第八章习题及解答

第八章习题及解答8.1 为什么一般矩形波导测量线的纵槽开在波导的中线上？解：因为矩形波导中的主模为10TE 模，而由10TE 的管壁电流分布可知，在波导宽边中线处只有纵向电流。

因此沿波导宽边的中线开槽不会因切断管壁电流而影响波导内的场分布，也不会引起波导内电磁波由开槽口向外辐射能量。

(如题8.1图)题8.1图8.2 下列二矩形波导具有相同的工作波长，试比较它们工作在11TM 模式的截止频率。

(1) 22310a b mm ⨯=⨯；(2) 216.516.5a b mm ⨯=⨯。

解：截止频率 221m n 2c f a b πππμε⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当介质为空气001cμεμε== （1）当2310a b mm mm ⨯=⨯，工作模式为11TM （m=1,n=1），其截止频率为()22113101116.36GHz 22310c f ⨯⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）当16.516.5a b mm mm ⨯=⨯，工作模式仍为11TM （m=1,n=1），其截止频率为的()22113101112.86GHz 216.516.5c f ⨯⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由以上的计算可知：截止频率与波导的尺寸、传输模式及波导填充的介质有关，与工作频率无关。

8.3 推导矩形波导中mn TE 模的场分布式。

解：对于TE 波有z z 0,0E H =≠z H 应满足下面的波动方程和边界条件：220000000z z y x y x a x y x y b H k H E E E E ====⎧∇+=⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ （1） 由均匀导波系统的假设，a/2()(),,,z z z H x y z H x y e -Γ=将其代入式(1)，得2222220z z z z H H H k H x y z ∂∂∂+++=∂∂∂ ()()222222,0z k H x y x y ⎡⎤∂∂++Γ+=⎢⎥∂∂⎣⎦()22222,0z h H x y x y ⎡⎤∂∂++=⎢⎥∂∂⎣⎦（2） 其中222h k =Γ+该方程可利用分离变量法求解。

设其解为：()()(),z H x y f x g y = (3) 将式(.3) 代入式 (2)，然后等式两边同除以()()f x g y ，得()()()()2222211d f x d g y h f x dx g y dy-=+ 上式中等式左边仅为x 的涵数，等式右边仅为y 的函数，要使其相等，必须各等于常数。

于是，该式可分离出两个常微分方程()()2220x d f x k f x dx += (4a) ()()2220y d g y k g y dy+= (4b) 222x y k k h += (5)式(4a)的通解为 ()sin cos x x f x A k x B k x =+ (6) 由于在x=0和x=a 的边界上，满足0yx E == 0yx aE ==由纵向场与横向场的关系，得 2zy c j H E k xωμ∂=∂ 则在x=0和x=a 的边界上，(),z H x y 满足0z x H x=∂=∂0z x aH x=∂=∂于是将其代入式 (6)得0A =()m m 0,1,2,3......x k aπ== 所以 ()m cos f x B xaπ=同理得式(4)的通解 ()sin cos y y g y C k y D k y =+满足的边界条件为0z y H y=∂=∂0z y bH y=∂=∂于是得0C =()n n 0,1,2,3,......y k bπ== ()n cos g y D ybπ=所以，得到矩形波导中TE 波的纵向场分量()0m n ,cos cos z H x y H x y a b ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭式中H 0=CD 由激励源强度决定本征值由式 22222m n x yh k k a b ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用纵向场与横向场的关系式可求得TE 的其他横向场分量()02n m n ,cos sin x j E x y H x y h b a b ωμπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()02m m n ,sin cos y j E x y H x y h a a b ωμπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()02m m n ,sin cos z x jk H x y H x y h a a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()02n m n ,cos sin z y jk H x y H x y h b a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.4 设矩形波导中传输10TE 模，求填充介质（介电常数为ε）时的截止频率及波导波长。

解：截止频率cf =对于10TE （m=1,n=0），得cf == 波导波长2g πλβ===式中λ=8.5 已知矩形波导的横截面尺寸为22310a b mm ⨯=⨯，试求当工作波长10mm λ=时，波导中能传输哪些波型？30mm λ=时呢？ 解：波导中能传输的模式应满足条件()mn c λλ< （工作波长小于截止波长）或 ()mn c f f > （工作频率大于截止频率）在矩形波导中截止波长为c λ=由传输条件λ<当=10mm λ时上式可写为 12222m n<101023⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦能满足传输条件的m 和n 为（1）m=0,n<2有以下波型 01TE（2）m=1,n<1.95有以下波型 101111TE ,TE ,TM （3）m=2,n<1.8有以下波型 202121TE ,TE ,TM （4）m=3,n<1.5有以下波型 303131TE ,TE ,TM （5）m=4,n<0.95有以下波型 40TE当=30mm λ时，应满足 12222m n<103023⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1）m=0,n<0.66（无波型存在） （2）m=1,n<0.5有以下波型 10TE（3）m=2,不满足条件。

