弹塑性力学基础知识复习

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弹塑性力学复习-1

二、计算题
1.已知一点的应力
500 σij = -100
-100
-100 400
0
-100
0

MPa
400
计算（1）主应力（2）主方向（3）最大切应力（3）正八面体上的正应力（4）正八面体上的切应力（5）正八面体上的全应力
2.已知一点的应变
u (x1 x2 )2 e1 (x2 x3 )2 e2 x1x2e3
解(1): 管的两端是自由的应力状态
1 6
[(1

2
)2

(
2
3 )2

(
3

1)2
]

2 s
(Mises)
1 3 2 s (Tresca)
1

pR t
,

2
z
0, 3
r
0, zr
r
z
0
1 6
[(
pR t
)2

(
pR t
一、概念题
1.若物体内一点的位移均为零，则该点的应变也为零。
2.在x为常数直线上，u=0，则沿该线必有 x 0 。 34..在满足y为平常衡数微直分线方上程，又u满=0足，力则边沿界该条线件必的有应 x力 0是。
否是实际应力。 5.应变状态 x k(x2 y2 ), y ky2, xy 2kxy 不可能存在。 6.若是平面调和函数，1 (x2 y2 ) 是否可以作为
应力函数。
一、概念题
7.平面应力与平面应变主要的异同是什么。 8.切应变的含义是什么。 9.变形协调方程的物理意义是什么。 10.应力主轴与应变主轴在什么情况下重合。 11.什么是横向各向同性材料。 12.受内压压圆环（筒）的应力分析。 13.逆解法、半逆解法的理论依据是什么？为什么？ 14.为什么最小势能原理等价于平衡方程与应力边界条件？ 15.里兹法与伽辽金法的近似性表现在哪里？

弹塑性力学基本知识

1 2 sij sij
（16）
八面体剪应变：γ 8 =
4 3 eijeij
（17）
八面体剪应力：τ8 =
1 3 sij sij
=
2 3 J2
八面体上任一面上的正应力：
N
= σ ij ni n j
=
1 3
(σ
1
+σ2
+σ3)
该面上的剪应力：
t8 =
TiTi
− N2
=
1 3
(σ1
−σ
2
)2
+
(σ 2
−σ 3
3J 2
（12）
对于任意的应力增量
dσ
ij
，若产生塑性应变增量
dε
p ij
，其偏量为
deipj
，累积塑性应变增量：
dε p =
2 3
deipj
deipj
塑性功增量： dW
p
=
σ
ij
dε
p ij
（13）（14）
等效剪应变（或剪应变强度）：Γ = 2eijeij
（15）
等效剪应力（或剪应力强度）：T =
f = 0;
⎧ ∂f
∂f
⎪ ⎪
∂σ
ij
Lijkl
∂σ kl
>0
⎪⎪ ∂f
⎨ ⎪
∂σ
ij
Lijkl
∂f ∂σ kl
)2
+
(σ 3
−
σ 1
)2
剪切模量：G
=
2
E
(1 +
v)
（注意：只对各向同性材料有效；）
（18）
（19）（20）（21）

弹塑性力学第一章弹塑性力学绪论资料

弹塑性力学的主要内容包括以下两部分。
１、弹塑性本构关系
本构关系是指材料内任意一点的应力－应变之间的关系，是材料本身的物理特性所决定的。弹性本构关系是广义胡克定律，而塑性本构关系远比弹性本构关系复杂。在不同的加载条件下要服从不同的塑性本构关系。塑性本构关系有增量理论和全量理论。
6
２．研究荷载作用下物体内任意一点的应力和变形在荷载作用下，物体内会产生内力，因此通常
广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：
各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性
弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气
体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘
弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。
此外，还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的
发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的
弹塑性力学
1
第一章绪论
§1-1 弹塑性力学基本概念和主要任务 §1-2 弹塑性力学的发展史
§1-3 基本假设及试验资料 §1-4 简化模型
2
1.1 弹塑性力学基本概念和主要任务
一、弹性（塑性）变形，弹性（塑性）阶段
可变形固体在外力作用下将发生变形。根据变形的特点，固体在受力过程中的力学行为可分为两个明显不同的阶段：当外力小于某一极限值（通常称为弹性极限荷载）时，在引起变形的外力卸除后，固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形称为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段称为弹性阶段；外力超过弹性极限荷载，这时再卸除荷载，固体将不能恢复原状，其中有一部分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就称为塑性变形，这一阶段称为塑性阶段。
10
在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。

