测量不确定度的评定
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u( xi ) —— B标准不确定度分量；
ci
—— 已知函数的变量的误差传播系数；
不确定度传播系数的计算
(1) 微分法。
设函数y是n个独立变量 x1 , , xn 的函数，即
y f x1 , , xn
独立变量 xi 的不确定度传播系数为
ci f xi
(2) 数值计算法 (3) 实验确定法
注意：
当测量结果的表达式采用了不同于0.95的其它置
信概率时，在结果中均以括号给出；
无论采用何种方式，测量单位只能Hale Waihona Puke Baidu现一次，
并位于最后，除非是非十进制单位；
估计值y的有效数字位数的选择应和相应的不确
定度的大小相适应。
数据处理举例1：
[例1] 玻璃间静摩擦系数的确定
（1）实验目的 估计玻璃的静摩擦系数μs、 μs的 标准不确定度，以及包含μs 的 真值的置信概率为95%的置信区间 （2）实验方法
第2章 测量不确定度的评定
本章主要内容：
（1） 测量不确定度的概念 （2） 测量不确定度的分类 （3） 测量不确定度的表示和评定。
2.1 概 述
随机误差：测量条件不变或相近的测量条件下 对被测量重复测量，由于不可控的干扰因素引 起的测量结果误差的波动，称为随机误差； 系统误差：是指在一定的测量条件下，对同一 个被测量进行多次重复测量时，误差值的大小 和符号（正值或负值）保持不变，或按一定规 律变化的误差。这种误差是重复测量和统计平 均都无法消除的误差，称之为系统误差。
滑动玻璃块
用最小刻度间隔（分辨
率）为1°的量角器测
θc
固定玻璃块
量出临界角； 重复测量6个临界角。
s tan c
数据处理举例1：
（3）实验结果
下表给出了通过6次实验测量到的临界角值。 θc (度) 48 46 38 39 46 40 42 43 45
（4）数据分析 首先，根据统计学的方法确定临界角θc的A类不确定度。 根据上表中的数据，可以得到重复测量所得的临界角平均值 X=43.0°，标准差s=3.5°，由于9次测量值之间互不相关，因 此可以确定平均值X的标准不确定度u(X)等于：
uX s 3.5 1.167 n 9
数据处理举例1：
根据量角器分辨率来估计其不确定度u(Z)，按均匀分布处理，可
得到标准差u(Z)：
u Z
12
0.289
根据以上A类和B类不确定度可得到临界角θc 测量值的合成不确 定度为u(θc)：
u c u 2 X u 2 Z
已定系统误差:误差大小、方向恒定不变前者为，在误 差处理中是可被修正的； 未定系统误差:误差按一定规律变化，在实际测量工作 中方向往往是不确定的，在误差估计时用测量不确定 度表示。 系统误差的来源： 测量设备的基本误差:严格的溯源和定期比对获得检 定报告; 偏离额定工作条件所产生的附加误差; 测量方法理论不完善
3) A类和B类不确定度 A类不确定度：按统计学方法获得的不确定度，用多次 测量结果的标准偏差表示； B类不确定度：按其它方法获得的不确定度. 注意:
A类和B类不确定度与“随机误差”和“系统误差”不存在对应
关系，因为A类和B类的划分只是由评定方法的不同而产生的，与 被评价的误差性质无关;
在系统误差的不确定度评价中既可以是A类，也可以是B类；而
2.1 概述
测量不确定度表征测量结果误差大小的定量评价，是一个与 测量结果相联系的参数。一个完整的测量结果，除了应给出被测 量的最佳估计值之外，还应同时给出测量结果的不确定度。 2.1.1 为什么要用测量不确定度评定来代替误差评定
误差的概念早已出现（1862年），在对测量结果进行误差评定 时，存在逻辑概念和评定方法方面的问题。
i —— 剩余误差，也叫残差：
算术平均值的标准差估计值为
