抛物线基础练习
2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试：54 抛物线
考点测试54 抛物线高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2．理解数形结合的思想3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1．抛物线y ＝x 2的准线方程是( )14A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2答案 A解析 依题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程是y ＝－1，故选A ．2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为( )A ．4B ．6C ．8D ．12答案 B解析 依题意得，抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，因此点P 到该抛物线准线的距离为4＋2＝6，故选B ．3．到定点A (2，0)与定直线l ：x ＝－2的距离相等的点的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y 答案 A解析 由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p ＝4，焦点在x 轴正半轴上，故选A ．4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，)到其焦点的距离是A 到y 轴距离2的3倍，则p 等于( )A ．B ．1C ．D ．21232答案 D解析 由题意3x 0＝x 0＋，x 0＝，则＝2，∵p >0，∴p ＝2，故选D ．p2p4p 225．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由抛物线y 2＝4x 得p ＝2，由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，又因为x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝8，故选C ．6．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点为( )A ．(1，2)B ．(0，0)C ．，1D ．(1，4)12答案 C解析 解法一：根据题意，直线y ＝4x －5必然与抛物线y ＝4x 2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y ＝4x －5平行的抛物线的切线的切点．由y ′＝8x ＝4得x ＝，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是，1，该1212点到直线y ＝4x －5的距离最短．故选C ．解法二：抛物线上的点(x ，y )到直线y ＝4x －5的距离是d ＝＝|4x －y －5|17＝，显然当x ＝时，d 取得最小值，此时y ＝1．故选C ．|4x －4x 2－5|174x －122＋417127．已知动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x ．8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝|MN |，则∠NMF ＝________．32答案 π6解析 过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有|PN |＝|NF |，∴|PN |＝|MN |，∠NMF ＝∠MNP ．又cos ∠MNP ＝，∴∠MNP ＝，即3232π6∠NMF ＝．π6二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则·＝( )23FM → FN → A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 D解析 根据题意，过点(－2，0)且斜率为的直线方程为y ＝(x ＋2)，与抛物2323线方程联立Error!消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1，2)，N (4，4)，又F (1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，从而可以求FM → FN→ 得·＝0×3＋2×4＝8，故选D ．FM→ FN → 10．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10答案 A解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1，0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，1k y ＝－(x －1)．1k 由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝1，2k 2＋4k 2所以|AB |＝·|x 1－x 2|1＋k 2＝·1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·＝．1＋k 22k 2＋4k 22－44(1＋k 2)k 2同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝＋4(1＋k 2)4(1＋k 2)k 2＝4＋1＋1＋k 2＝8＋4k 2＋≥8＋4×2＝16，1k 21k 2当且仅当k 2＝，即k ＝±1时，取得等号．故选A ．1k 211．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．答案 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Error!所以y －y ＝4x 1－4x 2，212所以k ＝＝．y 1－y 2x 1－x 24y 1＋y 2取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1 的垂线，垂足分别为A ′，B ′．因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝|AB |＝(|AF |＋|BF |)＝(|AA ′|＋|BB ′|)．121212因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴．因为M (－1，1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2．12．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1，0)解析 由题意得a >0，设直线l 与抛物线的两交点分别为A ，B ，不妨令A 在B 的上方，则A (1，2)，B (1，－2)，故|AB |＝4＝4，得a ＝1，故抛物线方a a a 程为y 2＝4x ，其焦点坐标为(1，0)．13．(2017·天津高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________．答案 (x ＋1)2＋(y －)2＝13解析 由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1，0)，准线l 的方程为x ＝－1．由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°．又因为∠FAC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝，所以点C 的纵坐标为．33所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －)2＝1．3三、模拟小题14．(2018·沈阳监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( )A ．(0，a )B ．(a ，0)C ．D ．(0，116a )(116a，0)答案 C解析 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝y (a ≠0)，所以焦点坐标为14a ，故选C ．(0，116a )15．(2018·太原三模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若＝3，则|MN |＝( )PF → MF→ A ． B ．8 C ．16 D ．163833答案 A解析 由题意F (1，0)，设直线PF 的方程为y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为准线方程为x ＝－1，所以得P (－1，－2k )．所以＝(2，2k )，PF→ ＝(1－x 1，－y 1)，因为＝3，所以2＝3(1－x 1)，解得x 1＝．把MF → PF → MF→ 13y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1x 2＝1，所以x 2＝3，从而得|MN |＝|MF |＋|NF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝．故选A ．16316．(2018·豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8，7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析 延长PQ 与准线交于M 点，抛物线的焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1．∴|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PM |－1＝|PA |＋|PF |－1≥|AF |－1＝－1＝10－1＝9．82＋(7－1)2当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|PA |＋|PQ |的最小值为9．故选C ．17．(2018·青岛质检)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△APQ 的面积为4，则实数p 的值为( )A ．B ．1C ．D ．21232答案 D解析 解法一：设过点A 且与抛物线C 相切的直线为y ＝kx －．由Error!得p2x 2－2pkx ＋p 2＝0．由Δ＝4p 2k 2－4p 2＝0，得k ＝±1，所以得点P －p ，，p2Qp ，，所以△APQ 的面积为S ＝×2p ×p ＝4，解得p ＝2．故选D ．p212解法二：如图，设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由题意得点A 0，－．y ＝x 2，求导得y ′＝x ，所以切线PA 的p212p 1p 方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，即y ＝x 1x －x ，切线PB 的方程为y －y 2＝x 2(x －x 2)，1p 1p 12p 211p 即y ＝x 2x －x ，代入A 0，－，得点P －p ，，Qp ，，所以△APQ 的面积为1p 12p 2p 2p2p2S ＝×2p ×p ＝4，解得p ＝2．故选D ．1218．(2018·沈阳质检一)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1，1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________．答案 2x －y －1＝0解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 都在抛物线上，可得Error!作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．因为AB 中点为P (1，1)，所以y 1＋y 2＝2，则有2·＝4，所以k AB ＝＝2，从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即y 1－y 2x 1－x 2y 1－y 2x 1－x 22x －y －1＝0．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN ．解 (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1．1212(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为线段MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN ．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0．由Error!得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝，y 1y 2＝－4．2k 直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝＋＝．①y 1x 1＋2y 2x 2＋2x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2)将x 1＝＋2，x 2＝＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得y 1k y 2k x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k＝＝0．所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以－8＋8k∠ABM ＝∠ABN ．综上，∠ABM ＝∠ABN ．2．(2018·浙江高考)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．y 24解 (1)证明：设P (x 0，y 0)，A y ，y 1，B y ，y 2．1421142因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程2＝4·即y 2－2y 0y ＋8x 0－y ＝0的两个不同的y ＋y 0214y 2＋x 0220实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知Error!所以|PM |＝(y ＋y )－x 0＝y －3x 0，182123420|y 1－y 2|＝2．2(y 20－4x 0)因此，△PAB 的面积S △PAB ＝|PM |·|y 1－y 2|12＝(y －4x 0)．3242032因为x ＋＝1(x 0<0)，20y 204所以y －4x 0＝－4x －4x 0＋4∈[4，5]．2020因此，△PAB 面积的取值范围是6，．2151043．(2018·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．QM → QO → QN → QO→ 1λ1μ解 (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2．故抛物线C 的方程为y 2＝4x ，由题意知，直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由Error!得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0．依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3．所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝．2k －4k 21k 2直线PA 的方程为y －2＝(x －1)．y 1－2x 1－1令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝＋2＝＋2．－y 1＋2x 1－1－kx 1＋1x 1－1同理得点N 的纵坐标为y N ＝＋2．－kx 2＋1x 2－1由＝λ，＝μ得λ＝1－y M ，μ＝1－y N ．QM → QO → QN → QO → 所以＋＝＋＝＋＝·＝1λ1μ11－yM 11－yN x 1－1(k －1)x 1x 2－1(k －1)x 21k －12x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2·＝2．1k －12k 2＋2k －4k 21k 2所以＋为定值．1λ1μ二、模拟大题4．(2018·湖北八市联考)如图，已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，其焦点到准线的距离为2，圆S ：x 2＋y 2－py ＝0，直线l ：y ＝kx ＋与圆和抛物线自左至右顺次交p 2于A ，B ，C ，D 四点．(1)若线段AB ，BC ，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求正数k 的值；(2)若直线l 1过抛物线焦点且垂直于直线l ，l 1与抛物线交于点M ，N ，设MN ，AD 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点．解 (1)由题意可得p ＝2，所以抛物线x 2＝4y ，圆S 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，其圆心S (0，1)，圆的半径为1，设点A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由Error!得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，所以|AB |＋|CD |＝|AS |＋|DS |－|BC |＝y 1＋1＋y 2＋1－2＝y 1＋y 2＝4k 2＋2＝2|BC |＝4，所以k ＝(负值舍去)．22(2)证明：因为x 1＋x 2＝4k ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，所以Q (2k ，2k 2＋1)．当k ≠0时，用－替换k 可得P －，＋1，1k 2k 2k 2所以k PQ ＝，k 2－1k 所以PQ 的直线方程为y －(2k 2＋1)＝(x －2k )，k 2－1k 化简得y ＝x ＋3，过定点(0，3)．k 2－1k 当k ＝0时，直线l 1与抛物线只有一个交点，不符合题意，舍去．5．(2018·珠海摸底)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－2)，3(－2，0)，(4，－4)，，．222(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足⊥？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．OM → ON → 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有＝2p (x ≠0)，y 2x 据此验证四个点知(3，－2)，(4，－4)在抛物线上，3易得，抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x ．设椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2把点(－2，0)，，代入可得a 2＝4，b 2＝1，222所以椭圆C 1的标准方程为＋y 2＝1．x 24(2)由抛物线的标准方程可得C 2的焦点F (1，0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1．直线l 交椭圆C 1于点M 1，，N 1，－，3232·≠0，不满足题意．OM → ON → 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，并设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由Error!消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝，8k 21＋4k 2x 1x 2＝． ①4(k 2－1)1＋4k 2则y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2－＋14(k 2－1)1＋4k 28k 21＋4k 2＝． ②－3k 21＋4k 2由⊥得x 1x 2＋y 1y 2＝0． ③OM → ON → 将①②代入③式，得＋＝＝0，4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2k 2－41＋4k 2解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0．6．(2018·石家庄质检二)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝的圆心C 在抛物线94x 2＝2py (p ＞0)上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在A ，B 处作抛物线的两条切线交于点P ，求△PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解 (1)由已知可得圆心C (a ，b )，半径r ＝，焦点F 0，，准线y ＝－，因为圆C 与抛物线F 的准线相切，所32p 2p 2以b ＝－．又因为圆C 过原点，且圆C 过焦点F ，所以圆心C 必在线段OF 的32p 2垂直平分线上，即b ＝，所以－＝，解得p ＝2，p 432p 2p 4所以抛物线的方程为x 2＝4y ．(2)易得焦点F (0，1)，直线l 的斜率必存在，设为k ，即直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由Error!得x 2－4kx －4＝0，Δ>0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，对y ＝求导得y ′＝，即k AP ＝．x 24x 2x 12直线AP 的方程为y －y 1＝(x －x 1)，x 12即y ＝x －x ，x 121421同理得直线BP 的方程为y ＝x －x ．x 22142设点P (x 0，y 0)，联立直线AP 与BP 的方程，解得Error!即P (2k ，－1)，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点P 到直线1＋k 2AB 的距离d ＝＝2，所以△PAB 的面积|2k 2＋2|1＋k 21＋k 2S ＝·4(1＋k 2)·2＝4(1＋k 2)≥4，121＋k 232当且仅当k＝0时取等号．综上，△PAB面积的最小值为4，此时直线l的方程为y＝1．。
