知识点11 两个重要极限
两个重要极限的证明
两个重要的极限1．证明：0sin lim 1x x x→= 证明：如图（a ）作单位圆。
当0<x<2π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。
即111sin 222x x <<tgx ，sinx<x<tgx 。
除以sinx ，得到11sin cos x x x<< 或sin 1cos x x x >>。
（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。
故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。
由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x=。
函数f(x)=sin x x的图象如图（b ）所示。
2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11(1)n n n b a n b b a++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。
（1） 令a=1+11n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。
由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n+为递增数列。
再令a=1，b=1+12n代入（1）。
由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。
不等式两端平方后有214(1)2n n >+，它对一切自然数n 成立。
联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。
于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n→∞+是存在的。
两个重要极限教案
学生分组巩固练习
设疑激趣
分组讨论
教师视情况引导学生使用计算器代入进行近似计算，并猜想。
利用几何画板事先制作课件，拖动动点，让学生观察比值的变化，验证猜想。体会数形结合思想的作用
教师讲授证明过程，学生理解识记，记住公式特征。
教师引导鼓励学生发表观点。第（1）小题学生独立思考，第（2）小题教师引导并板书。
学生尝试，教师引导。体会换元法、转化思想在数学解题中的重要作用。
师生回顾归纳交流解题经验
综合运用，提高分析、解决问题的能力
课堂练习
练习：求下列极限：
3 ②
③ ④
小结
1．正确、灵活地运用公式 。
2．当 。
3．运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
公开课教案
教者
龚桂琼
科目
数学
班级
12级数一班
课题
两个重要极限（一）
课型
时间
地点
教材分析
《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析
③
一、问题的提出
两个重要极限分析
两个重要极限分析关于两个重要极限分析两个重要极限是很重要的知识点，这个的知识点要怎么证明呢?证明的过程是的呢?下面就是店铺给大家整理的两个重要极限的证明内容，希望大家喜欢。
两个重要极限教案教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则;并会利用它们求极限;2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法;教学重点：利用两个重要极限求极限教学过程：一、讲授新课：准则I：如果数列满足下列条件：(i)对 ;(ii) 那么，数列的极限存在，且。
证明：因为，所以对，当时，有，即，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有，即有：，即，所以。
准则I′如果函数满足下列条件：(i)当时，有。
(ii)当时，有。
那么当时，的极限存在，且等于。
第一个重要极限：作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。
证明：作单位圆，如下图：设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即，(因为，所以上不等式不改变方向)当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切两个重要极限的介绍第一个重要极限如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。
准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。
准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。
2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。
第二个重要极限：作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。