ˆ x ˆ n n n 1
i xi x
i2
xi x n n 1
2
3） B类不确定度的计算
B类不确定度是通过查阅被测量的检定报告或数据 手册等专门资料所得的信息来决定的，这些专门资料 包括： 以前的测量数据； 有关材料和仪器性能的了解； 技术说明书中提供的技术指标； 校准检定证书或研究报告提供的数据； 手册或文件给予的参考数据及其不确定度。
5）扩展不确定度及其计算
扩展不确定度 被测量的真值总是以某种概率出现在这个估计 值附近的某值域区间内，而合成不确定度的倍数表示的 测量不确定度，它给出了被测量之值的分布在某区间概 率。 U(y) = ky uc(y) 根据y的概率分布查表得ky。在对y的概率分布不确 知的情况下，规定ky=3，相应的置信概率P近似为0.99 或99%，或ky=2，相应的置信概率P近似为0.95或95%。
1
置信概率Pc
0.68269 0.95450 0.99730
区间越宽，置信概率越大
2.3 测量结果的表示
设被测量Y的估计值为y，估计值所包含的
已定系统误差分量为єy ,估计值的不确定度为U， 则被测量Y的测量结果可表示为 y- єy -U≤Y≤y- єy +U 若єy =0，则测量结果可用表示为： Y=y±U（P=0.99）
表征随机误差的不确定度可能是A类，也可能是B类。
2.2.2 测量不确定度的计算
1）测量不确定度计算过程
建模 标准不确定度评定
测量不确定度计算模型：
B 类评定
A 类评定
yk f k ( x1 , , xn ); k 1, , M
输入量 x1，x2，… xn代表与 被测量相关的、可测的其他 物理量
d u 2 ( s ) s u ( c ) d c
2
式中： 于是：
u(s ) 0.0393
1.167 0.289 1.202 0.021rad
2 2
数据处理举例1：
根据临界角的最佳估计值和摩擦系数与临界角的关系，可得到摩
擦系数的估计值为： s tan(43.0) 0.9325 根据下式计算μs的标准不确定度u(μs)：
ds sec2 c sec2 43.0o =1.870 dc
中心极限定理证明：从一个高斯或非高斯分布的总体中随机抽取 样本并计算样本的平均值，那么该样本均值的分布近似为高斯分 布。
不必十分关注随机变量的分布规律，通过计算序列A的平均值 和标准差来对被测量的真值和不确定度进行估计，然后就能利 用高斯分布规律来计算出满足置信度要求的覆盖因子及扩展不 确定度。
正态分布下的扩展不确定度
计算合成标准不确定 度 计算扩展不确定度
不确定度报告
图2-1不确定度的评定过程
2）A类不确定度的计算
贝塞尔法是常见的一种标准求法。设一组等精度有限次测量 数据的测量列为 x1 , , xn ，则该测量列的算术平均值（最佳 在严格规定的环境和实验条件下，采 标准差则是对这种 可信赖值）为： 用同一台仪器进行若干次重复测量， 1 n
合成不确定度的计算公式 当测量结果的各输入量彼此独立，y=f（x1, x2,…) 测量结果的合成标准不确定度：
uc ( y )
[c s( x )] [c u ( x )]
2 i 1 i i i 1 i i
n
n
2
式中 uc ( y) ——测量结果的合成标准不确定度；
s( xi ) —— A类标准不确定度分量；
分散性的一种度量。 标准差也称为标准 测量列标准差为： 不确定度
x n
x
1
i
xi x ˆ n 1 n 1
2 i
2
此时可以认为这些重复测量值之间是 独立的和不相关的。若把这些重复测 量值的平均值作为对被测量真值的估 计值，那么其不确定度 将比标准差 小 倍（n为重复测量次数
xmax xmin xi 2
xi 的不确定度为
u ( xi )
xmax xmin 2 3