2020年高考数学复习题：抛物线的方程及性质
抛物线的方程及性质[基础训练]1．过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为l ：x ＝－1.设AB 的中点为E ，过A ，E ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为C ，G ，D .EG 交y 轴于点H (如图所示)．则由EG 为直角梯形ACDB 的中位线知， |EG |＝|AC |＋|BD |2＝|AF |＋|FB |2＝|AB |2＝5， |EH |＝|EG |－1＝4.则AB 的中点到y 轴的距离等于4.2．已知抛物线C: y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝32x 0，则x 0＝( )A.14B.12 C ．1D ．2答案：B 解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－14，因为|AF |＝32x 0，根据抛物线的定义可得 x 0＋14＝|AF |＝32x 0，解得x 0＝12.3．[2019吉林长春一模]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |＝( )A.13 B.23 C.34D.43答案：A 解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ， 则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |， 即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，解得|AF ||BF |＝13.4．[2019洛阳模拟]已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，那么M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4在抛物线上，即16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2答案：C 解析：焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.6．[2019海南海口模拟]过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝－12yD ．x 2＝12y答案：D 解析：由已知条件知，动圆圆心到点F 和到直线y ＋3＝0的距离相等，所以动圆圆心轨迹是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，故其方程为x 2＝12y ，故选D.7．[2019豫南九校联考]已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案：C 解析：如图，抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9，当且仅当点P 在线段AF 上时，等号成立， 则|P A |＋|PQ |的最小值为9. 故选C.8．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74答案：C 解析：如图，过A ，B 及线段AB 的中点C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1，CC 1交y 轴于C 0.由抛物线定义可知，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |， ∴|CC 0|＝|CC 1|－|C 1C 0| ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－|C 1C 0| ＝32－14＝54， 故选C.9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，交准线于点C ，若CB→＝3BF →，则直线l 斜率为________． 答案：±22 解析：作BB 1垂直于准线，B 1为垂足，由抛物线定义可知，|BB 1|＝|BF |， ∴|BC |＝3|BB 1|.在Rt △B 1BC 中，tan ∠B 1BC ＝2 2. ∴tan α＝22(α为倾斜角)． 由对称性可知，斜率还可等于－2 2. ∴斜率为±2 2.10．[2017全国卷Ⅱ]已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案：6 解析：如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴ PM ∥OF .由题意，知F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵ 点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴ |MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴ |MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义，知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.11．[2017北京卷]已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解：由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12. 所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0， 准线方程为x ＝－14.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2. 因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2 ＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2＝0， 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．[强化训练]1．[2019清华大学学术能力诊断]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83p 2B.233p 2C.433p 2D.833p 2答案：B 解析：不妨设P 在第一象限，过Q 作QR ⊥PM ，垂足为R ，设准线与x 轴的交点为E ，∵直线PQ 的斜率为3，∴直线PQ 的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝p1－cos 60°＋p 1＋cos 60°＝2p sin 260°＝83p .在Rt △PRQ 中，sin ∠RPQ ＝|QR ||PQ |， ∴|QR |＝|PQ |·sin ∠RPQ ＝83p ×32＝433p ， 由题意可知，|MN |＝|QR |＝433p ， ∴S △MNF ＝12|MN |·|FE |＝12×433p ×p ＝233p 2. 故选B.2．[2019湖北四地七校3月联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)．过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24.则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x答案：D 解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ， 所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)， 所以抛物线方程为y 2＝8x ， 所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ， 故选D.3.[2019安徽芜湖模拟]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2答案：A 解析：①焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24； ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设直线AB ：y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2， 联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4. 又∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2. 故y 1y 2x 1x 2＝－4. 4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5答案：C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12.又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5， 所以|P A |＋|PM |≥92.5．设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( ) A ．4 B ．6 C ．9D ．12答案：C 解析：由题意，得抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴点F 是△ABC 的重心， ∴x 1＋x 2＋x 3＝92. 由抛物线的定义，可得|F A |＝x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 1＋32，|FB |＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 2＋32， |FC |＝x 3－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 3＋32，∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32 ＝9.6．[2019石家庄模拟]已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y答案：D 解析：因为x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，所以c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，所以ba ＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋(3)2＝2，所以p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .7．[2019永州模拟]已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A.22 B ．1－22 C ．1＋22D ．2＋ 2答案：D 解析：抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116， 准线为y ＝－116，设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°， 可得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ， 由抛物线的定义，可得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |， 由梯形的中位线定理，可得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )，由|MN |2＝λ·d 2，可得14λ＝a 2＋b 2＋2ab (a ＋b )2＝1－(2－2)ab (a ＋b )2≥1－(2－2)ab (2ab )2＝1－2－24＝2＋24，可得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2＋ 2.8．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.答案：1＋2 解析：|OD |＝a2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ，又抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ， ∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·ba －1＝0， 又b a >1，∴ba ＝1＋ 2.9．[2019河南安阳一模]已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案：2 解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x2b 2＝1，可得 14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)， ∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ， 准线为直线y ＝－1.设点M 在准线上的射影为D ， 根据抛物线的定义可知，|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.10．[2019湖北武汉一模]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为点C ，D .若|AF |＝2|BF |，且△CDF 的面积为2，则p 的值为________．答案：233 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为直线AB 过焦点F ，所以y 1y 2＝－p 2. 不妨设点A 在第一象限，因为|AF |＝2|BF |，所以|y 1|＝2|y 2|，所以－2y 22＝－p 2.解得y 2＝－22p ，所以y 1＝－2y 2＝2p . 所以S △CDF ＝12|y 1－y 2|×p ＝12×322p 2＝2， 解得p ＝233.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2， 于是4＋p2＝5，∴p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由(1)知，点A 的坐标是(4,4)． 由题意，得B (0,4)，M (0,2)， 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43. ∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34， ∴直线F A 的方程为y ＝43(x －1)，① 直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2，② 由①②联立，得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.。
抛物线知识点及基础训练题
抛物线1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向右左上下标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p(,0)2p- (0,)2p (0,)2p -准 线方 程2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈对 称轴X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴顶 点坐 标（0,0）离心率1e = 通 径2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p ABα= 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===∙∙ 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB |=x 1+x 2+p ,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
初三抛物线基础练习
二次函数一、基础练习1．把抛物线y=2x2向上平移1个单位，得到抛物线_______，把抛物线y=-2x2•向下平移3 个单位，得到抛物线________．2．抛物线y=3x2-1的对称轴是_____，顶点坐标为________，它是由抛物线y=3x2•向_______平移______个单位得到的．3．把抛物线x2向左平移1个单位，得到抛物线_________，把抛物线x2•向右平移3个单位，得到抛物线________．4．抛物线x-1）2的开口向________，对称轴为______，顶点坐标为_________，•它是由抛物线2向______平移______个单位得到的．5．把抛物线y=-13（x+12）2向_____平移______个单位，就得到抛物线y=-13x2．6．把抛物线y=4（x-2）2向______平移_______个单位，就得到函数y=4（x+2）2的图象．7．函数y=-（x-13）2的最大值为________，函数y=-x2-13的最大值为________．8．若抛物线y=a（x+m）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，•开口方向相同，则点（a，m）关于原点的对称点为________．9．已知抛物线y=a（x-3）2过点（2，-5），则该函数y=a（x-3）2当x=________•时，•有最____值______．10．若二次函数y=ax2+b，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数的值为________．11．一台机器原价50万元．如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y•万元，则y与x的函数关系式为（）A．y=50（1-x）2 B．y=50（1-x）2 C．y=50-x2 D．y=50（1+x）212．下列命题中，错误的是（）A．抛物线y=-32x2-1不与x轴相交;B．抛物线y=32x2-1与y=32（x-1）2形状相同，位置不同;C．抛物线y=12（x-12）2的顶点坐标为（12，0）;D．抛物线y=12（x+12）2的对称轴是直线x=1213．顶点为（-5，0）且开口方向、形状与函数y=-13x2的图象相同的抛物线是（）A．y=-13（x-5）2 B．y=-13x2-5 C．y=-13（x+5）2 D．y=13（x+5）214．已知a<-1，点（a-1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y=12x2-2的图象上，则（）A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y315．函数y=（x-1）2+k与y=kx（k是不为0的常数）在同一坐标系中的图象大致为（）二、整合练习1．已知反比例函数y=kx的图象经过点A（4，12），若二次函数y=12x2-x•的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），C（n，2），求平移后的二次函数图象的顶点坐标．2．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？3．将二次函数y=-2x2+8x-5的图象开口反向，并向上、下平移得一新抛物线，新抛物线与直线y=kx+1有一个交点为（3，4）．求：（1）这条新抛物线的函数解析式；（2）这条新抛物线和直线y=kx+1的另一个交点．。
2022年高考数学一轮复习专题专题41抛物线基础巩固检测题解析版.docx
专题41抛物线基础巩固检测题(解析版)一、单选题1.过抛物线十=4》的焦点F 的直线交抛物线于AB 两点，若F 是线段AB 的中点,则 |AB |=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【分析】依据题意可知线段AB 为抛物线的通径可得结果. 【详解】由题可知：线段为抛物线的通径 所以|AB| = 4 故选：D2. F 为抛物线y2=2px(p>0)上一点，点尸到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则P=()【答案】D 【分析】由抛物线：/=2px(p>0)可得准线/的方程为：x = --|,设点P(x,y),再由点尸到 抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,可得x + ^ = 10, y = ±6,再与抛物线方 2 程y2=2px(p 〉0),联立解方程组，即可求解.【详解】 解：由题意可得：抛物线V=2px(p>0)的准线/的方程为：x =-宣设点P(x, y),又因点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6, 即。
