广义逆矩阵

广义逆矩阵
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浅谈广义逆矩阵
摘要：文章介绍莫尔-潘鲁斯(moore-penrose)广义逆矩阵的概念及其与实际背景的联系。

文章中定理1和定理2说明条件i与相容线性方程组的基本解的广义逆矩阵的联系，定理3说明条件i和iv与相容线性方程组的最小模解的广义逆矩阵的联系。

abstract: the article introduces the concept of
moore-penrose’s generalized inverse matrix and its relation with the actual background. theorem 1 and theorem 2 in this article illustrate the relation between conditions 1 and generalized inverse matrix of the fundamental solution of compatible linear equation.theorem 3 illustrates condition i and condition iv’s relation with generalized inverse matrix of the minimal model solution of compatible linear equation.
关键词：广义逆矩阵；相容线性方程组；最小模解
key words: generalized inverse matrix；compatible linear equation；minimal model solution
0 引言
在科技、工程、医学、经济、以及气象学的不同领域，经常会遇到求线性方程组
a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■a■ξ■+a■ξ■+……
+a■ξ■=β■……………………………a■ξ■+a■ξ■+……
+a■ξ■=β■（1）
或矩阵方程aξ=β（1）’
的求解问题。

通过线性代数的学习，我们知道方程组（1）有解的充分必要条件是a与其增广矩阵有相同的秩。

而方程组（1）存在唯一解，必须方程组未知数的个数与系数矩阵的秩相等，若a 是方阵，且a非退化（即a满秩|a|≠0），则a存在逆矩阵，为
a-1=a*/|a|，其中a*是a的伴随矩阵，则方程组有唯一解，可表为ξ=a-1β，唯一性在线性代数讲过，在这不再赘述。

上面要求在一些实际问题中是不容易满足，那是因为：
①实际问题中，方程个数与未知量个数不等s≠n，a不是方阵，不存在逆阵a-1，但方程组（1）却又是可解的（即相容的）。

②还有可能是，希望在无解方程组中找到既使模|ξ|最小，又使a■-β■最小的解。

总之，根据问题的需要，我们光用逆矩阵的概念解决不了这样的问题，所以有必要推广逆矩阵，下面先介绍广义逆矩阵的定义。

先来看
设a是n×n可逆阵，β是任意一个n×1矩阵，则方程aξ=β总有解，且解可表示为ξ=a-1β，现在设a是任意m×n阵，b是一个m×1矩阵，是否存在n×m矩阵x，使得只要方程aξ=β有解，ξ=a-1β就是解？这样的矩阵就是广义逆矩阵，在未给出概念前，先看看x满足条件。

引理：设a为m×n阵，某个n×m阵x，对任意n维列向量x0
及β=ax0满足a×β=β的充分条件是axa=a
1 定义
设a为m×n矩阵，如果n×m矩阵x满足axa=a，则称x为a
的一个广义逆矩阵，且广义逆矩阵具有下面四个性质：
i axa=a ii xax=x iii（ax）t=ax iv （xa）t=xa
其中（·）t表示转置，a的广义逆记为a+；广义逆矩阵的四个
性质与引言中的实际问题之间有什么联系，我们做如下的论证。

2 论证
以上定义中的广义逆矩阵x，如果在s=n且|a|≠0的情况下，
则广义逆矩阵就是学过的逆矩阵，当a可逆时，a-1满足四个性
质。

广义逆矩阵的四个性质，作为x的方程，是可解的，具有四
个性质的x又是唯一的。

证明如下：
定理：设a是m×n，则矩阵方程组
axa=a （1）xax=x （2）（ax）■=ax （3）（xa）■=xa （4）有唯一解。

证明：若ranka=0，此时n×n矩阵a为零矩阵，显然n×n零
矩阵满足方程（1）——（4），现在设ranka=r>0，有满秩分解a=fg 有，
于是fhagh=（fhf）（ggh）
又因为 fhf和ggh均为r阶非奇异矩阵，因此fhagh也是非
奇异矩阵，而且
（fhagh）-1=（ggh）-1（fhf）-1
令x=gh（fhagh）-1fh，则x=gh（ggh）-1（fhf）-1fh
易验证这个n×m矩阵x满足方程组（1）——（4）。

