全国通用2018高考数学大一轮复习第六篇不等式第1节不等关系与不等式课件理
不等关系与不等式 ppt课件 2018届高中数学一轮复习 人教A版
＋ b>0 知 a>0，且 b>0.
3． (必修 5 P74 练习 T3 改编 )下列四个结论， 正确的是 ( D ① a>b， c<d⇒ a－ c>b－ d； ② a>b>0， c<d<0⇒ ac>bd； ③ a>b>0⇒ a > b ； 1 1 ④ a>b>0⇒ 2 > 2 . a b A．①② C．①④ B．②③ D．①③ 3 3
第1讲 不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a>b a＝b ； a － b<0 ⇔ a － b>0 ⇔ ________ ； a － b ＝ 0 ⇔ ________ a<b ________．
2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a；
a＞c ； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒________ ＞ (3) 可加性： a ＞ b ⇒ a ＋ c________ b ＋ c ； a ＞ b， c ＞ d ⇒ a ＋ ＞ c________b＋d；
[注意]
在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．
1.某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计 划使用不超过 1 000 万元的资金购买单价分别为 40 万元、 90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少 买 5 辆，B 型汽车至少买 6 辆，写出满足上述所有不等关系 的不等式．
[解 ]设甲、乙两种产品的产量分别为 x， y，则由题意可知
2x＋y≤500， x≥0，x∈N， y≥0，y∈N.
x＋2y≤400，
用不等式 (组 )表示不等关系 (1)分析题中有哪些未知量. (2)选择其中起关键作用的未知量，设为 x 或 x， y 再用 x 或 x， y 来表示其他未知量． (3)根据题目中的不等关系列出不等式 (组 )．
高考数学大一轮复习-第六章 不等式与推理证明 第1课时 不等关系与不等式课件 北师大版
(2)a2a＋bb2≤－2⇔a2a＋bb2＋2＝a＋abb2≤0⇔ab＜0⇔ab＜＞00 或ab＞＜00 ，故选A. 答案 (1)C (2)A
在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和 不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质 判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函 数，指数函数的性质等．
是( )
A．a2＋1＞b2＋1
B.ba＜1
C．lg(a－b)＞0
D.13a＜13b
(2)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N 的大小关系是( )
A．M＜N
B．M＞N
C．M＝N
D．不确定
(3)已知a＞b＞0，比较aabb与abba的大小．
审题视点 (1)运用特殊值验证即可．(2)可用作差法求解．(3)
(1)“作差比较法”的依据是“a－b＞0⇔a＞b，a－b＜0⇔a ＜b，a－b＝0⇔a＝b”，其过程可分三步：①作差；②变形；③ 判断差的符号．其中关键一步是变形．
(2)“作商比较法”的依据是“
a b
＞1，b＞0⇒a＞b”，是把两
数的大小比较转化为两数的商与1进行比较，在数式结构含有幂
或根式、绝对值时，可采用此方法．
1．实数x的绝对值不大于2，用不等式表示为( )
A．|x|>2
B．|x|≥2
C．|x|<2
D．|x|≤2
解析：“不大于”指“≤”，所以|x|≤2. 答案：D
2．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用 不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽 车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
高考数学总复习 第六章 第一节不等关系与不等式课件 理
解析：(法一)设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则
4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得
m＋n＝4， n－m＝－2，
解得
m＝3， n＝1，
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
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解析(jiě xī)：(1)最多22元即小于等于22元；不小于24 元即大于等于24元，故可得不等
4x＋5y≤22， 6x＋3y≥24， 式组为xy≥≥00.，
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(2)若提价后杂志的定价设为 x 元，则销售量减少
x－0.12.5×0.2 万本，销售量为 8－x－0.12.5×0.2 万本，销
a>b
⇒ac>bc；
a>b
⇒ac<bc.
c>0
c<0
6．定理4推论1(叠乘性)：
a>b>0
⇒ac>bd.
c>d>0
7．定理4推论2(可乘方(chéngfāng)性)：
a>b>0⇒an>bn(n∈N*且n>1)．
8．定理5(可开方性)：a>b>0⇒ n a＞ n b(n∈N*且
n>1)．
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(3)不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c，这是放缩 法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则 易产生这样的错误：为证明a>c，选择中间(zhōngjiān)量b， 在证出a>b，c>b后，就误认为能得到a>c.
