BIT数值分析第一章误差
数值分析01-误差.
，用计算机计算
3出2 1.2599210498 9487
，（15位数）。尽管精确度相
当高，但仍是近似值。下面的表1-1列出了对h取前有限位 数时，计算所得体积的误差。
阜师院数科院第一章 误差
1-6
W
Y
例 1（续）
表1-1 立方倍积问题的计算
位数
高度
体积
误差
2
1.2
1.728
2.7200×10-1
3! 5! 为其截断误差。
阜师院数科院第一章 误差
1-10
W
Y
条件问题
计算方法中有一类问题称为条件问题，
条件问题是一个算法 （公式）由于初始
数据或者中间某些数据微小摄动对计算结
果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、
观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条
件问题的计算方法是十分重要的课题，有
的时候，一些问题的条件并不坏，但由于
e x x*
er
e x
x x* x
分别称e为近似值 x *的绝对误差或误差， er为x*的相对误差。
一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝
对误差e的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情 况估计出e 的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界ε :
e xx*
这样的ε称为x *的绝对误差限或误差限。
差是需要特别重视的。
（4）在计算中遇到的数据可能位数很多，也可能是无
穷小数，如， , e ， 2,1/ 3 等，由于计算机数系是
间断的且有界，即计算时只能对有限位数进行运算，因
此必须进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入误差
。阜师院数科院第一章 误差
数值分析第一章ppt
s 某商品标注重量为 27±0.5kg, 实际重量是多少？
}
1.2.2 相对误差和相对误差限
x*的相对误差
r
x x x
在不同近似值中，|εr (x)|越小，x*的精确度越高。
r(x)
| ( x) | |x|
x x x
——x*的相对误差限
常用计算公式： r ( x)
( x)
x*Βιβλιοθήκη x x* x* ,}
（2）相对误差：
r ( x1
x2 )
( x1 x2 )
x1 x2
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
x1 x1 x2
( x1 )
x1
x2 x1 x2
(x2 )
x2
x1
x1
x2
r
(
x1
)
x1
x2
x2
r
(
x2
)
当x1≈x2时, x1 – x2 ≈0,所以相近两数之差的相对误差将很大 。
}
1.2 误差的基本估计方法
= 1.2.1 绝对误差和绝对误差限 = 1.2.2 相对误差和相对误差限 = 1.2.3 有效数字 = 1.2.4 算术运算的误差
}
1.2.1 绝对误差和绝对误差限
设某准确值x近似值为x*。 x*的绝对误差 ε(x)=x–x*
在同一量的不同近似值中，|ε(x)|越小，x*的精确度越高。
sin x x x3 x5 x7 , x 3! 5! 7!
用近似计算公式 sin x x
截断误差 sin x x x3 x5 x7 cos x3
3! 5! 7!
3!
sin x x 1 x 3 6
数值分析1.误差分析
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
2014-12-9 19
第一章 绪论与误差分析
e x x* 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
2014-12-9 第一章 绪论与误差分析 7
二、计算数学研究的对象和任务
根据数学模型提出的问题，建立求解问题的数值计算 方法并进行方法的理论分析，再编制出算法程序上机计算 并对计算结果进行分析，这一过程就是计算数学研究的对 象和任务。因此，计算数学就是研究用计算机解决数学问 题的数值计算方法及其理论。 计算数学是数学学科的一个分支，但它不象纯数学那 样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合， 着重研究面向计算机的，能够解决实际问题的数值方法及 其理论,具体地说，数值分析研究的内容包括： 1.构造可在计算机上求解数学问题的数值计算方法 2.分析方法的可靠性，即按此方法计算得到的解是否 可靠，与精确解之差是否很小，以确保计算解的有效性。
对给定的 x ，要计算函数值 ex 时，可采用近似公式 2 n x x x e 1 x 2! n! 那么此近似公式的截断误差为
2014-12-9
x n 1 θ x R( x ) e , 0θ 1 ( n 1)!
