北京师大附中学年度第一学期期中考试

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2023-2024学年北京西城区师范大学附属中学高一(上)期中物理试题及答案

2023北京北师大附中高一（上）期中物理班级：姓名：学号：考生须知 1．本试卷有四道大题，共9页。

考试时长90分钟，满分100分。

2．考生务必将答案填写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效。

3．考试结束后，考生应将机读卡和答题纸交回。

一、单项选择题。

本大题共16小题，共32分。

1．下列物理量中，属于矢量的是（）A ．速率B ．加速度C ．时间D ．质量2．如图所示，一个重5N 的瓶子被手握住竖直立于空中，则瓶子受到的静摩擦力大小（）A ．等于5NB ．大于5NC ．小于5ND ．一定为零 3．有两个大小分别为3N 和5N 的作用力，它们合力的大小可能是（）A ．0B ．10NC ．12ND ．4N4．小球从5m 高处自由落下，被地面竖直弹回，在1m 高处被接住。

在整个过程中小球的路程和位移的大小分别是（）A ．6m ，5mB ．5m ，4mC ．5m ，1mD ．6m ，4m5．下图给出了两个物体做直线运动的速度-时间图像，其中图像乙为通过坐标原点的直线。

由图可知（）A ．甲做匀加速直线运动B ．甲、乙运动方向相反C ．乙做匀速直线运动D ．乙做匀加速直线运动6．甲、乙、丙三辆小车同时、同地出发，它们的位移-时间图像如图所示，下列说法正确的是（）A ．乙车做直线运动，甲、丙两车做曲线运动B ．从出发到再次相遇，三车通过的路程相等C ．从出发到再次相遇，三车通过的位移相等D ．三车在10s 时间内平均速度大小相等，方向相反7．关于运动物体的速度和加速度的关系，以下说法正确的是（）A ．物体的加速度为零，速度一定为零B ．速度越大的物体加速度也越大C ．速度变化大的物体加速度大D ．加速度方向与速度方向同向，物体速度将越来越大 8．关于摩擦力，下列说法正确的是（）vtO甲乙A．静止的物体受到的摩擦力可以是滑动摩擦力B．运动的物体受到的摩擦力一定是滑动摩擦力C．摩擦力一定阻碍物体的运动D．滑动摩擦力的方向可以与物体的相对运动方向相同9．如图所示，沿光滑水平面运动的小滑块，当冲上光滑的斜面后，受到的力有（）A．重力、弹力 B．重力、弹力、上冲力C．重力、弹力、下滑力 D．重力、弹力、上冲力、下滑力10．如图所示，甲、乙两位同学利用直尺测量反应时间。

2022-2023学年北京师范大学附属中学七年级上学期期中考数学期中考试卷带讲解

-6=2-2m，
解得：m=4，
故选：D．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程是解题关键．
5.有理数a、b在数轴上的位置如下图所示，则下列式子成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴可知，，从而可判断答案．
【详解】解：由数轴可知：，，，
【答案】7
【解析】
【分析】先根据可得，从而可得，再根据新运算的定义可得，将代入计算即可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了代数式求值，掌握理解新运算的定义是解题的关键．
三、解答题（共52分，第20题16分，21题8分，22-23题每题6分，24题16分）
20.计算：
【点睛】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项法则，本题属于基础题型．
9.下列去括号或添括号的变形中，正确的一项是（）
A.2a-（3b+c）=2a-3b+cB.3a+2（2b-1）=3a+4b-1
C.a+2b-4c=a+（2b-4c）D.m-n+b-a=m-（n+b-a）
【答案】C
【解析】
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【详解】解：A．与是同类项，故本选项不符合题意；
B．与是同类项，故本选项不符合题意；
C．与是同类项，故本选项不符合题意；
D．与不是同类项，故本选项符合题意；