先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：，即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。
(ii)又令，所以，即对，又对所以{ }是有界的。
由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即注1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望自己看!2：我们可证明：，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知：。
两个重要极限的证明
两个重要的极限1．证明：0sin lim 1x x x→= 证明：如图（a ）作单位圆。
当0<x<2π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。
即111sin 222x x <<tgx ，sinx<x<tgx 。
除以sinx ，得到11sin cos x x x<< 或sin 1cos x x x >>。
（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。
故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。
由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x=。
函数f(x)=sin x x的图象如图（b ）所示。
2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11(1)n n n b a n b b a++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。
（1） 令a=1+11n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。
由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n+为递增数列。
再令a=1，b=1+12n代入（1）。
由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。
不等式两端平方后有214(1)2n n >+，它对一切自然数n 成立。
联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。
于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n→∞+是存在的。
极限存在准则 两个重要极限
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
两个重要极限公式
两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。
利用无穷小的性质求极限。
利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
两个重要极限
两个重要极限、无穷小量的比较一、教学内容两个重要极限、无穷小量的比较； 二、教学目的1．掌握用两个重要极限求极限的方法 2．掌握利用等价无穷小求极限的方法； 三、教学重点 1．两个重要极限 四、教学难点 1．两个重要极限§4 两个重要极限一 夹逼定理定理1 如果函数)(x f ，)(x g 及)(x h 满足下列条件：（1）δ<-0x x （且 0x x ≠ ），（或 M x >）时，有)()()(x h x f x g ≤≤成立。
（2）A x h A x g x x x x x x ==∞→∞→→→)(lim ,)(lim )(0)(0，那么，)(lim )(0x f x x x ∞→→ 存在，且等于 A 。
2、两个重要极限 （1）limsin x xx→=01证明：记 f x x x()sin = ， 由于 f x f x ()()-=， 我们不妨只究 1sin lim 00=+→xxx 这一情形加以证明，如下图所示：从几何图形上可清楚地看出：弦弧弦CD x BC x AB x =<=<=sin tan 于是有两边夹的不等式cos sin x x x<<1而 lim cos x x →=01 事实上， 当 x →+00，有：11122122121222←>=-⋅≥-⋅=-→cos (sin )()x x x x 据两边夹准则， 我们有： lim sin x x x→+=001而 f x x x()sin = 是偶函数， 故 lim sin x x x→-=001由函数的左右极限的性质知， lim sin x x x→=01单调有界准则 单调有界数列必有极限。