证明唯一性：假设有两个n×m矩阵x和y，满足方程组（1）——（4），则
x=xax=x（ax）h=xxhah=xxh（aya）h
=xxhahyhah=x（ax）h（ay）h=xaxay=xay
=（xa）h（yay）=（xa）h（ya）hy=（yaxa）hy=（ya）hy=yay=y 故方程组（1）——（4）有唯一解。

下面来讨论一下广义逆矩阵满足的四个性质与以上提出的实际问题有何关系？
①性质i的引进
对有解方程aξ=β
找到一个矩阵x，使xβ为方程（1）’的解，这样的x应该满足什么条件，为此有以下定理。

定理1. xβ恒为有解方程（1）’的一个解的充分必要条件是x 满足性质i：axa=a。

证：充分性：对有解方程（1）’，可令其一个解为■，即a■=β，则有a（xβ）=a（xa■）=（axa）■=a■=β，
即xβ确是方程（1）’的一个解。

必要性：设a=（a1，a2，……，an），aj∈rm，j=1，2，…，m 方程组a■=aj的解为xaj
所以axaj=aj （j=1，2，…，m），即
（axa1，axa2，…，axan）=（a1，a2，…，an）
ax（a1，a2，…，an）=（a1，a2，…，an），即
axa=a证毕。

有性质1，我们还可以进一步得到
定理2. 若x是a的一个广义逆矩阵，ax=β有解，则其全部解（通解）为
ξ=xβ+（en×n-xa）z （2）
其中z为任一n维列向量，e为单位阵。

证：首先证明（2）是ax=β的解
a[xβ+（e-xa）z]=axβ+（a-axa）z=β+0=β；
其次证明ax=β的任一解■可表为（2）式；因为（2）式中的z 为任一n维列向量，故可令z=■，则
xβ+（e-xa）■=xβ+■-xa■=xβ+■-xβ=■
即■可表为（2）的形式。

证毕。

②性质iv的引进
若可解方程（1）’有无穷多组解，希望选一个长度（模）ξ=■最小的解，我们发现这个最小模解是唯一的，且可写成gβ的形式，其中g满足条件i、iv。

证明：（1）’的一个解为gβ，g满足性质i，由定理1得出的全部解可知，若最小模解为gβ，则有
gβ≤gβ+（e-ga）z （3）
其中β为a的列向量所生成的子空间中的任意s维向量，故又
可写为β=a■，其中■为任意n维向量。

上式变为
ga■≤ga■+（e-ga）z
由于■、z的任意性，上不等式成立的充要条件是
ga■⊥（e-ga）z，
即
（ga■）t（e-ga）z≡■t[（ga）t（e-ga）]z≡0，
因而
（ga）t（e-ga）=0
则有
（ga）t=（ga）t（ga）
对上式两端转置，的性质iv：（ga）t=（ga）。

反之，若g满足性质i、iv，则由
（ga）t（e-ga）=（ga）（e-ga）
=ga-（gag）a=ga-ga=0
故通解ξ满足
|ξ|2=|gβ|2+|（e-ga）z|2 （4）
因此gβ是方程（1）’模最小的一个解，且最小模解是唯一的，证明：若ξ是另一个模最小的解，则（e-ga）z=0，因此定理2的全部解知ξ=gβ，所以最小模解唯一。

上面讲的就是两种实际问题与性质的关系。

3 说明
由于实际问题的需要，以上只就实数域的情况作了说明，若在
复数域上，可定义如下：
定义：a是复数域上m×n矩阵，如果n×m矩阵g满足条件（1）aga=a
（2）gag=g
（3）（ag）h=ag
（4）（ga）h=ga
则g称为a的moore-penrose广义逆矩阵。

对复数域上的广义逆矩阵存在且唯一，我们可做详细讨论，作者可阅读有关广义逆矩阵的专著，把适合以上四个性质中某一个或某几个条件的x也叫广义逆矩阵，或弱广义逆矩阵。

参考文献：
[1]林成森.数值计算方法（下）.科学出版社，2000.
[2]吕纯濂.广义逆矩阵的背景介绍.南京气象学院学报,1981.
[3][瑞典]a.布耶哈马著，党诵诗译.矩阵计算在最小二乘法中的应用.中国工业出版社，1963.。