2023-2024学年北京师范大学附属中学高一上学期期中数学试题含答案解析

2023北京北师大二附中高一（上）期中数学一、单选题（共10小题，每题4分，共40分）1. 已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B xx k k ==-∈N ∣，那么A B = （）A. {}1,0- B. {}1,2- C. {}0,3 D. {}1,3-2. 命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”的否定为（）A. x ∀∈R ，2230x x -+< B. x ∀∈R ，2230x x -+≤C. x ∃∈R ，2230x x -+< D. x ∃∈R ，2230x x -+≤3. 已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（）A.11a b< B. a b< C. 0ab < D.2ab b >4. 函数1111y x x=-+-的奇偶性是（）A. 奇函数 B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既奇函数，又是偶函数5. 函数()35f x x x =--的零点所在的区间是（）A. ()0,1 B. ()1,2C. ()2,3 D. ()3,46. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件7. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）是A. B.C. D.8. 函数()221xf x x =+的图象大致为（）A. B.C. D.9. 设f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x 1＜0且x 1+x 2＞0，则（）A. f （﹣x 1）＞f （﹣x 2）B. f （﹣x 1）＝f （﹣x 2）C. f （﹣x 1）＜f （﹣x 2）D. f （﹣x 1）与f （﹣x 2）大小不确定10. 已知函数()12f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为（）A. 1m > B. 01m <<C 12m << D. 1m <-.二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11. 函数()f x =______.12. 函数2122x x y ++=值域是________．13. 若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________.14. 已知函数()221,111,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f -=______；若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的解，则实数k 的取值范围是______.15. 若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________.三、解答题（共6小题，共85分）16. 已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}04B x x =<<.（1）求()U A B ⋂ð；（2）设非空集合{}23,D x a x a a =<<+∈R ，若U D A ⊆ð，求实数a 的取值范围.17. 已知函数()211f x x =+，[]2,5x ∈.（1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求不等式()()121f m f m +<-的解集.18. 已知2y x x =-，且()1,1x ∈-.（1）求实数y 的取值集合M ；（2）设不等式()()20x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.19. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且的210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润多少？20. 已知函数()f x 为二次函数，()f x 的图象过点()0,2，对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上最小值为74.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,x m m ∈-，R m ∈时，求函数()f x 的最小值（用m 表示）；（3）若函数()()1F x f x ax =--在()0,3上只有一个零点，求a 的取值范围.21. 设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001···205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件集合A 的个数.是的2023北京北师大二附中高一（上）期中数学一、单选题（共10小题，每题4分，共40分）1. 已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B xx k k ==-∈N ∣，那么A B = （）A. {}1,0- B. {}1,2- C. {}0,3 D. {}1,3-【答案】D 【解析】【分析】根据交集的定义可求A B ⋂.【详解】因为{21,}B xx k k ==-∈N ∣，故B 中的元素为大于或等于1-的奇数，故{}1,3A B =- ，故选：D.2. 命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”的否定为（）A. x ∀∈R ，2230x x -+< B. x ∀∈R ，2230x x -+≤C. x ∃∈R ，2230x x -+< D. x ∃∈R ，2230x x -+≤【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.【详解】因为命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”，则其否定为“x ∃∈R ，2230x x -+≤”故选：D3. 已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（）A.11a b< B. a b< C. 0ab < D.2ab b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案．【详解】解：0a b <<Q ， 0ab ∴>，故C 错误；的两边同除ab 得：11a b>，故A 错误；a b ∴>，故B 错误；两边同乘b 得：2ab b >，故D 正确；故选D ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档．4. 函数1111y x x=-+-奇偶性是（）A. 奇函数 B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数，又是偶函数【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可.【详解】由函数解析式可知{}1,R x x x ≠±∈，即定义域关于原点对称，又()()()11111111f x f x f x x x x x=-⇒-=-=-+--+，所以函数1111y x x=-+-是奇函数.故选：A5. 函数()35f x x x =--的零点所在的区间是（）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】B 【解析】【分析】利用转化法，结合数形结合思想进行判断即可.【详解】()33505f x x x x x =--=⇒=+函数3y x =和函数5y x =+在同一直角坐标系内图象如下图所示：的一方面()()()()()05,15,21,319,455f f f f f =-=-===，()()120f f <另一方面根据数形结合思想可以判断两个函数图象的交点只有一个，故选：B 6. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：方程20x x m ++=有解，则11404m m ∆=-≥⇒≤．14m <是14m ≤的充分不必要条件．故A 正确．考点：充分必要条件7. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，所以A、B、D三个选项均不符合，只有选项C符合题意.故选：C .8. 函数()221xf x x =+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断所给函数的奇偶性，再通过函数值的正负即可判断.【详解】函数()221x f x x =+，则()()()()222211x x f x f x x x --==-=-+-+，即函数为奇函数，则A 、B 错误，当0x >时，()2201xf x x =>+.故D 正确故选：D9. 设f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x 1＜0且x 1+x 2＞0，则（）A. f （﹣x 1）＞f （﹣x 2）B. f （﹣x 1）＝f （﹣x 2）C. f （﹣x 1）＜f （﹣x 2）D. f （﹣x 1）与f （﹣x 2）大小不确定【答案】A 【解析】【分析】由条件可得()f x 在(),0∞-上是增函数，根据条件可得120x x >>-，所以()()12f x f x >-，从而得出答案.【详解】()f x 是R 上的偶函数，且在()0,∞+上是减函数故()f x 在(),0∞-上是增函数因为10x <且120x x +>，故120x x >>-；所以有()()12f x f x >-，又因为()()11f x f x ->所以有()()12f x f x ->-故选：A .10. 已知函数()12f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为（）A. 1m > B. 01m <<C 12m << D. 1m <-【答案】A 【解析】【分析】利用常变量分离法，结合数形给思想进行判断即可.【详解】令()11220f x m x m x x x =⇒=-=++，显然有0x ≠且2x ≠-且0m ≠，于是有()()()()()2,0122,,22,0x x x x x x x x m ∞⎧+>⎪=+=⎨-+∈--⋃-⎪⎩，设()()()()()()2,022,,22,0x x x g x x x x x x ∞⎧+>⎪=+=⎨-+∈--⋃-⎪⎩，它的图象如下图所示：因此要想函数()12f x m x x =-+有三个零点，只需0111m m <<⇒>，故选：A【点睛】方法点睛：解决函数零点个数问题一般的方法就是让函数值为零，然后进行常变量分离，利用数形结合思想进行求解.二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11. 函数()f x =______.【答案】(),1-∞.【解析】【分析】利用二次根式的意义计算即可.【详解】由题意可知101x x ->⇒<，即函数的定义域为(),1-∞.故答案为：(),1-∞12. 函数2122x x y ++=的值域是________．【答案】(0,1]【解析】【分析】根据二次函数的性质求解2()22f x x x =++的范围可得函数2122x x y ++=的值域【详解】解：由22()22(1)1f x x x x =++=++，可得()f x 的最小值为1，2122y x x ∴=++的值域为(0，1]．故答案为：(0，1]．【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，1011、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．13. 若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________.【答案】112【解析】【分析】运用基本不等式得出31x y +=≥，化简求得112xy ≤即可.【详解】正实数,x y 满足：31x y +=，31x y +=≥∴112xy ≤，当且仅当12x =，16y =时等号成立.故答案为112【点睛】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件，属于容易题.14. 已知函数()221,111,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f -=______；若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的解，则实数k 的取值范围是______.【答案】 ①. 34-②. ()0,1【解析】【分析】利用分段函数代入解析式求函数值即可得第一空，利用函数的单调性结合图象得第二空.【详解】易知()()()()314144f ff f -=⇒-==-，又1x ≤时，()22211y x x x =-+=-单调递减，且min 0y =，110x x >⇒>时，11y x=-单调递减，且10y -<<，作出函数()y f x =的图象如下：所以方程()f x k =有两个不同解即函数()y f x =与y k =有两个不同交点，显然()0,1k ∈.