全国通用2018高考数学大一轮复习第六篇不等式第1节不等关系与不等式课件理
解:人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的时间,所以 10 < x . 4 0.2
反思归解纳决有关不等关系的实际问题,应抓住关键字词,例如 “要”“必须”“不少于”“大于”等,从而建立相应的方程或不等式 模型.
【即时训练】 已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如表:
甲
乙
维生素A(单位/kg)
600
700
a c
b
0
⇒
ac>bc
a c
b
0
⇒
ac<bc
a c
b,
d
⇒
a+c>b+d
a c
b d
0 0
⇒
ac>bd
a>b>0⇒ an>bn (n∈N,n≥1)
a>b>0⇒ n a > n b (n∈N,n≥2)
注意 c 的符号
⇒ ⇒ a,b 同为正数
对点自测
【即时训练】 若a<0,-1<b<0,则下列不等式成立的是
.
①log0.5(-a)<log0.5(-ab2); ②(-a)2<(-ab2)2;
③(-a)-1>(-ab2)-1;
④0.5-a > 0 .5 ab2 .
解析:法一 对于①,因为 a<0,-1<b<0,可知-a>0,0<b2<1,所以-a>-ab2>0,结合对数 函数的性质容易得到 log0.5(-a)<logห้องสมุดไป่ตู้.5(-ab2),①成立;对于②,由①知-a>-ab2>0,故
高考数学大一轮复习 第六章 第一节 不等关系与不等式
考点二 不等式的性质 (重点保分型考点——师生共研) [必备知识]
1．不等式的基本性质 (1)对称性： a>b⇔b<a. (2)传递性： a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性： a>b⇒a＋c>b＋c. (4)可乘性： a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. (5)加法法则： a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (6)乘法法则： a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
考点一 比较两个数式的大小 (基础送分型考点——自主练透) [必备知识]
两个实数比较大小的法则
关系 a＞a＝b a＜b
作差法则 a－b＞0
a－b＝0 a－b＜0
法则 作商法则
ab＞1(a，b＞0)或ab＜1(a，b＜0) ab＝1(b≠0)
ab＜1(a，b＞0)或ab＞1(a，b＜0)
[题组练透]
[演练冲关]
1．若 a>b>0，则下列不等式不成立的是
()
A．1a<1b
B．|a|>|b|
C．a＋b<2 ab
D．12a<12b
解析：∵a>b>0，∴
1 a
<
1b ，且|a|>|b|，a＋b>2
ab ，又2a>2b，
∴12a<12b，选C.
2．若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②
第六章 不等式、推理与证明
第一节不等关系与不等式
基础盘查一 两个实数比较大小的方法 (一)循纲忆知 1．了解现实世界和日常生活中的不等关系； 2．了解不等式(组)的实际背景．
最新-2018届高考数学一轮复习 第6章第一节 不等关系与一元二次不等式课件 文 精品
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(a>0)的解集
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思考感悟 一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交 点为(x1,0)，(x2,0)，(x1<x2)，则ax2＋bx＋c>0的 解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)是否正确？ 提示：不正确，ax2＋bx＋c>0的形式不一定是标 准的，即a不一定为正的，因而解集的形式不能 确定．
【思路分析】 本题(1)可讨论m的取值，利用 判别式来解决，对于(2)含参数的一元二次不等 式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法： 方法一是利用二次函数区间上的最值来处理； 方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来 处理，一般情况下方法二比较简单．
【解】 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立， 若 m＝0，显然－1<0； 若 m≠0，
(2)原不等式等价于xx22－ －xx－ －22≤ >04 ⇔xx22－ －xx－ －26≤ >00 ⇔((xx－ －23))((xx＋ ＋12))≤ >00 ⇔x－>22≤ 或xx≤ <－3.1，
结合数轴知，原不等式的解集为 {x|－2≤x<－1 或 2<x≤3}．
(3)因 a>0，则原不等式等价于(x－1a)(x－1)<0.(*) ①当 a＝1 时，1a＝1，所以不等式(*)解集为∅； ②当 a>1 时，1a<1，所以不等式(*)的解集为{x|1a <x<1}；
(1)2x2＋4x＋3>0； (2)－3x2－2x＋8≥0；
(3)12x2－ax>a2(a∈R)． 【思路分析】 首先将二次项系数转化为正数， 再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得 方程的两根，若不能，则再看“Δ”，利用求根 公式求解方程的根，而后写出解集，(3)小题中 对a要分类讨论．
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
高三数学一轮复习 6.1不等关系与不等式课件
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13
6.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则a-b的取值范围是
,a2+b2的
取值范围是
.
