八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题测试提优卷试题

八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题测试提优卷试题
一、解答题
1．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．
（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．
（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．
（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．
2．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上． （1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（）
，且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．
3．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．
（1）证明：AG BE =；
（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．
4．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．
（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
5．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为 ；
（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．
6．如图1，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，且交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD .
（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．
（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．
7．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为；
（2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．
8．点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，∠ABF=∠AFB．
（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF；
（2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2 AG；
（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长．
∆是边长为3的等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点9．如图，ABC
∆是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交直线B、C重合），ADE
AC于点F，连接BE．
（1）判断四边形BCFE的形状，并说明理由；
（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；
（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．
10．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；
（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）214
t ；（2）22t =；（3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，22t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，32t =4（见解析），当EGQ HBF ≅时，722t =
【分析】
（1）先根据线段中点的定义可得12
AQ AP =，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可
得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；
（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122
AH AB ==，然后与（1）所求的
2
AH =建立等式求解即可得； （3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．
【详解】
（1）由题意得：2AP t =，
点Q 为AP 的中点，
1
2AQ AP t ∴==，
四边形ABCD 是矩形，
90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，
AE ∵是BAD ∠的角平分线，
1
452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒，
QH AB ⊥，
AQH ∴是等腰直角三角形，
22AH HQ AQ t ∴===，
则AQH 的面积为21
1
24AH HQ t ⋅=；
（2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，
//HQ MP ∴，
点M 在BC 边上，
//HQ BP ∴，
点Q 为AP 的中点，
HQ ∴是ABP △的中位线，
1
22AH BH AB ∴===，
由（1）知，AH =，
2=，
解得t =；
（3）由题意，有以下三种情况：
①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AH
HB =，
四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，
HAQ BHM ∴∠=∠，
在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，
()AHQ HBM ASA ∴≅，
由（2）可知，此时2
2t =；
②如图3，当点Q 与点E 重合时，
在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()ADE AHE AAS ∴≅，
3AD AH ∴==， 则232
=，
解得
32t =；
③如图4，当EG HB =时，
四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，
//,//CD AB HM PQ ∴，
,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，
在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
()EGQ HBF ASA ∴≅， 2,42
AH AB ==， 242
HB AB AH ∴=-=-， 在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=，
Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE ==
32EQ AQ AE t ∴=-=-，
在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒， Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -=
=， 则由EG HB =2624t -=-， 解得722
t =
综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =；如图4，当EGQ HBF ≅时，722
t =
． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．
2．（1）见详解；（2）72x =-
【分析】
（1）连接MN ，由勾股定理求出AC=5，证出四边形ABNM 是矩形，得MN=AB=3，证△AME ≌△CNF （SAS ），得出EM=FN ，∠AEM=∠CFN ，证EM ∥FN ，得四边形EMFN 是平行四边形，求出MN=EF ，即可得出结论；
（2）连接MN ，作MH ⊥BC 于H ，则MH=AB=3，BH=AM=x ，得HN=BC-BH-CN=4-2x ，由矩形的性质得出MN=EF=AC-AE-CF=4，在Rt △MHN 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：连接MN ，如图1所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，∠B=90°，
∴∠EAM=∠FCN ，2222345AB BC +=+=，
∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点，
∴AM=DM=BN=CN ，AM ∥BN ，
∴四边形ABNM 是平行四边形，
又∵∠B=90°，
∴四边形ABNM 是矩形，
∴MN=AB=3，
在△AME 和△CNF 中，
AM CN EAM FCN AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AME ≌△CNF （SAS ），
∴EM=FN ，∠AEM=∠CFN ，
∴∠MEF=∠NFE ，
∴EM ∥FN ，
∴四边形EMFN 是平行四边形，
又∵AE=CF=1，
∴EF=AC-AE-CF=3，
∴MN=EF ，
∴四边形EMFN 为矩形．
（2）解：连接MN ，作MH ⊥BC 于H ，如图2所示：
则四边形ABHM 是矩形，
∴MH=AB=3，BH=AM=x ，
∴HN=BC-BH-CN=4-2x ，
∵四边形EMFN 为矩形，AE=CF=0.5，
∴MN=EF=AC-AE-CF=4，
在Rt △MHN 中，由勾股定理得：32+（4-2x ）2=42， 解得：x=722±
， ∵0＜x ＜2，
∴x=722
-． 【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平
行线的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）不变，见解析；（3）能，1x =-1+ 【分析】
（1）由折叠的性质得到BE=EP ，BF=PF ，得到BE=BF ，根据菱形的性质得到AB ∥CD ∥FG ，BC ∥EH ∥AD ，于是得到结论；
（2）由菱形的性质得到BE=BF ，AE=FC ，推出△ABC 是等边三角形，求得∠B=∠D=60°，得到∠B=∠D=60°，于是得到结论；
（3）记AC 与BD 交于点O ，得到∠ABD=30°，解直角三角形得到AO=1，
S 四边形ABCD AEFCHG 的面积等于
4时，得到S △BEF +S △DGH =4，设GH 与BD 交于点M ，求得GM=
12
x ，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【详解】
解:()1折叠后B 落在BD 上， ,BE EP ∴=BF PF = BD 平分,ABC ∠
BE BF ∴=，
∴四边形BEPF 为菱形，同理四边形GDHP 为菱形，
////,// //,AB CD FG BC EH AD ∴
∴四边形AEPG 为平行四边形，
AG EP BE ∴==.