故答案为：34-；()0,115. 若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________.【答案】()3,2--【解析】【分析】首先讨论k 的取值，解不等式；再由集合A 的元素个数最少，推出只有0k <满足，若集合A 的元素个数最少，由0k <，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，只需求6k k +的最大值即可，再由集合A 中x ∈Z ，只需654k k-<+<-即可求解.【详解】由题知集合A 内的不等式为2(6)(4)0,kx k x x Z ---≥∈，故当0k =时，可得{}4A x Z x =∈<；当0k >时， 2(6)(4)0kx k x ---≥可转化为24060x kx k -≥⎧⎨--≥⎩ 或24060x kx k -≤⎧⎨--≤⎩，因为64k k <+，所以不等式的解集为{4x x ≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭，所以A ={4x Z x ∈≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭当0k <时，由64k k +<，所以不等式的解集为64x k x k ⎧⎫+≤≤⎨⎬⎩⎭，所以A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个.综上所述，当0k ≥时，集合A 的元素个数为无限个，当0k <时，集合A 的元素个数为有限个，故当0k <时，集合A 的元素个数最少，且当6k k+ 的值越大，集合A 的元素个数越少，令6()f k k k =+（0k <），则26()1f k k'=-，令()0f k '= 解得k =，所以()f k 在(,-∞内单调递增，在()内单调递减，所以max ()(f k f ==-又因为x ∈Z ，54-<-<-，所以当654k k-<+<-，即32k -<<-时，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭中元素的个数最少，故32k -<<-故答案为:()3,2--【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.三、解答题（共6小题，共85分）16. 已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}04B x x =<<.（1）求()U A B ⋂ð；（2）设非空集合{}23,D x a x a a =<<+∈R ，若U D A ⊆ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}34x x ≤< （2）][()3,23,--⋃+∞【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式解法化简集合A ，然后利用补集和交集运算求解即可；（2）根据集合关系列不等式组求解即可.【小问1详解】因为{}2230A x x x =--<，所以{}13A x x =-<<，所以{}13U A x x x =≤-≥或ð，因为{}04B x x =<<，所以(){}34U A B x x ⋂=≤<ð.【小问2详解】因为{}13U A x x x =≤-≥或ð，由题意得23231a a a <+⎧⎨+≤-⎩或233a a a <+⎧⎨≥⎩，解得32a -<≤-或3a ≥.所以实数a 的取值范围是][()3,23,--⋃+∞.17. 已知函数()211f x x =+，[]2,5x ∈.（1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求不等式()()121f m f m +<-的解集.【答案】（1）()f x 在[]2,5x ∈单调递减，证明见解析（2）322mm ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可作差求解，（2）由函数的单调性即可求解.【小问1详解】()f x 在[]2,5x ∈单调递减，证明如下：设1225x x ≤<≤，则()()()()()()21211222221212111111x x x x f x f x x x x x -+-=-=++++，由于1225x x ≤<≤，所以()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，因此()()120f x f x ->，故()()12f x f x >，所以()f x 在[]2,5x ∈单调递减，【小问2详解】由（1）知()f x 在[]2,5x ∈单调递减，所以由()()121f m f m +<-得51212m m ≥+>-≥，解得322m ≤<，故不等式解集为322mm ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭18. 已知2y x x =-，且()1,1x ∈-.（1）求实数y 的取值集合M ；（2）设不等式()()20x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.【答案】18. 124M y y ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭19. 14a <-或94a >【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解集合M ．（2）x ∈N 是x M ∈的必要条件，即M N ⊆，对a 分类讨论，解出不等式()(2)0x a x a -+-<的解集，可得a 的取值范围．【小问1详解】221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，的故函数在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故当12x =时取最小值min 14y =-，当=1x -时，2y =，当1x =时，0y =，故124y -≤<，所以124M y y ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，【小问2详解】x ∈N 是x M ∈的必要条件，即M N ⊆．当1a >时，2a a >-，此时(2,)N a a =-,所以1242a a ⎧-<-⎪⎨⎪≥⎩，解得94a >；当1a =时，N 为空集，不适合题意，所以1a =舍去；当1a <时，2a a <-，此时(,2)N a a =-，所以1422a a ⎧<-⎪⎨⎪-≥⎩，解得14a <-综上可得a 取值范围是14a <-或94a >19. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；的（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩；（2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000(9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()(920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x=，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.20. 已知函数()f x 为二次函数，()f x 的图象过点()0,2，对称轴为12x =-，函数()f x在R 上最小值为74.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,x m m ∈-，R m ∈时，求函数()f x 的最小值（用m 表示）；（3）若函数()()1F x f x ax =--在()0,3上只有一个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）217()()24f x x =++（2）2min2171(),242713(),422373(),242m m f x m m m ⎧++<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩（3）13[,3{})3+∞⋃．【解析】【分析】（1）设出函数的解析式，结合函数的对称轴以及函数最值，求出函数的解析式即可；（2）通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（3）根据一元二次方程根的分布，结合零点存在性定理得到关于a 的不等式，解出即可．【小问1详解】设函数2()()f x a x h k =-+，由对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上最小值为74可得得217()(24f x a x =++，将(0,2)代入()f x 得：1a =，故217()()24f x x =++；【小问2详解】()f x 的对称轴为12x=-，12m ≤-时，()f x 在[2m -,]m 递减，2min 17()()(24f x f m m ==++，1322m -<<时，()f x 在[2m -,12-递减，在1(2-,]m 递增，故min 17()()24f x f =-=，32m ≥时，()f x 在[2m -,]m 递增，故2min 37()(2)(24f x f m m =-=-+；综上，2min2171(),242713(),422373(),242m m f x m m m ⎧++<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；【小问3详解】2217()()1()1(1)124F x f x ax x ax x a x =--=++--=+-+在(0,3)上只有一个零点，当Δ0=时，即()2140a ∆=--=，解得3a =或1a =-当1a =-时，2210x x ++=，=1x -不满足题意，舍去，当3a =时，2210x x -+=，1x =满足题意，当0∆>时，当()(0)30F F ⋅<，解得133a >，此时()F x 在(0,3)上只有一个零点，由于(0)1F =，当()31330F a =-=时，此时133a =，此时210()103F x x x =+=-，解得13x =或3x =（舍去），满足条件，综上可得133a ≥，综上：a 的取值范围是13[,3{})3+∞⋃．21. 设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001···205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）{1,2,3,,100}A = （2）证明见解析（3）16个【解析】【分析】（1）根据题目条件，令n a n =，即可写出一个集合{1,2,3,,100}A = ；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉，所以集合{201,202,,205}A 中至多5个元素.设100100m a b -=≤，先通过判断集合A 中前100m -个元素的最大值可以推出(1100)i a i i m =-≤≤，故集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．【详解】（1）答案不唯一．如{1,2,3,,100}A = ；（2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈ 使得0x A ∈，令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈ ，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<< ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<< ，由（2）知，100100m a b -=≤．假设100b m >-，则1000b m -+>．因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤，所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤，这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤，第21页/共21页又因为121001m a a a -<<< ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤．任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =- ，以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤．若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈．故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个．【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．。