（2）lim()n nne →∞+=11 极限还可推广到更一般的情形：e xxx =+∞→)11(lim 原极限可变成一种新的形式 e z zz =+→1)1(lim例 求 xx x x 2)1222(lim ++∞→解：12111222++=++x x x ，令 121+=x z ，而0→⇔∞→z x ，且)11(21-⋅=z x例 求极限 xxx )11(lim 2-∞→ 解：令tx =-，x t →∞⇔→∞e ttt t t tx x t t t x 1)11(lim 1)11(1lim )11(lim )11(lim =+=+=-+=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x )11(lim )11(lim )11()11(lim -⋅+=-+=∞→∞→∞→原式11=⋅=ee四、无穷小与无穷大 1、无穷小 无穷小的定义：0>∀ε，0>∃δ（或0>X ），当δ<-<00x x (或X x >)时，有 ε<)(x f 成立，则称函数)(x f 为当0x x →（或∞→x ）时的无穷小，记作)0)(lim (0)(lim 0==∞→→x f x f x x x 或定理 在自变量的同一变化过程 x x →0(或 x →∞ )中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式， 则该常数就是函数的极限。
高等数学知识点汇总
高等数学知识点高等数学知识点汇总通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
下面小编给大家介绍高等数学知识点汇总，赶紧来看看吧!高等数学知识点汇总第一章函数与极限知识点1：函数的概念、函数定义域的求法知识点2：函数的分类、特殊类型的函数知识点3：函数的基本性质知识点4：数列极限的概念与性质知识点5：函数极限的概念与性质知识点6：证明极限式与证明极限不存在的方法知识点7：无穷小与无穷大的概念与关系知识点8：极限的四则运算法则知识点9：复合函数的极限运算法则知识点10：极限存在的两个准则知识点11：两个重要极限知识点12：无穷小的比较知识点13：函数连续性的概念及判断知识点14：函数间断点的求法及分类知识点15：闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分知识点16：导数的概念知识点17：导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法知识点18：复合函数的求导知识点19：反函数的求导知识点20：隐函数及参数方程的求导知识点21：微分的概念及运算知识点22：一元函数微分形式的不变性知识点23：导数的物理意义知识点24：按定义求导的题目类型知识点25：可导、可微与连续三个概念之间的关系知识点26：奇偶函数与周期函数的导数的性质知识点27：用求导公式与法则求导数知识点28：函数的高阶导数第三章微分中值定理与导数的应用知识点29：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用知识点30：柯西中值定理的应用知识点31：有关中值定理证明题的典型实例知识点32：洛必达法则求极限知识点33：求极限的方法总结知识点34：函数的零点（方程的根）存在性与唯一性的证明知识点35：函数的零点（方程的根）个数的讨论知识点36：不等式的证明方法总结知识点37：泰勒公式的求法知识点38：泰勒公式的应用知识点39：函数的单调性及判别知识点40：函数的极值及判别知识点41：函数的最值及判别知识点42：渐近线的分类与求法知识点43：曲线的凸凹性和拐点知识点44：曲率、曲率圆及曲率半径（数学一、二）知识点45：弧微分知识点46：导数在经济领域的应用（数学三）第四章不定积分知识点47：不定积分的概念与性质知识点48：不定积分的换元积分法知识点49：不定积分的分部积分法知识点50：有理函数与三角有理式的不定积分知识点51：不定积分计算技巧的典型实例第五章定积分知识点52：定积分的概念与基本性质知识点53：变上限的积分及其导数知识点54：奇偶函数与周期函数的积分性质知识点55：涉及定积分证明题型的典型实例知识点56：用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分知识点57：定积分的换元积分法知识点58：定积分的分部积分法知识点59：定积分的特殊计算方法的典型实例知识点60：无穷限的.反常积分的概念与计算知识点61：无界函数的反常积分的概念与计算第六章定积分的应用知识点62：用定积分求平面图形的面积知识点63：用定积分求特殊立体的体积知识点64：用定积分求弧长知识点65：定积分的物理应用（数一、二）知识点66：连续函数的平均值（数一、二）第七章空间解析几何与向量代数知识点67：空间直角坐标系及相关概念（数一）知识点68：向量的属性、向量的长度与夹角（数一）知识点69：向量的各类运算及其运算法则（数一）知识点70：用向量解决的几何问题（数一）知识点71：平面的法向量与平面方程（数一）知识点72：直线的方向向量与直线方程（数一）知识点73：两个平面间的关系（数一）知识点74：两条直线间的关系（数一）知识点75：直线与平面的关系（数一）知识点76：点到平面的距离的计算（数一）知识点77：点到直线的距离的计算（数一）知识点78：旋转曲面（数一）知识点79：柱面（数一）知识点80：二次曲面（数一）知识点81：空间曲线的方程及其在坐标面上的投影（数一）第八章多元函数微分法及其应用知识点82：多元函数的概念和几何意义知识点83：二元函数的极限知识点84：二元函数的连续性知识点85：偏导数的概念与常规计算知识点86：高阶偏导数知识点87：多元函数可微与全微分知识点88：连续，可偏导，可微的关系知识点89：多元复合函数的求导法则知识点90：多元函数的微分形式不变性知识点91：多元隐函数的求导知识点92：多元函数的极值问题知识点93：条件极值问题、拉格朗日乘数法知识点94：多元函数的最值问题知识点95：方向导数（数一、二）知识点96：数量场的梯度（数一、二）知识点97：空间曲线的切