的值分别为18或2.故选：D. 【点睛】B. 4C. 4 或9D. 2或18所以有， 》+农102y = ±6 ,解得＜y 2 =2 pxx = l 、或＜ [p = 18|x = 9[P = 2‘A. 2本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.3.已知抛物线方程为必=4>,则该抛物线的焦点坐标为( )A. (0,-1)B. ^-―C.D. (0,1)【答案】D【分析】根据抛物线方程求出。
=2，即可得抛物线的焦点坐标.【详解】由抛物线方程x2=4y可知2p = 4,所以p = 2,又抛物线的焦点在V轴正半轴上，所以该抛物线的焦点坐标为(0,1).故选：D4.已知抛物线C:x2=2py(p〉0)的焦点在直线x+y-1 = 0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60。
的直线交抛物线C于A、8两点，则|仙|=( )A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C【分析】直线x+y-l =。
双曲线,抛物线容易题
双曲线，抛物线基础题例题1．求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。
例题2．（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。
例题3．（12）设焦点在轴上的双曲线渐近线方程为,且离心率为2，已知点A（）（1）求双曲线的标准方程；（2）过点A的直线L交双曲线于M,N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程。
巩固练习4．已知双曲线：的右焦点为，在的两条渐近线上的射影分别为、，是坐标原点，且四边形是边长为的正方形．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过的直线交于、两点，线段的中点为，问是否能成立？若成立，求直线的方程；若不成立，请说明理由．巩固练习5．双曲线的一条渐近线方程是，坐标原点到直线的距离为，其中（1）求双曲线的方程；（2）若是双曲线虚轴在轴正半轴上的端点，过点作直线交双曲线于点，求时，直线的方程.例题6．已知双曲线的离心率且点在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程.巩固练习7．已知双曲线的右顶点为A,右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，，，过点F的直线与双曲线右支交于点．（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）求面积的最小值．例题8．(满分12分)已知点，直线：交轴于点，点是上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若 A、B为轨迹上的两个动点，且证明直线AB必过一定点，并求出该定点．巩固练习9．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合，直线过点F交抛物线于A、B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线交y轴于点M，且，m、n是实数，对于直线，m+n是否为定值？若是，求出m+n的值，否则，说明理由．例题10．已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为坐标原点.（Ⅰ）证明：为钝角.（Ⅱ）若的面积为，求直线的方程;巩固练习11．（本小题满分13分）如图所示，直线l与抛物线y2=x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴交于点M，且y1y2＝－1，（Ⅰ）求证：点的坐标为；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△AOB面积的最小值。
(完整版)抛物线基础练习题
完整版)抛物线基础练习题抛物线基础练习题1.抛物线方程及性质1.1 抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数常数。
a 的值决定了抛物线的开口方向。
当 $a。
0$ 时，抛物线开口向上。
当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
1.2 抛物线的对称轴是垂直于 x-轴的直线，可以通过以下公式求得：x = -\frac{b}{2a}$$2.抛物线图像绘制2.1 绘制抛物线图像的步骤：确定抛物线的方程。
找出对称轴的 x 坐标。
绘制对称轴，并确定对称轴上的一点。
根据对称轴上的点，绘制抛物线的图像。
2.2 使用上述步骤绘制以下抛物线的图像：2.2.1 $y = x^2$，开口向上的抛物线。
首先，我们可以得知对称轴的 x 坐标为 $x = 0$。
确定对称轴上的一点 P(0,0)，然后根据 P 点的坐标起始绘制抛物线图像。
绘制结果如下图所示：抛物线图像](image.png)3.练习题请计算并回答下列问题：1.当抛物线方程为 $y = -2x^2 + 3x + 1$ 时，求其对称轴的 x 坐标。
2.给定抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，求其开口方向。
4.答案解析解答上述练习题：1.根据公式 $x = -\frac{b}{2a}$，代入 $a=-2$ 和 $b=3$，我们可以计算得到对称轴的 x 坐标为 $x = -\frac{3}{2}$。
2.根据抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，我们可以得知 $a = 4.0$，所以抛物线的开口方向是向上。
希望以上内容能够帮助你理解抛物线的基本概念和绘制方法。
如果还有其他问题，请随时提问。
抛物线基础题(含答案)
抛物线1．在平面内，“点P 到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P 的轨迹为抛物线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B2．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( )A ．抛物线B ．线段C ．直线D ．射线答案 A3. 已知动点P 到定点(0,2)的距离和它到直线l ：y ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________。
答案 x 2＝8y 4. 已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 C5. 对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116答案 B6．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18B ．－18 C ．8 D ．－8解析 因为y ＝ax 2(a ≠0)，化为标准方程为x 2＝1a y ，其准线方程为y ＝2，所以2＝1－4a，所以a ＝－18。
故选B 。
答案 B7. 抛物线y ＝－116x 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－164，0 B ．(－4,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－164 D ．(0，－4) 解析 抛物线方程化为x 2＝－16y 。
其焦点坐标为(0，－4)。
答案 D8. 抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为________。
解析 抛物线方程化为y 2＝－74x ，所以抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，0。
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，09．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( )A ．y 2＝94xB ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y 答案 D10．已知抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x22＝1的一个焦点重合，则m ＝________。
抛物线基础练习题(基础有梯度)
抛物线基础练习题(基础有梯度)一.选择题1.抛物线y^2=12x的准线方程是y=3.2.直线ax-y+1=0经过抛物线y^2=4x的焦点，实数a=2.3.抛物线y=-2x^2和y^2=-2x的焦点坐标分别是(-1,0)和(0,-1)。
4.若抛物线y=2px的焦点与椭圆x^2/16+y^2/9=1的右焦点重合，则p的值为4.5.双曲线x^2/16-y^2/4=1的左焦点在抛物线y^2=2px的准线上，则p的值为3.6.设椭圆x^2/16+y^2/4=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y^2=8x的焦点相同，离心率为1/2，则此椭圆的方程为x^2/12+y^2/16=1.7.若点P是抛物线y^2=2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为5/2.8.已知直线.9.已知点P在抛物线y^2=4x上，点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(1,2)。
10.已知y^2=2px的焦点为F，点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P3(x3,y3)在抛物线上，且2x2=x1+x3，则FP1+FP2=FP3.11.连结抛物线x^2=4y的焦点F与点M(1,0)所得线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为2/3.一.解答题1.将直线方程化为一般式：2x-3y+6=0，代入抛物线方程得y^2=-8x-2kx-16k，根据对称性，过抛物线焦点的直线方程为x=-2，代入抛物线方程得y^2=16-16k，由题意得点A坐标为(-2,4)，点B坐标为(-2,-4)，则点F坐标为(-2,0)，代入抛物线方程得焦距2p=4，解得p=2，代入y^2=16-16k得k=3/4，因此k的值为C.（注意题干中的格式错误）2.过点(-1,0)的切线斜率为f’(-1)=2(-1)+1=-1，切线方程为y=-x-1，联立y=x^2+x+1得x^2+2x+2=0，无实根，因此不存在过点(-1,0)的切线，选项都不正确。
北师大版2021版高考数学(理)一轮复习 第九章平面解析几何第6讲抛物线练习(含答案)
北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第6讲抛物线练习[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.2．(2020·河北衡水三模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.根据抛物线的定义，知|FA →|，|FB →|，|FC →|分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x 1＋x 2＝6.故选A.3．(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512m B ．256 mC.95m D ．185m解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为x 2＝－2py ，p ＞0，因为抛物线过点(6，－5)，所以36＝10p ，可得p ＝185，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m ．故选D.4．(2020·河南安阳三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′.若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠FAA ′＝35，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选C.过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′.设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠FAA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2.四边形AA ′PF 的面积S ＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p 2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13 B ．23C.23D ．223解析：选D.设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |， 所以点B 为线段AP 的中点，连接OB ， 则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，所以点B 的横坐标为1， 因为k ＞0，所以点B 的坐标为(1，22)，所以k ＝22－01－（－2）＝223.故选D.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |， 得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.答案：47．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为________．解析：设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′.因为直线l 过抛物线的焦点，所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |.又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，则直线MN 的倾斜角为120°.又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率是33. 答案：338．(一题多解)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案：29．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.10．(2020·河北衡水二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点M (2，m )(m ＞0)在抛物线上，且|MF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l 0，证明：过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．解：(1)由抛物线的定义可知，|MF |＝m ＋p2＝2，①又M (2，m )在抛物线上，所以2pm ＝4，② 由①②解得p ＝2，m ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：①当x 0＝0，即点P 为原点时，显然符合； ②x 0≠0，即点P 不在原点时， 由(1)得，x 2＝4y ，则y ′＝12x ，所以抛物线在点P 处的切线的斜率为12x 0，所以抛物线在点P 处的切线l 0的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，又x 20＝4y 0，所以y －y 0＝12x 0(x －x 0)可化为y ＝12x 0x －y 0.又过点F 且与切线l 0垂直的方程为y －1＝－2x 0x .联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －y 0，y －1＝－2x 0x ，消去x ，得y ＝－14(y －1)x 20－y 0.(*)因为x 20＝4y 0，所以(*)可化为y ＝－yy 0，即(y 0＋1)y ＝0， 由y 0＞0，可知y ＝0，即垂足必在x 轴上． 综上，过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．[综合题组练]1．(2020·陕西西安一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选B.抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为|AF |＝3|BF |， 所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32，所以x 1＝3x 2＋3，因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2，所以x 1＝92，x 2＝12，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32＝8.故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B ． 2 C.322D ．2 2解析：选C.由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3， 所以x 1＝2，y 1＝2 2. 设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.所以y 1y 2＝－4，所以y 2＝－2，x 2＝12，所以S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322，故选C.3．(2020·江西九江二模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为|AB |－1，则当∠AFB 最大时，|AD |＝( )A ．4B ．8C ．16D ．163解析：选C.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)， 由抛物线定义得y 1＋y 2＋2＝|AF |＋|BF |， 因为y 1＋y 22＝|AB |－1，所以|AF |＋|BF |＝2|AB |，所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝3（|AF |2＋|BF |2）－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |≥6|AF |·|BF |－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |＝12，当且仅当|AF |＝|BF |时取等号．所以当∠AFB 最大时，△AFB 为等边三角形， 联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－43x －4＝0， 所以x 1＋x 3＝43，所以y 1＋y 3＝3(x 1＋x 3)＋2＝14. 所以|AD |＝16. 故选C.4．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)，CB →＝(a －x 0，a －x 20)． 因为CA ⊥CB ，所以CA →·CB →＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0， 所以x 20＝a －1≥0，所以a ≥1. 答案：[1，＋∞)5．已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以y 1·y 2＝p 24， 所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝x p，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p ，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2. 所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33. 6．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， 因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ， 所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x1p（x －x 1），y －y 2＝x2p （x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， 则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .。
高考数学复习---抛物线基础知识巩固练习题(含答案)
(1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B，求 λ 的值．
[解] (1)由题意得直线 AB 的方程为 y＝2 2·x－p2，与 y2＝2px 联立，消去 y 有 4x2－5px＋p2＝0，所以 x1＋x2＝54p.
x2＝4y [△FPM 为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直
于抛物线的准线，设 Pm，m2p2，则点 Mm，－p2，因为焦点 F0，p2，△FPM 是
等边三角形，
m2p2＋p2＝4， 所以
p2＋p22＋m2＝4，
m2＝12，
解得
因此抛物线方程为 x2＝4y.]
p＝2，
三、解答题
2.