2023-2024学年北京市首都师大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市首都师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合A ＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x |x 2﹣3x ＜0}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2}2．下列各组函数表示同一函数的是（） A ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2B ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0C ．f （x ）={x ，x ≥0−x ，x ＜0，g （x ）＝|x |D ．f （x ）＝x +1，g(x)=x 2−1x−13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤11x−1，x ＞1，则f （f （﹣2））＝（）A ．8B ．12C ．−34D ．−1094．“x ＜3”是“|x ﹣1|＜2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．“∃x ∈N ，x ﹣1＜0”的否定为（） A ．∃x ∈N ，x ﹣1≥0 B ．∃x ∉N ，x ﹣1≥0 C ．∀x ∉N ，x ﹣1≥0D ．∀x ∈N ，x ﹣1≥06．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（） A ．若a ＞b ，则1a＜1bB ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2C ．若a ＞0＞b ，则ab ＜a 2D ．若c ＞a ＞b ，则ac−a＞b c−b7．已知函数f(x)=1ax 2+bx+c的部分图象如图所示，则a +b +c ＝（）A ．﹣6B ．6C ．﹣3D ．38．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是（） A ．（﹣3，0）B ．（﹣3，0）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）9．命题“∀x ∈[1，2]，2ax +11x ≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．a ≥﹣1B ．a ≥﹣2C ．a ≥﹣3D ．a ≥﹣410．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，(a −b ≤1)b ，(a −b ＞1)，设函数f （x ）＝（x 2﹣2）◎（x ﹣x 2），x ∈R ．若函数y ＝f （x ）﹣c 的图像与x 轴恰有3个公共点，则实数c 的取值范围是（） A ．（﹣2，﹣1] B ．(−∞，−2]∪(−1，−34) C ．(−34，+∞)D ．（﹣1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．函数f （x ）=√9−x 2x的定义域为．12．已知函数f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数．当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝x ﹣x 4，则当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝．13．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油(6+x 2360)升，司机的工资是每小时24元．则这次行车的总费用最低为元．14．若关于x 的不等式ax ﹣b ＞0的解集为{x |x ＜1}，则关于x 的不等式ax+b x−2＞0的解集为．15．下列四个命题：①若a ＞b ＞0，a ＞m ＞0，则b−m a−m＜b a＜b+m a+m；②函数f(x)=x +4x+1的最小值是3；③已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1，则1x+1y 的最小值是4；④已知正实数x ，y 满足xy +2x +y ＝4，则x +y 的最小值为2√6−3．其中所有正确命题的序号是．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16．（8分）设集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m +1}．（1）若m ＝3，求∁R （A ∪B ）；（2）若B ⊆A ，求m 的取值范围．17．（8分）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a +b ）x +2a ．（1）若关于x 的不等式f （x ）＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求a ，b 的值；（2）当b ＝2时，解关于x 的不等式f （x ）＞0． 18．（12分）已知函数f(x)=ax+b 4−x 2是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=23．（1）求实数a 和b 的值；（2）判断函数f （x ）在（﹣2，2）上的单调性，并证明你的结论；（3）若f （t 2﹣1）+f （1﹣t ）＜0，求t 的取值范围．19．（10分）已知函数f （x ）的定义域为R ，并且满足下列条件：①f （﹣1）＝1；②对任意x ，y ∈R ，都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）；③当x ＞0时，f （x ）＜0．（Ⅰ）求f （0），f （2）的值；（Ⅱ）证明：f （x ）为奇函数；（Ⅲ）解关于x 的不等式f （x 2+2x ）﹣f （2﹣x ）＞﹣2．20．（12分）对于函数f （x ），若存在实数x 0，使得f （x 0）＝x 0成立，则称x 0为f （x ）的“不动点”．（Ⅰ）设函数f(x)=3x+2x+2，求f （x ）的不动点；（Ⅱ）设函数f （x ）＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0），若对于任意的实数b ，函数f （x ）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数f （x ）定义在（﹣∞，+∞）上．证明：若f （f （x ））存在唯一的不动点，则f （x ）也存在唯一的不动点．2023-2024学年北京市首都师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