第一章 绪论与误差分析
14
4．舍入误差（计算误差）
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
数值分析(01) 数值计算与误差分析
数值分析
数值分析
一、误差的来源
1、数学模型
数学模型是通过科学实验或者观察分析一系列数据 后，用数学作为工具近似地描述客观事物的一种数学表 达式。
在数学模型中，往往包含了若干参量如物体比重、阻 力系数、热交换系数等，这些物理参数通常由实验仪器测 得，根据仪器的精密程度，物理参数的确定也会产生一定 的误差。
（4）在研究区左端连续注入浓度为C0的废水，废水中的 污染物不发生吸附解吸和衰变；
（5）对流弥散是一维的。
数值分析
数值分析
基于以上假设，定浓度注入污染物一维迁移的数学物理方程为：
方程的解为：
c(ctx,0D) 0x2c,20Vxxc
,0
x
, t
0
c(0,
t)
c0
,
0
t
c(,t) 0, 0 t
有递推公式
sn sk
axn sk 1
ak
k n 1, ,2,1,0
Pn (x) s0
需乘法n次，加法n次，存储单元n+3个。
数值分析
数值分析
算法1 (输入a(i)(i=0,1，…,n),x;输出y）
t 1 u a(0)
注意
for i 1 : n
t x*t
u u a(i)* t
end
Hale Waihona Puke 的基础.数值分析数值分析
一、数值分析的特点
现代科学的三个组成部分: 科学理论,科学实验,科学计算
科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软 件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学, 计算生物学,计算地质学,计算经济学,等等
数值分析
BIT数值分析第一章误差
PI=3.14=0.314101 则其绝对误差为：0.510-3101=0.5 10-2
1.2.3 有效数字(8) 有效数字与相对误差的关系 相对误差限 有效数字 如果 x*的相对误差限满足：
1 εr 10 n 1 2( a1 1)
则x*至少有 n 位有效数字。
1.2.3 有效数字(8)
1.2.1 误差的来源与分类 1.2.2 绝对误差、相对误差 1.2.3 有效数字
1.2.1 误差的来源与分类(1)
• 模型误差
反映实际问题有关量之间关系的计算公式，即数 学模型，通常只是近似的。由此产生的数学模型的解 与实际问题的解之间的误差称为模型误差。
• 观测误差
由观测得到的数据与实际的数据之间的误差，称 为观测误差。
1.2.3 有效数字(7)
有效数字与相对误差的关系
有效数字 相对误差限
m x 0 . 10 已知 有 n 位有效数字,则其相 1 n 对误差限为：
1 r 10n 1 21
1.2.3 有效数字(8)
证明：
1 1 n m x x 10 10 10mn 2 2 1 m n 10 1 1 n 2 r * 10 x 0.1 n 10m 21
例1-2：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x 和y经过四舍五入而得到的近似值，问: (a), (b), r (a), r (b) 各是多少？ 解： (a) 0.005 (b) 0.00005mm
0.005 r (a) 0.23% a 2.18 0.00005 r (b) 0.0024% b 2.1200
1 0.333333 3
数值分析第一章1.1误差
即
f * * f * * e ( z ) ( ) e ( x) ( ) e ( y ) x y
*
(1)
函数近似值 z* 的相对误差
e* ( z ) f * x * f * y * e ( z ) * ( ) * er ( x) ( ) * er ( y ) x z y z z
得到一个精度很高的近似值。
四、避免“大数除以小数”
由二元函数的误差传播规律式知
y e x x e y x e y y2
可知，当 y 相对
x e* x 小时， y
会很大。
五、 防止大数“吃掉”小数 由于计算机采用浮点制，在数值运算中，如果 数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可
因而实际计算的递推公式是：
I 5I
* n
* n 1
1 n
n 1, 2, , 20
（
I I0 e0
* 0
(2）
误差 e0 是怎么传递的
（1）-（2）得
* * I n I n 5(I n1 I n1 )
n 1, 2,, 20
递推得到
I n I (5) e0
z f ( x, y)
时，
用 z* f ( x , y ) 作为函数 z f ( x, y) 的近似值，
于是函数近似值 z* 的绝对误差
f * f * e ( z) z z f ( x, y) f ( x , y ) ( ) ( x x ) ( ) ( y y ) x y
e* (v) V V * 2(v)
绝对误差可以刻画近似值的准确程度。
2、相对误差与相对误差限 若 x 的近似值 x* 的绝对误差为
数值计算方法第一章 误差
1 10n1 2a1
所以 1 10n1 是 x* 的相对误差限。
2a1
若
r
1
2a1
1
10n1,
由式（1-4）
21
绝对误差、相对误差和有效数字
e x* x*er x* 0.a1a2 L an L 10mr
a1
1
10m1
2
1 a1
1
10n1
1 10mn 2
由式(1-6)，x* 至少有n位有效数字。
1.3.1 基本运算中的误差估计
本节中所讨论的基本运算是指四则运算与 一些常用函数的计算。
由微分学，当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以 近似函数的改变量， 故利用微分运算公式可导出 误差运算公式。
24
数值计算中误差的传播
设数值计算中求得的解与参量（原始数据）
由以上各式还可得出
ex1 x2 ex1 ex2 ex1 ex2 (1-14)
er x1x2 er x1 er x2 er x1 er x2 (1-15)
er
x1 x2
er x1 er x2
er x1
er x2
(1-16)
29
数值计算中误差的传播
