(新)高中数学黄金100题系列第65题空间角的计算理
空间角定理
空间角定理空间角定理是指在三维空间中，两个直线之间的夹角可以通过它们在平面上的投影以及它们在空间中的夹角来求得。
这个定理是空间几何中非常重要的定理之一，可以用在很多不同的数学和物理问题中。
首先，我们来看一下这个定理的几何图像。
假设有两个非平行的直线AB和CD，它们在空间中的夹角为α。
我们将这两个直线在一个平面上的投影分别表示为A'B'和C'D'，它们在平面上的夹角为β。
那么空间角定理告诉我们，这两个夹角之间有一个关系式：cos(α) = cos(β)cos(γ) +sin(β)sin(γ)cos(δ)其中，γ表示A'B'和C'D'的夹角，δ表示这两条直线所在的两个平面的夹角。
这个公式可以用于计算任意两条直线之间的夹角，只需要知道它们在平面上的投影和它们在空间中的夹角即可。
空间角定理的推导可以通过向量的方法进行，它的基本思想是将直线的方向向量表示为一个向量，然后通过向量的点积和叉积来计算夹角。
这个方法虽然比较抽象，但是它的推导过程非常严密，也是空间向量运算的基础之一。
除了可以用于计算直线夹角之外，空间角定理还可以用于解决其他几何问题。
例如，我们可以利用它来计算球体的表面积和体积。
对于一个球体，我们可以将它切割成很多小块，然后计算每一小块的表面积和体积，并将它们加起来得到最终的结果。
在这个过程中，我们需要用到空间角定理来计算每一小块的表面积和体积。
空间角定理在物理学中也有广泛的应用。
例如，在电场和磁场的相互作用中，我们可以用它来计算两个电荷或者两个磁极之间的力和力矩。
在开发物理学理论和设计物理实验时，空间角定理也常常被用到。
总之，空间角定理是空间几何中非常重要的一个定理，它可以用于计算直线之间的夹角，解决球体表面积和体积的问题，以及在物理学中的应用等等。
对于那些热爱数学和物理的人来说，学习空间角定理是非常值得的。
第65题 空间角的计算-2018之高中数学(文)黄金100题系列 含解析
OCC 1D 1D B 1ABA 1第65题 空间角的计算I ．题源探究·黄金母题【例1】在正方体ABCD —A 1B 1C1D 1中。
求直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角。
【解析】连接B 1C 交于O ， 连结A 1O ，因为1111A B ⊥平面B BCC ，11BO ⊂面B BCC 111A B B C ∴⊥⊥BO,BO ，11DCB ∴⊥BO 面A ,A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影,1BAO ∠是A 1B与平面A 1B 1CD 平面所成的角。
在1RtA BO 中，由12AB =，22BO =，知0130BAO ∠=即A 1B 与平面A 1B 1CD 平面所成的角为030【名师点睛】解决直线与平面所成角问题主要分三步；“找”、“证"、“算”，即；先要通过定义找垂线，看射影（转化为斜线与射影所成的平面角)，然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中）.II ．考场精彩·真题回放【例2】【2014新课标2】直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ )A 。
110B 。
25C 。
30D.22【答案】C【解析】画出图形，找出BM 与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与 AN 所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1 的中点，如图：BC 的中点为O,连结ON,1112MN B C OB ==且11MN B C ,则MN0B 是平行四边形,BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1,AO=，AN=，MB=22211226B M BB +=+=在△ANO 中，由余弦定理可得：cos∠ANO=222630210256AN ON AO AN NO +-==⨯⨯故选:C ．【例3】【2016高考新课标1文数】平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ，n 所成角的正弦值为( ） （A ）32（B ）22（C ）33（D ）13【答案】A【解析】分析：如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为//α平面11CB D ,所以//',//'m m n n ，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角。
高一数学空间角的知识点
高一数学空间角的知识点在高一数学的学习中，我们会接触到许多重要的概念和知识点。
其中，空间角作为数学中的一个重要概念，起着非常关键的作用。
本文将通过对空间角的介绍和相关知识点的探讨，帮助读者深入理解和掌握高一数学中的空间角。
一、什么是空间角？空间角是指位于同一平面内的两条射线之间的夹角。
它可以用来描述物体的旋转或者两个线段之间的方向关系。
空间角的大小通常用角的弧度或者度数来表示。
在几何学中，我们通常使用度数来度量空间角。
二、空间角的计算方法计算空间角时，我们需要先确定两条射线的起始点、共同点和终点。
在具体计算时，可以借助坐标轴或者向量的方法来帮助我们进行求解。
下面通过几个具体的例子来说明空间角的计算方法。
1. 用坐标轴计算空间角假设有两条射线分别为AB和AC，我们可以在坐标轴上确定它们的位置。
设A点的坐标为(0,0,0)，B点的坐标为(x1,y1,z1)，C 点的坐标为(x2,y2,z2)。
首先计算向量AB和向量AC的点积，即(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)。
然后计算向量AB和向量AC的模长，即|AB|和|AC|。
最后计算空间角，使用向量的点积公式cosθ =(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2) / (|AB|·|AC|)。
2. 用向量计算空间角利用向量的方法，我们可以将空间角转化为向量间的夹角。
首先计算向量AB和向量AC的内积，即AB·AC。
然后计算向量AB 和向量AC的模长，即|AB|和|AC|。
最后计算空间角，使用向量的内积公式cosθ = AB·AC / (|AB|·|AC|)。
三、空间角的性质空间角具有一些重要的性质，这些性质有助于我们更深入地理解和应用空间角。
1. 空间角的值域空间角的值域为[-1, 1]。
当两条射线共线时，空间角等于0；当两条射线垂直时，空间角等于1或者-1，具体取决于旋转方向。
2. 空间角的加法公式空间角的加法公式是指当两个角相加时，结果等于新的角的余角。
空间角及其计算
建筑学中的应用
建筑设计
空间角在建筑设计中具有重要应用，如确定建筑物的朝向、布局和采光等。通 过合理利用空间角，可以优化建筑物的空间布局和采光效果，提高居住和使用 质量。
室内设计
在室内设计中，空间角的应用同样重要。通过合理调整室内家具和装饰品的摆 放角度，可以营造出更加舒适和美观的室内环境。
物理学中的应用
物理学
在物理学的力学、电磁学和光学等 领域，空间角也具有重要应用，如 描述带电粒子的运动轨迹、光的折 射和反射等。
02
空间角的计算方法
几何法
定义
几何法是利用空间几何知识，通 过作垂线、平行线、中线等手段， 将空间角转化为平面角或线线角，
然后进行计算的方法。
步骤
1. 作出相关垂线、平行线或中线； 2. 将空间角转化为平面角或线线 角；3. 利用平面几何知识计算角
空间角在其他领域的应用拓展
航天工程
利用空间角计算，优化航天器的轨道设计和姿态控制，提高航天 任务的可靠性和成功率。
机器人技术
通过空间角的计算，实现机器人的精准定位和自主导航，拓展机器 人在工业、医疗等领域的应用。
虚拟现实与游戏设计
利用空间角技术，提升虚拟环境的真实感和沉浸感，为游戏玩家和 设计师提供更加丰富的体验。
空间角及其计算
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角与空间几何的关系 • 空间角的未来发展与展望
01
空间角的基本概念
定义与性质
定义
空间角是指两个非平行直线或平 面在三维空间中形成的角度。
性质
空间角具有方向性，其大小和方 向可以通过几何学和三角函数来 描述。
光学研究
在光学研究中，空间角是描述光线传播方向和角度的重要参数。通过测量和计算 空间角，可以研究光线的反射、折射和散射等现象，进一步探索光与物质之间的 相互作用。
空间角问题高三数学知识点
空间角问题高三数学知识点空间角问题是高三数学中的重要知识点之一。
在解决空间角问题时，我们需要熟练掌握一系列概念、定理和计算方法。
本文将系统介绍空间角问题的相关内容，包括空间角的定义、分类和性质，以及求解空间角问题的具体方法和技巧。
一、空间角的定义和分类1.1 空间角的定义空间角是在三维空间中由两条射线形成的角。
它可以看作是平面角在立体空间中的推广。
通常用小写的希腊字母表示空间角，如α、β、γ等。
1.2 空间角的分类根据空间角的大小和位置关系，空间角可以分为以下几种类型：1) 零角：两条射线重合，形成的角为零角。