2023北京师范大学附中高一上学期期中生物试题(解析版)

故选D。
6.关于玉米细胞和人体细胞中的糖类，下列说法不正确的是（）
A.玉米细胞中有蔗糖
B.都以葡萄糖作为主要的能源物质
C.人体肝细胞中有糖原
D.都以淀粉作为主要的储能物质
【答案】D
【解析】
【分析】糖类分为多单糖、二糖和多糖，单糖包括葡萄糖、核糖、脱氧核糖等，二糖包括蔗糖、麦芽糖、乳糖等，多糖包括糖原、淀粉、纤维素。动植物细胞共有的糖是葡萄糖、核糖、脱氧核糖，蔗糖和麦芽糖是植物细胞特有的二糖，乳糖是动物细胞特有的二糖，糖原是动物细胞特有的多糖，淀粉和纤维素是植物细胞特有的多糖。
故选B。
3.原核细胞和真核细胞最主要的区别是（）
A.有无细胞膜B.有无核酸C.有无核膜D.有无核糖体
【答案】C
【解析】
【分析】原核细胞与真核细胞相比，最大的区别是原核细胞没有被核膜包被的成形的细胞核，没有核膜、核仁和染色体。此外，原核生物只有核糖体一种细胞器；原核生物只能进行二分裂生殖。但原核生物含有细胞膜、细胞质等结构，也含有核酸和蛋白质等物质。
一、单项选择题（本大题共25小题，1-15每题2分，16-25题每题1分，共40分）
1.“细胞学说在修正中前进”的一个相对独立的单位
C.细胞通过分裂产生新的细胞D.病毒也是由细胞所构成的
【答案】C
【解析】
【分析】细胞学说是由德植物学家施莱登和动物学家施旺提出的，其内容为：（1）细胞是一个有机体，一切动植物都是由细胞发育而来，并由细胞和细胞的产物所构成；（2）细胞是一个相对独立的单位，既有它自己的生命，又对与其他细胞共同组成的整体的生命起作用；（3）新细胞可以从老细胞中产生。
A.细胞→器官→组织→个体
B.细胞→组织→器官→系统→个体
C.组织→细胞→系统→个体

