第八章习题及解答

第八章习题及解答

8.1 为什么一般矩形波导测量线的纵槽开在波导的中线上？

解：因为矩形波导中的主模为10TE 模，而由10TE 的管壁电流分布可知，在波导宽边中线处只有纵向电流。因此沿波导宽边的中线开槽不会因切断管壁电流而影响波导内的场分布，也不会引起波导内电磁波由开槽口向外辐射能量。(如题8.1图)

题8.1图

8.2 下列二矩形波导具有相同的工作波长，试比较它们工作在11TM 模式的截止频率。

(1) 22310a b mm ⨯=⨯；

(2) 216.516.5a b mm ⨯=⨯。

解：截止频率 22

1

m n 2c f a b πππμε⎛⎫⎛⎫=

+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

当介质为空气001c

μεμε== （1）当2310a b mm mm ⨯=⨯，工作模式为11TM （m=1,n=1），其截止频率为

()2

2

113101116.36GHz 22310c f ⨯⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（2）当16.516.5a b mm mm ⨯=⨯，工作模式仍为11TM （m=1,n=1），其截止频

率为的

()22

113101112.86GHz 216.516.5c f ⨯⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

由以上的计算可知：截止频率与波导的尺寸、传输模式及波导填充的介质有关，与工作频率无关。

8.3 推导矩形波导中mn TE 模的场分布式。 解：对于TE 波有z z 0,0E H =≠

z H 应满足下面的波动方程和边界条件：

220000000

z z y x y x a x y x y b H k H E E E E ====⎧∇+=⎪

⎪=⎪⎪=⎨⎪

=⎪⎪=⎪⎩ （1） 由均匀导波系统的假设，

a/2

()(),,,z z z H x y z H x y e -Γ=

将其代入式(1)，得

222

22

20z z z z H H H k H x y z ∂∂∂+++=∂∂∂ ()()222222,0z k H x y x y ⎡⎤∂∂++Γ+=⎢⎥∂∂⎣⎦

()22222,0z h H x y x y ⎡⎤∂∂++=⎢⎥∂∂⎣⎦

（2） 其中222h k =Γ+

该方程可利用分离变量法求解。设其解为：

()()(),z H x y f x g y = (3) 将式(.3) 代入式 (2)，然后等式两边同除以()()f x g y ，得

()()()()22

22211d f x d g y h f x dx g y dy

-=+ 上式中等式左边仅为x 的涵数，等式右边仅为y 的函数，要使其相等，必须各等于常数。于

是，该式可分离出两个常微分方程

()()2220x d f x k f x dx += (4a) ()

()222

0y d g y k g y dy

+= (4b) 222x y k k h += (5)

式(4a)的通解为 ()sin cos x x f x A k x B k x =+ (6) 由于在x=0和x=a 的边界上，满足

0y

x E == 0y

x a

E ==

由纵向场与横向场的关系，得 2z

y c j H E k x

ωμ∂=

∂ 则在x=0和x=a 的边界上，(),z H x y 满足

0z x H x

=∂=∂

0z x a

H x

=∂=∂

于是将其代入式 (6)得

0A =

()m m 0,1,2,3......x k a

π

=

= 所以 ()m cos f x B x

a

π=

同理得式(4)的通解 ()sin cos y y g y C k y D k y =+

满足的边界条件为

0z y H y

=∂=∂

0z y b

H y

=∂=∂

于是得

0C =

()n n 0,1,2,3,......y k b

π

=

= ()n cos g y D y

b

π=

所以，得到矩形波导中TE 波的纵向场分量

()0m n ,cos cos z H x y H x y a b ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

式中H 0=CD 由激励源强度决定

本征值由式 22

2

2

2

m n x y

h k k a b ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

利用纵向场与横向场的关系式可求得TE 的其他横向场分量

()02n m n ,cos sin x j E x y H x y h b a b ωμπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

()02m m n ,sin cos y j E x y H x y h a a b ωμπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

()02m m n ,sin cos z x jk H x y H x y h a a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()02n m n ,cos sin z y jk H x y H x y h b a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

8.4 设矩形波导中传输10TE 模，求填充介质（介电常数为ε）时的截止频率及波导波

长。

解：截止频率

c

f =

对于10TE （m=1,n=0），得

c

f == 波导波长

2g π

λβ

=

=

=

式中λ=

8.5 已知矩形波导的横截面尺寸为22310a b mm ⨯=⨯，试求当工作波长10mm λ=时，波导中能传输哪些波型？30mm λ=时呢？ 解：波导中能传输的模式应满足条件

()mn c λλ< （工作波长小于截止波长）

或 ()mn c f f > （工作频率大于截止频率）

在矩形波导中截止波长为

c λ=