2) 锐角：两条射线夹角小于90度，形成的角为锐角。
3) 直角：两条射线夹角等于90度，形成的角为直角。
4) 钝角：两条射线夹角大于90度但小于180度，形成的角为钝角。
5) 平角：两条射线夹角等于180度，形成的角为平角。
二、空间角的性质空间角具有一系列重要的性质，掌握这些性质有助于我们解决空间角问题。
2.1 垂直性质若两个空间角互为互补角，则它们所对的两条射线垂直。
2.2 同位角性质若两个空间角由相同的两条射线所形成（其中一条射线相互重合），则这两个空间角互为同位角。
同位角具有以下性质：1) 同位角相等：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角也为α。
2) 同位角的补角关系：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角为180度减α的补角。
2.3 对顶角性质若两个空间角互为对顶角，则它们所对的两条射线互相重合。
三、求解空间角问题的方法和技巧3.1 判断空间角的类型在解决空间角问题时，首先要能够准确地判断空间角的类型。
可以通过观察两条射线的位置关系和夹角的大小来判断空间角是锐角、直角、钝角还是平角。
3.2 应用对顶角和同位角的性质对顶角和同位角的性质在求解空间角问题时经常被应用。
通过利用对顶角和同位角的性质，可以得到空间角的相关信息，进而解决问题。
3.3 运用向量方法在空间角问题的求解中，向量方法也是一种重要的技巧。
空间角的求法
空间角的求法一、异面直线所成角的求法平移法常见三种平移方式:直接平移；中位线平移（尤其是图中显现了中点）：补形平移法。
“补形法”是立体几何中一种常见的方式，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处置，利用"补形法”找两异面直线所成的角也是经常使用的方式之一。
（1）直接平移法4、伍例1如图，PA丄矩形ABCD,已知PA=AB=8,BCJ0，求AD与PC所成角的正切值。
（尊）（2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面宜线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
例2设S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA=SB=SC,且Z ASB= Z BSC= Z CSA= y , M、N别离是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值。
（巧）（3）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。
例3在正方体ABCD -中，E是CC】的中点，求直线AC与EDi所成角的余弦值。
（竺）A ______ G ____二、线而角的兰种求法1 •直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
一般是解由斜线段，垂线段， 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它能够起到联系各线段的作用。
例1四面体ABCS 中，SA, SB, SC 两两垂直，ZSBA=45°, ZSBC=60°, M 为AB 的中点，求：（1） BC 与 平面SAB 所成的角；（60。
） （2） SC 与平面ABC 所成的角。
（冷-）（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线。
作面的垂线常依照面面垂直的性质定理，其 思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2•利用公式sinO = *:其中&是斜线与平面所成的角，力是垂线段的长，/是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
高中数学空间的角的计算
面-线-面
0，2
语言叙述
二面角 半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜 线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平 面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 如图， l 是平面 的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面 内的射影， POA 就是直 线 l 与平面 的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别： 构成 范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点， 底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A
高中数学立体几何中的空间角解析
高中数学立体几何中的空间角解析立体几何是高中数学中的重要内容之一，其中空间角是立体几何中的一个重要概念。
本文将以具体的题目为例，详细介绍空间角的定义、性质和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用空间角。
一、空间角的定义和性质空间角是指由两条射线在同一平面内围成的角，也可以理解为由两条射线在三维空间中围成的角。
具体来说，设有两条射线OA和OB，它们在同一平面内，那么角AOB就是由这两条射线所围成的空间角。
空间角的度量单位与平面角相同，可以用度（°）或弧度（rad）来表示。
在解题中，我们通常使用度来度量空间角。
空间角具有以下性质：1. 两条射线的方向不同，所围成的空间角大小在0°到180°之间；2. 如果两条射线的方向相同，所围成的空间角大小为0°；3. 如果两条射线的反向延长线相交，所围成的空间角大小为180°。
二、空间角的解题技巧1. 利用空间角的定义和性质进行解题在解题过程中，我们可以根据空间角的定义和性质来推导出一些结论，从而解决问题。
例如，如果题目给出了两条射线的夹角，我们可以利用空间角的定义直接得出答案；如果题目给出了两条射线的方向，我们可以根据空间角的性质判断空间角的大小。
举例：已知射线OA与射线OB的夹角为60°，射线OC与射线OB的夹角为120°，求射线OA与射线OC的夹角。
解析：根据空间角的定义，射线OA与射线OC的夹角等于射线OA与射线OB的夹角加上射线OB与射线OC的夹角。
即所求角度为60°+120°=180°。
根据空间角的性质，当两条射线的反向延长线相交时，所围成的空间角大小为180°。
因此，射线OA与射线OC的夹角为180°。
2. 利用平面角的知识解决空间角问题在解决空间角问题时，我们还可以利用平面角的知识进行推导和计算。
由于空间角是由两条射线在同一平面内围成的角，所以可以将空间角转化为平面角进行计算。
空间中的角的求法
空间角的求法一.空间角:1.异面直线所成的角: 0°<θ≤90°2.直线与平面所成的角: 0°≤θ≤90°3.二面角: 0°<θ≤180°二.空间角的求法：(计算思想主要是转化)：1.几何法：（1）把空间角转化为平面角，利用三角形的边角关系进行计算（余弦定理）,如图所示（2）计算步骤：一作、二证、三点、四算2.向量法：把空间角的计算转化为空间向量的坐标运算来求解（1）异面直线所成的角：把异面直线所成角化为向量的夹角。
一般地，异面直线l1、l2的方向向量夹角的余弦为：cosa ba bβ⋅=⋅，则所求异面直线所成角（范围）与其相等或互补。
（2）直线和平面所成的角:利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有2πϕθ=-或θπϕ+=2,所以sin cos n v n vθϕ⋅==特别地 0=ϕ时，2πθ=，α⊥l ；2πϕ=时，0=θ，α⊆l 或α//l 。
（3）二面角的求法：①从平面的法向量考虑，设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角β--αl 的大小为θ，向量21,n n 的夹角为ϕ，则有π=ϕ+θ或 ϕ=θ（图5）,所以1212cos n n n n ϕ⋅=⋅ 。
θωαlvnωθαvln因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。
所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的范围，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
②如果AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小为,AB CD 〈〉。
三.例题与练习：例1.如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =,E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB == ，求直线1EC 与1FD 所成的角。
空间角的几何求法