因此，和、差的误差限不超过各数的误差限之 和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误 差限之和。
定义： 若x的某一近似值 x* 的绝对误差限是某一位 的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到
x* 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x* 有q
位有效数字。
16
绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。
数值分析1——误差分析
第一章： 第一章：误差主要内容• 误差的来源与分类 误差的来源与分类 • 误差与有效数字 • 在近似计算中应注意的几个问题1. 来源与分类 ( Source & Classification )• • • •模型误差 参数误差(观测误差) 参数误差(观测误差) 方法误差(截断误差) 方法误差(截断误差) 舍入误差1.1 模型误差 (Modeling Error)用计算机解决实际问题时， 首先要建立数学 用计算机解决实际问题时 ， 首先要建立 数学 模型， 各种实际问题是十分复杂的， 模型 ， 各种实际问题是十分复杂的 ， 而数学 模型是对被描述的实际问题进行抽象 抽象、 模型是对被描述的实际问题进行 抽象 、 简化 而得到的， 往往忽略 了一些次要因素 忽略了一些 次要因素， 而得到的 ， 往往 忽略 了一些 次要因素 ， 因而 近似的 是 近似 的 ， 我们把数学模型与实际问题之间 出现的这种误差称为模型误差 模型误差。
出现的这种误差称为 模型误差 。
如自由落体 公式1 2 s = gt 2忽略了空气阻力。
忽略了空气阻力。
参数误差(观测误差， 1.2 参数误差(观测误差，Measurement Error) 数学模型中的物理参数的具体数值， 数学模型中的物理参数的具体数值，一般通过 实验测定或观测得到的，因此与真值之间也有 实验测定或观测得到的， 得到的 误差，这种误差称为参数误差 观测误差。
参数误差或 误差，这种误差称为参数误差或观测误差。
例如前例中的重力加速度g=9.8 米 例如前例中的重力加速度 g=9.8米 / 秒 ， 这 g=9.8 个数值是由多次实验而得到的结果实际的值 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
g-9.8就是参数误差 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
1.3 方法误差 (截断误差 Truncation Error）在数学模型（ 包括参数值） 确定以后， 在数学模型 （ 包括参数值 ） 确定以后 ， 就要考虑 选用某种数值方法具体进行计算， 选用某种数值方法具体进行计算 ， 许多数值方法 都是近似方法， 都是近似方法 ， 故求出的结果与准确值之间是有 误 差 的 ， 该 误 差称 为 截断 误 差 或 方 法 误 差 。
数值分析第一章绪论习题答案
第一章绪论1设x 0, x的相对误差为「.，求In x的误差。
* * e* x * _x解：近似值x*的相对误差为:.=e*x* x*1 而In x 的误差为e In x* =lnx*「lnx e*x*进而有；(ln x*)::.2•设x的相对误差为2%求x n的相对误差。
解：设f(x—，则函数的条件数为Cp^胡1n A.x nx .又7 f '(x)= nx n」C p|=nn又；；r((x*) n) ： C p ；,x*)且e r (x*)为2.；r((x*)n) 0.02 n3 •下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：X； h.1021 , x；=0.031 , x3 =385.6 x；=56.430, x5 =7 1.0.解：x；=1.1021是五位有效数字；X2 =0.031是二位有效数字；X3 =385.6是四位有效数字；x4 = 56.430是五位有效数字；x5 -7 1.0.是二位有效数字。
4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴ 为+X2+X4,(2) x-i x2x3,(3) x2/ x4.* * * *其中X1,X2,X3,x4均为第3题所给的数。
解:*1 4；(x-| ) 102* 1 3;(x 2) 102* 1 1；(x 3) 10 * 1 3；(x 4) 102* 1 1；(x 5) 102 (1)；(为 X 2 X 4)=；(为)亠：(x 2)亠：(x 4)=1 10 4 110 J 丄 10^2 2 2= 1.05 10”* * * (2)(X 1X 2X 3)* * * ** * ** *X 1X 2 8(X 3) + X 2X 3 g(xj + X 1X 3 名(X 2)1 1 0.031 汉 385.6 汉?汉10鼻 + 1.1021 域 385.6 汉?汉10(3) XX 2/X 4)X 40.031 110” 56.430 丄 10’2 256.430 56.430=10°5计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 43解：球体体积为V R 3则何种函数的条件数为=1.1021汉 0.031 汉 * 汉10」+0.215RV' R 4 - R2Ik -3；r(V*) ： C pL；r(R*) =3；r(R*)1故度量半径R时允许的相对误差限为；r(R*) 1 ：0.3336•设Y0=28，按递推公式丄J783 (n=1,2,…)100计算到Y oo。
《数值分析》第一章 数值计算中的误差
值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
2019/3/13 19
第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
《数值分析》第1章
b
上两式作用得到：
4T ( h) − T ( 2h) = 3 I + O (h4 )
忽略高阶项得， I ≈ T (h) + (T (h) − T (2h)) . 公式的精度为 O (h4 ) .