则直线 AB 的方程为 y＝2 2(x－1)， 与抛物线方程联立整理得 2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝52， 所以 xB＝12，所以|BF|＝12＋1＝32.]
8．已知抛物线 x2＝2py(p＞0)的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为 其准线上的动点，若△FPM 为边长是 4 的等边三角形，则此抛物线的方程为 ________．
A．1
B．2
C．3
D．4
A [∵x2＝2y，∴y＝x22，∴y′＝x，
∵抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1，∴B1，12，
∵抛物线 x2＝2y 的焦点 F 的坐标为0，12，
∴直线 l 的方程为 y＝12，∴|AF|＝|BF|＝1.]
3．(2019·桂林模拟)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物
抛物线练习题带答案,知识点总结(基础版)
抛物线重难点复习一．知识点总结2.,,C F p M C 焦抛物线的焦点为为是准距上的点min ;.2pMF OF MF MF p ===(1)(2)若与对称轴垂直，则2000(,)2(0)23p M x y y px p MF x =>=±+±若是抛物线上的点则() 2000(,)224p P x y x py PF y =±=±+若是抛物线上的(点，则) (5).()(90)1cos s ()1co p MF MF pp or MF p MF MF θθθθ≥≤-+==≤ 若与抛物线的为则夹角，对称轴1)2MF MF MF 以为直径的圆与坐标轴相切(的中点到坐标轴的距离为(6)1122(,)(,),.F l A x y B x y l k θ3.过焦点的直线交抛物线于点、，记直线的斜率为倾斜角为221222:2,(),sin 2sin AOB p p C y px AB x x p S θθ∆==++==（1）若抛物线则221222:2,()cos 2cos AOB p p C x py AB y y p S θθ∆==++==（2）若抛物线则， 222222121212124:2,,;:2,,44p p C y px y y p x x C x py x x p y y ==-===-=（）若抛物线则若抛物线则112(3)2();p AF BF p+=通焦点弦的最径小值为 (5)以AB 为直径的圆与准线相切12MN AB ⎛⎫=⎪⎝⎭（6）以CD 为直径的圆与AB 相切与焦点F1．已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则p =________. 【答案】2【解析】抛物线y 2=2px （p ＞0， ∵抛物线y 2=2px （p ＞04，∴p=2.故答案为2.2．已知F 是抛物线y 2=2x 的焦点，A ,B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=11，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】∵F 是抛物线y 2=2x 的焦点∴F (12,0) ,准线方程x =−12， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)∴|AF |+|BF |=x 1+1+x 2+1=11x 1+x 2=10,∴线段AB 的中点横坐标为5∴线段AB 5，所以B 选项是正确的.3．已知抛物线C ：的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，则0x =（ ）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =， 所以04x =±，故选D 。
抛物线由基础到提高练习题
抛物线由基础到提高练习题A 级 基础巩固一、选择题1．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且垂直于x 轴的弦为AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB 的大小( C )A ．小于90°B ．等于90°C ．大于90°D ．不能确定[解析] 过抛物线焦点且垂直于x 轴的弦AB 为通径，其长度为2p ，又顶点到通径的距离为p2，由三角函数知识可知，∠AOB 大于90°. 2．若AB 为抛物线y 2＝4x 的弦，且A (x 1,4)、B (x 2,2)，则|AB |＝( B ) A ．13 B ．13 C ．6D ．4[解析] 代入点A ，B 可得x 1＝4，x 2＝1，由两点间距离公式得|AB |＝13.3．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( B ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)[解析] 设焦点为F ，原点为O ，P (x 0，y 0)，由条件及抛物线的定义知，|PF |＝|PO |，又F (14，0)，∴x 0＝18，∴y 20＝18，∴y 0＝±24，故选B ． 4．(2019·全国Ⅱ卷理，8)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8[解析] 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， 椭圆x 23p ＋y 2p＝1的焦点坐标为()±2p ，0.由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D ．5．(2020·全国卷Ⅰ理，4)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( C ) A ．2 B ．3 C ．6D ．9[解析] 因为点A 到y 轴的距离为9，所以可设点A (9，y A )，所以y 2A ＝18p .又点A 到焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为12，所以⎝⎛⎭⎫9－p 22＋y 2A ＝12，所以⎝⎛⎭⎫9－p 22＋18p ＝122，即p 2＋36p －252＝0，解得p ＝－42(舍去)或p ＝6.故选C ．6．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝___( C ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10[解析] 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以由抛物线的定义，知|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2＝8，故选C ． 二、填空题7．过点M (3,2)作直线l 与抛物线y 2＝8x 只有一个交点，这样的直线共有__1__条． [解析] ∵点M (3,2)在抛物线内部，∴过点M 平行于x 轴的直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 只有一个交点．8．(2018·北京文，10)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为__(1,0)__.[解析] 由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a ＞0)． 又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)． 三、解答题9．如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．[解析] (1)抛物线的焦点为F (p 2，0)，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p . (2)由(1)知x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝(x 1－p 2)(x 2－p 2)＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .B 级 素养提升一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( C ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2.2．已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，|MF |＋|NF |＝6，则MN 中点的横坐标为( B ) A ．32B ．2C ．52D ．3[解析] F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，F (1,0)，准线方程x ＝－1，设M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，∴|MF |＋|NF |＝x M ＋1＋x N ＋1＝6，解得x M ＋x N ＝4，∴MN 中点的横坐标为x M ＋x N2＝2.3．(多选题)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角可以是( BD ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4[解析] 解法一：∵抛物线y 2＝6x ，∴2p ＝6，∴p 2＝32，即焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫32，0.当直线倾斜角为π2时，即直线为x ＝32，此时弦长为2×6×32＝9≠12，故直线斜率存在．设所求直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －32， 与抛物线y 2＝6x 消去y ，得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0.设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝3k 2＋6k2.∵直线过抛物线y 2＝6x 焦点，弦长为12， ∴x 1＋x 2＋3＝12，∴x 1＋x 2＝9， 即3k 2＋6k2＝9，解得k 2＝1，k ＝tan α＝±1，∵α∈[0，π)，∴α＝π4或3π4.解法二：弦长|AB |＝2psin 2α(α为直线AB 的倾斜角)，∴12＝6sin 2α，∴sin 2α＝12，sin α＝±22，∵α∈[0，π)，∴α＝π4或α＝3π4.4．(多选题)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，互相垂直的两条直线过F ，与抛物线相交所得的弦分别为AB ，CD ，则|AB |·|CD |的值不可能是( BCD ) A ．16B ．8C ．4D ．2[解析] 设AB 倾斜角为α，则|AB |＝2sin 2α，因为AB ，CD 垂直，所以|CD |＝2cos 2α，因此|AB |·|CD |＝4sin 2αcos 2α＝16sin 22α≥16，选BCD ． 二、填空题5．(2019·北京文，11)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__(x －1)2＋y 2＝4__.[解析] ∵ 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 为直线x ＝－1，∴ 圆的圆心坐标为(1,0)．又∵ 圆与l 相切，∴ 圆心到l 的距离为圆的半径， ∴ r ＝2.∴ 圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.6．P 为抛物线y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝x －1，则点P 到直线l 距离的最小值为8[解析] 设P (x 0，x 20)为抛物线上的点，则P 到直线y ＝x －1的距离d ＝|x 0－x 20－1|2＝|x 20－x 0＋1|2＝(x 0－12)2＋342.∴当x 0＝12时，d min ＝328.三、解答题7．(2018·全国Ⅱ文，20)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解析] (1)解：由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)解：由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.8．(2020·中山一中检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点． [解析] (1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ， 整理得：y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1·y 2＝－4.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，整理得：y 2－4ty －4b ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1·y 2＝－4b .∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2 ＝－4tb 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 令b 2－4b ＝－4，解出b ＝2∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．作业2 A 级 基础巩固一、选择题1．焦点在x 轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为( D ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．y 2＝±2xD ．y 2＝±4x[解析] 根据焦点到准线的距离为2，可得p ＝2,2p ＝4，结合抛物线焦点所在轴以及开口方向，即可求得抛物线的方程为y 2＝±4x ，选D ．2．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是( A ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆D ．双曲线[解析] ∵点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x ＋2y ＝3垂直的直线．3．(2020·福州市八县协作校期末联考)已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( A ) A ．x ＝－1B ．x ＝－3C ．x ＝－1或x ＝－3D ．y ＝－1[解析] 由题意∠BF A ＝∠OF A －90°＝30°，过A 作准线的垂直AC ，过F 作AC 的垂线，垂足分别为C ，B ． A 点到准线的距离为：d ＝|AB |＋|BC |＝p ＋2＝4， 解得p ＝2，则抛物线的准线方程是x ＝－1. 故选A ．4．△ABC 中，A (－5,0)、B (5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin B sin C ＝( D )A ．35B ．±35C ．－45D ．±45[解析]在△ABC中，sin A＝|BC|2R，sin B＝|AC|2R，sin C＝|AB|2R＝102R.∴sin A－sin Bsin C＝|BC|－|AC|2R102R＝|BC|－|AC|10.又∵|BC|－|AC|＝±8，∴sin A－sin Bsin C＝±810＝±45.5．设F为双曲线x216－y29＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以F A为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则|FN|－|FM||F A|的值为(D)A．25B．52C．54D．45[解析]对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(－5,0)，A(5,0)，|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，所以|FN|－|FM|＝8，|FN|－|FM||F A|＝810＝45，选D．6．(2019·全国Ⅰ卷理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(B)A．x22＋y2＝1B．x23＋y22＝1C．x24＋y23＝1D．x25＋y24＝1[解析]设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝⎛⎭⎫32，b 2. 由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B ．二、填空题7．已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 2＝－12y __.[解析] 设动圆圆心为M (x ，y )，则由题意可得M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知动圆圆心M 的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的抛物线，其方程为x 2＝－12y .8．已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值是 [解析] 由|AF |＝4及抛物线定义得A 到准线的距离为4. ∴A 点横坐标为－2，∴A (－2,4).又原点关于准线的对称点的坐标为B (4,0)， 所以|P A |＋|PO |的最小值为： |AB |＝36＋16＝213.三、解答题9．已知椭圆C 的两焦点分别为F 1(－22，0)、F 2(22，0)，长轴长为6. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的长． [解析] (1)由F 1(－22，0)、F 2(22，0)，长轴长为6， 得：c ＝22，a ＝3，所以b ＝1. ∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)可知椭圆方程为x 29＋y 2＝1①，∵直线AB 的方程为y ＝x ＋2②把②代入①得化简并整理得10x 2＋36x ＋27＝0 ∴x 1＋x 2＝－185，x 1x 2＝2710，又|AB |＝(1＋12)(18252－4×2710)＝635. B 级 素养提升一、选择题1．