线与法平面（数一、二）知识点98：空间曲面的切平面与法线（数一、二）知识点99：二元函数的二阶泰勒公式（数一）第九章重积分知识点100：重积分的概念与性质知识点101：直角坐标下二重积分的定限与计算知识点102：极坐标下二重积分的定限与计算知识点103：直角坐标下三重积分的定限与计算知识点104：柱面坐标下三重积分的定限与计算知识点105：球面坐标下三重积分的定限与计算知识点106：重积分积分次序的交换知识点107：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性求重积分的技巧第十章曲线积分与曲面积分知识点108：第一类曲线积分的概念与计算知识点109：第二类曲线积分的概念与计算知识点110：两类曲线积分之间的联系知识点111：二元函数全微分求积知识点112：格林公式及其应用知识点113：曲线积分与路径无关的条件知识点114：第一类曲面积分的概念与计算知识点115：第二类曲面积分的概念与计算知识点116：两类曲面积分之间的联系知识点117：高斯公式及其应用知识点118：通量与散度知识点119：斯托克斯公式及其应用知识点120：环流量与旋度知识点121：涉及重积分与曲线曲面积分的证明题总结第十一章无穷级数知识点122：级数的概念及性质（数一、三）知识点123：级数收敛的概念与判别法（数一、三）知识点124：正项级数的审敛法（数一、三）知识点125：交错级数、莱布尼兹判别法（数一、三）知识点126：函数项级数与幂级数的概念（数一、三）知识点127：函数的幂级数展开（数一、三）知识点128：阿贝尔判别法（数一、三）知识点129：幂级数的收敛域（数一、三）知识点130：幂级数的和函数（数一、三）知识点131：绝对收敛与条件收敛（数一、三）知识点132：傅里叶级数的展开式的求法（数一）知识点133：傅里叶级数的周期延拓（数一）知识点134：傅里叶级数的奇偶延拓（数一）第十二章微分方程知识点135：微分方程的基本概念知识点136：可分离变量的微分方程知识点137：齐次微分方程知识点138：一阶线性微分方程知识点139：全微分方程知识点140：伯努利方程知识点141：用变量替换解微分方程举例知识点142：含变限积分的方程知识点143：可降阶的高阶微分方程知识点144：线性微分方程解的性质和结构知识点145：二阶常系数齐次线性方程知识点146：n阶常系数齐次线性方程知识点147：二阶常系数非齐次线性方程知识点148：欧拉方程（数学一）知识点149：差分方程（数学三）知识点150：微分方程应用题的典型实例。
极限存在准则两个重要极限教案
极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 理解极限存在的概念，掌握极限的定义。
2. 学习两个重要极限：e和π的极限。
3. 学会运用极限存在准则判断极限的存在性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。
2. 教学难点：极限存在准则的证明及运用。
三、教学准备1. 教学材料：教材、教案、PPT、黑板。
2. 教学工具：投影仪、计算机。
四、教学过程1. 导入：回顾极限的基本概念，引导学生思考极限存在的意义。
2. 讲解极限存在的概念：介绍极限的定义，解释极限存在的意义。
3. 推导两个重要极限：a. 推导e的极限：x→0时，(1+x)^(1/x)的极限。
b. 推导π的极限：x→0时，(1+x)^2/2 x^2的极限。
4. 讲解极限存在准则：a. 单调有界定理：判断函数在区间上单调有界，即可得出极限存在。
b. 夹逼定理：利用两个单调有界的函数夹逼目标函数，得出极限存在。
5. 例题讲解：运用极限存在准则判断给定函数极限的存在性。
6. 课堂练习：让学生独立判断一些函数极限的存在性，巩固所学知识。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调极限存在准则的重要性。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固极限存在准则。
2. 完成课后练习题，提高判断极限存在性的能力。
3. 预习下一节课内容，了解极限的性质和运算。
六、教学拓展1. 引入极限存在定理：讨论函数在区间上的连续性，结合极限存在定理，加深对极限存在性的理解。
2. 探讨极限的存在性与函数性质之间的关系：分析单调性、有界性与极限存在性的联系。
七、案例分析1. 分析实际问题中的极限存在性：例如，在物理学中，研究物体运动速度趋于某一值的情况。
2. 引导学生运用极限存在性解决问题，培养学生的实际应用能力。
八、教学互动1. 组织小组讨论：让学生分组讨论极限存在性准则的应用，分享解题心得。
2. 开展课堂提问：鼓励学生主动提问，解答疑难问题。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结极限存在准则及其应用。
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案（修改）一、教学目标：1. 让学生理解两个重要极限的概念和意义。
2. 让学生掌握两个重要极限的推导过程。
3. 让学生能够运用两个重要极限解决实际问题。
二、教学内容：1. 极限概念的引入。
2. 两个重要极限的定义和推导。
