《函数的最大(小)值与导数》教案完美版

《函数的最大（小）值与导数》教案

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（1）

【教学目标】

1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；

2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．

【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．

【教学过程】

一、复习引入：

1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．

2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．

3．极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．

（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．

而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：

若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．

5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：

（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；

（2）求方程f ′(x )=0的根；

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )

在这个根处无极值．

二、讲解新课：

1．函数的最大值和最小值

观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．

一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．

说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．

⒉利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；

⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．

从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4．

例2 已知23()log x ax b f x x

++=,x ∈(0,+∞)．是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足

下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．

解：设g (x )=x

b ax x ++2 ∵f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数

∴g (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数．

∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==1

1b a 经检验，a =1,b =1时，f (x )满足题设的两个条件．

四、课堂练习：

1．下列说法正确的是( )

A ．函数的极大值就是函数的最大值

B ．函数的极小值就是函数的最小值

C ．函数的最值一定是极值

D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值

2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( )

A ．等于0

B ．大于0

C ．小于0

D ．以上都有可能

3．函数y =

234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D ．12

13 4．函数y =1

22

+-x x x 的最大值为( ) A ．33 B ．1 C ．21 D ．2

3 5．设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是( )

A ．27

B ．－3

C ．－1

D ．1

6．设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则( )

A ．a =2,b =29

B ．a =2,b =3

C ．a =3,b =2

D ．a =－2,b =－3

答案：1．D 2．A 3．A 4．A 5．D 6．B

五、小结 ：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．

六、课后作业：

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（2）