10：马尔可夫链 数学建模.
马尔可夫链模型简介
马尔可夫链模型简介设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为,}{N N E E E E E E ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2,1,2,1,两两互斥,则陈i E 为状态。
N i ⋅⋅⋅=,2,1。
称该系统从一种状态i E 变化到另一状态j E 的过程称为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。
定义1 具有下列两个性质的马尔可夫过程称为马尔可夫链： （1）无后效性，即系统的第n 次实验结果出现的状态，只与第1-n 次有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
定义2 向量),,,(21n u u u u ⋅⋅⋅= 成为概率向量，如果u 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅=≥∑=nj jj u nj u 11,,2,10 定义3 如果方阵P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。
如果矩阵A 和B 皆为概率矩阵，则AB ，k A ，k B 也都是概率矩阵（k 为正整数）。
定义4 系统由状态i E 经过一次转移到状态j E 的概率记为ij P ，称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3212222111211N N N N N P P P P P P P P P P 为一次（或一步）转移矩阵。
转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质： 1、P P P k k )1()(-=； 2、k k P P =)(其中)(k P 为k 次转移矩阵。
定义5 对概率矩阵P ，若幂次方)(m P 的所有元素皆为正数，则矩阵P 称为正规概率矩阵。
（此处2≥m ）定理1 正规概率矩阵P 的幂次方序列P ，2P ，3P ，…趋近于某一方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量t ，且满足t tP = 。
马尔可夫链模型如下：设系统在0=k 时所处的初始状态 ),,()0()0(2)0(1)0(N S S S S ⋅⋅⋅=为已知，经过k 次转移后的状态向量 ),,()()(2)(1)(k N k k k S S S S ⋅⋅⋅=),2,1(⋅⋅⋅=k ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=NN N N N N k P P P P P P P P P S S 212222111211)0()( 此式即为马尔可夫链预测模型。
马尔可夫链模型讲解
马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。
马尔可夫链模型python实现
马尔可夫链模型python实现马尔可夫链模型是一种统计模型，它假设未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
这种特性被称为“无记忆性”或“马尔可夫性质”。
在Python中，我们可以使用NumPy和Pandas等库来实现马尔可夫链模型。
以下是一个简单的马尔可夫链模型的Python实现：pythonimport numpy as npimport pandas as pd# 假设我们有一个状态集合，状态0可以转移到状态0或状态1，状态1只能转移到状态0states = ['state0', 'state1']# 定义转移概率矩阵transition_matrix = np.array([[0.9, 0.1], # 状态0转移到状态0的概率是0.9，转移到状态1的概率是0.1[1.0, 0.0] # 状态1只能转移到状态0])# 初始化当前状态current_state = 'state0'# 模拟马尔可夫链for _ in range(10):print(f"当前状态: {current_state}")# 根据转移概率矩阵确定下一个状态next_state_probabilities =transition_matrix[states.index(current_state)]next_state = np.random.choice(states, p=next_state_probabilities)current_state = next_state# 输出最终的状态print(f"最终状态: {current_state}")上述代码首先定义了状态集合和转移概率矩阵，然后初始化了当前状态。
接着，它使用一个循环来模拟马尔可夫链的演化，每次迭代都会根据当前的状态和转移概率矩阵来确定下一个状态。
最后，它输出了最终的状态。
马尔可夫链模型
马尔可夫链模型一、基因遗传问题豆科植物茎的颜色有绿有黄，生猪的毛有黒有白，人会得一些先天性疾病等，这些都与基因遗传有关。
