 26．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b a a ++=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明1
4
n T <.
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】
本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据正弦定理，
，解得
，
，并且
，所以
考点：1．正弦定理；2．面积公式．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用平方化倍角公式和边化角公式化简2
cos
22C a b a
+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】
22cos 2a b a
C +=Q 1cos sin sin 22sin C A B
A ++\
=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Q
sin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =
sin 0C ≠Q
cos 0A ∴=即0A = 90
ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】
本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2
cos
22C a b a
+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

【详解】
由题意可知，数列{}n a 为等差数列，所以18363a a a a +=+=， ∴由等差数列的求和公式可得1888()83
1222
a a S +⨯=== ，故选C 。

【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，及前n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

5．A
解析：A 【解析】
分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，
又11
5a b a b
++
+=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
， 化为()()2
540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4.
点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
由约束条件确定可行域，由
1
y
x
+
的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率求得答案．
【详解】
由约束条件
24
22
10
x y
x y
x
-≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪-≥
⎩
，作出可行域如图，
联立
10
220
x
x y
-=
⎧
⎨
+-=
⎩
，解得A（
1
1
2
，），
1
y
x
+
的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率，
由图可知，
1
13
2
12
PA
k
+
==最大．
故答案为
3
2
．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．
7．D
解析：D
【分析】
要确定不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出
0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】
不等式组0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，
由0
22y x y =⎧⎨+=⎩
得()10
B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…
„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范
围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
U 故选：D 【点睛】
平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．
8．C
解析：C
【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函
数”；
对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数(
)f x =()
(
)
1n n f a f a +==
=，该函数为“保等比数
列函数”；
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函
数”.故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，
n S 是其前n 项和，则()19959985.52
a a S a +=
==尺，
所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2
cos
22A b c c
+=，所以1cosA 22b c
c ++=
,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2
π
==
，,选A.
【点睛】
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】
由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且
20182019
00a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802
240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩
，所以使前n 项和
0n S >成立的最大正整数n 是4036.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.
12．C
解析：C 【解析】
很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：(
)2
31113S a q q
=++=，①
且：()21322a a a +=+，即()2
11122a q a a q +=+，②
①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1
9
13a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
综上可得：公比q =3或1
3
. 本题选择C 选项.
二、填空题
13．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-
【解析】
由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
作出可行域如图，
联立12
{20
x y x y +=-=，解得()84A ，
，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，
时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14．-7【解析】设公比为q 则8a1q=-a1q4所以q3=-8S6S3=q6-1q3-1=q3+1=-8+1=-7
解析：-7 【解析】 设公比为，则
，所以
．
．
15．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题
【解析】 【分析】
根据两个和的关系得到公差条件，解得结果. 【详解】
由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-. 【点睛】
本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比满足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果【详解】因为无穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所
解析：(0,2)(2,4)U . 【解析】 【分析】
首先根据无穷等比数列{}n a 的各项和为2，可以确定其公比满足01q <<，利用等比数列各项和的公式得到
1
21a q
=-，得到122a q =-，分01q <<和10q -<<两种情况求得1
a 的取值范围，得到结果. 【详解】
因为无穷等比数列{}n a 的各项和为2， 所以其公比q 满足01q <<，且1
21a q
=-， 所以122a q =-， 当01q <<时，1(0,2)a ∈， 当10q -<<时，1(2,4)a ∈，
所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4)U ， 故答案是：(0,2)(2,4)U . 【点睛】
该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.
17．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛
解析：4 【解析】
由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos C ，根据同角三角函数基本关系式可得sin C ，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】
222sin sin sin sin sin A B C A B +=+Q ，
∴由正弦定理可得，222ab c a b +=+，即：222a b c ab +-=，
∴由余弦定理可得，2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
可得sin C ==
，
ABC QV 1sin 2ab C ==，
∴解得4ab =，故答案为4． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
18．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析：1231n -⋅-
【解析】 【分析】
待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】
因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，
故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以1
123n n a -+=⋅，
故1
231n n a -=⋅-.
故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】
本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.
19．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两 解析：[－2，+∞）
【解析】 【分析】
根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+ 1
x
），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案. 【详解】
根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x 2+1），即a≥-（|x|+
1x
）, 又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1
x
）≤-2；
要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可； 综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）； 故答案为[-2，+∞）． 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．
20．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)
解析：9 【解析】
解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ，
由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪
⎝⎭
， 故：11
187
1222
n n n c a b n =+=+ ， 满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，
由等差数列前n 项和公式可得：
1111
1871218712
2222
2250
2
n
n
⎛⎫⎛⎫
+++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⨯=，
解得：9
n= .
即二马相逢，需9日相逢
点睛：本题考查数列的实际应用题.
(1)解决数列应用题的基本步骤是：
①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；
②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；
③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论．
(2)数列应用题常见模型：
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n－1的递推关系，或前n项和S n与S n－1之间的递推关系．
三、解答题
21．(1)答案见解析；(2).
【解析】
试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案；
解析：（1）∵
∴
∴，
∵，，
∴是以为首项，以4为公比的等比数列
∴，
∴，
∴，
（2）
，
∴
① ②
①-②得
∴
.
22．（Ⅰ）23
B π
=；（Ⅱ）275 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由由正弦定理得()sin 2sin cos 0A C B B ++=，进而得到
sin 2sin cos 0B B B +=，求得1
cos 2
B =-
，即可求解； （Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理，求得5b =，再由余弦定理得2225a c ac =++，利用三角形的面积公式，求得3ac =，进而求得a c +的值，得出三角形的周长. 【详解】
（Ⅰ）由题意，因为cos cos 2cos 0a C c A b B ++=， 由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=， 即()sin 2sin cos 0A C B B ++=，
由A C B π+=-，得sin 2sin cos 0B B B +=， 又由(0,)B π∈，则sin 0B >， 所以12cos 0B +=，解得1cos 2
B =-
，
又因为(0,)B π∈，所以23
B π=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知23B π=
，且外接圆的半径为3
，
2=，解得5b =，
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，可得2225a c ac =++， 因为ABC ∆
1sin 2ac B ==，解得3ac =， 所以()()2
2
22253a c ac a c ac a c =++=+-=+-
，解得：a c +=， 所以ABC ∆
的周长5L a c b =++=. 【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 23．（1）3π；（2
【解析】 【分析】
（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。