［例］ 数字电压表技术指标表明，检定后的两年内，在1V量程内 的不确定度为14×10-6×读数+2×10-6 ×量程 (V)，设该数字电压 表已使用20个月，用它测量某电位差U，得到U = 0.928571V。该 次测量不确定度采用B类标准不确定度评定方法进行评定。 按数字电压表的技术指标计算，且认为均匀分布，其半宽度a为：
例如仪表的准确度等级为a，测量时选用量程为Um，则B类扩
展不确定度为：U=a%Um B类标准不确定度分量为：
m = a%U m
3
例 ： 某 四 位 半 数 字 电 压 表 ， 量 程 为 2V ， 允 许 误 差 为 = 0.025%UX 1 个 字 ， 用 该 表 测 量 电 压 ， 得 到 测 量 值 为 0.0012V，求该测量值的标准不确定度， 解：四位半表
. 9 9 9 9
分辨率为0.0001V
仪表的容许误差为：
1 (0.025% 0.0012 0.00011) 1.0030 104V
测量值的扩展不确定度为：
U =1.0030 104 V
标准不确定度为：
(U )= U m
3 =5.79 105V
4） 合成不确定度的计算
2.2 测量不确定度基础
2.2.1 测量不确定度的概念
1) 定义: 测量不确定度表示测量结果不能肯定的程度，是表
征测量结果分散性的一个参数。是通过对测量过程的分析和评 定得出的一个区间。 2) 性质: 测量不确定度用标准差来表征重复测量值的分散性； 平均值的标准不确定度小于样本不确定度，用其来度量测量 误差显然比用绝对误差更科学； 置信因子和扩展不确定度就确定了某种置信概率下真值出现 的值域范围，而这是用测量准确度无法表述的； 不确定度愈小，所述结果与被测量的真值愈接近，反之，测 量结果的质量越低！
xmax xmin a 2
=14×10 -6 ×0.928 571 +2 ×10 -6 ×1= 15×10 -6 V =15µ V
则B类标准不确定度分量为：
(U ) 15/ 3 8.7μV
（3）仪表的基本误差
测量仪器通过计量检定后，计量部门给出被检仪器的准确度等
级或容许误差（数字式仪表），称之为仪表的基本误差。由仪 表的基本误差和量程等信息可以计算出扩展不确定度，属于B类 不确定度。
（1）如果说明书、检定证书、用户手册给出了xi的扩展不确定 度U及U的覆盖因子k，则xi的B类标准不确定度u(xi)等于扩展不 确定度除以覆盖因子即
u xi U K
例如：标准值为1000g的砝码m，其检定证书上给出该值的不确定度 是240µg，它是3倍的标准差水平。则这一砝码的标准不确定度为：
u(m)=240/3=80µg
其相对标准不确定度为：u (m) 80ug 80 109
m 1000 g
2.3 测量不确定度计算
（2) 如果根据信息只知道变量xi的上限 xmax和下限xmin，而落在xmin
至xmax范围内的概率是1，但对于xi在该范围内取值的分布不甚了解，
此时可认为是均匀分布。于是变量xi的期望值为该范围的中点，即
（1） 逻辑概念上的问题 误差是测量结果与被测量真值之差。真值是一个理想概念。严 格意义上是无法得到的。因此误差也就无法得到。在误差评定中， 常用约定真值和相对真值替代。
(2) 评定方法的问题——评定方法不统一 在误差评定中： 随机误差用测量结果的标准偏差表示，总随机误差 是各个随机误差分量按方和根法合成得到； 系统误差则用最大可能误差，即误差限来表示。总 系统误差也是各个系统误差分量按方和根法合成得 到的； 随机误差和系统误差是两个性质不同的量，在数学 上无法解决两个不同性质的量之间的合成问题； 各国误差评定方法的不一致，使不同的测量结果缺 乏可比性，这与全球化市场经济的飞速发展史不相 适应的。
当分布和k值确定之后，则置信概率可定
P[ x E ( x ) k ] P[ k ]
k
k
p( )d
正态分布,当k=3时
P ( 3 )
置信因子k