基因从一代到下一代的转移是随机的，并且具有马氏性。
因此马氏链模型是研究遗传学的重要工具之一。
生物的外部表征如豆科植物茎的颜色，人的皮肤或头发，是由生物体内相应的基因决定。
基因分优势基因与劣势基因，分别用d 和r表示。
每种外部表征由体内的两个基因决定，而每个基因都可以是d或r中的一个，于是可以得到三种基因类型，即dd、dr 和rr，分别称为优种、混种和劣种，用D、H和R表示。
含D、H 基因类型的个体，外部表征呈优势，如豆科植物的茎呈绿色，人的皮肤有色素；含劣种R基因类型的个体外部表征呈劣势，如豆科植物的茎呈黄色，人的皮肤无色素。
生物繁殖时，一个后代随机的继承父与母各自的两个基因中的一个，形成两个基因。
一般两个基因中哪个遗传下去是等概率的，所以父母的基因类型就决定了每一后代基因类型的概率。
下面我们以马氏链为工具讨论两个具体的基因遗传模型。
随机交配这是自然界中生物群体一种常见的、也是最简单的交配方式。
考察一个群体，假设雄性和雌性的比例永远相等，并且有相同的基因类型分布，即雄性和雌性的D 、H 、R 的数量比例相等。
所谓随机交配是指对于每一个不论属于D 、H 或R 的雌性（或雄性）个体交配，都以D ：H ：R 的数量比例为概率与一个属于D 、H 或R 的雄性（或雌性）个体交配，其后代则按照前面所说的方式等概率地继承其父母亲的各一个基因，来决定它的基因类型。
假定在初始一代的群体中，三种基因类型的数量比是D ：H ：R =a ：2b ：c ，满足21a b c ++=。
记,p a b q b c =+=+，则群体中优势基因d 与劣势基因r 的数量比例为:p q ，且1p q +=。
讨论随机交配方式产生的一系列后代群体中的基因类型分布。
用1,2,3n X =分别表示第n 代的一个体属于D 、H 及R 基因类型，即三种状态，0,1,2,.()i n a n = 表示个体属于第i 种状态的概率，1,2,3i =可视为第n 代的群体属于第i 种基因类型的比例。
马尔可夫链模型python实现
马尔可夫链模型python实现全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：马尔可夫链是一种随机过程，它基于马尔可夫性质，即未来的状态只取决于当前的状态，而不受过去的影响。
马尔可夫链模型广泛应用于自然语言处理、机器学习、统计建模等领域，可以用来模拟具有随机性的现象。
在本文中，我们将介绍如何使用Python实现马尔可夫链模型。
我们需要了解马尔可夫链的基本概念。
马尔可夫链由状态空间、初始状态和状态转移概率矩阵组成。
状态空间是所有可能状态的集合，初始状态指定了链条起始状态，状态转移概率矩阵描述了从一个状态到另一个状态的转移概率。
接下来，我们将通过一个简单的例子来说明如何使用Python实现马尔可夫链模型。
假设我们有一个天气预测的问题，天气状态包括“晴天”和“雨天”，我们希望根据过去的天气情况预测未来的天气。
我们需要定义状态空间和状态转移概率矩阵。
状态空间定义如下：接着，我们可以定义状态转移概率矩阵，假设转移概率如下：以上代码中的transition_matrix表示在晴天时，下一天为晴天的概率为0.8，为雨天的概率为0.2；在雨天时，下一天为晴天的概率为0.4，为雨天的概率为0.6。
接着，我们可以编写Python代码来实现马尔可夫链模型。
我们需要定义一个函数来根据当前状态和转移概率矩阵来确定下一个状态：```pythonimport randomdef next_state(current_state, transition_matrix):next_states = transition_matrix[current_state]probabilities = list(next_states.values())next_state = random.choices(list(next_states.keys()), weights=probabilities)[0]return next_state```以上代码定义了一个next_state函数，接受当前状态和转移概率矩阵作为参数，返回根据转移概率确定的下一个状态。
10：马尔可夫链-数学建模教程文件
j的概率为
p
，即转移概率。
ij
如果
X
n
的取值只取决于
1
X
的取值及转移概率，
n
而与 X n1 , X n2 ....的取值无关，那麽这种 离散状
态按照离散时间的随机 转移过程称为马氏链
由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程
k
a i (n 1) a j (n ) p ij , i 1,2,......... .. (3) j 1
马氏链及其基本方程
按照系统的发展，时间 离散化为 n 1,2,3.......... ,
对于每一个 n，系统的状态用一个随 机变量 X n
表示，设 X n可以取 k个离散值 X n 1,2,....... k , 且
X n i的概率记作 ai (n)，即状态概率，从
Xn
i到X n1
满足
wp w
(10)a(n 1) a(n)p两边同时取极限
k
wi 1
i1
(11)
引入状态概率向量和转移概率矩阵
a(n){a1(n)a ,2(n)a ,2(n)......a ..k.(.n ..).}.