3. 两个重要极限的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 教学难点：两个重要极限的推导过程和实际应用。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 利用多媒体课件，展示两个重要极限的推导过程和实际应用。
3. 进行课堂练习，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
五、教学过程：1. 引入极限概念，引导学生理解极限的思想。
2. 讲解两个重要极限的定义和推导，让学生掌握推导过程。
3. 进行课堂练习，让学生运用两个重要极限解决实际问题。
4. 总结两个重要极限的应用，强调其在数学和物理中的重要性。
5. 布置课后作业，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
教学评价：通过课堂讲解、课堂练习和课后作业，评价学生对两个重要极限的概念、推导和应用的掌握程度。
关注学生在解决问题时的思维过程和方法，培养学生的数学思维能力。
六、教学目标：1. 让学生理解极限的基本性质和运算规则。
2. 让学生掌握极限的求解方法，如直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
3. 让学生能够运用极限的性质和求解方法解决实际问题。
七、教学内容：1. 极限的基本性质：保号性、保不等式性、保单调性等。
2. 极限的运算规则：加减乘除、乘方、对数等。
3. 极限的求解方法：直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
4. 极限的实际应用：解决函数的极值、曲线的切线等问题。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 教学难点：极限的求解方法和实际应用。
九、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 利用多媒体课件，展示极限的求解过程和实际应用。
第一章：1.9两个重要极限
0 (" "型, 三统一) 0
必须是一个与分子 方框处完全相同的 无穷小
机动
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例1. 求
tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
2 x
lim(1 3x) lim (1 3x) e6 . x 0 x 0
2 x
1 3x
6
机动
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例8. 求
x2 x 3 5 lim 1 5 lim 解: x lim x x 3 x 3 x x 3 5x x3 x3 5 5 5 5 lim 13 lim 1 /x x e . e x x 3 x x 2 x 2 1 1 x2 x x 另解: lim lim lim x 1 3 x x x 3 3 x 1 x
第九节
第一章
两个重要极限
一、第一个重要极限 二、 第二个重要极限
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本节教学目的
掌握重要极限 它求极限 难点 掌握重要极限 用它求极限 ，并能熟练运用 ，并能熟练运
重点
机动
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一、 第一个重要极限
必须是一个无穷小
sin lim 1 x x0 ( x)
极限存在法则和两个重要极限
听讲勾画做笔记
听讲勾画做笔记
听讲交流
听讲交流
记忆、总结
听讲交流
小结
1、总结本节课所学知识点
2、学生自我总结归纳
3、收集学生意见或者建议
作业
习题1.4
教学反馈
教研室审
阅意见
(□代表同一变量).
例2求下列极限:
（1）
（2）
（3）
（4）
分析（略）
2）
该极限的基本特征是：底数的极限值为1，指数的极限是无穷大，且指数与底数中第二项互为倒数.因此，该极限的一般形式为
， (□代表同一变量).
通过演示讲解基本知识
通过演示讲解基本知识点
讲解例题
通过演示讲解基本知识点
讲解例题
例题讲解
通过演示讲解基本知识点
难点
理解极限存在准则
教学
方法
讲授法，练习法
教学
准备
黑板，教案
教学过程设计
教学内容
教师活动
学生活同情况下的极限的概念；（熟记）
2、函数极限的运算法则。（理解）
二、讲授新课
（一）极限存在准则
准则I（夹挤定理）
则
准则I’（夹挤定理）
（二）第一个重要极限
1）
该极限的基本特征是：分子分母的极限值均为零，且分母中的变量与分子正弦函数中的变量相同.因此，该极限的一般形式为
课程名称
年级
专业
授课教师
授课时间
学时
授课
题目
1.4极限存在法则和两个重要极限
教学
目标
知识目标：
1.理解极限的夹逼准则。
2、熟练掌握两个重要函数极限，并且会求函数的极限。
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限1.两个极限存在准则(1) 夹逼准则：设a, b, c为实数，如果函数f(x)在a的一些左邻域内对于一切x都有h(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[x→a]h(x)=lim[x→a]g(x)=L，则必有lim[x→a]f(x)=L。
