九年级数学上册 23.2 中心对称(第四课时)教案 新人教

23.2 中心对称
第四课时
教学内容
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原点的对称点为P′（-x，-y）及其运用．
教学目标
理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用．
复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．
重难点、关键
1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）•关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用．
2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．
教具、学具准备
小黑板、三角尺
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下面三题．
1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′．
l
A
2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．
3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．
老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略）
二、探索新知
（学生活动）如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、•D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：
这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
老师点评：画法：（1）连结AO并延长AO
（2）在射线AO上截取OA′=OA
（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″．
∵△AD′O与△A′D″O全等
∴AD′=A′D″，OA=OA′
∴A′（3，-1）
同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标．
（学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？
提问几个同学口述上面的问题．
老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．
例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形．
分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可．
解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y），
因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（1，0），B（-3，0）．
连结A′B′．
则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′．
（学生活动）例2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．
老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC 关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．
三、巩固练习
教材P73 练习．
四、应用拓展
例3．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．
（1）在图中画出直线A1B1．
（2）求出线段A1B1中点的反比例函数解析式．
（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b（我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．
分析：（1）只需画出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1、B1，连结A1B1．
（2）先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=k
x
代入求k．
（3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的线段作A1、B1关于原点的对称点A2、B2，连结A2B2的直线就是我们所求的直线．
解：（1）分别作出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1（1，0），B1（2，0），连结A1B1，那么直线A1B1就是所求的．
（2）∵A1B1的中点坐标是（1，1
2
）
设所求的反比例函数为y=k x
则1
2
=
1
k
，k=
1
2
∴所求的反比例函数解析式为y=1
2x
（3）存在．
∵设A 1B 1：y=k′x+b′过点A 1（0，1），B 1（2，0）
∴1`02b k b =⎧⎨=+⎩ ∴`1
1`2
b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩
∴y=-
1
2
x+1 把线段A 1B 1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线． 根据点P （x ，y ）关于原点的对称点P ′（-x ，-y ）得： A 1（0，1），B 1（2，0）关于原点的对称点分别为A 2（0，-1），B 2（-2，0） ∵A 2B 2：y=kx+b
∴102`b k b -=⎧⎨=-+⎩ ∴121
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩
∴A 2B 2：y=-
1
2
x-1 下面证明y=-1
2x-1与双曲线y=1
2x 相切
1121
2
y x y x ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
-12x-1=12x ⇒x+2=-1x ⇒ x 2
+2x+1=0，b 2
-4ac=4-4×1×1=0
∴直线y=-1
2x-1与y=12x
相切
∵A 1B 1与A 2B 2的斜率k 相等
∴A 2B 2与A 1B 1平行 ∴A 2B 2：y=-
1
2
x-1为所求． 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ），•关于原点的对称点P ′（-x ，-y ），及其利用这些特点解决一些实际问题． 六、布置作业
1．教材P74 复习巩固3、4．
2．选用作业设计．
作业设计
一、选择题
1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（ ） A ．y=
1
x
B ．y=2x+1
C ．y=-2x+1
D ．以上三种都不可能 2．如图，已知矩形ABCD 周长为56cm ，O 是对称线交点，点O 到矩形两条邻边的距离之差等于8cm ，则矩形边长中较长的一边等于（ ）
O
B A
C
D
A ．8cm
B ．22cm
C ．24cm
D ．11cm 二、填空题
1．如果点P （-3，1），那么点P （-3，1）关于原点的对称点P ′的坐标是P ′_______． 2．写出函数y=-
3x 与y=3
x
具有的一个共同性质________（用对称的观点写）． 三、综合提高题
1．如图，在平面直角坐标系中，A （-3，1），B （-2，3），C （0，2），画出△ABC•关于x 轴对称的△A ′B ′C ′，再画出△A ′B ′C ′关于y 轴对称的△A ″B ″C ″，那么△A ″B ″C ″与△ABC 有什么关系，请说明理由．
2．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且A （0，3），B （3，0），现将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1． （1）在图中画出直线A 1B 1；
（2）求出过线段A 1B 1中点的反比例函数解析式；
（3）是否存在另一条与直线A 1B 1平行的直线y=kx+b （我们发现互相平行的两条直线斜率k 相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由．
答案:
一、1．A 2．B 二、1．（3，-1） 2．答案不唯一 参考答案：关于原点的中心对称图形． 三、1．画图略，△A ″B ″C ″与△ABC 的关系是关于原点对称． 2．（1）如右图所示，连结A 1B 1； （2）A 1B 1中点P （1.5，-1.5），设反比例函数解析式为y=
k x ，则y=-2.25
x
．
（3）A 1B 1：设y=k 1x+b 1 113033b k =-⎧⎨=-⎩ 11
1
3k b =⎧⎨=-⎩
∴y=x+3
∵与A 1B 1直线平行且与y=2.25
x
相切的直线是A 1B 1•旋转而得到的． ∴所求的直线是y=x+3，
下面证明y=x+3与y=-2.25
x
相切， 32.25y x y x =+⎧⎪
⎨
=-⎪⎩
⇒x 2+3x+2.25=0，b 2-4ac=9-4×1×2.25=0，
∴y=x+3与y=-2.25
x
相切．。