空间角的几何求法一、 异面直线所成角（线线角）范围：(0,]2πθ∈先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。
【典例分析】例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值；【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。
二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2πθ∈【典例分析】例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ；（2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；1111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA =1AD 1DB例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。
(1)求证：BM∥平面PAD ；(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。
【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠．（1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]θπ∈（1）定义法：当点A 在二面角α- -β的棱 上时，可过A 分别在α、β内作棱 的垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α- -β的平面角。
高中空间几何求各种角的公式
在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。
以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。
-对顶角：对顶角相等。
-同位角：同位角相等。
-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。
2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。
-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。
-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。
3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。
-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。
这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。
空间角的余弦定理公式
空间角的余弦定理公式
余弦定理是解析几何和向量代数中的基础定理。
在解决空间向量夹角的问题上，空间角的余弦定理公式得到了广泛的应用。
空间角的余弦定理公式在各种领域都有重要的应用，特别是在解决物理、工程和设计问题时。
对于任意三个三维空间向量A，B和C，其中A和B不同时为零向量，A、B、C不在同一平面上，且A、B、C的夹角分别记为α、β、γ（其中α为B和C的夹角，β为C和A的夹角，γ为A和B的夹角），空间角的余弦定理公式如下：cos^2α = cos^2β + cos^2γ - 2cosβcosγcosα
通过此公式，可以计算出三维空间中任意三个向量之间各自的夹角。
更具体地说，只要知道其中两个夹角的余弦值和另一个角的余弦值，就可以计算出第三个
夹角。
此公式的应用范围非常广泛，包括在解决遗传学、地质学、物理学、数学和工程学中的问题时，都会用到空间角的余弦定理公式。
例如，在解决地质学中的断
层问题，需要计算出岩石之间的角度；亦如，在遗传学研究中，需要计算基因的相似性等等。
因此，空间角的余弦定理公式在科学和实际生活中起着至关重要的作用。
在学习理解空间角的余弦定理公式时，理解公式中的符号和含义至关重要。
同时，也需要明白，虽然表面上公式可能看起来复杂，但只要理解了公式的含义和应用，你就会发现它实际上非常简洁，理解起来也就变得更容易。
此外，了解空间
角的余弦定理公式如何在实际问题中应用，也能帮助我们更好地理解公式的重要性，从而在解决问题时更加灵活和有效。
空间角的求法
PCDBA 空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CEBD ==PE=∴由余弦定理得 222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。
求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。
【答案】125A 1C 1CBAB 1 DCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。
在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。
本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。
一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。
空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。
2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。
设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。
接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。
2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。
比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。
在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。
在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。
空间角的范围
空间角的范围什么是空间角空间角是物体之间相对位置的一种度量，用于描述在三维空间中两个向量之间的夹角。
它是向量的方向性特征的量化表示。
在数学上，空间角可以通过向量的点积和模长来计算。
给定两个向量A和B，它们的空间角θ可以通过以下公式计算：θ = arccos(A·B / |A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。
空间角的范围空间角的范围是从0到π之间的实数。
这是因为点积的值范围是从-1到1之间，而空间角θ的取值范围是从0到π之间。
当两个向量的方向相同时，它们的空间角为0。
当两个向量的方向完全相反时，它们的空间角为π。
当两个向量的方向相互垂直时，它们的空间角为π/2。
在实际应用中，空间角的范围可以用于描述物体之间的相对位置关系。
例如，在机器人技术中，空间角可以用于判断机器人的朝向和目标位置之间的夹角，从而实现精确的导航和定位。
空间角的应用空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
在物理学中，空间角被用于描述光线的传播方向和反射方向之间的夹角。
通过测量空间角，可以计算出光线的折射角和反射角，从而研究光的传播规律和光学器件的设计。
在工程学中，空间角被用于描述机械零件之间的相对位置关系。
通过测量空间角，可以确定机械零件的装配方式和运动轨迹，从而实现机械系统的设计和优化。
在计算机图形学中，空间角被用于描述三维模型之间的相对位置关系。
通过计算空间角，可以确定三维模型的旋转角度和投影方向，从而实现计算机图形的渲染和动画效果。
总结空间角是一种用于描述物体之间相对位置的度量，可以通过向量的点积和模长来计算。
空间角的范围是从0到π之间的实数，用于表示两个向量之间的夹角。
空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用，可以用于研究光的传播规律、机械系统的设计和优化，以及计算机图形的渲染和动画效果等方面。
通过深入理解空间角的概念和应用，我们可以更好地理解和应用三维空间中的向量和位置关系。
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
在数学和物理学中，空间角是一种非常重要的概念。
物体在空间中的角度关系经常被用到各种计算和分析中。
因此，求解空间角的方法也变得尤为重要。
本文将按类划分，总结空间角的求法方法。
立体角的求法
立体角是三维空间中用来描述四面体的角度大小的量，并且与其各个顶点相对应。
求解四面体的立体角可以通过以下公式进行计算：
V5 = 1/3(arccos(A1) + arccos(A2) + arccos(A3) - π )