椭圆x 236＋y 29＝1的一条弦被A (4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是( D )A ．x －2y ＝0B ．2x ＋y －10＝0C ．2x －y －2＝0D ．x ＋2y －8＝0[解析] 设弦的两个端点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1x 2236＋y229＝1，两式相减得x 21－x 2236＋y 21－y 229＝0，整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－936·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，即弦所在直线的斜率为k ＝－12，利用点斜式方程求得y －2＝－12(x －4)，整理得x ＋2y －8＝0，故选D ．2．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] 解法一：∵y ＝4， ∴x 2＝4·y ＝16，∴x ＝±4， ∴A (±4,4)，焦点坐标为(0,1)， ∴所求距离为42＋(4－1)2＝25＝5.解法二：抛物线的准线为y ＝－1，∴A 到准线的距离为5，又∵A 到准线的距离与A 到焦点的距离相等． ∴距离为5. 3．(多选题)已知斜率为3的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AB |＝8，则以下结论正确的是( BCD )A ．1|AF |＋1|BF |＝1 B ．|AF |＝6 C ．|BD |＝2|BF | D ．F 为AD 中点[解析] 解法一：如图，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 的斜率为3，则直线l 方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，得12x 2－20px ＋3p 2＝0. 解得x A ＝3p 2，x B ＝p 6. 由|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝8p 3＝8，得p ＝3. 所以抛物线方程为y 2＝6x .则|AF |＝x A ＋p 2＝2p ＝6，故B 正确； 所以|BF |＝2，|BD |＝|BM |cos60°＝|BF |cos60°＝4，∴|BD |＝2|BF |，故C 正确； 所以|AF |＝|DF |＝6，则F 为AD 中点．故D 正确；1|AF |＋1|BF |＝23，故A 错误． 解法二：设直线AB 的倾斜角为θ，则θ＝π3.利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB |＝2p sin 2θ＝8，则p ＝3， |AF |＝p 1－cos θ＝6，|BF |＝p 1＋cos θ＝2， 1|AF |＋1|BF |＝2p ＝23， 在Rt △DBM 中，cos θ＝|BM ||BD |＝|BF ||BD |＝12，所以|BD |＝4，因此F 为AD 中点．故选BCD ． 4．(多选题)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，点P 在l 上的射影为P 1，则( ABC )A ．若x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝8B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设M (0,1)，则|PM |＋|PP 1|≥2D ．过点M (0,1)与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条[解析] 对于选项A ，因为p ＝2，所以x 1＋x 2＋2＝|PQ |，则|PQ |＝8，故A 正确； 对于选项B ，设N 为PQ 中点，设点N 在l 上的射影为N 1，点Q 在l 上的射影为Q 1，则由梯形性质可得|NN 1|＝|PP 1|＋|QQ 1|2＝|PF |＋|QF |2＝|PQ |2，故B 正确； 对于选项C ，因为F (1,0)，所以|PM |＋|PP 1|＝|PM |＋|PF |≥|MF |＝2，故C 正确；对于选项D ，显然直线x ＝0，y ＝1与抛物线只有一个公共点，设过M 的直线为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，可得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，令Δ＝0，则k ＝1，所以直线y ＝x ＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D 错误；故选ABC ．二、填空题5．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为__y 2＝12x 或y 2＝－4x __.[解析] 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)①直线变形为y ＝2x ＋1②设抛物线截直线所得弦长为d⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝2x ＋1消y 得(2x ＋1)2＝ax 整理得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0d ＝(1＋22)[(a －44)2－4×14]＝15 解得a ＝12或a ＝－4∴所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .6．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则准线方程为__x ＝－1__.[解析] 本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用．因为抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1. 三、解答题7．(2019·全国Ⅰ卷理，19)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.[解析] 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t y 2＝3x，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 则x 1＋x 2＝－12(t －1)9. 从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t y 2＝3x，可得y 2－2y ＋2t ＝0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133. 8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求椭圆C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． [解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b2＝1， ∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)．。
专题70：抛物线基础知识和典型例题(解析版)
专题70：抛物线基础知识和典型例题（解析版）抛物线1、定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程范围顶点对称轴轴轴焦点准线方程离心率，越大，抛物线的开口越大焦半径通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：焦点弦长公式3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则⑴⑵⑶以为直径的圆与准线相切；⑷焦点对在准线上射影的张角为⑸四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。
①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若，设。
③..时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。
c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。
即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====题型一：求抛物线的解析式例1求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，焦点是(0,5)F ； （2）顶点在原点，准线是4x =； （3）焦点是8(0,)F -，准线是8y =；（4）顶点在原点，关于x 轴对称，顶点与焦点的距离等于6．例1（1）220x y =；（2）216y x =-；（3）232x y =-；（4）224y x =±. 【解析】 【分析】（1）判断焦点位置，设出抛物线方程，根据焦点求解出抛物线的标准方程；（2）根据准线判断焦点位置，设出抛物线方程，根据准线方程求解出抛物线的标准方程； （3）根据焦点和准线设出抛物线方程，根据焦点坐标即可求解出抛物线的标准方程； （4）先判断出顶点位置，然后设出抛物线的标准方程，利用已知条件求解出抛物线的标准方程. 【详解】（1）因为焦点在y 轴正半轴，设抛物线方程22x py =，所以52p=，所以10p =， 所以抛物线的标准方程为220x y =；（2）因为准线4x =，所以焦点在x 轴负半轴，设22y px =-，所以42p=，所以8p =， 所以抛物线的标准方程为216y x =-；（3）由条件可知抛物线的焦准距被坐标原点平分，所以抛物线的顶点在坐标原点，设抛物线方程22x py =-， 所以82p=，所以16p =，所以抛物线的标准方程为232x y =-；（4）设抛物线的标准方程为22y px =，所以62p=，所以12p =±， 所以抛物线的标准方程为：224y x =±. 【点睛】本题考查根据已知条件求解抛物线的标准方程，主要考查学生的分析与计算能力，难度较易. 例2：已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =求椭圆E 的方程． 例3：2214x y +=.【解析】 【分析】由点抛物线焦点F 是椭圆的一个顶点可得1b =，由椭圆离心率e =c a =椭圆方程可求． 【详解】设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ．由已知条件，()0,1F ，1b ∴=，c a =222a b c =+， 解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求椭圆方程，属于基础题.题型二：求抛物线的轨迹例3：已知曲线()2C :2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。
高二数学人教A版习题练习2-3-2第1课时抛物线的简单几何性质Word版含答案
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十六 抛物线的简单几何性质基础全面练 (20分钟 35分)1．(2021·天水高二检测)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A(x 0，y 0)是C 上一点，|AF|＝54 x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】选A.由抛物线C ：y 2＝x 可得p ＝12 ，p 2 ＝14 ，准线方程为x ＝－14 ，因为A(x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54 x 0，x 0>0.所以54 x 0＝x 0＋p 2 ＝x 0＋14 ，解得x 0＝1.2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)【解析】选D.因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以p 2 ＝3，即p ＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2 ，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).3．已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【解析】选C.方程5x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．4．已知F 是抛物线x 2＝2y 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB 的中点到x 轴的距离为________．【解析】因为|AF|＋|BF|＝6，由抛物线的定义可得|AD|＋|BE|＝6，又线段AB 的中点到抛物线准线y ＝－12 的距离为12 (|AD|＋|BE|)＝3，所以线段AB 的中点到x 轴的距离为52 .答案：525．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，则|FN|＝________．【解析】抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F(2，0)，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：±2 2 ，|FN|＝2|FM|＝ 2⎝⎛⎭⎫1－22＋()222 ＝6. 答案：66．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【解析】当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，0 . 因为直线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，0 且倾斜角为135°， 所以直线方程为y ＝－x ＋12 p.设直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ， 消去y ，得x 2－3px ＋p 24 ＝0.所以x 1＋x 2＝3p.②由①②得p ＝2，所以所求抛物线方程为y 2＝4x.当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x.综上，所求抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x.综合突破练 (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，||AB ＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．32C ．12D ．52【解析】选B.设A ⎝⎛⎭⎫x 1，y 1 ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2 ，C 的横坐标为x 0， 则x 0＝x 1＋x 22 ，因为AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，所以||AB ＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝4，所以x 1＋x 2＝3，故x 0＝x 1＋x 22 ＝32 .2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB|＝2 2 ，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18【解析】选A.线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 ，则焦点到直线AB 的距离为1－12 ＝12 . 3．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2【解析】选C.由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋p 2 ，|FP 2|＝x 2＋p 2 ，|FP 3|＝x 3＋p 2 ，所以|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上不同的三点，点F 是△ABC 的重心，O 为坐标原点，△OFA ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝( )A ．9B ．6C ．3D ．2【解析】选C.设A ，B ，C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，所以S 1＝12 |y 1|，S 2＝12 |y 2|，S 3＝12 |y 3|，所以S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝14 (y 21 ＋y 22 ＋y 23 )＝x 1＋x 2＋x 3，因为点F 是△ABC 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝3，所以S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝3.5．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A ．43B ．75C ．85D ．3【解析】选A.设抛物线y ＝－x 2上一点M 为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23 时，取得最小值为43 . 二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线相切，则p ＝________．【解析】x 2＋y 2－6x －7＝0，所以⎝⎛⎭⎫x －3 2＋y 2＝16，圆心为⎝⎛⎭⎫3，0 ，半径为4，抛物线准线为x ＝－p 2 ，由圆与直线相切可知p 2 ＝1，所以p ＝2.答案：27．