北京首师附2024-2025学年八上期中数学试卷含答案

首都师大附中2024－2025学年第一学期期中练习初二数学命题人：初二数学备课组审核人：初二数学备课组第I 卷（共24分）一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1．如图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”图片，与该图片是全等形的是A ．B ．C ．D ．2．下列计算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．235()a a =C ．2235a a a ⋅=D ．235a a a += 3．如图，Rt △ABC 中，90C ∠=︒，斜边AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点D ，连接AD ，若35B ∠=︒，则CAD ∠的度数为 A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．35︒4. 如图，一条笔直的河l ，牧马人从P 地出发，到河边M 处饮马，然后到Q 地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是A ．B ．C ．D ．5．如图，已知在△ABC 和△DEF 中，12∠=∠，BF CE =．则添加下列条件不能使△ABC 和△DEF 全等的是 A ．AC DF = B ．AB DE =C ．AD ∠=∠D ．BE ∠=∠6．已知28m n a -=，8ma =，则na 的值是A ．6B ．7C ．8D ．97．某平板电脑支架如图所示，EA ED =，AEC ∠=140°．为了使用的舒适性，可调整AEC ∠的大小．若AEC ∠增大16︒，则BDE ∠的变化情况是A ．增大16︒B ．减小16︒C ．增大8︒D ．减小8︒8．如图，形如“”形状的图形ABCD ，O 为对称轴所在直线的交点，其中BD AC ⊥，且<BD AC ．将图形ABCD 绕点O 逆时针转90︒得到图形''''A B C D ，两个图形的公共点为E ，F ，G ，H ．对八边形''BFB GDHD E 给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是 A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④第II 卷（共76分）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算2(6)a ab ⋅-的结果是． 10．因式分解：21x -= ．1112．如图，为了让两个斜坡AB ，AC 与地面所成的两个锐角相同，工程人员在修斜坡的时候，只需要让两个斜坡AB =AC 即可，工程人员这种操作方法的依据是．13．如图，在等边三角形ABC 中，4BC =，D 是AB 的中点，过点D 作DF AC ⊥于点F ．过点F 作FE BC ⊥于点E ，则EC 的长为．第13题图第15题图14．已知等腰三角形其中两边长为7和5，则等腰三角形的周长为． 15．如图，在△ABC 中，BO 平分ABC ∠，OD BC ⊥于点D ，连接OA ，若3OD =，12AB =，则△AOB 的面积是．BAC斜坡斜坡16．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“π节”．附中今年“π节”策划了五个活动，规则见图：小达参与了所有活动．（1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为；（2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“π币”数量的所有可能取值为．三、解答题（本题共10小题，共52分，第17-19每题4分，第20-21每题5分，第22题4分，第23-24每题6分，第25-26每题7分） 1720240(1)( 3.14)π+---．18．分解因式：269ax ax a -+．19．已知22a a +=，求代数式(2)(2)(2)a a a a +-++的值．20. 如图，已知AB AD =，AC AE =，BAD CAE ∠=∠，求证：△ABC ≌△ADE ．BCAED G F21．如图所示，在平面直角坐标系中，已知(0,1)A ，(2,0)B ，(4,3)C ．（1）若点D 与点C 关于y 轴对称，则点D 的坐标为；在平面直角坐标系中，画出与△ABC 关于y 轴对称的△AED ；（2）已知P 为x 轴上一点，若△ABP 为等腰三角形，则点P 有个．22. 如图，已知等腰三角形ABC 的顶角36A ∠=︒，在AC 上作一点D ，使∠BDC ＝2∠A (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明).23. 如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，DF BE ⊥，垂足为点F ．（1）求证：DB DE =；（2）若4CF =，求△ABC 的周长．24．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：222()2a b a ab b +=++（如图1)．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题.图1 图2 图3 根据以上材料提供的方法，完成下列问题：（1）由图2可得等式：，利用图2得到的结论，解决问题：若15a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++= ；（2）如图3，若用其中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张边长分别为a ，b 的长方形纸片拼出一个面积为(2)(2)a b a b ++长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x y z ++= .25．如图，在ABC △中，AD 是BC 边上的高，点C '与点C 关于直线AB 对称，点E 是线段BC '上的点，AE AC =. （1）求证：180EAC EBC ∠+∠=；（2）连接CE ，过点D 作DF AB ⊥于F ，交CE 于点G .①依题意补全图形；②用等式表示线段CG 与EG 的数量关系，并证明.备用图26.在平面直角坐标系xOy中，已知点M，点N，点P，若90MPN∠=︒且PN PM≤，则称点N为点M关于点P的“正矩点”.（1）如图1所示的平面直角坐标系xOy中，已知点(1,4)S，1(4,1)P-，2(2,4)P-，31 (2,)2P-，4(1,2)P--，其中点S关于原点O的“正矩点”是；图1 备用图（2）在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,3)A，(5,0)B，点D，E分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的动点，点D关于点E的“正矩点”记为点(,)C CC x y，点(,)C CC x y在第一象限.①当点E与A重合，OD小于4时，求点C纵坐标Cy的取值范围；②当点E，D分别在线段OA，OB上运动时，直接写出符合题意的点(,)C CC x y形成区域的面积.首都师大附中2024－2025学年第一学期期中练习初二数学参考答案第I 卷（共24分）一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1．D 2．D 3．A 4．D 5．B 6．C 7．D 8．B第II 卷（共76分）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．36a b -10．11x x +⋅-（）（）11．十12．等边对等角 13．32． 14．19或17 15．1816．（1）汉诺塔；.....................1分（2）2枚、4枚或6枚．........................2分（只答对1个或2个正确答案给1分，有错误答案不给分）三、解答题（本题共10小题，共52分，第17-19每题4分，第20-21每题5分，第22题4分，第23-24每题6分，第25-26每题7分）1720240(1)( 3.14)π+---．解：原式211=+-……………………………………………3分2=．……………………………………………4分18．分解因式：269ax ax a -+．解：269ax ax a -+2(69)a x x =-+……………………………………………2分 2(3)a x =-．……………………………………………4分19．已知22a a +=，求代数式(2)(2)(2)a a a a +-++的值．解：由题意，(2)(2)(2)a a a a +-++2242a a a =-++2224a a =+-……………………………………………3分 ∴当22a a +=时，原式22()4a a =+-224=⨯-44=-0=．……………………………………………4分20.如图，已知AB AD =，AC AE =，BAD CAE ∠=∠，求证：ABC ADE ∆≅∆．证明：BAD CAE ∠=∠，BAD DAC CAE DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，………………………1分在ABC ∆和ADE ∆中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，……………………………………………4分 ()ABC ADE SAS ∴∆≅∆．……………………………………………5分21．如图所示，在平面直角坐标系中，已知(0,1)A ，(2,0)B ，(4,3)C ．（1）若点D 与点C 关于y 轴对称，则点D 的坐标为；在平面直角坐标系中，画出与△ABC 关于y 轴对称的△AED ；（2）已知P 为x 轴上一点，若△ABP 为等腰三角形，则点P 有个．解：（1）点D 与点C 关于y 轴对称，∴点D 的坐标为(4,3)-．……………………………………………1分如图，ΔAED 即为所求．……………………………………………3分故答案为：(4,3)-．（2）4个……………………………………………5分22.如图，已知等腰三角形ABC 的顶角36A ∠=︒在AC 上作一点D ，使DBC A ∠=∠(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明).解：如图所示.……………………………………………4分23．如图，ABC ∆是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，DF BE ⊥，垂足为点F ．（1）求证：DB DE =；（2）若4CF =，求ABC ∆的周长．（1）证明：ABC ∆为等边三角形，BD 是中线，60ACB ∴∠=︒，1302CBD ABC ∠=∠=︒，…………………………………1分CE CD =，∴1302CDE E ACB ∠=∠=∠=︒，……………………………………………2分30CBD E ∴∠=∠=︒．DB DE ∴=；……………………………………………3分（2）解：DF BE ⊥，90DFC ∴∠=︒，9030FDC C ∠=︒-∠=︒，…………………………………4分4CF =，28DC CF ∴==．……………………………………………5分ABC ∆为等边三角形，BD 是中线， 216AB BC AC DC ∴====，ABC ∴∆的周长31648AB AC BC =++=⨯=．……………………………6分24. “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：222()2a b a ab b +=++（如图1)．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题图1 图2 图3 根据以上材料提供的方法，完成下列问题：（1）由图2可得等式：，利用图2得到的结论，解决问题：若15a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++= ；（2）如图3，若用其中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张边长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为(2)(2)a b a b ++长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x y z ++= ；解：（1）利用正方形面积公式2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++；故答案为：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++；…………………………2分若15a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222225235155a b c ++=-⨯=；故答案为：155；………………………………………4分（2）长方形面积为22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++可得：2x =，2y =，5z =，所以9x y z ++=；故答案为：9；………………………………………6分25.如图，在ABC △中，AD 是BC 边上的高，点C '与点C 关于直线AB 对称，点E 是线段BC '上的点，AE AC =. （1）求证：180EAC EBC ∠+∠=；（2）连接CE ，过点D 作DF AB ⊥于F ，交CE 于点G .①依题意补全图形；②用等式表示线段CG 与EG 的数量关系，并证明.备用图答案：（1）解：过点A 作AH BC '⊥于H .∵点C '与点C 关于直线AB 对称， ∴ABC ABC '∠=∠.∵AD 是BC 边上的高， ∴AD BC ⊥. ∵AH BC '⊥，∴90AHE ADC ∠=∠=，AH AD =. 在Rt AHE △与Rt ADC △中，AE AC AH AD =⎧⎨=⎩，，∴Rt Rt AHE ADC △≌△. …………………………………2分 ∴HEA C ∠=∠.∵180HEA AEB ∠+∠=， ∴180C AEB ∠+∠=.∵360C AEB EAC EBC ∠+∠+∠+∠=，∴180EAC EBC ∠+∠=. ……………………………………3分（2）①依题意补全图形，如图所示：…………………………4分②答：CG EG =. ………………………………………5分证明：连接HD ，过点E 作EK BC ∥交FD 于K .∵AH AD =，BAH BAD ∠=∠,∴AB 垂直平分HD . ∴BH BD =.∴BHD BDH ∠=∠.∵DF AB ⊥，∴点H ，F ，D 共线. ∵EK BC ∥，∴EKH BDH ∠=∠，EKG CDG ∠=∠.∴BHD EKH ∠=∠.∴EH EK =. ……………………………………………………………6分 ∵Rt Rt AHE ADC △≌△， ∴EH CD =. ∴EK CD =.在EKG △与CDG △中，KGE DGC EKG CDG EK CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，，， ∴EKG CDG △≌△.∴EG CG =.…………………………………………………7分26.在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，点N ，点P ，若90MPN ∠=︒且PN PM ≤，则称点N 为点M 关于点P 的“正矩点”.（1）如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,4)S ，1(4,1)P -，2(2,4)P -，31(2,)2P -，4(1,2)P --，其中点S 关于原点O 的“正矩点”是；图1 备用图（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (0,3)A ，(5,0)B ，点D ，E 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的动点，点D 关于点E 的“正矩点”记为点(,)C C C x y ，点(,)C C C x y在第一象限.①当点E 与A 重合，OD 小于4时，求点C 纵坐标C y 的取值范围；②当点E ，D 分别在线段OA ，OB 上运动时，直接写出符合题意的点(,)C C C x y 形成区域的面积.答案：（1）13,;P P …………………………………………………2分（2）①37c y <<；…………………………………………………5分②15…………………………………………………7分。