P{pi} jkk
（7）
则基本方程（3）可表为
a (n 1) a (n) P （8） 由此还可以得到
Xn1表示销X路 n2表 好示 ，销
,n=0,1,2,……….. X n 称为这个经营系统的状态
用 ai(n)表示 n月 第 处于 i的状 概 (i 态 1 率 ,2)即 , ai(n)P(Xni), pij表示本月 i， 处 下 于 月 状 转 态 j概 为 (率 i状 1,2,,态 j1,2的 ) 即 pijP(Xn1j|Xni)
数学建模马尔可夫讲义
排队论和可靠性理论
排队论
排队论是研究排队现象的数学理论， 马尔可夫链可以用于描述排队系统的 状态变化。通过马尔可夫链，可以计 算排队系统的性能指标，如等待时间、 队列长度等。
可靠性理论
可靠性理论是研究系统可靠性的数学 理论，马尔可夫链可以用于描述系统 的故障和修复过程。通过马尔可夫链， 可以计算系统的可靠性和可用性指标。
02
马尔可夫链是指状态转移概率只依赖于当前状态的 一类随机过程。
03
在马尔可夫链蒙特卡洛方法中，通过迭尔可夫链蒙特卡洛方法的实现和应用
实现马尔可夫链蒙特卡洛方法需要确定马尔可夫链的状态转移概率和初始 状态分布。
常见的马尔可夫链蒙特卡洛方法包括Metropolis-Hastings算法、Gibbs 采样等。
数学建模马尔可夫讲 义
目录
• 引言 • 马尔可夫链简介 • 数学建模基础 • 马尔可夫链在数学建模中的应用 • 马尔可夫链蒙特卡洛方法 • 结论
01
引言
主题简介
数学建模
使用数学语言、符号和公式来描述和解决实际问题的过程。
马尔可夫模型
一种数学模型，用于描述随机过程，其中未来的状态只与当 前状态有关。
数学建模的步骤
• 总结词：数学建模通常包括问题定义、数据收集、模型建立、模型验证 和模型应用五个步骤。
• 详细描述：数学建模是一个系统的过程，通常包括以下五个步骤：问题 定义、数据收集、模型建立、模型验证和模型应用。在问题定义阶段， 需要对问题进行清晰明确的阐述，明确建模的目的和意义。在数据收集 阶段，需要收集与问题相关的数据，为建模提供依据和支持。在模型建 立阶段，根据问题定义和数据收集的结果，建立相应的数学模型。在模 型验证阶段，需要对建立的模型进行验证，确保其准确性和可靠性。在 模型应用阶段，将建立的模型应用于实际问题中，得出相应的结论和建 议。
马尔可夫链模型
马尔可夫链模型(重定向自马尔可夫链)马尔可夫链模型（Markov Chain Model）[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中Pij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
对于任意i∈s，有。
3）是系统的初始概率分布，qi是系统在初始时刻处于状态i的概率，满足。
[编辑]马尔可夫链模型的性质马尔可夫链是由一个条件分布来表示的P(Xn + 1 | X n)这被称为是随机过程中的“转移概率”。
马尔可夫链模型简介介绍
成立，上式展开，得：
0.8x 0.2y 0.2(1 x y) x
0.2x 0.2y 0.2(1 x y) y
0.2x 0.8y 0.6(1 x y) 1 x y
解上述联立方程式，得 x 0.5， y 0.167 故 (x , y ,1 x y) ( 0.5 , 0.167 , 0.333 )
此式即为马尔可夫链预测模型。
由上式可以看出，系统在经过 k 次转后所处的状态S (k) 取决与它的初
始状态 S (0) 和转移矩阵 P 。
马尔可夫引例
例 1：市场占有率预测
设有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共同供应 1000 家用
户，各用户在各企业间自由选购，但不超出这三家企业，也无新的用
户，假定在 10 月末经过市场调查得知，甲，乙，丙三家企业拥有的
行甲企业保持用户的概率是 0.92,转移到乙,丙两次企业的概率都是
0.04,甲企业失去用户的概率是
0.04 0.04 0.08
第三步：利用马尔可夫链进行预测.显然,12 月份三家企业市场占有
率为
S (2)
(S1(2) ,
S（22）,
S
(2) 3
)
S (0) P2
067 0.833
客户分别是：250 户，300 户，450 户，而 11 月份用户可能的流动情
况如下表所示：
到