()2不变.
理由如下:由()1得.AG BE =
四边形BEPF 为菱形，
,.BE BF AE FC ∴==
60,BAC ABC ∠=︒为等边三角
60B D ∴∠=∠=︒，
,,EF BE GH DG ∴==
36AEFCHG C AE EF FC CH GH AG AB ∴=+++++==六边形为定值.
()3记AC 与BD 交于点O .
2,60,AB BAC =∠=
30,ABD ∴∠=
1,AO ∴=3,BO =
12332
ABC S ∴=⨯=23ABCD S ∴=四边形当六边形AEFCHG 534 53233344
DEF DGH S S +==由()1得BE AG =
AE DG ∴=
DG x =
2BE x ∴=-
记GH 与BD 交于点,M
12GM x ∴=，3DM x = 23DHG S x ∴= 同理()223323344BEF S
x x x =-=+ 223333334
x x x +=化简得22410,x x -+= 解得121x =-221x = ∴当212x =-或212+时，六边形AEPCHG 534 【点睛】
此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x 表示出相关的线段，是一道基础题目．
4．（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）534）4
【分析】
解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即可解决问题；
（2）解法同（1）；
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出152BM BC =
=，由勾股定理得出2253AM AB BM =-=ABC ∆的面积12532
BC AM =⨯=ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积
1111()2532222
BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =⨯+⨯+⨯=++=，即可得出答案； （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF 即可．
【详解】
解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =，
∴ABP ∆的面积111031522
AB PE =⨯=⨯⨯=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，
且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，
∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，
∵AB AC =，
∴358CG PE PF =+=+=.
故答案为：15，8.
（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，
且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，
∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，
∵AB AC =，
∴CG PE PF =+.
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：
∵10AB AC BC ===，
∴ABC ∆是等边三角形，
∵AM BC ⊥，
∴152BM BC =
=， ∴222210553AM AB BM =--=
∴ABC ∆的面积11105325322BC AM =
⨯=⨯⨯= ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，
∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积
111222BC PE AC PF AB PG =⨯+⨯+⨯1()2
AB PE PF PG =++ 253=，
∴22535310
PE PF PG ⨯++==. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=︒，
∵8AD =，3CF =，
∴5BF BC CF AD CF =-=-=，
由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠，
∵90C ∠=︒，
∴2222534DC DF FC =-=-=，
∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=︒，
∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠，
∴四边形EQCD 是矩形，
∴4EQ DC ==，
∵//AD BC ，
∴DEF EFB ∠=∠，
∵BEF DEF ∠=∠，
∴BEF EFB ∠=∠，
∴BE BF =，
由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=，
∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4.
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
5．（1）AD ＝AB +DC ；（2）AB ＝AF +CF ，证明详见解析；（3）AB ＝DF +CF ，证明详见解
析．
【分析】
（1）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），即可推出AB＝CF，再证明DA＝DF，即可解决问题．
（2）结论：AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，证明方法类似（1）．（3）结论；AB＝DF+CF．如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明方法类似（1）．【详解】
解：（1）探究问题：结论：AD＝AB+DC．
理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．
故答案为AD＝AB+DC．
（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．
证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB ∥DC ，
∴∠BAE ＝∠G ．且BE ＝CE ，∠AEB ＝∠GEC
∴△AEB ≌△GEC （AAS ）
∴AB ＝GC
∵AE 是∠BAF 的平分线
∴∠BAG ＝∠FAG ，
∵∠BAG ∠G ，
∴∠FAG ＝∠G ，
∴FA ＝FG ，
∵CG ＝CF+FG ，
∴AB ＝AF+CF ．
（3）联想拓展：结论；AB ＝DF+CF ．
证明：如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，
∵E 是BC 的中点，
∴CE ＝BE ，
∵AB ∥CF ，
∴∠BAE ＝∠G ，
在△AEB 和△GEC 中，
BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEB ≌△GEC ，
∴AB ＝GC ，
∵∠EDF ＝∠BAE ，
∴∠FDG ＝∠G ，
∴FD ＝FG ，
∴AB ＝DF+CF ．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．（1）①证明见解析；②60EBF ∠=︒；（2）3IH FH =；（3）222EG AG CE =+.
