随机过程(超容易理解+配套例题)(课堂PPT)

随机过程简介
1、实际背景： 在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做 特定时间点上的一次观察,且需要做多次的 连续不断的观察,以观察研究对象随时间推 移的演变过程.
Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察,记 录得 ： {X (t),a t b},
研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?
2020/4/27
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随机过程x(t,e)四种不同情况下的意义： .当t固定，e固定时，x(t)是一个确定值； .当t固定，e可变时，x(t)是一个随机变量； .当t可变，e固定时，x(t)是一个确定的时间函数； .当t可变，e可变时，x(t)是一个随机过程；
平稳过程
1）严平稳过程：
若 t1, t2 ,L tn T , 及h 0, ( X t1 ,X t2 ,L , X tn )
(3)对任意的s,t 0,
n
t P{N(t s) N(s) n} t
, n 0,1, 2.....
e n!
称为Poisson过程的强度或者速率，也就 是说单位事件内事件发生的次数。
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例：顾客到达某商店服从 =4的Poisson分布
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时 仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位 顾客的概率。
当Poisson过程的强度 不再是常数，而与时间t有关时，
Poisson过程被推广为非齐次Poisson过程。一般来说，非 齐次Poisson过程不具有平稳增量。
非齐次Poisson过程
计数过程{N(t), t 0}称做强度函数为 (t) 0(t 0) 的非齐次 Poisson过程，如果
（1）N(0)=0；
解：
设 N (t)表示在时间t时到达的顾客数
P(N(0.5) 1, N(2.5) 5)
P(N(0.5) 1, N(2.5) N(0.5) 4)
P(N(0.5) 1)P(N(2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!
4!
0.0155 2020/4/27
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Poisson过程的推广
（1）N(t) 0 且取值为整数； （2）s t 时，N(s) N(t)且N(t) N(s)表示（s, t]时间内事件A发生的次数。
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2、Poisson过程
计数过程 {N(t),t 0}称为参数为 ( 0)的Poisson 过程，如果
（1）N(0)=0;
(2)过程有独立增量；
研究随机过程的一个重要切入点就是研究一个随机信号的数字特征，数 字特征主要包括数学期望、相关函数、方差、协方差、均方值。其中数 学期望是一阶矩，后面四个是二阶矩。可以通过研究随机过程的二阶矩 特征来判断随机过程是否平稳等等。
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Poisson过程
1、计数过程： 随机过程N(t),t 0称为计数过程，如果N(t) 表 示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数， 它具备以下两个特点：
与( X t1h ,X t2 h ,L , X tn h )
有相同的联合分布，也就是说主要性质
只与变量之间的时间间隔有关。
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2）宽平稳过程： 如果随机过程{x(t),t T }所有二阶矩都存在， 并且E[x(t)]= ,协方差函数 (t,s) 只与时间差 t-s有关，那么称{x(t), t T}为宽平稳过程。
（2）过程有独立增量；
（3）对任意实数 t 0, s 0, N(t s) N(t)为具有参数
ts
m(t s) m(t) t () d 的Poisson分布。
t
m(t) 令 2020/4/27 (s) ds 0
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例 设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次， 后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。
设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素 ei (i=1,2,…)都以某种法 则确定一个样本函数x(t, ei ),由全部元素{e}所确定的一族样本函数x(t，e)
称为随机过程，记为x(t)。
设有一个过程x(t)，若对每一个固定的时刻t j (j=1,2…)，X(t j)是一个随 机变量，则x(t)称为随机过程。
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Ex.2 从杂乱电讯号的一段观察{Y(t),0< t< T} 中,研究是否存在某种随机信号S(t )?
随机过程直观解释： 对随机信号或者噪声信号作一次观测相当于做一次随机试 验，每次随机试验所得到的观测记录结果 xi(t)是一个确定 的函数，称为样本函数，所有的样本函数的全体构成了随 机过程。
2、随机过程的定义
称{N(t),t≥0}更新过程。
一个典型的更新过程的例子就是机器零件的更换。在0时刻，安装上一
个新零件并开始运行，当零件在X1时刻发生损坏，马上用一个新的来
替换（假设替换零件不需要时间），当第二个零件从X1时间开始运行，
到X2时间发生损坏时，我们马上换第三个零件….这些零件的使用寿命
Nt
X t Yi i 1
称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
条件Poisson过程
1、定义：设 是一个正的随机变量，分布函数为G(x)，设N(t) 是一个计数过程，
在 的条件下， {N(t),t≥0}是参数为 的泊松过程，即对任意的 s, t≥0，有
PN t s N s n tn et
n!
则称{N(t),t≥0}为条件泊松过程。
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更新过程
1、更新过程的定义
设{Xn,n≥1}是独立同分布的非负随机变量，分布函数为F(x)，且F(0)<1，令
n
T0 0, Tn X k
k 1
记
EX
=
n
0
xdF(x), 0
N t supn;Tn t 或 N t ITnt n1
解 考虑非齐次泊松过程，强Fra bibliotek函数1
(t )
2.5 1
2
0t 5 5 t 10
m(10)
10
(t)dt
5
1
dt
10 1 dt 4.5
0
0 2.5
52
P{N (10)
N (0)
1}
(4.5)1
e4.5
9
9
e2
1!
2
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复合Poisson过程
设{Yi,i≥1}是一族独立同分布的随机变量， {N(t),t≥0}是泊松过程，且{Yi,i≥1}与 {N(t),t≥0}独立，记