从
甲
乙
甲
230
10
乙
20
250
丙
20
10
（11 月）
280
270
丙
（10 月）
10
250
30
300
410
随机过程中的马尔可夫链模型
随机过程中的马尔可夫链模型马尔可夫链是一种描述随机过程的数学模型，它具有“无记忆性”的特点，即未来状态仅受当前状态的影响，与过去状态无关。
在这篇文章中，我们将探讨随机过程中的马尔可夫链模型及其应用。
一、什么是马尔可夫链模型马尔可夫链是一种随机过程，指的是一系列的随机事件，其中每个事件的发生仅依赖于前一个事件的状态。
这种“无记忆性”使得马尔可夫链具有简洁的数学描述和计算特性。
马尔可夫链由五个基本要素组成：状态空间、状态转移概率、初始概率分布、时间步长和转移矩阵。
1. 状态空间：马尔可夫链的状态空间表示系统可能处于的所有状态的集合。
例如，掷骰子的状态空间是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 状态转移概率：状态转移概率表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
通常用转移矩阵表示，其中每个元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
3. 初始概率分布：初始概率分布表示系统在初始时刻处于各个状态的概率分布。
通常用向量形式表示，其中每个元素表示系统处于对应状态的概率。
4. 时间步长：时间步长表示系统从一个状态转移到下一个状态所经过的时间。
5. 转移矩阵：转移矩阵是一个方阵，其中的每个元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
转移矩阵的每一行之和为1。
二、马尔可夫链模型的应用马尔可夫链模型在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、金融市场分析、生物信息学、网络传播模型等。
1. 自然语言处理：在自然语言处理中，马尔可夫链模型被用于文本生成、机器翻译和语音识别等任务。
通过建立一个马尔可夫链模型，可以根据已知的文本数据生成具有相似特征的新文本。
2. 金融市场分析：马尔可夫链模型被广泛应用于金融市场的分析和预测。
通过分析历史数据，建立一个马尔可夫链模型，可以预测未来的市场变化趋势，帮助投资者做出决策。
3. 生物信息学：在生物信息学中，马尔可夫链模型被用于基因序列分析、蛋白质结构预测等任务。
通过构建一个马尔可夫链模型，可以识别基因序列中的编码区域和非编码区域，进而对基因功能进行推断。
马尔可夫链模型课件
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不 具马尔可夫性。因为，若我们知道在t时刻系统中的顾客 数，那么为了预测将来的状态，我们不用关心从最近的一 位顾客来到后已过去了多长时间（因为来到过程是无记忆 的），但和服务中的顾客服务了多长时间有关（因为服务 时间分布不具无记忆性）。
销，2代表滞销。以X n 表示第n个季度的味精销售状态，
则 X n 可取1或2的值。若未来的味精市场状态只与现在的 市场状态有关，与以前的市场状态无关，则味精的市场销
售状态 {X n , n 1} 构成一个马尔可夫链。
设
P( X n1 j X n i) pij
p11 0.5 p12 0.5
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型
• 系统在每个时期所处的状态是随机的 • 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 • 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率
已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
例如：在某数字通信系统中传递0，1两种信
解：一步转移概率为：
Pi,i1 Pi,i1
p q
1
p
Pi,
j
0
(j i-1,i+1)
........................
...q
0
p
0
0...
P ...0 q 0 p 0...
...0
0
q
0
p...
........................