（ 2）可通过计算b c +和bc 的值来计算11
b c
+的值。

【详解】
（1）由()bsin 2sin 0A a A C -+=得bsin 2sin sin A a B b A ==， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以A 3
π
=。

（2）由ABC n
的面积为
2及A 3π=
得1bcsin 232
π=，即bc 6= ，
又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=
，所以b c +=，
所以
112
b c b c bc ++==。

【点睛】
本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。

24．（1）n a n =，1
2n n b -=；（2）
21
n
n + 【解析】
【分析】
（1）由题意,要求数列{}n a 与{}n b 的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d ，q ,然后根据等差数列的前项和公式,代入226b S =,238b S +=,求出d ，q 即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式．
（2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+,即
()121n s n n =+,而要求12111n S S S ++⋯+,故结合1n s 的特征可变形为11
121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
,代入化简即可． 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，d ＞0，{}n b 的等比为q
则1(1)n a n d =+- ,1n n b q -=,
依题意有()26338q d q d ⎧+=⎨++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩或439
d q ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩（舍去）
故1
,2n n n a n b -==,
（2）由（1）可得()1
1212
n S n n n =++⋯+=
+ ∴11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
∴
1211111111212231n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦ =122111
n
n n ⎛⎫-
=
⎪++⎝
⎭． 【点睛】
本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出n S 的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d ＞0．第二问考查了求数列的前n 项和，关键是要分
析数列通项的特征,将()121n s n n =+等价变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
,然后代入计算，这也是求数列前n 项和的一种常用方法--裂项相消法！ 25．解: (1)∵数列为等差数列,设公差为
, 由,得
,
,
∴
，
.
(2)∵
,
∴
∴数列
是首项为9，公比为9的等比数列 .
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴1111
()22(1)41
n c n n n n
==-⋅++
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+ 【解析】
试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分
由,得
,
,
∴
， …………………… 3分
. …………………… 4分
(2)∵, …………………… 5分 ∴， …………………… 6分
∴数列
是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴1111
()22(1)41
n c n n n n ==-⋅++………………… 10分
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+……… 12分 考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n 项和的求法．
点评：裂项法是求前n 项和常用的方法之一．常见的裂项有：
，
，，
，，
26．（1）31n
n a =-；
（2）证明见解析； 【解析】
【分析】
（1）首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=，然后两式相减得到132n n a a +=+，构造
{}1n a +是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1）
11
3111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----，再利用裂项相消法求和，证明1
4
n T <. 【详解】
（1）223n n S n a +=Q ，
1122(1)3n n S n a ++∴++=，
两式相减得132n n a a +=+ ，
113(1)n n a a ++=+∴ ，
又111223,2S a a +==∴，
∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，
13,31n n n n a a +==-∴∴
（2）113111
()(31)(31)23131
n n n
n n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭
∴
1111142314
n +=
-⋅<- 【点睛】
本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。