其中V5指四面体的立体角，A1、A2、A3为三个向量的夹角余弦，pi 为圆周率。
平面角的求法
平面角是在二维平面中两个射线之间的角度大小，于是端点重合，两条射线叫做角的顶点，并记为O。
平面角的计算公式如下：
cosθ = a·b / |a||b|
其中，a和b分别表示两个向量，|a|和|b|表示向量的模，lala和lblb都为0，则cosθ没有定义。
球面角的求法
球面角是指在球面上相互靠近的两条弧（或线）之间的角度大小。
求解球面角需要先计算其对应的球面扇形的面积，然后进行换算即可，具体公式如下：
S = R²θ
其中R表示球体半径，θ表示对应的球面角。
总结
空间角的求法方法主要包括立体角、平面角和球面角三种。
其中立体角的求解需要根据四面体的三个向量夹角余弦值计算，平面角的计算需要先计算两个向量的点积并除以其模，而球面角的求解则需要先计算出对应的球面扇形面积。
这些空间角的求法方法可以帮助我们更准确地分析并解决各类问题。
空间角的计算方法
空间角的计算方法当建立空间直角坐标系后，空间图形顶点的坐标容易得出且比较简单时，三类空间角的计算可利用空间向量来处理.但是，当用空间向量处理起来比较困难时，我们还要学会用其它方式来处理.三类空间角的计算有别于平面几何中计算，它要充分地“说理”.因为空间图形不可能像平面图形那样明确、直接，有时看起来是“锐角”或“钝角”的图形，实际上是直角.因此，在立体几何中实施角的计算时，要认真做好三步工作“作——证——算”.“作”——即作出符合要求的平面角；“证”——即证明所作平面角是所求的角；“算”——通过解三角形求出该平面角的大小.本单元我们重点讨论用常规方法，来处理三类空间角的计算问题.【异面直线所成的角】求两异面直线所成角的问题是立体几何中常见且重要的计算之一，其方法通常是在其中一条直线上取一个特殊点通过三角形中位线或平行四边形引另一条直线的平行线来实现平行移动，然后通过余弦定理或解直角三角形来求解；对不易平移的问题可通过补形的方式来求解，也可考虑利用三余弦公式求解.两异面直线所成角θ的取值范围为θ∈(0，π2]. 例1.在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，求DE 和BF 所成角的余弦值. 解法1(平移).如图2.5—1.联结AE ，取AE 的中点M ，联结MF 、MB ， ∵ M 、F 分别为AE 、AD 的中点，∴ M F ∥DE ，故∠MFB 为DE 和BF 所成的角或补角. 设正四面体ABCD 的棱长为a ，则由平面几何知识易知BF=√3a 2，MF=√3a4. 在Rt ∆BEM 中，MB=.47)43()2(22a a a =+由余弦定理可得，.324323216716343cos 222=⋅⋅-+=∠aa aa a MFB 解法2(补形). 如图2.5—2.将原正四面体补形为三棱柱.取AC 1的中点M ，联结D 1M 、BM ，BD 1，易知F 是空间角的求法异面直线所成的角 ①利用中位线或平行四边形平移. ③三余弦公式. 直线与平面所成的角二面角①直接法. ②等积转换法. ③三余弦公式法.①直接法——利用三垂线定理或棱的垂面. ②利用等腰三角形底边上的中线. ③利用面积的射影定理.②补形.A BCDF E图2.5—1 M ABCDF E 图2.5—2C 1D 1MBD 1的中点，MD 1∥DE ，∴∠MD 1B 为DE 和BF 所成的角或补角. 设正四面体ABCD的棱长为a.易求得，MD 1=√3a 2，BD 1=√3a ，BM=√7a2(可由余弦定理求得).再由余弦定理可得 cos ∠MD 1B= 23.例2.如图2.5—3.在正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是BB 1与C 1C 的中点，设DM与A 1N 所成的角为θ，求cosθ的值. 解：在原正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的前面补一个相同的正方体，如图2.5—3.联结A 2M 、A 2D ，易知A 2M ∥A 1N ， ∴ ∠A 2MD 为DM 与A 1N 所成的角θ或补角. 设正方体棱长为a. ∵ DM=A 2M=√(√2a)2+(a2)2=3a 2，A 2D=a a a 5)2(22=+.由余弦定理可得cos ∠A 2MD = - 19. ∴ cosθ= 19.说明：①由于两异面直线所成角的取值范围为θ∈(0，π2]，所以cosθ不可能为负值，当计算得出角的余弦值为“—”时，应将最后结果改为“+”.这是因为在平移时，所得的平面角可能是两异面直线所成角的补角，而互为补角的两角的余弦值互为相反数.②当我们试图在原图形的表面或其中作“平移”较困难时，可考虑“补形”.一般补形方式为：①三棱锥补形为三棱柱；②三棱柱补形为四棱柱；③四棱柱可在某一个侧面或底面“拼”一个相同的四棱柱.三余弦公式：平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，a 与α相交成ϕc 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=证明：设点P 在平面α上的射影为O ，过点O 作O B ⊥b 于B ，连接PB ， 由三垂线定理知AB ⊥PB.如图2.5—4. ∴ θϕϕcos cos cos 21==⋅=APAB AOAB APAO .在此公式中，直线a 和b 可以是相交直线，也可以是异面直线. 我们不妨把ϕ1叫做线 面角，θ叫做线线角，ϕ2叫做线影角.很明显，线线角是这三个角中最大的一个角.例3.(1)如图2.5—5(1)，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角.(2)如图2.5—5(2).在立体图形P -ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形.∠BAD=900，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成300角，AE ⊥PD 于D.求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值.解:(1)由图2.5—5(1)可知，直线MB 在平面ABCD 内的射影为AB ，直线MB 与平面ABCD所成的角为450，直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为450，所以直线AC 与直MB 所成的角为θ，满足cosθ=cos45°· cos45°= 12，∴ 直线AC 与MB 所成的角为600.ACDA 1B 1C 1D 1 NM BA 2 图2.5—3图2.5—4ϕ2ϕ1cba θP αO AB(2)如图2.5—5(2)，过E 作PA 的平行线EF 交AD 于F ，由PA ⊥底面ABCD 可知，直线AE 在平面ABCD 内的射影为AD ，直线AE 与平面ABCD 所成的角为∠DAE ，其大小为600，射影AD 与直线CD 所成的角为∠CDA ，其大小为450，∴ 直线AE 与直线CD 所成的角θ满足：cosθ=cos60°· cos45°= √24. 即AE 与CD 所成角的余弦值 √24.想一想①:1.正四面体SABC 的棱长为a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点． 求异面直线SA 和EF 所成角．2.如图2.5—6.A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=900，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成 角的余弦值.【直线与平面所成的角】直线与平面所成的角也是立体几何中常见且重要的计算问题之一.它一般可通过解Rt △ 来求解.其解法通常有①直接法；②三棱锥体积等积变形法；③三余弦公式法——此法主要用于解选填题，若用于解答题，则要给出三余弦公式的简略证明.例4.如图2.5—7.在正方体AC 1中.(1)求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角.(2)求A 1B 1与平面A 1BC 1所成的角的余弦值.解:(1)联结BD 交AC 于O ，∵ BO ⊥AC ，BO ⊥A 1A ，由线面垂直的判定定理可得BO ⊥平面ACC 1A 1， ∴ ∠OC 1B 为BC 1与平面ACC 1A 1所成的角. 在Rt ∆BOC 1中，∵ sin ∠OC 1B=OB BC 1=12，且∠OC 1B 为锐角，∴ BC 1与平面ACC 1A 1所成的角为300. (2)法1.如图1.6—7. 联结BC 1、B 1C 交于点E. 易知BC 1⊥平面A 1B 1C.又∵ BC 1⊂平面A 1BC 1，∴ 平面A 1BC 1⊥平面A 1B 1C. 过B 1作B 1H ⊥A 1E 于H ，联结A 1H ，∵ 平面A 1BC 1∩平面A 1B 1C=AE, ∴ B 1H ⊥平面A 1BC 1,因此，∠B 1A 1E 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. ∵ tan ∠B 1A 1E= B 1EA 1B 1=√22，∴ cos ∠B 1A 1E=√63.