马尔科夫链模型及其应用PPT课件
n 时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关
第9页/共27页
马尔科夫链：应用 保险公司
Xn=3为第三种状态 死亡
a1(n+1)=a1(n)p11+a2(n)p21+a3(n)p31 a2(n+1)=a1(n)p12+a2(n)p22+a3(n)p32 a3(n+1)=a1(n)p13+a2(n)p23+a3(n)p33
给定a(0),预测a(n), n=1,2…
设投保 时健康
n
0
a1(n) 1
a2(n) 0
1
2
3
……
0.8 0.78 0.778 …… 7/9
0.2 0.22 0.222 …… 2/9
设投保 时疾病
n
0
a1(n) 1
a2(n) 0
1
2
3
……
0.7 0.77 0.777 …… 7/9
0.3 0.33 0.333 …… 2/9
第15页/共27页
隐马尔科夫模型
一个隐马尔可夫模型 HMM 可用一个5元组描述：λ= { N, M,π, A,B }
N = {H1，…，Hn} 隐藏状态的有限集合 M = {O1，…，Om} 可观测状态的有限集合，可以通过训练集获得 π={πi} 为初始状态概率， A={aij} 为隐藏状态的转移矩阵 B={bik} 表示某个时刻因隐藏状态而可观察的状态的概率，即混淆矩阵 在状态转移矩阵和混淆矩阵中的每个概率都是时间无关的，即当系统演化时， 这些矩阵并不随时间改变。
Kiss
0.6*0.5
Star t
0.4*0.1
H 0.3
*0.7*0.4=0.084
数学模型_ 马尔可夫链_
二、问题分析
a1 (n a2 (n
1) 1)
T
=
a1 (n) a2 (n)
T
0.6 0.3
0.4
0.7
lim
n
a1 (n a2 (n
1) 1)
T
=
lim
n
a1 (0) a2 (0)
T
0.6 0.3
0.4 n
0.7
a1 a2
(0) (0)
T
j
天处于状态 j 的概率，称之为转移概率。
0.3
Hale Waihona Puke 天津北京0.70.4
0.6
0.6
a1 (n 1) 0.6a1 (n) 0.3a2 (n) a2 (n 1) 0.4a1 (n) 0.7a2 (n)
二、问题分析
a1 (n 1) 0.6a1 (n) 0.3a2 (n) a2 (n 1) 0.4a1 (n) 0.7a2 (n)
3 3
/ /
7 7
4 / 7
4
/
7
3
/
7
T
4
/
7
0.3
天津
北京
0.7
0.4
0.6
0.6
这一状态概率与初始状态概率无关，称为稳态概率。
对于这一转移矩阵，存在正整数 N ,使得 P N 0 说明从任意状态出发都可以经过有限次的转移达到 另外的任意状态，则称这类马氏链为正则链。
数学模型
线性回归模型
数学模型
马尔可夫链
北京科技大学
一、问题提出
在外地旅游时，为了出行方便，许多游客会选择 租车出行。某公司在北京和天津两地开展汽车租赁业务, 共投入7000辆车。消费者可以从两地租车，也可以在任 何一家公司还车。
10632-数学建模-论文-马尔可夫链
若以X n表示时刻 n 时Q的位置，
则 { X n , n = 0,1,2,L}是一随机
1
2
3
45
过程， 而且当X n = i 时，X n+1 , X n+2 ,L等以后的行为只与 X n = i
有关，而与质点以前是如何到 i 是完全无关的，所以，它是一
个马氏链，且为齐次马氏链。
状态空间为：I = {1,2,3,4,5}
= 0.284
14
南京邮电大学孔告化讲 课稿
例题：设 {X n , n ≥ 0} 是具有三个状态 0,1,2 的齐次马氏链，
一步转移概率矩阵为 0 1 2
0 ⎜⎛ 3 / 4 1/ 4 0 ⎟⎞ P = 1 ⎜1/4 1/2 1/4⎟
2 ⎜⎝ 0 3 / 4 1/ 4⎟⎠
已知初始分布为：pi (0) = P{X0 = i} = 1/ 3, i = 0,1,2
=
1|
Xn
=
1}
≈
8
52 + 52
=
26 35
13
南京邮电大学孔告化讲 课稿
续例：若计算机在某一时段（15分钟）的状态为 0，问从此时段 起此计算机能连续正常工作 一小时 （4个时段）的概率为多少？
解：由题意，P{ X1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 1 | X 0 = 0}
有 P{Xm+n = aj | Xt1 = ai1 , Xt2 = ai2 ,L, Xtr = air , Xm = ai }
= P{Xm+n = a j | Xm = ai }
记 Pij (m, m + n) = P{ Xm+n = a j | X m = ai } 称 Pij (m, m + n) 为马氏链在时刻 m 处于状态 ai 条件下， 在时刻 m + n 转移到状态 a j 的转移概率.