【分析】
（1）①由DOE BOF ∆≅∆，推出EO OF =，
OB OD =，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ED =即可．
②先证明2ABD ADB ∠=∠，推出30ADB ∠=︒，延长即可解决问题．
（2）
3IH FH =．只要证明IJF ∆是等边三角形即可．
（3）结论：222EG AG CE =+．如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，先证明DEG DEM ∆≅∆，再证明ECM ∆是直角三角形即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
四边形ABCD 是矩形，
//AD BC ∴，OB OD =，
EDO FBO ∴∠=∠， 在DOE ∆和BOF ∆中，
EDO FBO OD OB
EOD BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， DOE BOF ∴∆≅∆，
EO OF ∴=，OB OD =，
∴四边形EBFD 是平行四边形，
EF BD ⊥，OB OD =， EB ED ∴=，
∴四边形EBFD 是菱形．
②BE 平分ABD ∠，
ABE EBD ∴∠=∠，
EB ED =，
EBD EDB ∴∠=∠，
2ABD ADB ∴∠=∠，
90ABD ADB ∠+∠=︒，
30ADB ∴∠=︒，60ABD ∠=︒，
30ABE EBO OBF ∴∠=∠=∠=︒，
60EBF ∴∠=︒．
（2）结论：3IH FH =．
理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM EJ =，连接MJ ．
四边形EBFD 是菱形，60B ∠=︒，
EB BF ED ∴==，//DE BF ，
JDH FGH ∴∠=∠，
在DHJ ∆和GHF ∆中，
DHG GHF DH GH
JDH FGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， DHJ GHF ∴∆≅∆，
DJ FG ∴=，JH HF =，
EJ BG EM BI ∴===，
BE IM BF ∴==，
60MEJ B ∠=∠=︒，
MEJ ∴∆是等边三角形，
MJ EM NI ∴==，60M B ∠=∠=︒
在BIF ∆和MJI ∆中，
BI MJ B M BF IM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
BIF MJI ∴∆≅∆，
IJ IF ∴=，BFI MIJ ∠=∠，HJ HF =，
IH JF ∴⊥，
120BFI BIF ∠+∠=︒，
120MIJ BIF ∴∠+∠=︒，
60JIF ∴∠=︒，
JIF ∴∆是等边三角形，
在Rt IHF ∆中，90IHF ∠=︒，60IFH ∠=︒，
30FIH ∴∠=︒，
3IH FH ∴=．
（3）结论：222EG AG CE =+．
理由：如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，
90FAD DEF ∠+∠=︒，
AFED ∴四点共圆，
45EDF DAE ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，
45ADF EDC ∴∠+∠=︒，
ADF CDM ∠=∠，
45CDM CDE EDG ∴∠+∠=︒=∠，
在DEM ∆和DEG ∆中，
DE DE EDG EDM DG DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DEG DEM ∴∆≅∆，
GE EM ∴=，
45DCM DAG ACD ∠=∠=∠=︒，AG CM =，
90ECM ∴∠=︒
222EC CM EM ∴+=，
EG EM =，AG CM =，
222GE AG CE ∴=+．
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
7．（1）OE OF =;（2）成立.理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE ，从而求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF. （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA ，再根据已知条件求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF.
【详解】
解：（1）正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥BE ，
∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°，
∵∠AFO=∠BFM （对顶角相等），
∴∠OAF=∠OBE （等角的余角相等），
又OA=OB （正方形的对角线互相垂直平分且相等），
∴△BOE ≌△AOF （ASA ），
∴OE=OF.
故答案为：OE=OF ；
（2）成立.理由如下：
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴90BOE AOF ∠=∠=︒，OB OA =
又∵AM BE ⊥，
∴90F MBF ∠+∠=︒，90E OBE ∠+∠=︒，
又∵MBF OBE ∠=∠
∴F E ∠=∠∴BOE AOF ∆≅∆，
∴OE OF =
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并运用了类比的思想，两个问题都是证明BOE AOF ∆≅∆解决问题.