1 3
此
其中 c1 , c2 ,L与 h 无关，则有，
19
20
§3 误差来源与误差分析的重要性
误差来源（或分类）
(1) 模型误差：建立数学模型时忽略一些次要 因素而引起的与真实情况的误差.
(2) 测量误差：数学模型中的一些已知参数， 由于受到测量工具或其它主观因素的影 响所带来的误差.
21
(3) 截断误差：数学模型常难以求解，往往要 用近似、易于求解的问题代替，这种简化 引起的误差.
P ( x ) = a0 x n + L + an −1 x + an 已知，对输入
的x，要计算P(x)的值，采取方法
u0 = 0 ⎧ t 1 = 1, ⎪ ⎨ t k = xt k − 1 , k = 2 , L , n ⎪u = u k = 1, L , n k −1 + a n− k tk , ⎩ k
29 30
例 15. 为使 20 的相对误差小于 0.1% ，要取几 位有效数字.
例 16. 用 3. 1416 表示π 的近似值，求其相对误 差？
解：因为 a1 = 3, n = 5 ，所以
er ( x ) ≤
1 1 × 10−5 + 1 = × 10−4 2× 3 6
解： 由 er ≤ 只需
1 × 10− n + 1 且 a1 = 4 ， 为使 er ≤ 0.1% ， 2a1
数值计算方法第一章误差的基本知识
推理证明能力； 5、认真进行数值计算的训练。
§1.2 误差知识
一、误差的来源及其分类 二、误差的度量 三、误差的传播
一、误差来源及其分类
1) 模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式
（数学模型）通常是近似的。
x1*
x
0 .0 00 5 9
0.005
1 1013 2
3位有效数字，非有效数
x
* 2
x
0 .0 00 4 0
0.0005
1 1014 2
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
3.有效数字
为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的 近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引 出有效数字和有效数的概念。
定义：设 x 的近似值 x* 有如下标准形式
x* 10m 0.x1x 2 x n x n1 x p ，
本课程主要内容
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解 为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几 个方面问题的求解算法： 非线性方程的近似求解方法； 线性代数方程组的求解方法； 函数的插值近似和数据的拟合近似； 积分和微分的近似计算方法； 常微分方程初值问题的数值解法； 矩阵特征值与特征向量的近似计算方法； ……
第一章 绪 论
内容提要
§1.1 引 言 §1.2 误差的度量与传播 §1.3 选用算法时应遵循的原则
§1.1 引 言
课程特点
数值分析或数值计算方法主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和 方法。
对那些在经典数学中，用解析方法在理论 上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十 分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值 解法就显得不可缺少，同时有十分有效。
数值分析第一章误差2015
1 10n1 2a1
19
相对误差限 有效数字
已知
x*
的相对误差限可写为
εr
1 2(a1
1)
10n1
则
|
x
x* |
εr
|
x*
|
10 n1 2(a1 1)
0.a1a2... 10m
10n1 2(a1 1)
(a1
1) 10m1
0.5 10mn
可见 x* 至少有 n 位有效数字.
确到小数点后第n位. 并把从第一个非零数字到这 一位的所有数字均称为有效数字.