法2.过B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1于H ，联结A 1H ，∴∠B 1A 1H 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角.∵ △A 1BC 1是正三角形，且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴ 棱锥B 1—A 1BC 1是正三棱锥. 可得点H 是△A 1B 1C 1的外心.设A 1B 1=a,则A 1B=√2a ,得A 1H= √63a. ∴ cos ∠B 1A 1H=A 1H A 1B 1=√63，即所求角的余弦值为√63.说明：F 1 A B D 1C 1A 1B 1图2.5—6C 图2.5—7 PE DFA B C图2.5—5(2)图2.5—5(1) A B C D M1.当题设条件中或由已知可推出两个平面互相垂直时，要作出线面角， 可利用两平面垂直的性质，在一个平面内作交线的垂线即可.2.在求线面角时，很多时候垂线位置的确定，是很费“周折”的.而利用三棱锥体积等积变形可简化此不必要的麻烦. 其思路和原理如下：如图2.5—8.设PA 是平面α的斜线，PB 为平面α的垂线段，其长为h ，则θ为PA 与平面α所成的角.由于sin θ= hPA .一般地PA 之长往往是已知的，因此要求出sin θ就只需要求出点P 到平面α的距离h 即可.这里的h 值可通过三棱锥体积等积变形得到.例5.如图2.5—9所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD=900.AD ∥BC ，PA=AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥底面ABCD. (1)求证：CD ⊥平面PAC.(2)求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值. 解:(1)在直角梯形ABCD 中，∵ ∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC ， 取AD 的中点E ，联结CE ，知四边形ABCE 是正方形，又∵ AD=2a ，∴ CE=ED ，即∠ECD=450，∴ AC ⊥CD. ∵ PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴ CD ⊥PA ，又∵ PA∩AC=C ， PA 、AC ⊂平面PAC ，∴ CD ⊥平面PAC. (2)法1.设点A 到平面PCD 的距离为h ，直线AD 与平面PCD 所成角为θ，则有ADh =θsin .∵ .36,21312131a h CD AC PA CD PC h V V ACD P PCD A =⇒⨯⋅⋅⋅=⨯⋅⋅⋅⇒=，——又∵ AD=2a ，∴66sin ==AD h θ.即直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值为66.法2.由(1)知，平面PAC ⊥平面PDC ，平面PA C ∩平面PDC=PC ，过点A 作AH ⊥PC 于H ，则AH ⊥平面PDC ，联结DH ，知∠ADH 为直线AD 与平面PCD 所成角. 在Rt △PAC 中，AC=,2a PA=a ，PC=,3a 由Rt △PAC 的面积等积变形得， AH=36a . 又∵ AD=2a ，∴ 66sin ==AD h θ.即AD 与面PCD 所成角的正弦值为66.【一个结论的应用】结论：若平面α的一条斜线PA 与平面α内∠BAC 的两边BA 、BC 所成的角相等，则PA 在平面α上的射影为∠BAC 的角平分线 .例6.(1)有一东西方向的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边的某点B ，探照灯在点B 的东北方向.灯光与地面成600角，求灯光与岸边所成角的余弦值.(2)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB ，C 1D 1的中点，求直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成角的余弦值.解:(1)如图2.5—10(1).由已知，∠DBA=ϕ1=600， ∠ABC=ϕ2=450，∠DBC=θ，由三余弦公式得，cosθ=cos450·cos600= √24， ∴ 灯光与岸边所成角的余弦值为 √24.图2.5—9B P ACD EHPA θB 图2.5—8αD BCA东图2.5—10(1)ABC DB 1C 1D 1A 1FE图2.5—10(2)(2) 如图2.5—10(2).∵ A 1B 1与A 1E 、A 1F 所成角∠B 1A 1E=∠B 1A 1F ，∴ 直线A 1B 1在平面A 1ECF 上的射影为∠FA 1E 的平分线. 又由已知可推得四边形A 1ECF 为菱形，∴∠FA 1E 的平分线为A 1C. ∵ cos ∠B 1A 1E=sin ∠AA 1E= AEA1E=√55，由余弦定理可得cos ∠CA 1E=√155. 设直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角为ϕ1，由三余弦公式得cos ϕ1= √33. ∴ 直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角的余弦值为 √33.注：(2)也可以联结B 1C ，由上述分析知，直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成角为∠B 1A 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，易求得cos ∠B 1A 1C = √33.想一想②:1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，则EF 与平面AA 1C 1C 所成的角为( ). 2.如图2.5—11.空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直， ∠PBA=450,∠PBC=600.则cos ∠ABC=( ).3.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若E 为棱AB 的中点，则直线C 1E 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为( ).4.求例5中PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【二面角】二面角的计算是三类空间角计算中的难点，解决它的关键在于合理、有效地找出二面角的平面角，常用的方法有如下几种：1.直接法——⎪⎩⎪⎨⎧.)(中线作出平面角利用等腰三角形底边的面角；利用作棱的垂面作出平定理作出平面角；或逆利用三垂线 2.间接法——利用面积的射影定理. 对于无棱的二面角(只给出了两个半平面的一个公共点)，则要先确定棱的位置. 二面角的取值范围为θ∈[0，π].例7.(1)如图2.5—12(1). PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC=a ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值.(2)如图2.5—12(2).已知二面角α－AB －β为1200，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AB ＝AC ＝BD ＝a ，求CD 的长为.解:(1)法1(三垂线定理法).∵ PC ⊥平面ABC, ∴ 平面PAC ⊥平面ABC ，交线为AC.作BD ⊥AC 于点D ，据面面垂直性质定理知BD ⊥平面PAC ，作DE ⊥PA 于E ，连BE ，由三垂线定理，得BE ⊥PA ，从而∠BED 是二面角B －PA －C 的平面角.设PC ＝a ，依题意知三角形ABC 是边长为aPA BC图2.5—11 图2.5—12(1)P ABCDE图2.5—12(2)的正三角形，∴ D 是AC 的中点且BD=√32a ，∵ PC =CA=a ，∠PCA=900， ∴ ∠PAC ＝450. 在Rt △DEA 中，ED=ADsin450= √24a ， ∴ tan ∠BED= BD ED =√6， 即二面角B －PA －C 的平面角的正切值为√6. 法2.(面积的射影定理法).同法1，作BD ⊥AC 于点D ，可知BD ⊥平面PAC ，∴ 三角形ABP 在平面PAC 上的射影为三角形PDA.设所求二面角为θ，则cos θ=S∆PAD S ∆PBA . 由已知易求得PB=PA=√2a ， AB=a ，PC=PA=a ，∴ S ∆PDC =12S ∆PAC =14a 2，S ∆PAB =√74a 2，因此cos θ=S ∆PAD S ∆PBA= √77，从而可得二面角B －PA －C 的平面角的正切值为√6.(2)在平面β内，作AD′∥BD ，连DD′，则DD′∥AB. ∵ AC ⊥AB ，D′A ⊥AB ，∴ ∠D′AC 为二面角α－AB －β的平面角， 即∠D′AC ＝120°.