弹塑性力学复习重点

1.弹性力学的研究内容、研究对象和研究任务？基本假设？弹性力学与材料力学和结构力学的区别？弹性力学解的唯一性定理？答：弹性力学的研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移；弹性力学主要研究对象为，非杆状的结构（如板、壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构）以及杆状构建的进一步精确分析；弹性力学的研究任务是分析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。

弹性力学的基本假设有5个，分别是连续性假设、完全弹性体假设、物体均匀假设、物体各向同性假设以及微小位移和变形假设。

材料力学‐‐研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。

求得是一种近似解。

结构力学‐‐在材料力学基础上研究杆系结构（如桁架、刚架等）。

弹性力学‐‐研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。

弹性力学解的解的唯一性定理：弹性体在给定体力、面力和约束条件的情况下而处于平衡时，体内各点的应力分量、应变分量的解释唯一的。

2.应力状态、应力分量、应力张量、应力张量的三个不变量的物理意义是什么？体积改变和形状改变定理是什么？偏应力第二不变量J2的物理含义是什么？答：应力状态：物体内同一点各方位上的应力情况。

应力分量：为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解，即为应力分量。

过M 点分别于三个坐标轴相垂直的微面上的应力状况，共有9个分量，统称为一点的应力分量。

应力张量：描述一点的应力状态的张量（数学表示）。

把应力分量作为一个整体用矩阵表示为一个整体称为应力张量应力张量的三个不变量J 1、J 2、J 3：物理意义：当坐标改变时，每一应力分量都将改变，但这三个量不变。

应力张量是二阶对称张量，因此它存在三个不变量，分别用J 1、J 2、J 3表示。

J 1 应力张量的主元之和在弹性体内任一点，任何三个垂直方向上的正应力之和为一个常数。

工程弹塑性力学题库及答案

，而应变
，试证明当体积不变
证毕！
5.3 对于线性弹塑性随动强化模型，若（1）、已知给定应力路径为（2）、已知给定应变路径为
，试求，求对应的应变值。，求对应的应力值。
（1）解：①、，；②、
，
③、，
；④、
，
⑤、，
（2）解：①、，；②、
，
③、，
；
④、
，
⑤、，
5.4 在拉伸试验中，伸长率为
Mises 屈服条件：
故有
6.5 试用 Lode 应力参数表达 Mises 屈服条件。解：由定义：
即 Mises 屈服条件为将上式代入，得：
即：
6.6 物体中某点的应力状态为
，该物体在单向拉伸
时
，试用 Mises 和 Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹性
状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变（即同值异号），则对被研究点所处状态的判断有无变化? 解：（1）Mises 屈服条件判断
6.8证明下列等式：（1）、证明：（1）、右边
（2）、
=左边
证毕！
（2）、
证毕！
6.9 设、、为应力偏量，试证明用应力偏量表示 Mises 屈服条件时，其形式为
，提示：
证明：Mises 屈服条件：
，
，
又又
证毕！
第七章塑性本构关系
7.1 塑性全量理论的成立条件：解：（1）应力主方向与应变主方向是重合的，即应力 Mohr 圆与应变 Mohr 圆相似，应力 Load 参数和应变 Load 参数相等，而且在整个加载过程中主方向
力为多大，并求此时塑性应变增量的比。
解：设扭转剪应力入 Mises 屈服条件，得