北京师大附中2022-2023学年七年级上学期期中英语试卷

北京师大附中2022—2023学年第一学期期中考试初一英语试卷班级姓名学号听力理解(共22分)一、听下面四段对话或独白。

每段对话或独白后有两道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

每段对话或独白你将听两遍。

(共12分，每小题1.5分)请听一段对话，完成第1至第2小题。

1.How many people are there in the girl’s family?A. Six.B. Seven.C. Eight.2. Who is a doctor?A. Mary’s sister.B. Mary’s brother.C. Mary’s cousin.请听一段对话，完成第3至第4小题。

3. What fruit does Jason have for breakfast?A. An orange.B. An apple.C. A banana.4. What does he drink?A. Coffee.B. Juice.C. Milk.请听一段对话，完成第5至第6小题。

5. When does the first class begin?A. At 8:30.B. At 10:30.C. At 9:30.6. What do we know about the dancing club?A. There aren’t any classes on Saturday.B. There are two classes in the morning.C. People may have dance class in the evening.请听一段独白，完成第7至第8小题。

7. What is the boy talking about?A. His school life.B. His teachers.C. His friends.8. What can we learn about the boy?A. His new school is small.B. He likes his English teacher best.C. He often plays football after school.二、听独白，记录关键信息。

2023北京市首都师范大学附中高一上学期期中生物试题(解析版)

【答案】B
【解析】
【分析】1、原核细胞：没有被核膜包被的成形的细胞核，没有核膜、核仁和染色质；没有复杂的细胞器（只有核糖体一种细胞器）；主要进行二分裂生殖，属于无性生殖，不遵循孟德尔的遗传定律；含有细胞膜、细胞质，遗传物质是DNA。
2、真核生物：有被核膜包被的成形的细胞核，有核膜、核仁和染色质；有复杂的细胞器（包括线粒体、叶绿体、内质网、高尔基体、核糖体等）；能进行有丝分裂、无丝分裂和减数分裂；含有细胞膜、细胞质，遗传物质是DNA。
【详解】A、原核细胞没有生物膜系统，A错误；
B、原核细胞和真核细胞的遗传物质都是DNA，B正确；
C、原核细胞没有染色体，C错误；
D、原核细胞的分裂不需要中心体参与，D错误。
故选B。
2.如图是在显微镜下观察到的番茄果肉细胞，图1使用低倍镜，图2使用高倍镜。甲、乙、丙、丁、戊是有关显微镜的几个操作步骤。要将图1转换为图2，四种操作顺序中正确的是（）
B、纤维素虽然不能被人体消化吸收，但对人体健康有益，如促进胃肠蠕动，加快粪便的排出等，因此要适量摄入纤维素，B错误；
C、性激素化学本质是脂质，能生殖器官的发育和生殖细胞的形成，调节人体生理活动，C正确；
D、适量摄入糖、脂同时合理运动消耗过多的糖类和脂肪，有利于健康，D正确。
故选B。
6.如图表示某蛋白质中氨基酸和相关基团的数目下列有关叙述错误的是（）
B、无机盐中有很多缓冲对，对于维持人体内的酸碱平衡有重要作用，B正确；
C、自由水是细胞良好的溶剂，是许多化学反应的介质，参与细胞的化学反应，C正确；
D、细胞中的无机盐大多数以离子形式存在，D错误。
故选D。
4.玉米是我国重要的粮食作物。下列相关叙述，不正确的是（）
A.体内的储能物质包括淀粉和脂肪