夹逼准则的本质是通过构造两个函数作为边界来确定原函数的极限。
(2) 单调有界准则：设函数f(x)在(a, b)上单调递增(递减)，且在(a, b)上有界，则必有lim[x→a]f(x)=sup{f(x)}(或lim[x→a]f(x)=inf{f(x)})。
单调有界准则的基本思想是通过函数的单调性和有界性来确定极限。
(1) 无穷小极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=0，如果对于任意正数ε，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有，f(x)，<ε，那么称函数f(x)在x=a处的极限为0。
无穷小极限的重要性在于它在微积分中有广泛应用。
例如，微分定义中的导数可以看作是函数在其中一点的极限，这也符合函数在该点的变化趋势比较明显。
无穷小极限的概念使得我们能够更好地描述和理解函数在其中一点的变化情况。
(2) 无穷大极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=∞，如果对于任意正数M，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有f(x) > M，那么称函数f(x)在x=a处的极限为无穷大。
无穷大极限的重要性在于它可以帮助我们研究函数在其中一点的增长速度和趋势。
例如，在极限定义中，我们可以通过无穷大极限来刻画函数在其中一点的无限增长或无限逼近的情况。
此外，无穷大极限也在微积分中的积分定义中有重要的应用，帮助我们理解函数的积分和面积的概念。
综上所述，极限的存在准则和重要的极限是微积分中的重要概念。
了解它们的定义和应用可以帮助我们更好地理解和分析函数在其中一点的变化情况，为进一步研究微积分和数学分析打下坚实的基础。
高数 极限存在准则两个重要极限
2x lim[(1 ) x 0 1 x
1 x 2 cos x x 2x 1 x sin x
]
e
2
14
例11 lim 3 x 9
x
1 x x
1 x
lim 9
x
1 x x
1 x 1 3
3x
1 9 lim 1 x x 3
2
).
解
n n2 n
1 n2 1
1
1 n2 n
n n2 1
n 又 lim 2 lim n n n n
1 1, 1 n n 1 lim 2 lim 1, 由夹逼定理得 n n 1 n 1 1 2 n
lim(
n
1 n 1
17
11
例6. 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
例7. 求
解: 原式 =
x 2 sin 2 2 lim 2 x0
sin t t
1
x
sin 1 lim x 2 x 0 2
x 2
1 2 2 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
) 1.
4
记住结果：
(1) lim n n 1
n
n
( 2) lim n a 1 ( a 0)
例2
lim 1 2 3 4
n n n n
n
解： 4 n 1 2 n 3n 4 n 4n 4
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
准则的适用范围与注意事项
适用范围
夹逼准则适用于被夹逼的数列或函数在某点的极限求解；单调有界准则适用于单调且有界的数列极限求解。
注意事项
在使用夹逼准则时，需要找到合适的夹逼数列，并确保它们的极限相等；在使用单调有界准则时，需要证明数列 的单调性和有界性。同时，两个准则都只能用于求解数列或函数的极限值，不能用于求解其他数学问题。
数列极限存在的条件可以归结为数列 的单调性和有界性。如果数列单调增 加（或减少）且有上界（或有下界） ，则数列收敛，即存在极限。
03
序列极限的求法
可以通过对数列进行变形、放缩、裂 项、分组等方法来求解数列的极限。
其他相关的重要极限
第一个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，这个极限在三角 函数的求导以及某些复杂极限的求解 过程中有重要作用。
第一个重要极限可以用于求解三角函数的极限问题，也可以用于证明一 些三角恒等式和不等式。
第二个重要极限是自然对数的底数e的定义基础，也是求解一些复杂极限 问题的重要工具。同时，它也与指数函数、对数函数等有着密切的联系。
准则一：夹逼准则
01 02
定义
如果数列${x_n}$、${y_n}$和${z_n}$满足条件$y_n leq x_n leq z_n$， 且$lim_{n to infty} y_n = lim_{n to infty} z_n = a$，则数列${x_n}$ 的极限存在且等于$a$。
02 两个重要极限的详解
第一个重要极限：sinx/x的极限
01
02
03
定义与表达式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限值为1，即lim(x->0) sinx/x = 1。
几何意义
极限存在性定理和两个重要极限
例8
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim x0
2 x2
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
x
1
sin lim(
2
)2
2 x0 x
1 12 1 .