马尔科夫链模型简介
a(2) a(1) P ( p 2 ,2 pq, q 2 ) p a b, q b c a 2b c 1 a(0)任意，稳态分布 wP ( p 2 ,2 pq, q 2 ) w
自然界中通常p=q=1/2 稳态分布D:H:R=1/4:1/2:1/4
随机过程可以描述为：
xt, t T
，则该过程为
，则该过程为
其中 xt 为在同一状态空间中取值的随机变量， 为参数集。 T
若T 为可数参数集，如 离散参数的随机过程。 若 T 为不可数参数集，如 连续参数的随机过程。
（二）状态与状态转移
• 状态：当系统由一组确定的变量值来描述的时候，就 说系统处于一个状态。 • 状态转移：当系统的变量从一个特定值变化到另一个 特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态。
（四）马尔可夫预测法
• 定义：对马尔可夫过程的演变趋势和状态加以 分析，用于预测事物未来状态的研究，称为马 尔可夫预测法。 • 特点：
1. 随机性：确切的未来状态是不可预测； 2. 局限性：只适合于马尔可夫过程； 3. 简便性：无需大量的统计资料。
• 适用领域：企业规模、市场占有率、选择服务 点、设备更新等的预测。
2. 平稳分布
定义：设 n 为有限s个状态的均匀马尔可夫链,若初 始概率 Pj P(E j ), j 1,2,, s 满足全概率公式：
Pj Pi Pij , j 1,2,, s
s
则称 n 为平稳的, Pj ( j 1,2,, s) 称为 n 的一个平稳分布 Pj ( k ) 表示第k次转移到状态 E j 的绝对概率； 可以证明: Pj Pj (1) Pj (2) 结论: 当马尔可夫链是平稳时,初始概率等于绝对概率； 平稳均匀马尔可夫链在任一时刻处于状态 E j 的概 率 Pj (n) 都相等,说明平稳。
10：马尔可夫链-数学建模
a1 (n 1) a1 (n) p11 a2 (n) p12 a2 (n 1) a1 (n) p12 a2 (n) p22 因为知道p11 0.5, p21 0.4 , 所以显然有 p12 1 p11 0.5 p22 1 p12 0.6 当商店开始销路好，即 a1 (0) 1, a2 (0) 0时，用式（1）立即可算出 a1 (n), a2 (n), n 1,2,.....第.5.页.，共.5.5页.。.
（2） Pig 1 （i=1,…具,是n）线性代数中有关矩阵的理论。
j 1
这样的矩阵被称为 随机矩阵。
第20页，共55页。
常染色体遗传模型
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一 个基因，形成自己的基因父时体，—基—因母对体也的称基为因基型因型。如果
我们所考虑的遗传特A征A是由AA两个AA基 因AaA和Aaa控制aa的，（A、
满足
wp w
(10)a(n 1) a(n) p两边同时取极限及
k
wi 1
i 1
(11)
第10页，共55页。
引入状态概率向量和转移概率矩阵
a(n) {a1(n), a2 (n), a2 (n)..............ak (n)}
P { pij }kk
（7）
则基本方程（3）可表为
a(n 1) a(n)P （8） 由此还可以得到
模型推广：生物基因遗传等方面的应用。
第16页，共55页。
§4.3 马氏链模型
随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重遗传 学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们广泛的注 意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代， 这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，由 基因又确定了后代所表现的特征。本节将利用数学的 马氏链 方法来建立相应的遗传模型等，并讨论几个简单而又有趣的实例。 马氏链（马尔柯夫链）研究的是一类重要的随机过程，研究对象的 状 态s(t)是不确定的，它可能 取K种 状态si(i=1,…,k)之一，有时甚 至可取无穷多种状态。在建模时，时间变量也被离散化，我们希 望通过建立两个相邻时刻研究对象取各种状态的概率之间的联系 来研究其变化规律，故马氏链研究的也是一类状态转移问题。
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链由一组状态和状态之间的转移概率组成，可以用于模拟和预测各种随机过程，如天气变化、股票价格波动等。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间和转移概率矩阵组成。