如图：已知P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，过P 分别作y 轴与直线x －y ＋4＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则|PA|＋|PB|的最小值为________.【解析】抛物线的准线方程是x ＝－1，又根据抛物线的几何性质知，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是点F 到直线x －y ＋4＝0的距离，所以点F 到直线的距离d ＝|1－0＋4|2＝522 ， 即|PA|＋|PB|的最小值是52 2 －1.答案：52 2 －18．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于2 3 ，则抛物线的方程为________．【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3 ，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1， 3 )或(－1， 3 )，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px(p>0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x.答案：y 2＝3x 或y 2＝－3x三、解答题(每小题10分，共20分)9．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为3 5 ，求b 的值．【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ， 消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12 ，则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24 ，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1－2b . 所以|AB|＝1＋22 |x 1－x 2|＝ 5 ·1－2b ＝3 5 ，所以1－2b ＝9，即b ＝－4.10．点M(m ，4)(m>0)为抛物线x 2＝2py(p>0)上一点，F 为其焦点，已知|FM|＝5.(1)求m 与p 的值．(2)以M 点为切点作抛物线的切线，交y 轴于点N ，求△FMN 的面积．【解析】(1)由抛物线定义知，|FM|＝p 2 ＋4＝5，所以p ＝2.所以抛物线的方程为x 2＝4y ，又由M(m ，4)在抛物线上，所以m ＝4.故p ＝2，m ＝4.(2)设过M 点的切线方程为y －4＝k(x －4)，代入抛物线方程消去y 得，x 2－4kx ＋16k －16＝0，其判别式Δ＝16k 2－64(k －1)＝0，所以k ＝2，切线方程为y ＝2x －4，切线与y 轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0，1)，所以S △FMN ＝12 |FN|·m ＝12 ×5×4＝10.创新迁移练1．(2021·兰州高二检测)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2512 mB ．256 mC ．95 mD ．185 m【解析】选D.以桥顶为坐标原点O ，桥形的对称轴为y 轴，过O 的垂线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线x 2＝－2py ()p>0 经过点⎝⎛⎭⎫6，－5 ，则36＝10p ，解得p ＝185 ，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p ＝185 .2．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|.(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C 的半径．【解析】(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO|＝ 5 . 所以|MN|＝2|CO|2－d 2 ＝25－4 ＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20 4，y 0 ，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 20 4 2 ＋(y －y 0)2＝y 40 16＋y 20 ，即x 2－y 20 2 x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 20 2 ＝0，设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20 －4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 20 2＝2y 20 －4.y 1y 2＝y 20 2＋1.由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y 1y 2|＝4，所以y 20 2 ＋1＝4，解得y 0＝±6 ，此时Δ>0.11 所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6 或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6 ， 从而|CO|2＝334 ，|CO|＝332 ，即圆C 的半径为332 . 关闭Word 文档返回原板块。
抛物线的几何性质练习
3.3.2抛物线的几何性质培优第一阶---基础过关练一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，若PQ 的中点到y 轴的距离为1，则PQ 等于（） A ．4B ．5C ．6D ．82．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（）A ．72B ．2C ．52D ．833．已知抛物线()220y px p =>上的一点(3,M ，则点M 到抛物线焦点F 的距离MF等于（） A ．6B ．5C ．4D ．24．如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD 等于热馈源F 到口径AB 的距离，已知口径长为40cm ，防护罩宽为15cm ，则顶点O 到防护罩外端CD 的距离为（） A ．25cmB ．30cmC ．35cmD ．40cm5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝（） A ．6B ．8C ．9D ．106．已知点P 是抛物线C ：24y x =上一点，点F 为抛物线C 的焦点，点()2,1M ，则PMF △的周长的最小值为（）A ．3B ．1C 1D 37．已知直线y kx k =-及抛物线22(0)y px p =>，则（） A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点8．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M ,N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为（）A ．32B ．2C ．52D ．3二、填空题9．抛物线2320x y +=的顶点坐标为______．10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在C 上，已知点A AF =AKF 的面积AKFS=___________.11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，P 为C 上一点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，F 为C 的焦点，O 为原点．若45POQ ∠=︒，则cos PFQ ∠=__________．12．已知直线4y kx =-与抛物线28y x =有且只有一个公共点，则满足条件的实数k 的值组成集合_______. 三、解答题13．已知抛物线E ：22y px =()0p >的焦点为F ，直线3x =与E 相交所得线段的长为(1)求E 的方程；(2)若不过点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，请从①AB 中点的纵坐标为3，②ABF 的重心在直线2y =上，③13AF BF +=这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l 的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14．已知点23,2P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭-在抛物线()2:20C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()0,1M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，O 为坐标原点，求证：12k k 为定值.培优第二阶---拓展培优练一、单选题1．在曲线2y x =上有两个动点,,(1,0)P Q E ，且满足EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为（）A ．14B ．12C ．34D ．12．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．93．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，A 为C 上任意一点，且点A 到点(3,0)B 距离的最小值为F 交C 于P ，Q 两点，且||8PQ =，则线段PQ 中点的横坐标为（） A ．2B ．3C ．4D ．64．若斜率为k （0k >）的直线l 与抛物线22y x =和圆M ：()2258x y -+=分别交于A ，B 和C ，D ．且AC BD =，则当MCD △面积最大时k 的值为（） ABCD5．如图所示，已知抛物线21:2C y px =过点()2,4，圆222:430C x y x +-+=. 过圆心2C 的直线l 与抛物线1C 和圆2C 分别交于,,,P Q M N ，则4PM QN +的最小值为（） A ．23B ．42C ．12D ．136．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线l 与抛物线交于A （位于第一象限）、B 两点，直线l 与2px =-交于点M ，若BM tMA =，则t =（）A ．13B ．13-C ．23D ．23-7．已知抛物线2:2C y x =，过焦点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与C 的准线切于点11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则l 的方程为（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y -+=D ．210x y --=8．设抛物线2:8E y x =的焦点为F ，过点(4,0)M 的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFSS=（）A ．14B ．15C ．16D ．17二、填空题9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，A 是C 的准线上一点，线段AF 与C 交于点B ，与y 轴交于点D ，且|||AB BF =，4DOF S =△（O 为原点），则C 的方程为___________.10．在直线l ：2y =-上取一点D 做抛物线C ：24x y =的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与圆E ：22220200x x y --=+交于M ，N 两点，当│MN │最小时，D 的横坐标是______． 11．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 在抛物线上，且ABF 的重心坐标为12,23⎛⎫⎪⎝⎭，则FA FB AB -=___________.12．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为22(0)y px p =>，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出．若抛物线的方程为24y x =，则在每次反射过程中，与x 轴平行的两条光线间的最小距离为__________． 三、解答题13．已知抛物线C ：24y x =，直线l 过点()0,1P . (1)若l 与C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，点Q 在线段AB 上，且AP AQ PBQB=，求点Q 的轨迹方程.14．已知抛物线C ：()2204y px p =<<上一纵坐标为4的点M 到其焦点F 的距离为5，过点()2,0N 的直线l 与C 相交于A ，B 两点． (1)求C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在异于点N 的定点P ，使得点F 到直线P A 与直线PB 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．培优第三阶---考场点兵练一、单选题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（）A 0y --=B ．40y --C ．390x y --=D ．330x y --=2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（）A ．2B ．C ．4D ．3．（2022·江苏·模拟预测）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别记为M ，N ，若||2||BC BN =，则AFM △的面积为（）A ．B ．4C ．D ．24．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（） A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-5．（2022·河南·模拟预测（文））已知(),3M a 是抛物线C ：()220x py p =>上一点，且位于第一象限，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为4，过点()4,2P 向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则AF BF ⋅=（） A ．1-B ．1C ．16D ．12-6．（2022·安徽淮南·二模（理））抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为3π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，若AFK △的面积是p 的值为（）A ．1B ．2 CD ．37．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线240x y --=交于A ，B 两点，且||AB =若抛物线C 的焦点为F ，则||||+=AF BF （）A ．B ．7C ．6D ．58．（2022·广东茂名·二模）已知抛物线E ：22y x =的焦点为F ，A 、B 、C 为抛物线E上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC 为“特别三角形”，则“特别三角形”有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个二、多选题9．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y ，已知()3,2M -，()1,1N -，则（）A ．若直线l 垂直于x 轴，则AB 4= B ．124y y =-C ．若P 为C 上的动点，则PM PF +的最小值为5D ．若点N 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为210．（2022·江苏徐州·模拟预测）阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，则称PAB △为“阿基米德三角形”．已知抛物线28x y =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 的直线的方程为20x y -+=，弦AB 的中点为C ，则关于“阿基米德三角形”PAB △，下列结论正确的是（）A ．点2)P -B ．PC x ⊥轴 C ．PA PB ⊥D ．PF AB ⊥三、填空题11．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和C 分别交于A ，B 两点，若AF BF =，则AB =______. 12．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 为原点，F 为抛物线C 的焦点，点A ，B 为抛物线两点，满足OA OB ⊥，过原点O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，当点D 的坐标为()2,1，则p 的值为_________． 四、解答题13．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线2:2C x py =，点()4,4M -在抛物线C 上，过点M 作抛物线C 的切线，交x 轴于点P ，点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--，经过点P 的直线交抛物线于A ，B 两点，交线段OM 于点Q ，记EA ，EB ，EQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．14．