北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

首都师大附中2024－2025学年第一学期期中练习高二数学第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 已知向量(3,2,4)m =−，(1,3,2)n =−−，则||m n +=A. B. 8 C. 3 D. 9 答案：C2. 直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是 A. 7a =−，7b =−B. 7a =−，72b =−C. 72a =−，7b =D. 72a =−，7b =−答案：D3. 在平行六面体1111ABCD A B C D −中，若1123AC a AB bAD cA A =++，则abc 的值等于 A. 16B. 56C. 76D. 16−答案：D4. 方程2220x y ax by c ++−+=表示圆心为(2,2)C ，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为 A.4,2,4 B.4,2,4− C.4,2,4−−D.4,2,4−−答案：B5. 已知,a b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若//,//a a b α，则//b α B. 若//,//a a αβ，则//αβ C. 若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥D. 若,a b αα⊥⊥，则//a b答案：D6. 若直线1:310l ax y ++=与2:2(1)10l x a y +++=互相平行，则实数a 的值是 A.3−B. 2C.3−或2D.3或2−答案：A7. 一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点E 、F ，1F ，1E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为A.32B.74C. 2D.94答案：D8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 A.101− B.251−C.25D.10答案：B9. 已知动直线l 与圆O ：2216x y +=交于A ,B 两点，且120AOB ︒∠=.若l 与圆22(2)25x y −+=相交所得的弦长为t ，则t 的最大值与最小值之差为A.1B.2C.3D.4 答案：D10. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，曲线W 的方程是22||1x y y ++=，P 为W 上的任意一点．给出下面四个命题：①曲线W 上的点关于x 轴，y 轴对称；②曲线W 上两点间的最大距离为22；③||OP 的取值范围为1[,1]2； ④曲线W 围成的图形的面积小于23．则以上命题中正确命题为A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④答案：BBAC1B 1A 1C BAC1B 1A 1C E F1E 1F 甲乙第II 卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）11．直线:10l x −=的倾斜角为______，经过点且与直线l 垂直的直线方程为______．答案：56π ；y =12. 已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，则在正方体的顶点中，满足到平面1A DB的距离为3的一个顶点为______. 答案：A （答案不唯一）13. 直线l 过点(4,0)−且与圆22(1)(2)9x y ++−=相切，那么直线l 的方程为______. 答案：4x =−或512200x y ++=14. 设m ∈R ，过定点M 的直线1:310l x my m +−−=与过定点N 的直线2:310l mx y m −−+=相交于点P ，则点M 坐标为______，||||PM PN +的最大值为______. 答案：（1,3）；415. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D −所得的截面图形是五边形； ②直线11B D 到平面CMN的距离是2； ③存在点P ，使得1190=B PD ∠︒； ④1PDD ∆面积的最小值是6．其中所有正确结论的序号是______．答案：①③B 1三、解答题（本大题共4小题，共70分）16. 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱1111ABCD A B C D −中，AD //BC ，AD AB ⊥，AB =．2AD =，4BC =，12AA =，点E 是1DD 的中点，点F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点．（Ⅰ）证明：EF //11A D ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值．16. （1）证明1111//C B A D ，11C B ⊂/平面11ADD A ，11//C B ∴平面11ADD A ， …………2分又11C B ⊂平面11B C EF ，平面11B C EF ⋂平面11ADD A EF =，11//C B EF ∴， …………4分 11//EF A D ∴； …………5分（2）解：设1BA 与1B F 交点为H ，连接1C H ，1BB ⊥平面1111A B C D ， 111BB B C ∴⊥，又1111B C B A ⊥，111B A B B ⊂，平面11AA B B 1111B A B B B =11B C ∴⊥平面11ABB A ， …………7分 111B C BA ∴⊥， …………8分在矩形11ABB A 中，F 是1AA 的中点，111tan tan 2A B F AA B ∠=∠=，即111A B F AA B ∠=∠，故1B 1A 1C 1D BACD EF11BA B F ⊥． …………9分又1111B C B F B =所以1BA ⊥平面11B C EF ； …………11分可知1BA ⊥平面11B C EF ，所以1BC H ∠是1BC 与平面11B C EF 所成的角． …………12分在矩形11AA B B中，AB =12AA =，得BH =， …………13分在1RT BHC ∆中，1BC =11sin BH BC H BC ∠== …………14分所以1BC 与平面11B C EF． …………15分法二因为B 1B ⊥平面A 1D 1C 1B 1，A 1B 1,B 1C 1包含于平面A 1D 1C 1B 1，所以B 1B ⊥A 1B 1，B 1B ⊥B 1C 1 …………7分以B 1为原点，B 1A 1，B 1C 1，B 1B 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系 B(0,0,2)，C 1(0,4,0)，E(√2,2,1)），，（），，，（），，，（240BC 122E B 040C B 1111−=== …………9分设平面11B C EF 的法向量）（z y x n ,,= ⎩⎨⎧=++=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02204,0E B 0C B 111z y x y n n …………11分取）（2,0,2−=n …………12分 ||||,cos 111C B n C B n C B n >=< 1530=…………14分所以1BC 与平面11B C EF． …………15分17. 已知圆C 过原点O 和点(1,3)A ，圆心在x 轴上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 经过点(1,1)，且l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程．（Ⅲ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程．解：（1）设圆C 的圆心坐标为(,0)a ， …………1分依题意得=，解得5a =，从而圆C 的半径为5r ==， …………4分所以圆C 的方程为22(5)25x y −+= …………5分（2）依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为4，当直线方程l 为1x =时，易得弦长为6，所以直线1x =符合题意； …………7分当直线l 的斜率存在时，设其方程为1(1)y k x −=−，即10kx y k −−+=，由题所以圆心C 到此直线的距离为d =， …………9分因为截得的弦长为6，由垂径定理知2223r d =+即4=d 故4=，解得158k =， …………11分所以直线l 的方程为15870x y −−=； …………12分综上，直线l 的方程为1x =或15870x y −−=．（3）设0(M x ，0)y ，(,)Q x y ，则0(N x ，0)，且2200(255)x y −+= …………14分OQ OM ON =+，(x ∴，0)(2y x =，0)y ，即00,2xx y y ==…………17分故22(5)25(0)2x y x −+=≠，故点Q 的轨迹方程为222040(0)x x y x −+=≠． …………20分18. 图1是边长为2的正方形ABCD ，将ACD ∆沿AC 折起得到如图2所示的三棱锥P ABC −，且2PB =.（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）棱PA 上是否存在一点M ，使得二面角M BC A −−的余弦值为539，若存在，求出AMAP 的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：取AC 的中点O ，连接,OB OP ， ………………1分在正方形ABCD 中，1OB OD OP ===，并且,OB AC ⊥ 在OBP 中，222PB OP OB =+，所以OB OP ⊥. ………………3分因为,,OP AC O OP AC ⋂=⊂平面PAC ，所以OB ⊥平面,PAC ………………5分而OB ⊂平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ； ………………6分（2）解：存在点M ，当13AM AP =时，满足题意，理由如下：因为,,OB OA OP 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −, ………………7分BACDBACPM图1 图2则(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)A P B C −，因为OP ⊥平面ABC ，所以平面ABC 的法向量为(0,0,1),OP = ………………8分假设存在满足题意的点M ，且(01)AM AP λλ=≤≤， ………………9分则(0,1,)M λλ−，设平面MBC 的法向量为(,,)n x y z =，则有0(2)0n CB x y n CM y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩ 不妨设y λ=−，得(,,2)n λλλ=−−， ………………11分所以||53|cos ,|9||||OP n OP n OP n ⋅〈〉==⋅ ………………12分两边平方，整理得2610λλ+−=，解得13λ=或12λ=−（舍）， ………………14分因此，存在点M ，只需13AM AP =即可. ……………………15分19. 设正整数4n ，若由实数组成的集合{}12,,,n A a a a =满足如下性质，则称A 为n H 集合：对A 中任意四个不同的元素,,,a b c d ，均有.ab cd A +∈（Ⅰ）判断集合110,,1,22A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭和21,1,2,33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是否为4H 集合，说明理由；（Ⅱ）若集合{}0,,,A x y z =为4H 集合，求A 中大于1的元素的可能个数；（Ⅲ）若集合A 为n H 集合，求证：A 中元素不能全为正实数.19. 解：(1)集合110,,1,22A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是4H 集合， …………2分当1{,}{0,}2a b =，{,}{1,2}c d =时，1101222A ⨯+⨯=∈；当{,}{0,1}a b =，1{,}{,2}2c d =时，1101212A ⨯+⨯=∈；当{,}{0,2}a b =，1{,}{,1}2c d =时，11102122A ⨯+⨯=∈； …………3分集合21,1,2,33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭不是4H 集合， …………5分取1,1,2,33a b c d ====，则211912333ab cd A +=⨯+⨯=∉，不满足题中性质. …………6分 (2)当{,}{0,},{,}{,}a b z c d x y ==时，ab cd xy A +=∈，当{,}{0,},{,}{,}a b x c d z y ==时，ab cd yz A +=∈，当{,}{0,},{,}{,}a b y c d z x ==时，ab cd xz A +=∈，所以{}{},,,,.x y z xy yz xz = 不妨设x y z <<，①若0x y z <<<，因为0yz >，从而yz A ∉，与yz A ∈矛盾； ②若0x y z <<<，因为xz yz xy <<，故,,xz x yz y xy z ===，所以1, 1.z xy ==经验证，此时1,,0,1A x x⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是4H 集合，元素大于1的个数为0； …………9分 ③若0x y z <<<，因为0xz xy <<，所以与{}{},,,,x y z xy yz xz =矛盾； ④若0x y z <<<，因为xy xz yz <<，故,,xy x xz y yz z ===，所以11, 1.y z x==> 经验证，此时10,,1,A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是4H 集合，元素大于1的个数为1； …………11分综上：A 中大于1的元素的可能个数为0,1. …………13分(3)假设集合A 中全为正实数.若A 中至少两个正实数大于1，设120n a a a <<<<，则11n n a a −>>，取321{,}{,},{,}{,}n n n n a b a a c d a a −−−==，则321n n n n ab cd a a a a A −−−+=+∈，而3211n n n n n n n a a a a a a a −−−−+>>，从而321n n n n a a a a A −−−+∉，矛盾；因此A 中至多有1个正实数大于1. 当4n =时，设1234a a a a <<<，若123401a a a a <<<<，当1234{,}{,},{,}{,}a b a a c d a a ==时，1234ab cd a a a a A +=+∈，当1324{,}{,},{,}{,}a b a a c d a a ==时，1324ab cd a a a a A +=+∈，当1423{,}{,},{,}{,}a b a a c d a a ==时，1423ab cd a a a a A +=+∈，由于()()()()()()1234132443213241320a a a a a a a a a a a a a a a a a a +−+=−−−=−−>，()()()()()()1324142324314343210a a a a a a a a a a a a a a a a a a +−+=−−−=−−>，所以1234132414231a a a a a a a a a a a a a +>+>+>，所以123441324314232,,.a a a a a a a a a a a a a a a +=+=+= 因为3101a a <−<，所以()()()()4212341423431231a a a a a a a a a a a a a a a a −=+−+=−−−()()423142a a a a a a =−−<−，矛盾.因此当4n =时，12340,,, 1.a a a a < …………17分当5n 时，集合A 中至少有4个不同的正实数不大于1，设{}{}j ,,1,2,,,i S t t a a i j n i j ==−∈≠，因为S 是有限集，设s r minS −=，其中,,.r s A r s ∈< 又因为集合A 中至少有4个不同的正实数不大于1，所以1s r −<，且存在,p q A ∈，且1,1p q 使,,,p q r s 互不相同，则01p q <−<，当{,}{,},{,}{,}a b r p c d s q ==时，ab cd rp sq A +=+∈，当{,}{,},{,}{,}a b s p c d r q ==时，ab cd sp rq A +=+∈，于是()()()()()()rp sq sp rq p r s q r s p q s r s r +−+=−−−=−−<−，与s r minS −=矛盾.因此，A 中元素不能全为正实数. …………20分。

北京师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题

① _______；
②若的值域是，则的取值范围是_______．
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】①利用奇函数的定义，计算即可得到所求的值；
②由的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与轴的交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到答案.
【详解】①由题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，，
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数表达式可得，解不等式即可.
【详解】由，则，
解得，
所以函数的定义域为 .
故答案为：
12 已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝_____．
【答案】{0，2}
【解析】
【分析】先求出集合N，再求M∩N.
【详解】∵M＝{0，1，2，3}，N＝{0，2，4，6}，
C. ，所以；
D.f（x）＝x﹣|x|，所以，满足f（2x）＝2f（x）.
故选D
【点睛】本题主要考查求函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9.已知，若，则（）
A.-14B.14C.-6D.10
【答案】A
【解析】
【分析】先计算，再代入数值得结果.
【详解】，
又，所以
故选：A
10.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝ (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】依题意可得，且，再利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】解：∵ ，且，∴ ，且，
所以，当且仅当，即时取等号.