【解析】因为-2<a<-1,-3<b<-2,所以2<-b<3,
于是0<a-b<2.
又因为1<a2<4,4<b2<9,所以5<a2+b2<13.
答案:(0,2) (5,13)
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14
考点1 用不等式(组)表示不等关系 【典例1】(1)已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:
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19
【规律方法】用不等式(组)表示不等关系的常见类型及解题策 略 (1)常见类型: ①常量与常量之间的不等关系; ②变量与常量之间的不等关系; ③函数与函数之间的不等关系; ④一组变量之间的不等关系.
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20
(2)解题策略:①分析题目中有哪些未知量; ②选择其中起关键作用的未知量,设为x,再用x来表示其他未知 量; ③根据题目中的不等关系列出不等式(组). 提醒:在列不等式(组)时要注意变量自身的范围,解题时极易忽 略,从而导致错解.
可乘性
a c
b
0
⇒_a_c_>_b_c_
a c
b 0
⇒_a_c_<_b_c_
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特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
注意c 的符号
4
性质 同向可加性
同向同正 可乘性
可乘方性 可开方性
性质内容
a c
b
d
⇒_a_+_c_>_b_+_d_
a b 0
c
d
高考数学一轮复习第6章不等式第1讲不等关系与不等式课件
作商．
3.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法． 满分策略
1.a>b⇒ac>bc 或 a<b⇒ac<bc，当 c≤0 时不成立． 2.a>b⇒1a<1b或 a<b⇒1a>1b，当 ab≤0 时不成立． 3.a>b⇒an>bn 对于正数 a，b 才成立． 4.ab>1⇔a>b，对于正数 a，b 才成立． 5.注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a>b，
ab C.d>c
ab D.d<c
解析 由 c<d<0，得－1d>－1c>0，又 a>b>0，故由不等
式性质，得－ad>－bc>0，所以ad<bc.故选 D.
4．[课本改编]若 a，b，c∈R，且 a>b，则下列不等式
一定成立的是( )
A．a＋c>b－c B．(a－b)c2>0
C．a3>b3
D．a2>b2
b>c⇒a>c，其中 a>c 不能推出a>b， b>c.
板块三 启智培优·破译高考
题型技法系列 8——巧用特殊值判断不等式问题 [2016·山东高考]已知实数 x，y 满足 ax<ay(0<a<1)，则下 列关系式恒成立的是( ) A．ln (x2＋1)>ln (y2＋1) B．sinx>siny C．x3>y3
∴
aabb
a＋b
>1，∴aabb>(ab)
a＋b 2
.