故此时只能传输10TE 模8.6 一矩形波导的横截面尺寸为22310a b mm ⨯=⨯由紫铜制作，传输电磁波的频率为10GHz f =。

试计算：（1）当波导内为空气填充，且传输10TE 波时，每米衰件多少分贝？（2）当波导内填充以r 2.54ε=的介质，仍传输10TE 波时，每米衰件多少分贝？解：当波导内为空气填充时，其工作波长为 ()82931031031010v cm f λ-⨯===⨯=⨯ 当波导内填充以r 2.54ε=的介质时。

其工作波长为()821.8810 1.88v cm f λ-===⨯= 波导壁的表面电阻s R =查表得紫铜的电导率)75.810/S m γ=⨯，于是()0.0261s R ==Ω 矩形波导中传输10TE 波时，由导体引起的衰减为2122c b a a λα⎡⎤⎛⎫=+⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦ （1）当波导内为空气填充，()377η=≈Ω，得()2212220301232230.011c b a a Np/m λα⎡⎤⎛⎫=+⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⨯⎝⎭⎢⎥⎣⎦=用分贝表示()0.0118.6860.094/c dB m α=⨯=（2）当波导内填充以r 2.54ε=的介质时()2212220 1.881232230.013c b a a Np/m λα⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⨯⎝⎭⎢⎥⎣⎦=用分贝表示()0.0138.6860.113/c dB m α=⨯=8.7 试设计10cm λ=的矩形波导。

材料用紫铜，内充空气，并且要求10TE 模的工作 频率至少有30%的安全因子，即210.7 1.3c c f f f ≥≥，此处1c f 和2c f 分别表示10TE 波和相邻高阶模式的截止频率。

解；由题给：210.7 1.3c c f f f ≥≥即 ()()2010TE TE 0.7 1.3c c f f f ≥≥若用波长表示，上式变为()()2010TETE0.711.3c c λλλ≥≥即0.71a 101.31210a ≥≤ 由此可得 6.57a ≤≤ 选择：()6.8a cm =为防止高次模01TE 的出现，窄边b 的尺寸应满足 ()01c TE 2b λλ>=即 ()05b cm <<考虑到传输功率容量和损耗情况，一般选取 ()0.40.5b a =故设计的矩形波导尺寸为 ()26.8 3.4a b cm ⨯=⨯8.8 矩形波导的前半段填充空气，后半段填充介质（介电常数为ε），问当10TE 波从空气段入射介质段时，反射波场量和透射波场量各为多大？解：由反射系数 21212121=r i Z Z Z Z ηηρηη--==++E E 得 =r i ρE E即反射波场量的大小为入射波场量的ρ倍 由透射系数 22212122=t i Z Z Z ητηη==++E E 得 =t i τE E即透射波场量的大小为入射波场量的τ倍。

因此只须求出ρ和τ即可得到解答。

矩形波导中10TE 模的波阻抗为10TE Z =其中ηλ===当介质为空气时，得1Z =当介质的介电常数为0r εεε=时，得2Z ===于是2121Z Z Z Z ρ-===++2212Z Z Z τ===++8.9 试推导在矩形波导中传输mn TE 波时的传输功率。

解：波导中传输的功率可由波导横截面上坡印廷矢量的积分求得()mnmnmn22TE TE 22TE 0011Re 22212s ssb axy Z P d dS dSZ EE dxdyZ *=⨯⋅===+⎰⎰⎰⎰⎰E H S E H式中E 和H 分别为波导横截面内的电场强度和磁场强度，mn TE Z 为波阻抗。

矩形波导中()02n m n ,cos sin x j E x y H x y h b a b ωμπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()n m n ,cos sin x m E x y E x y b a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()02m m n ,sin cos y j E x y H x y h a a b ωμπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()m m n ,sin cos y m E x y E x y a a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭式中 02m E H hωμ=于是()mnmnmn22TE 0022TE 002222TE 00212n m n cos sin 12m m n sin cos n n m sin cos 2b axy m b am b am m P EE dxdyZ E x y b a b dxdy Z E x y a a b E b y dy x dx Z b a m E a ππππππππππ=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪=⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰⎰mn222TE 00n m cos sin 2b ay dy x dx Z b a ππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰mn mn mn mn2222TE TE 222TE 22TE n 2424n 88mm n m m n m n m m m nm E N N E N N ab ab b a Z Z ab m N N E Z b a ab E h N N Z ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=式中 ()()()()1m 01n 0,2m=02n=0m n N N ⎧⎧≠≠⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩8.10 试设计一工作波长5cm λ=的圆柱形波导，材料用紫铜，内充空气，并要求11TE 波的工作频率应有一定的安全因子。