2
2
2
2
例9
求
lim
x0
tan x sin3
sin x
x
解： tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3
x
x
e
1
lim(1 x) x e
x0
lim(1
1
x) x
1
x0
e
lim(1 1)x e
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
可以推广到函数的极限.
准 则 Ⅰ ′ 如 果 当 x (x , x ) \{x } ( 或
0
0
0
x M )时,有
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
1
lim(1 x) x e
x0
④ e=2.7182‥‥‥ 是无理数；
例 10 求
解:
=
=
=
=．
例 11 求 l
解 作变量替换
设 t 2x ，则 x t ，当x 0 ，t 0 ， 于是 2
lim(1
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通过变量替换，再利用重要极限来求解.
(1 t )
2
解：令 t 1 x ，原式 lim t tan
t 0
lim t cot
t 0
t
2
t
lim
t 0
t tan
t
2
2
lim
t 0
2 tan
t
2
2
.
温馨提示：第一个重要极限的3个“孪生兄弟”是：
tan x arcsin x 1 1 ， lim 1 ， lim x sin 1 x 0 x x x x sin x 1 推导出来.它的“冒牌兄弟”是： 这两个“孪生兄弟”容易从重要极限 lim x 0 x sin x lim ，不可混淆. x x lim
以，原式 e 4 .
2 例11.7(难度系数0.4) 求 lim tan n ( ) .
n
4
n
解析：本题是“ 1 ”型未定式.先利用正切函数的半角公式，目的是将底部构造 出“1+…”的形式，然后再化为第二个重要极限，借助等价无穷小替换来求解.
2 1 tan n 2 2 2 tan 2 tan n n lim 1 n 2 1 tan n 2 n 2 1 tan n 2 n tan n
学科：高等数学
第一章 函数与极限
知识点11 两个重要极限 精选习题 作者：邹群
例11.1(难度系数0.2)
0 0
求 lim
x 0
2sin x sin 2 x . x3
解析：本题是“ ”型未定式，先利用半角公式简化，再利用第一个重要极限来 求解.
x x 4sin x sin sin 2sin x 1 cos x sin x 2 lim 2 1. 解：原式 lim lim lim x 0 x 0 x 0 x3 x3 x x 0 x 2
2 2
例11.2(难度系数0.2)
求 lim
x 0
sin 2 x . 1 x sin x cos x
解析：本题是“ ”型未定式，先对分母有理化，然后再利用第一个重要极限及等 价无穷小替换 1 cos x x 2 进行求解.
sin 2 x sin x( 1 x sin x cos x ) x2 2lim 解：原式 lim x 0 x 0 1 cos x sin x 1 cos x x sin x 2 x x
温馨提示：第二个重要极限的一个“孪生兄弟”是： lim(1 x) x e ，
x 0
1
它的2个“冒牌兄弟”是： lim(1 x) 与 lim(1 ) x ，不可混淆.
x x 0
1 x
1 x
例11.6(难度系数0.4)
4 2 求 lim sin cos . x x x
x 0
例11.5(难度系数0.2)
n 2na 1 1 求 lim ln (a ) . n 2 n(1 2a )
n
解析：本题是“ 0 ”型未定式.还要利用复合函数极限法则，重点求解内层函 数的极限，可化为第二个重要极限来求解.
n (1 2 a ) 1 2 a 1 n 2na 1 1 1 1 2 a 解： lim ln . ln lim 1 ln e n n 1 2a n(1 2a ) n(1 2a ) n 1
2 1 tan n 解：原式 lim n 1 tan 2 n
e
2 n 2 n 1 tan n 2 n tan lim
e
2 n 2 n 1 tan n 2 n lim
e4 .