∵ AB ＝AC ＝BD ＝a ，∴ CD′＝3a ，又AB ⊥平面ACD′，DD′∥AB ， ∴ DD′⊥平面ACD′，∴ DD′⊥D′C ，又 DD′＝a ，∴ CD ＝DD′2＋D′C 2＝2a.例8.(1)如图2.5—13(1).在600二面角M －a －N 内有一点P ，P 到平面M 、N 的距离分别为1和2，求点P 到直线a 的距离.(2)如图2.5—13(2).正方体AC 1的棱长为a ，求二面角D —A1B —C 的余弦值.解:(1)设PA 、PB 分别为点P 到平面M 、N 的距离，过PA 、PB 作平面α，分别交M 、N于AQ 、BQ.(相当于作棱的垂面). ∵ PA ⊥M ，a ⊂M ，∴ PA ⊥a. 同理，有PB ⊥a ， ∵ PA∩PB=P ，PA 、PB ⊂平面PAQB ， ∴ a ⊥平面PAQB 于Q.又 AQ 、BQ ⊂平面PAQB ，∴ a ⊥AQ ，a ⊥BQ. 即 ∠AQB 是二面角M －a －N 的平面角. ∴ ∠AQB ＝60°.联结PQ ，则PQ 是P 到a 的距离，在平面图形PAQB 中，有∠PAQ ＝∠PBQ=90°，∴ P 、A 、Q 、B 四点共圆，且PQ 是四边形PAQB 的外接圆的直径2R. 在△PAB 中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA ＝120°，由余弦定理得，AB=√7. 由正弦定理：PQ=2R=.3212237sin ==∠APBAB(2)取A 1B 的中点E ，过点E 作EF ∥BC 交A 1C 与F ，联结DF 、DE.在正方体AC 1中易知 BC ⊥A 1B ，∵ EF ∥BC ∴ EF ⊥A 1B ，又∵A 1D=DB ，E 为A 1B 的中点，∴ EF ⊥A 1B ，因此∠DEF 为二面角D —A 1B —C 的平面角. ∵ DE= √32A 1B = √6a2，EF= BC 2=a2，DF=A 1C 2=√32a.由余弦定理可得，cos ∠DEF=√63.即二面角D —A1B —C 的余弦值为√63.想一想③:1.在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成二面角的平面角的余弦值PN ABQMa 图2.5—13(1)A BC DA 1B 1C 1D 1图2.5—13(2) EF2.自二面角内的一点到两个平面的距离都是6cm ，两个垂足间的距离也是6cm ，求此二面角的度数.3.在四面体ABCD 中，AC=AB=BC=1，CD=BD=√132，AD=3.求二面角A—BC—D 的余弦值.例9.长方体ADCD—A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，过对角线AC 1的一个截面是锐角为α的菱形，若底面与截面AEC 1F 成θ角，求证：cos θ=tan α2.证法1:如图2.5—14.联结AC 、BD. ∵ 过对角线AC 1的一个截面是菱形，由长方体的特性知， BD ∥EF ，且EF=BD. 由线面平行的判定定理知BD ∥截面AEC 1F ，再由线面 平行的性质定理知BD ∥过点A 的直线l . 其中l 为平面ABCD 与截面AEC 1F 的交线，即下底面与截面所成二面角的棱为直线l .∵ AC 1⊥EF ，AC ⊥BD ，∴ AC ⊥l ，AC 1⊥l ，即∠C 1AC 为底面与截面AEC 1F 所成角，即 ∠C 1AC=θ，∵ cos θ= ACA 1C ，tan α2=EF AC 1=BD AC 1=ACAC 1，∴ cos θ=tan α2.证法2.设底面与截面AEC 1F 成θ角，由面积射影定理知，cosθ=S ∆BCDS ∆EC 1E=BD×AC EF×AC 1=AC AC 1. 下同法1.略.例10.如图2.5—15.在△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为平面ABC 外的一点，SA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝600，SA ＝AC ＝a.求二面角A －SC －B 的余弦值. 解: ∵ SA ⊥平面ABC ，SA 平面SAC ，∴ 平面SAC ⊥平面ABC. 过点B 作BD ⊥AC 于D ，平面SAC 平面∩ABC=AC ， ∴ BD ⊥平面SAC ，联结SD. 设二面角A －SC －B=θ， ∵ SA ＝AC ＝a ，∠ACB ＝600，BC ⊥SB ，∴ BC=a2，CD =BC 2=a4，SB=√7a2，∴ cos θ=S ∆SDC S ∆SBC=SA×CD SB×BC=√77. 即二面角A －SC －B的余弦值为√77.想一想④:如图2.5—16所示.在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，PA=AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥底面ABCD. 求:(1)二面角P—CD—A 的余弦值.(2)平面PCD 与平面PAB 所成二面角的余弦值.【线面角、二面角的一个统一求法】如图2.5—17，设平面α的斜线PA 与平面α所成的角为θ，点P 到平面α的距离为h ，则 有， sin θ=hPA . 其中h 可利用三棱锥体积等积变形求得.图2.5—16BPA C DABCS图2.5—15D 图2.5—14 A BC A 1B 1C 1D 1DFE l如图2.5—18.在平面β内取一点P ，过点P 作PA ⊥平面α于A ，过点A 作AB ⊥l 于B ，联结PB ，由三垂线定理易知∠PBA =θ为二面角α—l —β的平面角(或补角)，设点P 到平面α的距离为h ，则有，sin θ=hPB . 其中h 可利用三棱锥体积等积变形求得，PB 为点P 到棱l 的距离，可通过三角形面积等积变形求得.这样一来，求线面角和二面角的问题可统一为，先利用三棱锥的体积等积变形求出点面距h ，再由已知或利用三角形面积等积变形求出点线距，从而易得所成角的正弦值.例11.如图2.5—19.在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PA=4，AC=2√3，BD=2.又点E 在侧棱PC 上，且PC ⊥平面BDE. (1)求线段CE 的长.(2)且二面角A —PD —C 的余弦值.解:(1)设AC ∩BD =O ，联结OE ，由已知条件易得PC=2√7.∵ PC ⊥平面BDE ，∴ OE ⊥PC.在Rt ∆PAC 和Rt∆OEC 中， cos ∠OCE=ECOC =ACPC ，⇒EC =3√77.(2)由已知可求得菱形的边长为2，PD=2√5. 设点A 到平面PDC 的距离为h ，点A 到二面角A —PD —C 的棱PD 距离为d ，二面角A —PD —C 的平面角(或补角)为θ，则sin θ=hd . 在∆PDC 中，S ∆PDC =12DP ×DC ×sin∠PDC =12DP ×DC ×√1−cos 2∠PDC =√19，∵ V A—PDC = V P—ADC ，可求得h=4√5719，又在∆PAD 中利用面积等积变形可得d=4√55， ∴ sin θ=hd =√15√19，∵ 二面角A —PD —C 是钝二面角，故二面角A —PD —C 的余弦值为-2√1919.例12.如图2.5—20.四棱锥P —ABCD 的底面是一个边长为4的菱形，其中∠ADC=600，顶点在底面上的射影恰好为AD 的中点E ，若PA=√7. (1)求直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值.(2)求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的余弦值.解:(1)设点B 到平面PAD 的距离为h ，直线PB 与平面PAD 所成角为θ，则sin θ=hPB ..∵ PE ⊥平面ABCD ，且E 为AD 的中点，由PA=√7，AD=4，∴ PE=√3. 又∵ V B—PAD = V P—BAD ，得 h =PE×S ∆ABDS ∆APD=2√3，在∆AEB 中，由余弦定理得EB=2√7，再由勾股定理得PB=√31， ∴ sin θ=hPB =2√3√31=2√9331. 即直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为2√9331. (2)设平面PBC 与平面PAD 所成二面角为α，点C 到平面PAD 的距离为h ，点C 到二面角的棱l 的距离为h 1，则 ，sin α=hh 1. ∵ BC ∥AD ，由线面平行的判定和性质知，平面PBC 与平面PAD 的交线l ∥BC ，∴ h 1为∆P CB 的底边BC 边上的高.由AD ⊥平面PEC ，知AD ⊥PC ，又∵ AD ∥BC ，∴ BC ⊥PC ，即h 1=PC.联结CE 、AC 由已知易得∆ACD 为αP A Bθh图2.5—17αP A h 图2.5—18Bθ βlP AEBCD l图2.5—20.PDECBA 图2.5—19.O正三角形，∴ PC=√PE 2+EC 2=√15，由BC ∥平面PAD 和(1)知h=2√3， ∴ sin α=h h 1=2√55，故平面PBC 与平面PAD 所成二面角的余弦值为2√55.例13.