ab 2
命题角度 3 放缩法
例
Байду номын сангаас
4
2018年高考数学理一轮复习课件 第六章 不等式 第1讲 课件 精品
∈[0，1]．证明：f(x)≥1－x＋x2. ln 3 ln 2 (2)若 a＝ ，b＝ ，比较 a 与 b 的大小． 3 2
4 4 1 －（－ x ） 1 － x 【解】 (1)证明：因为 1－x＋x2－x3＝ ＝ ， 1－（－x） 1＋x
1－x4 1 由于 x∈[0，1]，有 ≤ ， 1＋x x＋1 1 即 1－x＋x －x ≤ ， x＋ 1
第六章
不等式
知识点
考纲下载
不等关系与 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了 不等式 解不等式(组)的实际背景． 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 二元一次不 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平 等式(组)与 面区域表示二元一次不等式组． 简单的线性 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线 规划问题 性规划问题，并能加以解决． 基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程． a＋b ≥ ab 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 2 题． (a≥0， b≥0)
第六章
不等式
第1讲 不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a>b a＝b a － b>0 ⇔ _________ ； a － b ＝ 0 ⇔ _________ ； a － b<0 ⇔ a<b ． ________
2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a；
a＞c (2)传递性：a＞b，b＞c⇒____________ ； ＞ ＞ b (3)可加性： a＞b⇒a＋c______b＋c； a＞b， c＞d⇒a＋c_____
[解析] A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，所以 A＞ B．故选 B．
2． 已知 a， b 是实数， 则“a>0 且 b>0”是“a＋b>0 且 ab>0” 的( C ) A．充分而不必要条件 C．充要条件
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第六篇 不等式 第
3.(2016· 山东烟台模拟)已知-1<a<0,A=1+a2,B=1-a2,C=
的大小结果为( B (A)A<B<C ) (B)B<A<C
1 ,比较A,B,C 1 a
(C)A<C<B
(D)B<C<A
1 5 3 ,则 A= ,B= ,C=2,由此得 B<A<C,故选 B. 2 4 4
解析:法一 不妨设 a=-
对于②,当a=2,b=-1时,显然不正确; 对于③,显然正确;对于④,因为a<0,-1<b<0,ab2-a=a(b2-1)>0,所以 ab2>a,即④正确. 答案:①③④
考点专项突破
考点一 用不等式(组)表示不等关系
在讲练中理解知识
【例1】 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过 1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,
2.不等式的基本性质
性质 对称性 传递性 可加性 内容 a>b⇔ b<a a>b,b>c⇒ a>c a>b⇔ a+c>b+c 注意 ⇔ ⇒ ⇔
可乘性
a b ⇒ ac>bc c 0 a b ac<bc ⇒ c 0 a b ⇒ a+c>b+d c d
c 的符号
同向可加性
⇒
同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性
a b 0 ⇒ ac>bd c d 0
a>b>0⇒ an>bn (n∈N,n≥1) a>b>0⇒ a > b
n n
⇒
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3.已知 a=2 7 ,b= 6 +2 2 ,则 a,b 的大小关系是 a
b.
解析:由于 a=2 7 ,b= 6 +2 2 ,平方作差得 a2-b2=28-14-8 3 =
14-8
3
=8
7 4
3
特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
可乘性
同向可 加性 同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性
a c
b
0
⇒
ac>bc
a c
b
0
⇒
ac<bc
a c
b,
d
⇒
a+c>b+d
a c
b d
0 0
⇒
ac>bd
a>b>0⇒ an>bn (n∈N,n≥1)
a>b>0⇒ n a > n b (n∈N,n≥2)
注意 c 的符号
【即时训练】 (2016·江西省重点中学盟校联考)已知a>0且a≠1,则 “ab>1”是“(a-1)b>0”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:由
ab>1⇒
a b
1, 0
或
0 b
a 1, 0;
由(a-1)b>0⇒
a b
1 0
第六篇 不等式(必修5)
六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图
命题特点
1.高考在本篇一般命制1～2道小 题,分值5～10分. 2.在高考中主要考查一元二次不 等式的解法,常与集合相结合,简 单的线性规划求最值、范围;或 有最值求参数、或考查非线性最 值问题. 3.基本不等式一般不单独考查、 有时在解三角形、导数与函数、 解析几何等问题中会用到基本不 等式求最值(或范围)
>0,从而
a>b.