例11.8(难度系数0.2,1990年高数一真题) 设 a 是非零常数，则
xa xa 2a 2a 当 a 0 时, lim 1 e . 则对一切的 a ,有 lim e . x x a x x a
x
x
例11.9(难度系数0.4) 解析：本题是 1
求 lim 1 tan x
x 0
1 e (1 ) x 1 x = 2 lim x 1 e x
1 t
（令 t ）
1 x
1 (1 t ) e 1 e = 2 lim lim e 2 t 0 t e t 0
(e
ln(1 t ) t t
ln(1 t ) t
e
t
1 ~
= lim
1 e e t 0
arcsin x
.
型极限，直接化为第二个重要极限来求解，最后还要结合第一个重要极限.
1 解：原式 lim 1 tan x tan x x 0 arc sin x t x
e x 0
lim
arc sin x x lim x 0 tan x x
ln(1 t ) t t
1
t
= lim
1 ln(1 t ) t e t 0 t2
ln(1 t ) t ) t
1 t 1 1 1 1 t 1 t 1 . = lim = lim e t 0 2t e t 0 2t 2e
2
0 0
1 2
sin 2 x 2 4 x 0 x2 2 1 cos x sin x 1 lim lim 1 3 2 x 0 x 0 x x 2 lim
温馨提示:等价无穷小替换的原则是：乘除式可以替换，而加减式不可以.此题容 易误解成加减式替换，实际上是用极限的四则运算法则先将极限“深入”后再替换 ，故不违背此原则.
xa lim ______ . x x a
x
1 解析：本题是“ 1 ”型未定式.先将所求极限“凑”成第二个重要极限 lim 1 x x
x
的形 式.
xa xa 2a 2 a xa 2a 解： lim lim 1 e (a 0) ； x x a x xa x 2 ax
1 x
e t 0
lim
sin 4 t cos 2 t 1 t
，
1 (2t ) 2 sin 4t cos 2t 1 sin 4t 1 cos 2t lim lim 4 lim 2 4 0 4 ，所 又因为 lim t 0 t 0 t 0 t 0 t t t t
e.
例11.10(难度系数0.6)
求 lim . x (1 x ) x e
0 0
x1 x
x
解析：本题是“ ”型未定式.先将两个分式通分后转化为“ ”型未定式，再 利用第二个重要极限以及等价无穷小替换来求解.
1 x e (1 ) x x x x = lim 解：原式= lim x x 1 (1 1 ) x e e(1 ) x x x
例11.3(难度系数0.4，跨知识点12)
0 0
1 x . 求 lim x 0 (1 cos x ) ln(1 x ) sin x x 2 sin
解析：本题是“ ”型未定式，利用第一个重要极限、等价无穷小替换以及无穷 小与有界量的乘积仍为无穷小来求解.
1 解：原式= lim x 0 1 cos x sin x x 2 sin x 1 x x ln(1 x)
x
解析：本题是“ 1 ”型未定式. 记住：凡是求“ 1 ”型未定式的极限必定可以用第二类重要极限来做.先使用“倒代 换”进行简化，然后利用第二个重要极限及等价无穷小替换来求解. 解：令 t ，则当 x 时， t 0 .
1 原式 lim 1 sin 4t cos 2t 1sin 4t cos 2t 1 t 0 sin 4 t cos 2 t 1 t
= lim
1 1 x 1 sin x lim x sin lim . x 0 1 cos x x 0 x x 0 ln(1 x) 2 x
例11.4(难度系数0.2) 求 lim(1 x) tan
x 1
x
2
.
0 解析：本题是“ 0 ”型未定式，遇到此类未定式一般都要化为“ ”型未定式， 0