如图2.5—21，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，且PA=PD=√22AD ，在线段AB 上是否存在一点G ，使二面角C —PD —G 的正弦值为2√23，说明理由. 解：取AD 的中点E ，联结PE 、CE ，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA=PD= √22AD ， ∴ PD ⊥AB ，DP ⊥平面PAB ，从而可得，DP ⊥P G ，EC=√5， PC=√6， PA =PD =√2，PE =1.设AG=a ，点G 到平面PDC 的距离为h ，二面角C —PD —G 的平面角(或补角)为θ，则sin θ=h PG.由V G—PDC = V P—DGC ，得 h =S ∆DGCS ∆PDC=√2，又∵ PG=√2+a 2，∴ sin θ=hPG =√2√2+a 2=2√23，⇒a =12. 故存在点G 满足题设条件，且AG= 12.想一想⑤:在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 、O 分别在棱CD 、BC 、CC 1上，且CM=CN=OC 1， 当OM 与平面ABCD 所成角的余弦值为√22时，求二面角N —MO —C 的余弦值.(请用多种方法)习题2.51.四面体ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则MN 和BD 所成角的正切值为( ).2.在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，则BE 与CD 所成角的余弦值是( ).3.正三棱柱的九条棱都相等，M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点. 则MN 与CC 1所成角的余弦值是( ).4.不共面的三条射线OA 、O1B 、OC 两两成600的角，则OC 与平面AOB 所成角的余弦值为( ).5.正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1=8，BD 1与侧面BC 1所成的角为30°，则BD 1和底面ABCD 所成的角为( ). A.30°. B.60°. C.45°. D.90°.6.设P 是边长为1的正△ABC 所在平面外一点，且PA=PB=PC= 23，那么PC 与平面ABC 所成的角为( ). A.30°. B.45°. C.60° D.90°.7.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成角的余弦值.(要求用三种不同的方法).8.已知ABCD 是正方形，PB 平面ABCD ，PB=AB=1，求二面角A —PD —C 的大小.9.如图2.5—22.空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ， ∠ACB=90o，求二面角B -PC -A 的余弦值.10.在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与PBα CAE F D图2.5—22 图2.5—21PDAB ECG平面PDC 所成二面角的大小.11.设M 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD 1与底面ABCD 所成的二面角的余弦值. 12.AC ⊂α，BD ⊂β，α与β所成的角为600，AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于B ，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝2，求A 、B 两点间的距离.【参考答案】想一想①:1. 45°.2.1015.提示，法1.联结D 1F 1，过F 1作F 1M ∥BD 1角BC 与M.法2.在左侧面“拼”一个相同的三棱柱. 3..2222222cb a b a b a ++⋅+-利用三余弦公式，联结AC 、BD 交于O ，其中AC C 11∠=ϕ，COB ∠=2ϕ. 想一想②:1.300.提示，相当于求A 1B 平面AA 1C 1C 所成的角.2.√24.换个角度画图.由已知知CP ⊥平面PBA.∠ABC=θ,∠PBA=450=φ1,∠PBC=600=φ2.由三余弦公式可得.3.√26.直接法或等积变形. V E—ACC 1= V C 1—ACE . 4. √26.等积变形. V B—PCD = V P—BCD .想一想③:1.13.法1.过一个顶点作对面的垂线，由三垂线定理得到二面角的平面角，再求之. 法2.利用等腰三角形的特性作出二面角的平面角. 法3.利用面积的射影定理亦可求解. 2.1200.仿例8(1)作棱的垂面求解. 3.−√74. 利用等腰三角形的特性作出二面角的平面角.想一想④:(1) √63.法1.联结AC ，先证CD ⊥平面PAC.可知∠PCA 为平面角，再计算. 法2.利用面积的射影定理求.(cos θ=S∆ACD S ∆PCD).(2) √66.法1.延长DC 交AB 于点E ，则PE 为二面角的棱.再用直接法求之.法2. 利用面积的射影定理求. (cos θ=S∆PAB S ∆PCD).想一想⑤: √33. 习题2.51. 43.. 2. √75. 3.2√55. 4. √33.利用三余弦公式. 5.C. 6.A. 7. √558.1200.注意到∆PCD ≌∆PAD ，过点C 作CE ⊥PD,联结AE,则AE ⊥PD ，∴ ∠AEC 为二面角 A —PD —C 的平面角，利用直角三角形PCD 面积等积变形可求得CE=AE=√63下略.9.13.提示：在射线CP上取点D，作平面DEF ⊥CP.即棱的垂面.10.450.法1.∵ CD∥AB,由线面平行的判断和性质可推得二面角的棱为过点P且平行于AB的直线，又∵ AB⊥平面PAD，可知∠APD为二面角的平面角.法2.利用面积的射影定理. cosθ=S∆PABS∆PCD11.√63.利用面面平行的性质可知过三点B、M、D1的截面如图D2.5—1所示.此二面角的棱l为过点B且MN∥l∥AC的直线.也可用面积的射影定理求.12.√17.仿例7(2)的方法求解.A BCDA1B1C1D1图D2.5—1NM11。
空间角公式
空间角公式空间角公式是三维空间中两个向量之间的夹角，也称为向量夹角。
在三维空间中，向量的方向和大小都很重要，因此空间角公式是非常重要的数学工具。
空间角公式可以用余弦定理来表示。
假设有两个向量a和b，它们的夹角为θ，那么它们的余弦值可以表示为：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长。
这个公式可以用来计算任意两个向量之间的夹角。
空间角公式还可以用向量的坐标表示。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，那么它们的夹角可以表示为：cosθ = (a1b1 + a2b2 + a3b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2)·sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))其中，sqrt表示平方根。
这个公式可以用来计算任意两个向量之间的夹角，只需要知道它们的坐标。
空间角公式在三维计算机图形学中有广泛的应用。
例如，在计算机游戏中，需要计算物体之间的碰撞，就需要用到空间角公式来计算它们之间的夹角。
在计算机辅助设计中，也需要用到空间角公式来计算物体之间的相对位置和方向。
除了空间角公式，还有一些其他的向量公式也非常重要。
例如，向量的叉积公式可以用来计算两个向量的垂直向量，向量的投影公式可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影长度。
这些公式都是三维空间中向量计算的基础，对于理解和应用三维计算机图形学非常重要。
空间角公式是三维空间中向量计算的重要工具，它可以用来计算任意两个向量之间的夹角。
在三维计算机图形学中，空间角公式是非常重要的数学工具，它可以用来计算物体之间的相对位置和方向，对于计算机游戏和计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。
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第65题 空间角的计算I ．题源探究·黄金母题【例1】如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD,PD=DC,点E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F.图3.2-7EADBCPF(1)求证:PA//平面EDB; (2)求证:PB ⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D 的大小.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）600.【解析】如图所示建立空间直角坐标系,点D 为坐标原点,设DC=1.yxz 图3.2-8GE A DBCPF（3）解:已知PB ⊥EF,由(2)可知PB ⊥DF,故∠EFD 是二面角C-PB-D 的平面角.设点F 的坐标为(x,y,z),则)1,,(-=z y x .因为k =,所以0=⋅, 所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0,所以31=k ，点F 的坐标为)32,31,31(。