1 2 3
3
3
p( )d
3
3
2 exp( )d 0.997 2 2 2
ci
—— 已知函数的变量的误差传播系数；
不确定度传播系数的计算
(1) 微分法。
设函数y是n个独立变量 x1 , , xn 的函数，即
y f x1 , , xn
独立变量 xi 的不确定度传播系数为
ci f xi
(2) 数值计算法 (3) 实验确定法
注意：
当测量结果的表达式采用了不同于0.95的其它置
信概率时，在结果中均以括号给出；
无论采用何种方式，测量单位只能Hale Waihona Puke Baidu现一次，
并位于最后，除非是非十进制单位；
估计值y的有效数字位数的选择应和相应的不确
定度的大小相适应。
数据处理举例1：
[例1] 玻璃间静摩擦系数的确定
（1）实验目的 估计玻璃的静摩擦系数μs、 μs的 标准不确定度，以及包含μs 的 真值的置信概率为95%的置信区间 （2）实验方法
第2章 测量不确定度的评定
本章主要内容：
（1） 测量不确定度的概念 （2） 测量不确定度的分类 （3） 测量不确定度的表示和评定。
2.1 概 述
随机误差：测量条件不变或相近的测量条件下 对被测量重复测量，由于不可控的干扰因素引 起的测量结果误差的波动，称为随机误差； 系统误差：是指在一定的测量条件下，对同一 个被测量进行多次重复测量时，误差值的大小 和符号（正值或负值）保持不变，或按一定规 律变化的误差。这种误差是重复测量和统计平 均都无法消除的误差，称之为系统误差。
滑动玻璃块
用最小刻度间隔（分辨
率）为1°的量角器测
θc
固定玻璃块
量出临界角； 重复测量6个临界角。
s tan c
数据处理举例1：
（3）实验结果
下表给出了通过6次实验测量到的临界角值。 θc (度) 48 46 38 39 46 40 42 43 45
（4）数据分析 首先，根据统计学的方法确定临界角θc的A类不确定度。 根据上表中的数据，可以得到重复测量所得的临界角平均值 X=43.0°，标准差s=3.5°，由于9次测量值之间互不相关，因 此可以确定平均值X的标准不确定度u(X)等于：
uX s 3.5 1.167 n 9
数据处理举例1：
根据量角器分辨率来估计其不确定度u(Z)，按均匀分布处理，可
得到标准差u(Z)：
u Z
12
0.289
根据以上A类和B类不确定度可得到临界角θc 测量值的合成不确 定度为u(θc)：
u c u 2 X u 2 Z
已定系统误差:误差大小、方向恒定不变前者为，在误 差处理中是可被修正的； 未定系统误差:误差按一定规律变化，在实际测量工作 中方向往往是不确定的，在误差估计时用测量不确定 度表示。 系统误差的来源： 测量设备的基本误差:严格的溯源和定期比对获得检 定报告; 偏离额定工作条件所产生的附加误差; 测量方法理论不完善
3) A类和B类不确定度 A类不确定度：按统计学方法获得的不确定度，用多次 测量结果的标准偏差表示； B类不确定度：按其它方法获得的不确定度. 注意:
A类和B类不确定度与“随机误差”和“系统误差”不存在对应
关系，因为A类和B类的划分只是由评定方法的不同而产生的，与 被评价的误差性质无关;
在系统误差的不确定度评价中既可以是A类，也可以是B类；而
2.1 概述
测量不确定度表征测量结果误差大小的定量评价，是一个与 测量结果相联系的参数。一个完整的测量结果，除了应给出被测 量的最佳估计值之外，还应同时给出测量结果的不确定度。 2.1.1 为什么要用测量不确定度评定来代替误差评定
误差的概念早已出现（1862年），在对测量结果进行误差评定 时，存在逻辑概念和评定方法方面的问题。
i —— 剩余误差，也叫残差：
算术平均值的标准差估计值为
ˆ x ˆ n n n 1
i xi x
i2
xi x n n 1
2
3） B类不确定度的计算