例： 3.1415926535897932......; * 3.1415 问： *有几位有效数字？
解： |π * π| 0.5 103
* 有4位有效数字，精确到小数点后第3位
16
有效数字的另一等价定义
数x*总可以写成如下形式 x* 0.a1a2 an 10m.
故取 n=6, 即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.
18
相对误差限与有效数字之间的关系.
有效数字 相对误差限
已知 x* =0.a1a2…an×10m有 n 位有效数字, 则其相 对误差限为
εr
ε x*
0.5 10mn 0.a1a2 ... an 10m
10n 2 0.a1...
数值分析
林甲富
linjiafu@
1
教材
丁丽娟, 程杞元,《数值计算方法》, 高等教育 出版社, 2011年.
2
第一章 数值计算中的误差
§1.1 数值计算的内容与特点
§1.2 误差的基本概念
§1.3 数值计算中误差的传播
§1.4 数值计算中应注意的问题
数值分析第一章绪论习题答案
第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx -=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =,*456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字；*3385.6x =是四位有效数字；*456.430x =是五位有效数字；*57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯ ***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 23'4343p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯ 100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析第一讲误差
3.
4. 5. 6.
数值代数参考书
① ② ① ② ① ② ① ②
微分方程数值解参考书 综合类（数值分析与科学计算、习题、实验等）参考书 其他
数值分析
本门课程的特点
• 既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨 性，又有实用性和实验性的技术特征 • 各部分内容相对独立
数值分析
学习要求
• 掌握各种方法的基本原理与构造方法 • 重视各种方法的误差分析 • 掌握经典方法的程序代码
e er x
| x|
相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为 r
实际应用中，精确解往往无法得到！
当 较小时，因两者的差为:
e 实际应用中： er a
r
|a|
思考题1：实际应用中，用a取代x合理吗？为什么？
（提示：当绝对误差限较小时，两者的差为相对误差限的高阶无穷小量，可以忽略）
数值分析
误差的分类（2/4）
一般数学问题包含若干参量，他们的值往往 通过观测得到，而观测难免不带误差，这种 误差称之为观测误差。
4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 1634 2.13
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米…）处的水温
绝对误差 /* absolute error */
e=x-a, 其中x为精确值，a为x的近似值。 |e|的上限记为ε，称为绝对误差限 /* accuracy*/ 工程上常记为x＝a±ε，例如：
1
0
e x dx 0.743 0.006
数值分析1-误差及有效数字
定义：若 e x * x ，则 称为绝对误差限， 为正数，有: x* x , x
1.2.3相对误差和相对误差限
为什么引入？ 因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的 物体，其绝对误差限都为0.5㎝，但测量精度 分别为1/100和1/1000，所以为了较好反应测 量精确度，引入相对误差。
若函数f(x)连续, g(x)在区间[a,b]上不变号且可积, 则有
b
a
f ( x) g ( x)dx f ( ) g ( x)dx, [a, b]
a
b
In
1 1 1 n 1 1 x n dx x dx , 0 1 0 n5 0 5 5 n 1
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
又具有广泛的应用性和高度的技术性（与计
算机结合密切的一门课程） 使用计算机进行数值问题求解是主要研究对 象。
如何学习这门课？
这门课的学习意义，数值计算的重要性; 如何上这门课（教材）, 学习方法; 上课形式（授课、上机、大型实验）; 成绩评定（平时、实验、期中、期末）.