状态空间是指所有可能的状态的集合，用S表示。
转移概率矩阵是一个n×n的矩阵，其中n 是状态空间的大小。
转移概率矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 周期性：一个状态可以分为周期为k的状态和非周期状态。
周期为k的状态在经过k步后才能返回原状态，非周期状态的周期为1。
4. 不可约性：如果一个马尔可夫链中的任意两个状态都是可达的，那么该马尔可夫链是不可约的。
5. 非周期马尔可夫链的收敛性：如果一个马尔可夫链是非周期的且不可约的，那么它具有收敛性，即在经过足够多的步骤后，状态分布会趋于稳定。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、机器学习、金融市场分析等。
1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于语言模型的建立，通过分析文本中的词语之间的转移概率，可以预测下一个词语的出现概率，从而实现自动文本生成、机器翻译等任务。
2. 机器学习：马尔可夫链可以用于序列数据的建模和预测，如音频信号处理、图像处理等。
通过分析序列数据中的状态转移概率，可以预测下一个状态的出现概率，从而实现序列数据的预测和分类。
3. 金融市场分析：马尔可夫链可以用于分析金融市场的波动性和趋势。
通过分析股票价格的状态转移概率，可以预测未来股票价格的走势，从而指导投资决策。
四、马尔可夫链的改进和扩展马尔可夫链的基本概念可以通过改进和扩展来适应更复杂的问题。
建模马尔科夫链
1/31
设随机过程 {ξ (n),n = 0，，， } 的状态空间为： 1 2 L 的状态空间为： S = {0，，，， } 1 2 3L 若对任意的 k ≥ 1 ，及 i0，， ， ， ， +1 ∈ S有 i1 i2 L ik ik P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik， (k −1) = ik −1， ， (0) = i0 } ξ L ξ
步转移概率.
当 i，n 固定时，一步转移概率 pij (n) 实质上就是 固定时， 的条件下， 在 ξ (n) = i 的条件下，随机变量 ξ (n + 1) 的条件分 布律，所以条件分布律满足： 布律，所以条件分布律满足： pij (n) ≥ 0，∀i，j ∈ S，n > 0；
∑ pij (n) = 1，∀i ∈ S，n > 0.
乘法公式
L⋅ P {ξ (k ) = ik |ξ (k −1) = ik −1}
离散时间的马尔可夫链
马尔可夫链的一步转移概率
设 {ξ (n)，n ≥ 0} 是马尔可夫链，记 是马尔可夫链，
pij (n) P{ξ (n + 1) = j | ξ (n) = i}
7/31
称 pij (n)为马尔可夫链 {ξ (n)，n ≥ 0}在时刻 n 时的一
= P{ξ (tk＋ ) = ik +1 | ξ (tk ) = ik } LL 3.1.2） （ 1
P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik， (k −1) = ik −1， ， (0) = i0 } ξ L ξ
= P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik } LL 3.1.1） （
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ai (n 1) a j (n) pij , i 1,2,......... .. (3)
j 1
k
并且ai (n)和pij 应满足
i 1 k
k
ai (n) 1,
n 0,1,2,...... (4) i, j 1,2,3,.....(5) i 1,2,3,........( 6)
例一 在一条生产线上检验产品质量，每次取一个，废品记为1 合格品记为0。以 表示第n次检验结果，则 n 是一个随机
n
变量. 不断检验，得到一系列随机变量，
1 , 2 ,......... ........ n
记为
{ n , n 1,2,.......}
它是一个 随机序列，其状态空间为E={0，1}
定理2：正则链存在唯一的极限状态概率
w ( w1 , w2 , w3 ........ wk ), 使得当n 时状态概率 a ( n) w, w与初始状态概率无关， 又称稳定概率 满足 wp w