8．（1）见解析；（2）见解析；（3）7
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质结合正方形的性质得出AF=AD ，则∠AFD=∠ADF ；
（2）首先得出四边形AGHN 为平行四边形，可得FM=MD ，进而NF=NH ，ND=NH ，即可得出答案；
（3）首先得出△ADN ≌△DCP （ASA ），得到PC=DN ，再利用在Rt △ABE 中，
BE 2+AB 2=AE 2，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵∠ABF=∠AFB ，
∴AB=AF ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=AD ，
∴AF=AD ，
∴∠AFD=∠ADF ；
（2）证明：如图1所示：过点A 作DF 的垂线分别交DF ，DH 于M ，N 两点， ∵GF ⊥DF ，
∴∠GFD=∠AMD=90°，
∴AN ∥GH ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AG ∥NH ，
∴四边形AGHN 为平行四边形，
∴AG=NH ，
∵AF=AD ，AM ⊥FD ，
∴FM=MD ，
连接NF ，则NF=ND ，
∴∠NFD=∠NDF ，
∵∠NFD+∠NFH=∠NDF+∠H ，
∴∠NFH=∠H ，
∴NF=NH ，
∴ND=NH ，
∴DH=2NH=2AG ；
（3）解：延长DF 交BC 于点P ，如图2所示：
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD ∥BC ，
∴∠ADF=∠FPE ，
∴∠PFE=∠AFD=∠ADF=∠FPE ，
∴EF=EP=2，
∵∠DAM+∠ADM=∠ADM+∠PDC ，
∴∠DAM=∠PDC ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD=DC ，∠ADN=∠DCP ，
在△ADN 和△DCP 中
DAN PDC AD DC
ADN PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADN ≌△DCP （ASA ），
∴PC=DN ，
设EC=x ，则PC=DN=x+2，DH=2x+4，
∵CH=3，
∴DC=AB=BC=AF=2x+1
∴AE=2x+3，BE=x+1，
在Rt △ABE 中，BE 2+AB 2=AE 2，
∴（x+1）2+（2x+1）=（2x+3）2．
整理得：x 2﹣6x+7=0，
解得：x 1=7，x 2=﹣1（不合题意，舍去）
∴EC=7．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行四边形的性质等知识，解题关键是正确把握正方形的性质．
9．（1）平行四边形，理由见解析；（2）9；（3）可为菱形，BD=6或0
【分析】
（1）先证明()EAB DAC SAS ∆≅∆，得60ABE C ∠=∠=︒，可得//AC BE ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BCFE 是平行四边形；
（2）如图2，证明90AEB =︒∠，根据直角三角形30度角所对的直角边为斜边的一半可得BE 的长，根据平行四边形的周长计算方法可得结论；
（3）分两种情况：①当D 在边BC 的延长线上；②当D 在边BC 上时；分别画图可得BD 的长．
【详解】
解：（1）如图1，四边形BCFE 是平行四边形，理由是：
ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，
AB AC ∴=，AD AE =，60EAD BAC ∠=∠=︒，
EAB DAC ∴∠=∠，
()EAB DAC SAS ∴∆≅∆，
60ABE C ∴∠=∠=︒，
60BAC ∠=︒，
BAC ABE ∴∠=∠，
//AC BE ∴，
//EF BC ，
∴四边形BCFE 是平行四边形；
（2）如图2，ADE ∆是等边三角形，且DE AB ⊥，
30EAB DAB ∴∠=∠=︒，
由（1）知：60ABE ∠=︒，
90AEB ∴∠=︒， 1322
BE AB ∴==， ∴四边形BCFE 的周长32()2(3)92
BE BC =+=⨯+=；
（3）分2种情况：
①如图3，当四边形BCFE 是菱形时，BE BC =，
由（1）知：3BE CD ==，
336BD ∴=+=；
②如图4，当四边形BCFE 是菱形时，B 和D 重合，A 和F 重合，此时0BD =；
综上，BD 的长为6或0．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质，菱形的性质，平行四边形的判定，正确画图和分类讨论思想的运用是解本题的关键．
10．（1）证明见解析；（2）菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质得到BDE A ∠=∠，根据题意得到DEF
BDE ∠=∠，根据平行线的判定定理得到//AD EF ，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据三角形中位线定理得到12
DE AC =，得到AD DE =，根据菱形的判定定理证
明；
（3）根据等腰三角形的性质得到AE EG ⊥，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【详解】
（1）证明：
//DE AC ，
BDE A ∴∠=∠，
DEF A ∠=∠，
DEF BDE ∴∠=∠，
//AD EF ∴，又//DE AC ，
∴四边形ADEF 为平行四边形；
（2）解：ADEF 的形状为菱形， 理由如下：点D 为AB 中点， 12
AD AB ∴=， //DE AC ，点D 为AB 中点，
12
DE AC ∴=， AB AC =，
AD DE ∴=，
∴平行四边形ADEF 为菱形，
故答案为：菱形；
（3）四边形AEGF 是矩形，
理由如下：由（1）得，四边形ADEF 为平行四边形，
//AF DE ∴，AF DE =，
EG DE ，
//AF DE ∴，AF GE =，
∴四边形AEGF 是平行四边形，
AD AG ，EG DE =，
AE EG ∴⊥，
∴四边形AEGF 是矩形．
【点睛】
本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．。