1.2误差基本概念 1.2.1误差定义及来源
* x x 定义： 为准确值，
为近似值，则
x* x e er * * x x
数值分析部分剖析
第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x*的近似值x，差e=x —x*称为近似值x的误差(绝对误差)。
误差限近似值x的误差限e是误差e的一个上界，即|e|= |x—x*| < e。
相对误差er 是误差e与精确值x*的比值，。
常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：e (x1 ±X2) = e (x1) + e (x2)e (x1x2)〜|x1| e (x2) + |x2| e (x1)有效数字如果近似值x的误差限e是它某一个数位的半个单位，我们就说x准确到该位。
从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字。
关于有效数字：(1) 设精确值x*的近似值x,x =±0.a1a2…an x 10 ma1, a2,…，an是0〜9之中的自然数，且a1工0,|x—x*| < e = 0.5X 10 m —l , 1 < K n则x有I位有效数字.(2) 设近似值x=± 0.a1a2…an x 10m有n位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x=± 0.a1a2…an x 10m的相对误差限不大于则它至少有n位有效数字。
(4) 要求精确到10 —3,取该数的近似值应保留4位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e= 0.0926的数x= 20.7426只有三位准确数字2, 0, 7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10%的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1%的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1%的量级。
二、实例例 1 设x* = p= 3.1415926…近似值x= 3.14 = 0.314X 101，即卩m = 1，它的误差是0.001526…，有|x—x*| = 0.001526・Y 0.5X 101 —3即1= 3，故x= 3.14有3位有效数字。
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3. 计算机的诞生和发展，对数学的发展产生了不可估量的 影响
4. 国内外具有代表性的部分综合数学软件库 IMSL(International Mathematics and Statistics Library) (美国：影响最大的数值软件库之一) Mathematic:目前国内外广泛流行的软件包，几乎 实现了大学本科的所有数学演算和数值计算 Matlab:Matrix Laboratory的简称，美国 MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法 开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高 级技术计算语言和交互式环境
1.2.2 绝对误差、相对误差 (2)
结论：
上界的不唯一决定了绝对误差限和相对误差限
不唯一；
绝对误差限和相对误差限越小，近似值近似代
替准确值的程度越好；
实际应用中通常按照四舍五入的方法取近似值
1.2.2 绝对误差、相对误差 (2)
3.1415926 ,
1 3.14, 0.002 0.005 10 2 2 1 3.142, 0.0004 0.0005 10 3 2
数值问题和计算方法
•
•
将求解“数值问题”的“计算机上可执行” 的系列计算公式称为数值计算方法． 数值问题：输入数据与输出数据之间函 数关系的一个确定而无歧义的描述。
“计算机上可执行”的系列计算公式： 四则运算和逻辑运算等计算机上可执行 的运算
数值问题和计算方法
2 n x x 指数运算：e x 1 x 2 n!
解:假设 * 取到 n 位有效数字,则其相对误差上限为
1 εr 10 n 1 2( a1 1) 要保证其相对误差小于0.001%,只要保证其上限满 足 1 εr 10 n 1 0.001% 2( a1 1)
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log8， 即 n 6，应取 * = 3.14159。
例1-2：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x 和y经过四舍五入而得到的近似值，问: (a), (b), r (a), r (b) 各是多少？ 解： (a) 0.005 (b) 0.00005mm
0.005 r (a) 0.23% a 2.18 0.00005 r (b) 0.0024% b 2.1200
Software Engineering Embedded Sys Programming （CMMI, MSF, （DSP, FPGA, （思想、语言、工具） SOA ...） ASIC...）
1.1 数值分析的研究对象与特点
1. 数值分析是计算机与数学的交叉科学 2. 计算机科学是在数学的基础上发展起来的
解：
(a) (b) 0.5mm
0.5 r (a) 0.16% a 312 (b) 0.5 r (b) 0.28% b 24 311.5mm x 312.5mm
(a)
23.5mm y 24.5mm
1.2.2 绝对误差、相对误差 (6)
误差和误差限的意义
对于同一个准确值而言， e或者越小， 近似值越准确。 对于不同的准确值而言，比较e或者的大 小没有意义。
1.2.2 绝对误差、相对误差 (4)
