(新)高中数学黄金100题系列第65题空间角的计算理

第65题 空间角的计算

I ．题源探究·黄金母题

【例1】如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD,PD=DC,点E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F.

图3.2-7

E

A

D

B

C

P

F

(1)求证:PA//平面EDB; (2)求证:PB ⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D 的大小.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）600

.

【解析】如图所示建立空间直角坐标系,点D 为坐标原点,设DC=1.

y

x

z 图3.2-8

G

E A D

B

C

P

F

（3）解:已知PB ⊥EF,由(2)可知PB ⊥DF,故

∠EFD 是二面角C-PB-D 的平面角.

设点F 的坐标为(x,y,z),则)1,,(-=z y x .

因为k =,所以0=⋅, 所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0,

所以31=

k ，点F 的坐标为)3

2

,31,31(。 又点E 的坐标为)21

,21,0(，

所以)6

1

,61,31(--=，因为

cos FE FD EFD FE FD

⋅∠=

=，

1111121(,,)(,,)136633361266

3--⋅---==•

即∠EFD=600

，即二面角C-PB-D 的大小为600

.

【点睛】直线与平面平行与垂直的证明,二面角大小的求解是高热点中的热点,几乎每年必考,而此

例题很好的展现了,用向量方法证明直线与平面平行与垂直,还给出了用向量方法求二面角的大小.

II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2017课标II 理10】已知直三棱柱

111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值

为（ ）

A ．

3

2

B ．15

5

C ．

10

5

D ．33

【答案】C

【解析】分析：如图所示，补成四棱柱

1111ABCD A B C D - , 11,2,BC D BC ∠=

则所求角为

201121221cos603,5BD C D AB =+-⨯⨯⨯=== 因此1210

cos 55

BC D ∠=

= ，故选C 。

【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,

2π⎛⎤

⎥⎝⎦

，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角

的范围。

【例3】【2016高考浙江】如图，已知平面四边形

ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD =5，∠ADC =90°．沿

直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D '

B 所成角的余弦的最大值是______．

【答案】

69

【解析】分析：设直线AC 与'BD 所成角为θ．

设O 是AC 中点，由已知得6AC =，如图，

以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由

6(0,

2A ，302B ，6

(0,2

C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'

D H 始终与

AC 垂直， 2

66

CD CH CA ===

， 则63OH =

，530

66

DH ==， 因此可设30630

,,)636

D αα-， 则3030630

'()6236

BD αα=--， 与CA 平行的单位向量为(0,1,0)n =，

所以cos cos ',BD n θ=<>''BD n BD n

⋅=

＝

6

395cos α

-，所以cos 1α=时， cos θ取最大值

6

． H

D'

D

C

B A

z

y

x

O

【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与C A 平行的单位向量n 和D 'B ，进而可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值的最大值．

【例4】【2017浙江9】如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CR

QC RA

==，分别记二面角D –PR –Q ，

D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则

A ．γ<α<β

B ．α<γ<β

C ．α<β<γ

D ．β<γ<α

【答案】B

【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离

最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等.

【例5】【2017课标3理16】a ，b 为空间中两条

互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边

AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC

为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；

③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编

号） 【答案】②③

【解析】由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥ ，又

AC ⊥圆锥底面，在底面内可以过点B ，作

BD a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连结DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴ ，连结AD ，等腰△ABD

中，2AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠= ，故2BD = ，又在

BDE Rt △ 中，2,2BE DE =∴=，过点B

作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连结AF ，由圆的对称性2BF DE ==

ABF ∴△ 为等边三角形，

60ABF ∴∠= ，

即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由最小角定理可知③正确；