又点E 的坐标为)21,21,0(，所以)61,61,31(--=，因为cos FE FD EFD FE FD⋅∠==，1111121(,,)(,,)1366333612663--⋅---==•即∠EFD=600，即二面角C-PB-D 的大小为600.【点睛】直线与平面平行与垂直的证明,二面角大小的求解是高热点中的热点,几乎每年必考,而此例题很好的展现了,用向量方法证明直线与平面平行与垂直,还给出了用向量方法求二面角的大小.II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标II 理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A ．32B ．155C ．105D ．33【答案】C【解析】分析：如图所示，补成四棱柱1111ABCD A B C D - , 11,2,BC D BC ∠=则所求角为201121221cos603,5BD C D AB =+-⨯⨯⨯=== 因此1210cos 55BC D ∠== ，故选C 。
【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。
求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。
【例3】【2016高考浙江】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD =5，∠ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______．【答案】69【解析】分析：设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得6AC =，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由6(0,2A ，302B ，6(0,2C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直， 266CD CH CA ===， 则63OH =，53066DH ==， 因此可设30630,,)636D αα-， 则3030630'()6236BD αα=--， 与CA 平行的单位向量为(0,1,0)n =，所以cos cos ',BD n θ=<>''BD n BD n⋅=＝6395cos α-，所以cos 1α=时， cos θ取最大值6． HD'DCB AzyxO【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与C A 平行的单位向量n 和D 'B ，进而可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值的最大值．【例4】【2017浙江9】如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等.【例5】【2017课标3理16】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥ ，又AC ⊥圆锥底面，在底面内可以过点B ，作BD a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连结DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴ ，连结AD ，等腰△ABD中，2AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠= ，故2BD = ，又在BDE Rt △ 中，2,2BE DE =∴=，过点B作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连结AF ，由圆的对称性2BF DE ==ABF ∴△ 为等边三角形，60ABF ∴∠= ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a所成的最大角为90°，④错误.正确的说法为②③.【例6】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAP CDP∠=∠=.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD.而AB∥CD ，就可证明出AB⊥平面PAD.进而证明平面PAB⊥平面PAD.（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立以F为坐标原点，FA 的方向为x轴正方向，||AB为单位长，的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设(,,)x y z=n是平面PCB的法向量，(,,)x y z=m 是平面PAB的法向量，根据垂直关系，求出(0,1,2)=--n和(1,0,1)=m，利用数量积公式可求出二面角的平面角.解析：（1）由已知90BAP CDP∠=∠=︒，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（2）在平面PAD内作PF AD⊥，垂足为F，由（1）可知，AB⊥平面PAD，故AB PF⊥，可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，||AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz-.由（1）及已知可得22A，2(0,0,2P，22B，2(,1,0)2C-.所以22(,1,)22PC=--，(2,0,0)CB=，22(PA=，(0,1,0)AB=.设(,,)x y z=n是平面PCB的法向量，则PCCB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn，即222220x y zx⎧-+-=⎪⎨=，可取(0,1,2)=--n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则00PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即220220x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩， 可取(1,0,1)=m .则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为3-. 【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.【例7】【2017课标II 理19】如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点。
（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45 ，求二面角M AB D --的余弦值。
【答案】(1)证明略；10【解析】分析：(1) 取PA 的中点F ，连结EF ，BF ，由题意证得CE ∥BF ，利用线面平行的判断定理即可证得结论；(2)建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：()0,6,2=-m ，()0,0,1=n ，然后利用空间向量的结论可求得二面角M -AB -D 10。
解析：（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF 。
因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ,12EF AD =, 由90BAD ABC ∠=∠=得BC ∥AD ，又12BC AD =, 所以EF BC ∥。
四边形BCEF 为平行四边形，CE ∥BF 。
又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 故CE ∥平面PAB 。
（2）由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，(3P ，(103)PC =，，,(100)AB =，，，设()(),,01M x y z x <<则()(1,,,,1,3BM x y z PM x y z =-=-，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而()0,0,1=n 是底面ABCD 的法向量， 所以cos ,sin 45BM =n ，()222221zx y z=-++， 即()22210x y z -+-=。
①又M 在棱PC 上，设PM PC λ=,则,1,33x y z λλ===。