B类不确定度是通过查阅被测量的检定报告或数据 手册等专门资料所得的信息来决定的，这些专门资料 包括： 以前的测量数据； 有关材料和仪器性能的了解； 技术说明书中提供的技术指标； 校准检定证书或研究报告提供的数据； 手册或文件给予的参考数据及其不确定度。
5）扩展不确定度及其计算
扩展不确定度 被测量的真值总是以某种概率出现在这个估计 值附近的某值域区间内，而合成不确定度的倍数表示的 测量不确定度，它给出了被测量之值的分布在某区间概 率。 U(y) = ky uc(y) 根据y的概率分布查表得ky。在对y的概率分布不确 知的情况下，规定ky=3，相应的置信概率P近似为0.99 或99%，或ky=2，相应的置信概率P近似为0.95或95%。
1
置信概率Pc
0.68269 0.95450 0.99730
区间越宽，置信概率越大
2.3 测量结果的表示
设被测量Y的估计值为y，估计值所包含的
已定系统误差分量为єy ,估计值的不确定度为U， 则被测量Y的测量结果可表示为 y- єy -U≤Y≤y- єy +U 若єy =0，则测量结果可用表示为： Y=y±U（P=0.99）
表征随机误差的不确定度可能是A类，也可能是B类。
2.2.2 测量不确定度的计算
1）测量不确定度计算过程
建模 标准不确定度评定
测量不确定度计算模型：
B 类评定
A 类评定
yk f k ( x1 , , xn ); k 1, , M
输入量 x1，x2，… xn代表与 被测量相关的、可测的其他 物理量
d u 2 ( s ) s u ( c ) d c
2
式中： 于是：
u(s ) 0.0393
1.167 0.289 1.202 0.021rad
2 2
数据处理举例1：
根据临界角的最佳估计值和摩擦系数与临界角的关系，可得到摩
擦系数的估计值为： s tan(43.0) 0.9325 根据下式计算μs的标准不确定度u(μs)：
ds sec2 c sec2 43.0o =1.870 dc
中心极限定理证明：从一个高斯或非高斯分布的总体中随机抽取 样本并计算样本的平均值，那么该样本均值的分布近似为高斯分 布。
不必十分关注随机变量的分布规律，通过计算序列A的平均值 和标准差来对被测量的真值和不确定度进行估计，然后就能利 用高斯分布规律来计算出满足置信度要求的覆盖因子及扩展不 确定度。
正态分布下的扩展不确定度
计算合成标准不确定 度 计算扩展不确定度
不确定度报告
图2-1不确定度的评定过程
2）A类不确定度的计算
贝塞尔法是常见的一种标准求法。设一组等精度有限次测量 数据的测量列为 x1 , , xn ，则该测量列的算术平均值（最佳 在严格规定的环境和实验条件下，采 标准差则是对这种 可信赖值）为： 用同一台仪器进行若干次重复测量， 1 n
合成不确定度的计算公式 当测量结果的各输入量彼此独立，y=f（x1, x2,…) 测量结果的合成标准不确定度：
uc ( y )
[c s( x )] [c u ( x )]
2 i 1 i i i 1 i i
n
n
2
式中 uc ( y) ——测量结果的合成标准不确定度；
s( xi ) —— A类标准不确定度分量；
分散性的一种度量。 标准差也称为标准 测量列标准差为： 不确定度
x n
x
1
i
xi x ˆ n 1 n 1
2 i
2
此时可以认为这些重复测量值之间是 独立的和不相关的。若把这些重复测 量值的平均值作为对被测量真值的估 计值，那么其不确定度 将比标准差 小 倍（n为重复测量次数
xmax xmin xi 2
xi 的不确定度为
u ( xi )
xmax xmin 2 3