(10)a ( n 1) a ( n) p 两边同时取极限及 (11 )
w
X n 1表示销路好， X n 2表示销路坏
,n=0,1,2,……….. X 称为这个经营系统的状态 n
用ai (n)表示第n月处于状态i的概率(i 1,2),即ai (n) P( X n i ), pij 表示本月处于状态 i，下月转为状态的 j概率(i 1,2, , j 1,2) 即pij P( X n 1 j | X n i )
pij 0,
pj 1ij1定理一：若马氏链的转 移矩阵为P，则它是 正则链的充要条件是： 存在正整数 N使P 0
N
定义2：转移概率 P 的状态称为吸收状态 , 如果 ii 1 马氏链至少包括一个吸收状态，并且从每一个非吸收状 态出发，能以正的概率经有限次转移达到某个吸收状态 则称此马氏链为吸收链。
马尔可夫链建模法
1 马尔可夫链基本理论和结论 2 服务网点的设置问题 3 常染色体遗传模型
4 常染体隐性疾病模型
马尔可夫链的应用
预备知识：马尔可夫链 随机过程：设 { t , t T }是一族随机变量，T是一个实数集合，
若对任意的 实数 t T，
t
是一个随机变量，则称
{ t , t T } 为随机过程。
(5)式表明转移矩阵 P是非负阵，（ 6）式表明P 的行和为 1，称为随机矩阵。对于 例3的转移矩阵 为 0.5 0.4 0.5 0.6
i 1
k
i
1
引入状态概率向量和转移概率矩阵
a(n) {a1 (n), a2 (n), a2 (n)......... .....ak (n)} P { pij }kk
则基本方程（3）可表为
（7）
a(n 1) a(n) P a(n) a(0) P
n
（8）
由此还可以得到
（9）
则称
{ n , n 1,2,....} 为一个 马尔可夫链
马氏链及其基本方程
按照系统的发展，时间 离散化为n 1,2,3.......... , 对于每一个n，系统的状态用一个随 机变量X n 表示，设X n 可以取k个离散值X n 1,2,....... k,且 X n i的概率记作ai ( n)，即状态概率，从 X n i到X n 1 j的概率为pij，即转移概率。 如果X n 1的取值只取决于 X n的取值及转移概率， 而与X n 1 , X n 2 .... 的取值无关，那麽这种 离散状 态按照离散时间的随机 转移过程称为马氏链
如表所示，由数字变化规律可以看出
当n 时 ， 4 a1 ( n ) , 9 5 a 2 (n) 9
开始销路好时状态概率的变化
n
0
1
1
0.5
2
0.45
3
0.445
………
4/9
a1 (n) a2 (n)
0
0.5
0.55
0.555
5/9
表2 开始销路坏时的状态概率的变化
n
0 0 1
1 0.4 0.6
例二：在m个商店联营出租相机业务中（顾客从其中一个商店租出
可以到m个商店中的任意一个归还）规定一天为一个时间单位
t j
则
表示第t天开始时照相机在第j个商店,j=1,2,…..m.
{ n , n 1,2,....} 是一个随机序列，其状态空间为
E={1,2,…….m}
例3： 某商店每月考察一次经营情况，其结果用销路好或坏这 两种状况中的一种表示。已知若果本月销路好，下月任 保只这种状况的概率为0.5；如果本月销路坏，下月转变 为销路好的概率为0.4，试分析假若开始时商店处于销路 好的状态，过若干月后能保持销路好的概率有多大？如果 开始是处于销路坏呢？
2 0.44 0.56
3 0.444 0.556
………
4/9 5/9
a1 (n) a2 (n)
马尔可夫链的定义：
设{ n , n 1,2,....} 是一个随机序列，状态空间E为有限或可列
对于任意的正整数m,n，若i,j,
ik E(k 1,2.......,n 1)有
P{ nm j | n i, n1 in1 ,....... 1 i1} P{ nm j | n i}
ai (n)称为状态概率 , pij 称为转移概率 , 这里X n1只取决于X n 和pij , 和X n1 , X n2 ...无关 称为无后效性，由此，更椐全概率公式容易得到
a1 ( n 1) a1 ( n) p11 a 2 ( n) p12 a 2 ( n 1) a1 ( n) p12 a 2 ( n) p 22 因为知道p11 0.5, p 21 0.4 p12 1 p11 0.5 p 22 1 p12 0.6 当商店开始销路好，即 a1 (0) 1, a 2 (0) 0时，用式（ 1 ）立即可算出 a1 ( n), a 2 ( n), n 1,2,......... ... , 所以显然有