一般用百
相对误差
e x x* er x x 相对误差限
er
r
分比表示
OR
e x x* er * x x*
1.2.1 误差的来源与分类 1.2.2 绝对误差、相对误差 1.2.3 有效数字
1.2.1 误差的来源与分类(1)
• 模型误差
反映实际问题有关量之间关系的计算公式，即数 学模型，通常只是近似的。由此产生的数学模型的解 与实际问题的解之间的误差称为模型误差。
• 观测误差
由观测得到的数据与实际的数据之间的误差，称 为观测误差。
PI=3.14=0.314101 则其绝对误差为：0.510-3101=0.5 10-2
1.2.3 有效数字(8) 有效数字与相对误差的关系 相对误差限 有效数字 如果 x*的相对误差限满足：
1 εr 10 n 1 2( a1 )
则x*至少有 n 位有效数字。
1.2.3 有效数字(8)
例如：
1 5 x 0.003400 10 2
表示：近似值0.003400准确到小数点后第5位， 有3位有效数字。
n个有效数字
x*= … …
最左边不 为零的数
误差不超过该位 数的半个单位
1.2.3 有效数字(4)
• 结论 同一准确值的不同 近似值，有效数字越 多，它的绝对误差和 相对误差都越小。 由准确值经过四舍 五入的得到近似值， 从它的末位数字到第 一位非零数字都是有 效数字。 例子：2.140012 近似值1：2.14； 3 近似值2：2.1400 5 两种近似值各有几 位有效数字，那种 更精确？
§1.3
算术运算中的误差
由微分学：当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可 以近似函数的改变量，故利用微分运算公式可 导出误差运算公式。 假设： 数值计算中求得的解与参量（原始数据）x1, x2,…,xn 有关，计为：y=f(x1, x2,…,xn) xi,yi为准确值, xi*,yi*分别为其近似值; y*=f(x1*, x2*,…,xn*)
1.2.3 有效数字(2)
非零小数总可以写成如下形式：
x 0.1 2
*
n
10
m
其中: (1)m是整数， (2)a10, (3) i (1, 2, , k ) 是0到9之间的整数； (4) x x* 1 10mn
2
则称近似值x*有n位有效数字。
1.2.3 有效数字(3)
y( x h) y( x) 微分运算：y ( x ) h
3. 研究数值计算方法的主要任务有三个：
(1)将计算机不能直接计算的运算，化成在计算机上可执行的运算；
(2)针对数值问题研究可在计算机上执行且行之有效的新系列计算公式
(3)误差分析，即研究数值问题的性态和数值方法的稳定性．
1.2 误差
0.00000182 0.000002
0 . 0000019 或 者 0 . 000002 0.0000019 4 相对误差限 ： r * 0.704 10 e 2.71828
0.000002 r * 0.8 10 4 e 2.71828
证明：
r
1 2(1 1) 10 n 1
x r 0.1 n 10m r
(1 1) 10 1 10m n 2
m 1
1 2(1 1)
10 n 1
可见 x*至少有 n 位有效数字。
例1-4:为使 π * 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有 效数字？
1 0.333333 3
1.2.1 误差的来源与分类(3)
研究对象
数学模型
计算方法
客 观 世 界 测量数据
数值运算 结果
1.2.2 绝对误差、相对误差 (1)
误差和（绝对）误差限（误差界）的概念
设 x 是准确值 x* 的一个近似值，记为 e=xx* ，称e为近似值x*的绝对误差，简称误差。 e可正可负。 如果|e|的一个上界已知为，记为|e|= |x- x* | ， 则称为近似值x*的一个绝对误差限或绝对误 差界，简称误差限或误差界。 为正值。 误差限不唯一。
(a)
(b)
1.2.3 有效数字(1)
有效数字
近似值的一种表示法； 表示近似值的大小； 表示近似值的精度；
有效数字的定义： 设数x*是数x的近似值。如果x* 的绝对误差限 是它的第n位的半个单位(四舍五入)，则称x* 准确到小数点后第n位,并且从第一位非零数字 到该位的所有数字均称为有效数字。
a 0.138 10 m 1
1
1 1 n (a) 10 0.005 2
答 案 c: 没 有 有 效 数字（n=-2）
n3
1.2.3 有效数字(6)
例1-3：对准确值x＝3.95进行四舍五入后得x*＝ 4.0；但是，若将x最后一位5舍掉成为x*＝3.9. 它们的误差绝对值都不超过末一位的半个单位， 均为：0.05 对有效数字理解的几点说明： 1.近似值的有效数字不一定都是通过四舍五入得到 2.近似值小数点后面的0不能随便增减 3.当绝对误差等于末位的半个单位时，会出现有效 数字不唯一的情况
注意：数字末尾的 0不可随意省去！
1.2.3 有效数字(5)
例1-3：下列近似值的绝对误差限都是 0.005,a=1.38,b=-0.0312,c=0.86 10-4 问：各个近似值有几个有效数字？ 解： (a) (b) (c) 0.005 1 答案a:1,3,8(n=3) (a) 10mn 答案b:3(n=1) 2
Multimedia
人工智能AI 虚拟现实VR 科学计算
性能 功耗 安全 可靠 易用 可扩展
Application
应用研究
Computer Science
系统研究
Hardware
Computer Architecture
Software
PC, HPC （Multi-core, Manycore, Cluster, Grid, Cloud...）
数值分析
课时:40 时间:(4-11)周 考核方式:闭卷考试 主讲教师:王一拙 联系方式:frankwyz@
第一章 绪论 1.1 数值分析的研究对象与特点 1.2 误差 1.3 算术运算中的误差
1.4 数值计算中应该注意的问题 1.5 误差分配原则与处理方法