［例］ 数字电压表技术指标表明，检定后的两年内，在1V量程内 的不确定度为14×10-6×读数+2×10-6 ×量程 (V)，设该数字电压 表已使用20个月，用它测量某电位差U，得到U = 0.928571V。该 次测量不确定度采用B类标准不确定度评定方法进行评定。 按数字电压表的技术指标计算，且认为均匀分布，其半宽度a为：
例如仪表的准确度等级为a，测量时选用量程为Um，则B类扩
展不确定度为：U=a%Um B类标准不确定度分量为：
m = a%U m
3
例 ： 某 四 位 半 数 字 电 压 表 ， 量 程 为 2V ， 允 许 误 差 为 = 0.025%UX 1 个 字 ， 用 该 表 测 量 电 压 ， 得 到 测 量 值 为 0.0012V，求该测量值的标准不确定度， 解：四位半表
. 9 9 9 9
分辨率为0.0001V
仪表的容许误差为：
1 (0.025% 0.0012 0.00011) 1.0030 104V
测量值的扩展不确定度为：
U =1.0030 104 V
标准不确定度为：
(U )= U m
3 =5.79 105V
4） 合成不确定度的计算
2.2 测量不确定度基础
2.2.1 测量不确定度的概念
1) 定义: 测量不确定度表示测量结果不能肯定的程度，是表
征测量结果分散性的一个参数。是通过对测量过程的分析和评 定得出的一个区间。 2) 性质: 测量不确定度用标准差来表征重复测量值的分散性； 平均值的标准不确定度小于样本不确定度，用其来度量测量 误差显然比用绝对误差更科学； 置信因子和扩展不确定度就确定了某种置信概率下真值出现 的值域范围，而这是用测量准确度无法表述的； 不确定度愈小，所述结果与被测量的真值愈接近，反之，测 量结果的质量越低！
xmax xmin a 2
=14×10 -6 ×0.928 571 +2 ×10 -6 ×1= 15×10 -6 V =15µ V
则B类标准不确定度分量为：
(U ) 15/ 3 8.7μV
（3）仪表的基本误差
测量仪器通过计量检定后，计量部门给出被检仪器的准确度等
级或容许误差（数字式仪表），称之为仪表的基本误差。由仪 表的基本误差和量程等信息可以计算出扩展不确定度，属于B类 不确定度。
（1）如果说明书、检定证书、用户手册给出了xi的扩展不确定 度U及U的覆盖因子k，则xi的B类标准不确定度u(xi)等于扩展不 确定度除以覆盖因子即
u xi U K
例如：标准值为1000g的砝码m，其检定证书上给出该值的不确定度 是240µg，它是3倍的标准差水平。则这一砝码的标准不确定度为：
u(m)=240/3=80µg
其相对标准不确定度为：u (m) 80ug 80 109
m 1000 g
2.3 测量不确定度计算
（2) 如果根据信息只知道变量xi的上限 xmax和下限xmin，而落在xmin
至xmax范围内的概率是1，但对于xi在该范围内取值的分布不甚了解，
此时可认为是均匀分布。于是变量xi的期望值为该范围的中点，即
（1） 逻辑概念上的问题 误差是测量结果与被测量真值之差。真值是一个理想概念。严 格意义上是无法得到的。因此误差也就无法得到。在误差评定中， 常用约定真值和相对真值替代。
(2) 评定方法的问题——评定方法不统一 在误差评定中： 随机误差用测量结果的标准偏差表示，总随机误差 是各个随机误差分量按方和根法合成得到； 系统误差则用最大可能误差，即误差限来表示。总 系统误差也是各个系统误差分量按方和根法合成得 到的； 随机误差和系统误差是两个性质不同的量，在数学 上无法解决两个不同性质的量之间的合成问题； 各国误差评定方法的不一致，使不同的测量结果缺 乏可比性，这与全球化市场经济的飞速发展史不相 适应的。
当分布和k值确定之后，则置信概率可定
P[ x E ( x ) k ] P[ k ]
k
k
p( )d
正态分布,当k=3时
P ( 3 )
置信因子k
1 2 3
3
3
p( )d
3
3
2 exp( )d 0.997 2 2 2