八年级上学期期末复习试卷(代数几何压轴题)

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正兴学校2015～2016学年八年级上学期期末复习

清北班数学科试题（几何压轴题）

1．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动． 小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；

小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”． （1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；

（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．

①摆出等边“整数三角形”；

②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．

【解答】解：（1）小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：

小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：

（2）①不能摆出等边“整数三角形”．理由如下： 设等边三角形的边长为a ，则等边三角形面积为．

因为，若边长a 为整数，那么面积一定非整数．

所以不存在等边“整数三角形”；

②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：

2．（2008•）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处；

（1）求证：B ′E=BF ；

（2）设AE=a ，AB=b ，BF=c ，试猜想a ，b ，c 之间的一种关系，并给予证明．

【解答】（1）证明：由题意得B ′F=BF ，∠B ′FE=∠BFE ， 在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，

∴∠B ′EF=∠BFE ，∴∠B ′FE=∠B'EF ，∴B ′F=B ′E ，∴B ′E=BF ； （2）答：a ，b ，c 三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）a ，b ，c 三者存在的关系是a 2+b 2=c 2．

证明：连接BE ，由（1）知B ′E=BF=c ，

∵B ′E=BE ，∴四边形BEB ′F 是平行四边形，∴BE=c ． 在△ABE 中，∠A=90°，∴AE 2+AB 2=BE 2， ∵AE=a ，AB=b ，∴a 2+b 2=c 2；

（ⅱ）a ，b ，c 三者存在的关系是a+b ＞c ． 证明：连接BE ，则BE=B ′E ． 由（1）知B ′E=BF=c ，

∴BE=c ，在△ABE 中，AE+AB ＞BE ，∴a+b ＞c ．

班级： 姓名：____________座号：_____________

密 封 线

3．（2007•鄂尔多斯）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；

（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；

（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）

（2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．

（3）证明：连接EC，

∵△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，BC=BE，

∵∠CBE=60°，

∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=90°，

∴DC2+EC2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2．

即四边形ABCD是勾股四边形．

、

4．（2013•模拟）阅读下面材料，并解决问题：

（I）如图4，等边△ABC有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5．则∠APB= 150°，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP ．这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．

（II）（拓展运用）已知△ABC三边长a，b，c满足．

（1）试判断△ABC的形状等腰直角三角形

（2）如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，直接出点B，C的坐标B （12，0），C（6，6）；

（3）如图2，过点C作∠MCN=45°交AB于点M，N．请证明AM2+BN2=MN2；

（4）在（3）的条件下，若点N的坐标是（8，0），则点M的坐标为（3，0）；此时MN= 5 ．并求直线CM的解析式．

（5）如图3，当点M，N分布在点B异侧时．则（3）中的结论还成立吗？

解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∵△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，

∴△ACP′≌△ABP，

∴P′A=PA=3，PB=P′C=4，∠PAP′=∠BAC=60°，

∴△APP′是等边三角形，

∴∠AP′P=60°，PP′=PA=3，

在△P′PC中，P′P2+P′C2=32+42=25=PC2，

∴∠PP′C=90°，

∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，

∴∠APB=150°；

第一届清北班数学试卷第4页共24页

第一届清北班数学试卷第3页共24页