（2022·全国·模拟预测（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点()02,P y -为抛物线上一点，抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ，且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ，证明：MFAB为定值．3.3.2抛物线的几何性质培优第一阶---基础过关练一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，若PQ 的中点到y 轴的距离为1，则PQ 等于（） A ．4 B ．5C ．6D ．8．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（）A ．72B ．2C ．52D ．833FP FQ =，则-由抛物线定义得故选：D3．已知抛物线于（） A ．6 B ．5C ．4D ．2反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD 等于热馈源F 到口径AB 的距离，已知口径长为40cm ，防护罩宽为15cm ，则顶点O 到防护罩外端CD 的距离为（） A ．25cm B ．30cm C ．35cm D ．40cm112212么|AB |＝（） A ．6 B ．8C ．9D ．10【答案】B【分析】由抛物线的焦点弦长公式，由此计算．【详解】因为直线AB 过焦点F (1，0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 故选：B ．6．已知点P 是抛物线C ：24y x =上一点，点F 为抛物线C 的焦点，点()2,1M ，则PMF △的周长的最小值为（）学习群QQ550349787A ．3B ．1C 1D 3．已知直线及抛物线，则（）A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点【详解】直线点的横坐标为（） A ．32B ．2C ．52D ．39．抛物线2320x y +=的顶点坐标为______． 【答案】()0,0【分析】将抛物线化成标准式，即可得到其顶点坐标.【详解】解：抛物线2320x y +=，即232x y =-，顶点坐标为()0,0； 故答案为：()0,010．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在C 上，已知点A AF =，则AKF 的面积AKFS=___________.轴，再计算AKF 的【详解】AA l '⊥22A AA F =='A K AKFS =11．已知抛物线，P 为C 上一点，轴，垂足为Q ，F 为C 的焦点，O 为原点．若45POQ ∠=︒，则cos PFQ ∠=__________． 【答案】35##0.6．已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数的值组成集合_______.13．已知抛物线E ：22y px =()0p >的焦点为F ，直线3x =与E 相交所得线段的长为(1)求E 的方程；(2)若不过点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，请从①AB 中点的纵坐标为3，②ABF 的重心在直线2y =上，③13AF BF +=这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l 的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．因为ABF 的重心在直线13=，所以的方程为y，则1k =．因为ABF 的重心在直线1=．两个条件，都只能得出斜率14．已知点23,2P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭-在抛物线()2:20C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()0,1M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，O 为坐标原点，求证：12k k 为定值. 培优第二阶---拓展培优练一、单选题1．在曲线2y x =上有两个动点,,(1,0)P Q E ，且满足EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为（）A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】由已知，先利用向量的线性运算对EP QP ⋅进行化简得到2EP QP EP ⋅=，然后设出的坐标，计算两点间距离公式，利用点在曲线上满足的等量关系，带入求解即可【详解】由已知，2()EP QP EP EP EQ EP EP EQ ⋅=⋅-=-⋅ ，所以0EP EQ ⋅=，所以2EP QP EP ⋅=， 因为动点P 在曲线2y x =上，所以设00(,)P x y ，所以22222200000(1)(0)21EP QP EP EP x y x x y ⋅===-+-=-++又因为200y x =，所以2220000211(EP QP x x y x x x ⋅=-++=-+=故选：C.2．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为（）学习群QQ550349787A ．4B ．6C ．8D ．9．已知F 为抛物线的焦点，A 为上任意一点，且点A 到点距离的最小值为若直线过F 交C 于P ，Q 两点，且||8PQ =，则线段PQ 中点的横坐标为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．64．若斜率为k（0k>）的直线l 与抛物线22y x=和圆M：258x y-+=分别交于A，B 和C，D．且AC BD=，则当MCD△面积最大时k的值为（）A B．2C D5．如图所示，已知抛物线21:2C y px =过点2,4，圆222:430C x y x +-+=. 过圆心2C 的直线l 与抛物线1C 和圆2C 分别交于,,,P Q M N ，则4PM QN +的最小值为（） A ．23 B ．42 C ．12 D ．136．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3的直线l 与抛物线交于A （位于第一象限）、B 两点，直线l 与2px =-交于点M ，若BM tMA =，则t =（） A ．13B ．13-C ．23D ．23-BM tMA =得到横坐标的线性关系，即可求【详解】由题设，令直线由BM tMA =，则-故选：B．已知抛物线:C ，过焦点的直线与交于，两点，若以AB 为直径的圆与的准线切于点11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则l 的方程为（）学习群QQ550349787A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y -+=D ．210x y --=2的表达式，根据0MA MB ⋅=求出l 的斜率存在且不为2222(2)04k k xkx，则A x 1)-，21[(2A B A B A B y y k x x x x =-+又11(()()022A AB MA MB x y y ⋅=++--=，综上，211k k -+2k =，故直线:21l y x =-，即故选：D．设抛物线:E 的焦点为，过点的直线与相交于，两点，与的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFS S=（）A ．14B ．15C ．16D ．17BCF ACFS S=【详解】设直线xBCF ACFS S=9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，A 是C 的准线上一点，线段AF 与C 交于点B ，与y 轴交于点D ，且|||AB BF =，4DOF S =△（O 为原点），则C 的方程为___________.10．在直线l ：2y =-上取一点D 做抛物线C ：4x y =的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与圆E ：22220200x x y --=+交于M ，N 两点，当│MN │最小时，D 的横坐标是______．11．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 在抛物线上，且ABF 的重心坐标为,23⎛⎫⎪⎝⎭，则FA FB AB-=___________.斜率不存在，则ABF 的重心在0，设直线，消去x 可得 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为tan 2α=故答案为：12．抛物线具有光学性质：方向射出．如图，抛物线方程为22(0)y px p =>，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出．若抛物线的方程为24y x =，则在每次反射过程中，与x 轴平行的两条光线间的最小距离为__________．学习群QQ55034978713．已知抛物线C ：24y x =，直线l 过点()0,1P . (1)若l 与C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，点Q 在线段AB 上，且AP AQ PBQB=，求点Q 的轨迹方程.，则PA PB λ=，AQ QB λ=， ∴2122k y k k =+=--，∴y 114．已知抛物线C ：上一纵坐标为4的点M 到其焦点F 的距离为5，过点()2,0N 的直线l 与C 相交于A ，B 两点． (1)求C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在异于点N 的定点P ，使得点F 到直线P A 与直线PB 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．培优第三阶---考场点兵练一、单选题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（） A 0y --= B ．40y --= C ．390x y --= D ．330x y --=．（河南安阳模拟预测（理））已知抛物线与圆交于，B 两点，则||AB =（） A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C.3．（2022·江苏·模拟预测）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别记为M ，N ，若||2||BC BN =，则AFM △的面积为（）A ．B ．4C ．D ．24．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知抛物线C ：的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（） A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-60 ∴QM 5．（2022·河南·模拟预测（文））已知是抛物线C ：上一点，且位于第一象限，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为4，过点()4,2P 向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则AF BF ⋅=（） A ．1- B ．1 C ．16 D ．12-6．（2022·安徽淮南·二模（理））抛物线2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为3π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，若AFK △的面积是p 的值为（）学习群QQ550349787 A ．1 B ．2 C D ．3【分析】根据抛物线的定义，结合条件，可得AKF 的形状，进而可得三角形的边长，进而，又AFx ∠故AKF 是等边三角形，又43， 故可得AF 2OF p =故选：B.．（2022·江苏新沂市第一中学模拟预测）已知抛物线与直线交于A ，B 两点，且||AB =若抛物线C 的焦点为F ，则||||+=AF BF （） A ．B ．7C ．6D ．5【答案】B【分析】联立直线与抛物线，应用韦达定理及弦长公式求得2p =，进而可得5A B x x +=，根据抛物线定义求目标式的值.8．（2022·广东茂名·二模）已知抛物线E ：2y x =的焦点为F ，A 、B 、为抛物线E 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC 为“特别三角形”，则“特别三角形”有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个先说明这样的ABC 满足，都存在满足条件的弦BC 【详解】当0FA FB FC ++=时，易知为ABC 的重心，连接1在抛物线内部时，设(D x ，若存在以D ，这样的ABC 即满足要求()()1122,,,x y C x y ，则012,x x y y +=，两式相减可得)12122y y y x x -+=-，即k ，所以总存在以，即这样的三角形有无数【点睛】本题关键在于构造出ABC ，再说明对于点为中点的弦BC ，即存在ABC ，这样的每一个点都会对应一个ABC . 9．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y ，已知()3,2M -，()1,1N -，则（） A ．若直线l 垂直于x 轴，则AB 4=B ．124y y =-C ．若P 为C 上的动点，则PM PF +的最小值为5D ．若点N 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为2 对，为直径的圆上，则0NA NB ⋅=，又)10=，又1x )210y -=，)250y +=，，此时直线l 的斜率为享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，则称PAB △为“阿基米德三角形”．已知抛物线28x y =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 的直线的方程为20x y -+=，弦AB 的中点为C ，则关于“阿基米德三角形”PAB △，下列结论正确的是（）A．点2)P - B ．PC x ⊥轴 C ．PA PB ⊥ D ．PF AB ⊥11．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和C 分别交于A ，B 两点，若AF BF =，则AB =______. 【分析】抛物线的定义结合题意得到ABF 为等边三角形，设准线BF AB =，ABF 为等边三角形，，24AB FH ==. 12．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知抛物线:2(0)C y px p =>，O 为原点，F 为抛物线C 的焦点，点A ，B 为抛物线两点，满足OA OB ⊥，过原点O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，当点D 的坐标为()2,1，则p 的值为_________．学习群QQ550349787 ，则2124y y OA OB p ⋅=.13．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线2:2C x py =，点()4,4M -在抛物线C 上，过点M 作抛物线C 的切线，交x 轴于点P ，点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--，经过点P 的直线交抛物线于A ，B 两点，交线段OM 于点Q ，记EA ，EB ，EQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．14．（2022·全国·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且FPQ△的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段AB的中垂线与y轴交于点M，证明：MFAB为定值．学习群QQ550349787S=FPQ 所以抛物线。
抛物线相交问题练习题
抛物线相交问题练习题一、基础题1. 已知抛物线 $y = x^2 4x + 3$ 与 $y = 2x^2 3x 1$，求两抛物线的交点坐标。
2. 抛物线 $y = x^2 + 6x 7$ 与 $y = x^2 8x + 15$ 相交于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
3. 已知抛物线 $y = 2x^2 4x + 1$ 与 $y = x^2 + 2x + 3$，求两抛物线的交点个数。
4. 抛物线 $y = x^2 2x 3$ 与 $y = 2x^2 + 4x + 5$ 相交于C、D两点，求CD线段的长度。
5. 已知抛物线 $y = 3x^2 6x + 2$ 与 $y = 3x^2 + 6x 2$，求两抛物线的公共弦方程。
二、提高题1. 抛物线 $y = x^2 5x + 6$ 与 $y = 2x^2 + 8x 7$ 相交于E、F两点，若线段EF的中点在直线 $y = 3x 1$ 上，求EF的长度。
2. 已知抛物线 $y = 4x^2 12x + 9$ 与 $y = 2x^2 + 8x 7$，求两抛物线交点处的切线方程。
3. 抛物线 $y = x^2 4x + 3$ 与 $y = x^2 + 6x 7$ 相交于G、H两点，若GH线段的长度为4，求两抛物线的交点坐标。
4. 已知抛物线 $y = 2x^2 8x + 8$ 与 $y = x^2 + 4x 1$，求两抛物线交点处的切线夹角。
5. 抛物线 $y = x^2 2x 3$ 与 $y = 2x^2 + 8x 11$ 相交于I、J两点，若IJ线段的长度为 $\sqrt{5}$，求两抛物线的交点坐标。
1. 抛物线 $y = x^2 6x + 9$ 与 $y = 2x^2 + 12x 18$ 相交于K、L两点，求以KL为直径的圆的方程。
2. 已知抛物线 $y = 3x^2 12x + 11$ 与 $y = x^2 + 4x 3$，求两抛物线交点处的切线平行于直线 $y = 2x + 1$ 的交点坐标。
中考数学-抛物线的对称性专项练习-含答案