答案:>
4.(2016·安徽铜陵模拟)若 a,b∈(0,+∞),则 1 + 1 与 1 的大小关系 a b ab
是
.
解析:因为 a,b∈(0,+∞),
所以
1 a
1 b
÷
1 ab
=
(a b)2 ab
≥
4ab ab
=4>1,
所以 1 + 1 > 1 . a b ab
答案: 1 + 1 > 1 a b ab
⇒ ⇒ a,b 同为正数
对点自测
1.(2015·高台县校级期末)设 a= 2 ,b= 7 - 3 ,c= 6 - 2 ,则 a,b,c
的大小关系是( B )
(A)a>b>c
(B)a>c>b
(C)b>a>c
(D)b>c>a
解析:b= 7 - 3 = 4 ,c= 6 - 2 = 4 .
7 3
6 2
因为 7 + 3 > 6 + 2 ,所以 4 < 4 , 7 3 6 2
ab
ab
⇒ ②. (2)若 ab>0, bc ad >0,则 bc>ad,所以①②⇒ ③.
ab
(3)若 bc>ad, bc ad >0,则 ab>0,所以②③⇒ ①. ab
综上所述可组成 3 个正确命题.
反思归运纳用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条 件,如比较ac与bc的大小关系应注意从c>0,c=0,c<0三个方面 讨论.
所以 b<c.因为 2 ( 6 + 2 )=2 3 +2>4, 所以 4 < 2 .即 c<a.综上可得 b<c<a.故选 B.
6 2
2.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不 超过40 km/h,写成不等式就是( D ) (A)v<40 km/h (B)v>40 km/h (C)v≠40 km/h (D)v≤40 km/h
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 燃放礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前 转移到10 m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.2 m/s,人离开 的速度为4 m/s,导火线的长度x(m)应满足怎样的关系式?
解:人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的时间,所以 10 < x . 4 0.2
3.若 a>b,则 an>bn, n a > n b 是否成立? 提示:不一定.当a>b>0,n∈N,n≥2时才成立.
知识梳理
1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系 设a,b∈R,则a>b⇔a-b>0;a<b⇔a-b<0;a=b⇔a-b=0.
2.不等式的基本性质
性质 对称性 传递性 可加性
性质内容 a>b⇔ b<a . a>b,b>c⇒ a>c . a>b⇔ a+c>b+c .
反思归解纳决有关不等关系的实际问题,应抓住关键字词,例如 “要”“必须”“不少于”“大于”等,从而建立相应的方程或不等式 模型.
【即时训练】 已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如表:
甲
乙
维生素A(单位/kg)
600
700
维生素B(单位/kg)
800
400
设用甲、乙两种食物各x kg,y kg配成至多100 kg的混合食物,并使混合
第1节 不等关系与不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大 2.了解不等式(组)的实际背景. 量的不等关系.
知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析
知识链条完善
把散落的知识连起来
【教材导读】 1.若a>b,c>d,则a-c>b-d是否成立? 提示:不成立,同向不等式不能相减,如3>2,4>1,但3-4<2-1. 2.若a>b>0,则ac>bc是否成立? 提示:不成立.当c=0时,ac=bc,当c<0时,ac<bc.
0,
或
a b
1 0,
0,
又 a>0 且 a≠1,所以“ab>1”是“(a-1)b>0”的充要条件.故选 C.
食物内至少含有56 000单位维生素A和 62 000 单位维生素B,则x,y应满
足的所有不等关系为
.
x y 100,
解析:x,y
所满足的关系为
600x 800x
700 400
y y
56000, 62000,
x 0, y 0,
x y 100,
即
6x 2x
7 y
y 560, 155,
x 0, y 0.
x y 100
答案:
6x 2x
7 y 560 y 155
x 0, y 0
考点二 不等式的性质 【例2】 (2016·江苏南通一模)已知下列三个不等式①ab>0;②c d ;
ab
③bc>ad.以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成几个正确
命题?
解:(1)对②变形 c > d ⇔ bc ad >0,由 ab>0,bc>ad 得②成立,所以①③