知识点11 两个重要极限

例11.3(难度系数0.4，跨知识点12)
0 0
1 x . 求 lim x 0 (1 cos x ) ln(1 x ) sin x x 2 sin
解析：本题是“ ”型未定式，利用第一个重要极限、等价无穷小替换以及无穷 小与有界量的乘积仍为无穷小来求解.
1 解：原式= lim x 0 1 cos x sin x x 2 sin x 1 x x ln(1 x)
2 1 tan n 解：原式 lim n 1 tan 2 n
e
2 n 2 n 1 tan n 2 n tan lim
e
2 n 2 n 1 tan n 2 n lim
e4 .
例11.8(难度系数0.2,1990年高数一真题) 设 a 是非零常数，则
e.
例11.10(难度系数0.6)
求 lim . x (1 x ) x e
0 0
x1 x
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：本题是“ ”型未定式.先将两个分式通分后转化为“ ”型未定式，再 利用第二个重要极限以及等价无穷小替换来求解.
1 x e (1 ) x x x x = lim 解：原式= lim x x 1 (1 1 ) x e e(1 ) x x x
2 2
例11.2(难度系数0.2)
求 lim
x 0
sin 2 x . 1 x sin x cos x
解析：本题是“ ”型未定式，先对分母有理化，然后再利用第一个重要极限及等 价无穷小替换 1 cos x x 2 进行求解.
sin 2 x sin x( 1 x sin x cos x ) x2 2lim 解：原式 lim x 0 x 0 1 cos x sin x 1 cos x x sin x 2 x x
xa lim ______ . x x a
x
1 解析：本题是“ 1 ”型未定式.先将所求极限“凑”成第二个重要极限 lim 1 x x

x
的形 式.
xa xa 2a 2 a xa 2a 解： lim lim 1 e (a 0) ； x x a x xa x 2 ax
x
解析：本题是“ 1 ”型未定式. 记住：凡是求“ 1 ”型未定式的极限必定可以用第二类重要极限来做.先使用“倒代 换”进行简化，然后利用第二个重要极限及等价无穷小替换来求解. 解：令 t ，则当 x 时， t 0 .
1 原式 lim 1 sin 4t cos 2t 1sin 4t cos 2t 1 t 0 sin 4 t cos 2 t 1 t
xa xa 2a 2a 当 a 0 时, lim 1 e . 则对一切的 a ,有 lim e . x x a x x a
x
x
例11.9(难度系数0.4) 解析：本题是 1
求 lim 1 tan x
x 0
通过变量替换，再利用重要极限来求解.
(1 t )
2
解：令 t 1 x ，原式 lim t tan
t 0
lim t cot
t 0
t
2
t
lim
t 0
t tan
t
2

2

lim
t 0
2 tan
t
2

2

.
温馨提示：第一个重要极限的3个“孪生兄弟”是：
tan x arcsin x 1 1 ， lim 1 ， lim x sin 1 x 0 x x x x sin x 1 推导出来.它的“冒牌兄弟”是： 这两个“孪生兄弟”容易从重要极限 lim x 0 x sin x lim ，不可混淆. x x lim
1 x
e t 0
lim
sin 4 t cos 2 t 1 t
，
1 (2t ) 2 sin 4t cos 2t 1 sin 4t 1 cos 2t lim lim 4 lim 2 4 0 4 ，所 又因为 lim t 0 t 0 t 0 t 0 t t t t
学科：高等数学
第一章 函数与极限
知识点11 两个重要极限 精选习题 作者：邹群
例11.1(难度系数0.2)
0 0
求 lim
x 0
2sin x sin 2 x . x3
解析：本题是“ ”型未定式，先利用半角公式简化，再利用第一个重要极限来 求解.
x x 4sin x sin sin 2sin x 1 cos x sin x 2 lim 2 1. 解：原式 lim lim lim x 0 x 0 x 0 x3 x3 x x 0 x 2
x 0
例11.5(难度系数0.2)
n 2na 1 1 求 lim ln (a ) . n 2 n(1 2a )
n
解析：本题是“ 0 ”型未定式.还要利用复合函数极限法则，重点求解内层函 数的极限，可化为第二个重要极限来求解.
n (1 2 a ) 1 2 a 1 n 2na 1 1 1 1 2 a 解： lim ln . ln lim 1 ln e n n 1 2a n(1 2a ) n(1 2a ) n 1
= lim
1 1 x 1 sin x lim x sin lim . x 0 1 cos x x 0 x x 0 ln(1 x) 2 x
例11.4(难度系数0.2) 求 lim(1 x) tan
x 1
x
2
.
0 解析：本题是“ 0 ”型未定式，遇到此类未定式一般都要化为“ ”型未定式， 0
温馨提示：第二个重要极限的一个“孪生兄弟”是： lim(1 x) x e ，
x 0
1
它的2个“冒牌兄弟”是： lim(1 x) 与 lim(1 ) x ，不可混淆.
x x 0
1 x
1 x
例11.6(难度系数0.4)
4 2 求 lim sin cos . x x x
arcsin x
.
型极限，直接化为第二个重要极限来求解，最后还要结合第一个重要极限.
1 解：原式 lim 1 tan x tan x x 0 arc sin x tan x
e x 0
lim
arc sin x tan x
e x 0
lim
arc sin x x lim x 0 tan x x
以，原式 e 4 .
2 例11.7(难度系数0.4) 求 lim tan n ( ) .
n
4
n
解析：本题是“ 1 ”型未定式.先利用正切函数的半角公式，目的是将底部构造 出“1+…”的形式，然后再化为第二个重要极限，借助等价无穷小替换来求解.
2 1 tan n 2 2 2 tan 2 tan n n lim 1 n 2 1 tan n 2 n 2 1 tan n 2 n tan n
2
0 0
1 2
sin 2 x 2 4 x 0 x2 2 1 cos x sin x 1 lim lim 1 3 2 x 0 x 0 x x 2 lim
温馨提示:等价无穷小替换的原则是：乘除式可以替换，而加减式不可以.此题容 易误解成加减式替换，实际上是用极限的四则运算法则先将极限“深入”后再替换 ，故不违背此原则.
ln(1 t ) t t
1
t
= lim
1 ln(1 t ) t e t 0 t2
ln(1 t ) t ) t
1 t 1 1 1 1 t 1 t 1 . = lim = lim e t 0 2t e t 0 2t 2e
1 e (1 ) x 1 x = 2 lim x 1 e x

1 t
（令 t ）
1 x
1 (1 t ) e 1 e = 2 lim lim e 2 t 0 t e t 0
(e
ln(1 t ) t t
ln(1 t ) t
e
t
1 ~
= lim
1 e e t 0