抛物线的对称性（基础篇）（专项练习）一、单选题【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴1．已知抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，则b的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．42．若A（－1，7）、B（5，7）是抛物线y＝ax²＋bx＋c上的两点，则该抛物线的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝2C．直线x＝3D．直线x＝43．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣3﹣201348…y…70﹣8﹣9﹣5040…则二次函数的对称轴是（）A．x=﹣1B．x=1C．x=4D．x=﹣4 4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（）A．（1，3）B．（0，1）C．（0，—3）D．（2，1）5．二次函数y=-x2+bx+4经过(-2，n)（4，n）两点，则n的值是（）A．-4B．-2C．2D．46．某同学在利用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的图象时，先取自变量x的一些值计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…－30－10－3…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．3xy=⎧⎨=-⎩B．21xy=⎧⎨=-⎩C．3xy=⎧⎨=⎩D．43xy=⎧⎨=-⎩【类型二】根据二次函数对称性求函数值7．抛物线y ＝﹣2（x ﹣1）2上有三点A (﹣1，y 1)，B 2y 2)，C (2，y 3)，则y 1，y 2，y 3从小到大是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 28．二次函数21(2)12y x a =--+的图象上有两点()()121,,5,y y -，则12y y -的值是（ ） A ．负数B ．零C ．正数D ．不能确定9．已知点A （1-，m ），B （ l ，m ），C （2，1）在同一条抛物线上，则下列各点中一定在这条抛物线上的是（ ）A ．(1,1)B ．(2,1)-C ．(4,1)D ．(3,4)10．函数y =x 2-x +m （m 为常数）的图象如图，如果x =a 时，y ＜0；那么x =a -1时，函数值( )A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y =mD ．y ＞m11．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a <0），当1x =时，函数y 有最大值，设(-1，y 1)，(2，y 2)，（4，y 3）是这个函数图象上的点，那么( )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 2>y 1>y 3C ．y 3>y 1>y 2D ．y 2>y 3>y 112．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x ＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为（ ）A ．（4，0）B ．（6，0）C ．（8，0）D ．（10，0）二、填空题【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴13．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 01 … y ＝ax 2+bx +c…tm﹣2 ﹣2n…则该二次函数图象的对称轴为直线 _____．14．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点坐标是()6,0- 和 ()4,0，则该抛物线的对称轴是________．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，可知它的图象与x 轴有两个交点，其中一个交点是（﹣1，0）那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是_____．16．若抛物线23y bx x -+＝的对称轴为直线x ＝－1，则b 的值为_________．17．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．18．已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的公共点是(-4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线______．【类型二】根据二次函数对称性求函数值19．已知二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间部分对应值如下表所示，点()()1122,,,A x y B x y ，在该函数的图象上．x … 0 1 2 3 … y…mn5n…（1）则表格中的m =__________；（2）当120x x <<时，1y 和2y 的大小关系为__________．20．已知函数y ＝﹣x 2+bx +c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_____．21．抛物线()22y a x c =-+的图像与x 轴交于A 、B 两点，若A 的坐标为(1,0)，则点B 的坐标为________．22．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y1771﹣11则当x ＝3时，y ＝_________．23．二次函数y ＝ax 2﹣2ax 和y ＝bx 2﹣2bx 其自变量和函数值的两组对应值如表所示，根据二次函数图象的相关性质可知：t ＝___，q ﹣n ＝___．x 2 t （t ≠2）y ＝ax 2﹣2ax n n y ＝bx 2﹣2bxn +6q24．抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是直线x =﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc ＜0；①b =2a ；①若（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是抛物线上的两点，则当|x 1+1|＞|x 2+1|时，y 1＜y 2；①抛物线的顶点坐标为（﹣1，m ），则关于x 的方程ax 2+bx +c =m ﹣1无实数根．其中，正确的序号是 ___．三、解答题25．已知二次函数的图象经过三点（1,0)()3,0-，30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点； (3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？26．如图，抛物线y ＝x 2+bx ﹣2过点A (﹣1，m )和B (5，m )，与y 轴交于点C ． （1）求b 和m 的值；（2）连接AB ，AB 与y 轴交于点D ． 请求出：①点D 的坐标； ①ABC 的面积．27．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．28．已知抛物线y＝（x﹣1）2+k与y轴相交于点A(0，﹣3)，点P为抛物线上的一点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为2，则点P到x轴的距离为．。
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抛物线基础练习抛物线基础练习一. 选择题1．抛物线212y x =的准线方程是3x =3x =-3y =3y =-若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a=1-2-抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是A.1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B .10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．45．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 A ．2B ．3C ．4D．6．设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y += 7．若点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A．2B ．3CD ．928．已知直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到1l 和2l 的距离之和的最小值是A ．115B ．3C ．2D ．37169．已知点P 在24yx =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A ．114⎛⎫-⎪⎝⎭， B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)，D ．(12)-， 10．已知22ypx =的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则Ａ.123FP FP FP += Ｂ.222123FP FP FP +=Ｃ.2132FP FP FP =+Ｄ.2213FP FP FP =⋅11．连结抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为 A．1-B．32C．1D．32+12．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =A ．13B．3C ．23D．313．过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线方程是A ．220x y ++=B ．330x y -+= C ．10x y ++=D ．10x y -+=14．设P 为曲线2:23C y x x =++上一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围是A ．1[1,]2--B ．[1,0]-C ．[0,1]D ．1[,1]215．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为 A ．43B ．75C ．85D ．316．设抛物线24xy =的焦点为F ，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA +FB +FC =A ．9B ．6C ．4D ．317．设O 是坐标原点,F 是22(0)y px p =>的焦点,A 是抛物线上的点,FA 与x 轴正向的夹角为60,则OA =A ．214pB．2C．6pD ．1336p 18．已知抛物线的准线方程为20x y +-=，焦点是(5,5)F ，则抛物线的顶点坐标是.(3,5)A B ．(5,3)C ．(2,2)D ．(3,3)二. 填空题19．若抛物线顶点是坐标原点,焦点坐标是()2,0F -,则抛物线方程是 20．若抛物线顶点是坐标原点,准线方程是()0y m m =≠,则抛物线方程是 21．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹方程为22．已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.则动圆圆心C 的轨迹的方程是 23．与圆0422=-+x y x外切且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是24．抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a =25．在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p = 26．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 27．已知F 是抛物线24C yx =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB的中点为(22)M ，，则ABF =△S ．28．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，若6AB =，则圆C 的方程为三. 解答题31．已知直线b x y +=与以椭圆22134x y +=的上焦点为焦点,顶点在坐标原点O 的抛物线交于A 、B 两点,若△OAB 是以角O 为直角的三角形，求b 的值抛物线基础练习答案一．选择题1．抛物线212y x =的准线方程是3x =3x =-3y =3y =-若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a=1-2-抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是A.1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B .10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫-⎪⎝⎭和1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．45．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 A ．2B ．3C ．4D．6．设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y += 7．若点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为AB ．3CD ．928．已知直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到1l 和2l 的距离之和的最小值是A ．115B ．3C ．2D ．37169．已知点P 在24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A ．114⎛⎫-⎪⎝⎭， B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)，D ．(12)-，10．已知22ypx =的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则Ａ.123FP FP FP += Ｂ.222123FP FP FP +=Ｃ.2132FP FP FP =+Ｄ.2213FP FP FP =⋅11．连结抛物线24xy =的焦点F 与点(1,0)M 所得线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为 A．1-B．32C．1D．32+12．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =A ．13B．3C ．23D13．过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线方程是A ．220x y ++=B ．330x y -+=C ．10x y ++=D ．10x y -+=14．设P 为曲线2:23C y x x =++上一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围是A ．1[1,]2--B ．[1,0]-C ．[0,1]D ．1[,1]215．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为A ．43B ．75C ．85D ．316．设抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA +FB +FC =A ．9B ．6C ．4D ．317．设O 是坐标原点,F 是22(0)y px p =>的焦点,A 是抛物线上的点,FA 与x 轴正向的夹角为60,则OA =A ．214pBCpD ．1336p 18．已知抛物线的准线方程为20x y +-=，焦点是(5,5)F ，则抛物线的顶点坐标是.(3,5)A B ．(5,3)C ．(2,2)D ．(3,3)二． 填空题19．若抛物线顶点是坐标原点,焦点坐标是()2,0F -,则抛物线方程是28y x =- 20．若抛物线顶点是坐标原点,准线方程是()0y m m =≠,则抛物线方程是24x my =-21．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹方程为28y x =22．已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.则动圆圆心C 的轨迹的方程是22y px =23．与圆0422=-+x y x外切且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是()082>=x x y 和()00<=x y24．抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a =18-25．在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p =2 26．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为227．已知F 是抛物线24C yx =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF =△S 2．28．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为22(1)10xy +-=三． 解答题31．已知直线b x y +=与以椭圆22134x y +=的上焦点为焦点,顶点在坐标原点O 的抛物线交于A 、B 两点,若△OAB 是以角O 为直角的三角形，求b 的值解:由已知得:抛物线焦点()0,1F ,所以,抛物线方程是24x y = 由24y x bx y=+⎧⎨=⎩,得2440x x b --= 设()()1122,,,A x y B x y则()()()()()2121244140142,43b x x x x b ⎧∆=--⨯⨯->⎪+=⎨⎪⋅=-⎩ 由(1)得1b >- 由已知得0,OA OB ⋅=4b ∴=或0b =(舍)。