第一章弹塑性力学基础

i 1

的值从1到3变化。
xi 和 x j代表同一个矢量。
1.2.2 求和约定
求和约定在相关文献中都有详细的的介绍，下面只举一个小的例子，考虑下边方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
' 三阶张量： Gijk liml jnlkpGmnp

张量可以有任意阶，从以上表达式中可以明显得出一般的变换规则。由于受笛卡尔坐标系的限制，所以所有这些张量均成为笛卡尔张量。
1.2.7 张量性质
张量的运算法则与矢量相类似，如张量相等即对应分量相等；张量相加即对应分量相加；张量相乘构成一个新的张量，通常其阶数是原张量的阶数之和；n阶张量缩并后变为n-2阶张量等等。下面简单的举例说明: 1. 一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所有坐标系中的所有分量都为0。这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考虑 Fi 导致的应力 ij ，以后将证明，为满足平衡 ij, j Fi ，现将它重写为Di ij, j Fi 0，因为 Di 是零矢量，因此只需在一个坐标系中证明即可。 2.一个三阶张量与一个二阶张量相乘，构成一个五阶张量。
令所以
3.三阶张量缩并成一阶张量
证明：因为所以又因为所以
' Aijk Arst lri lsj ltk
' Aiik Arst lri lsi ltk
lri lsi rs
' Aiik Arst rs ltk
又
1 0 0 rs 0 1 0 0 0 1

弹塑性力学总复习

弹塑性⼒学总复习《弹塑性⼒学》课程第⼀篇基础理论部分第⼀章应⼒状态理论1.1 基本概念1．应⼒的概念应⼒：微分⾯上内⼒的分布集度。

从数学上看，应⼒sPF s ??=→?0lim ν由于微分⾯上的应⼒是⼀个⽮量，因此，它可以分解成微分⾯法线⽅向的正应⼒νσ和微分⾯上的剪应⼒ντ。

注意弹塑性⼒学中正应⼒和剪应⼒的正负号规定。

2．⼀点的应⼒状态（1）⼀点的应⼒状态概念凡提到应⼒，必须同时指明它是对物体内哪⼀点并过该点的哪⼀个微分⾯。

物体内同⼀点各微分⾯上的应⼒情况，称为该点的应⼒状态。

（2）应⼒张量物体内任⼀点不同微分⾯上的应⼒情况⼀般是不同的，这就产⽣了⼀个如何描绘⼀点的应⼒状态的问题。

应⼒张量概念的提出，就是为了解决这个问题。

在直⾓坐标系⾥，⼀点的应⼒张量可表⽰为=z zy zx yz yyx xz xy x ij στττστττσσ若已知⼀点的应⼒张量，则过该点任意微分⾯ν上的应⼒⽮量p就可以由以下公式求出：n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=（1-1’b ）n m l p z zy zx z σττν++=（1-1’c ）由式（1-1），还可进⼀步求出该微分⾯上的总应⼒p 、正应⼒νσ和剪应⼒v τ： 222z y x p p p p ++=（1-2a ）nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=22ννστ-=p（1-2c ）（3）主平⾯、主⽅向与主应⼒由⼀点的应⼒状态概念可知，通过物体内任⼀点都可能存在这样的微分⾯：在该微分⾯上，只有正应⼒，⽽剪应⼒为零。

这样的微分⾯即称为主平⾯，该⾯的法线⽅向即称为主⽅向，相应的正应⼒称为主应⼒。

主应⼒、主⽅向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：}{}]{[i n i ij n n σσ=（1-3）式中，][ij σ为该点应⼒张量分量构成的矩阵，n σ为主应⼒，}{i n 为主⽅向⽮量。

弹塑性力学基础

2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；
3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠
进行度量。
第10页/共206页
四、弹塑性力学的基本任务
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
第31页/共206页
3.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
（I-4）（I-5）
★ 关于求和标号，即哑标有：
◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii 2 a121 a222 a323 (aii )2 (a11 a22 a33 )2
第21页/共206页
◆ 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直
观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换关系式来解决定义。
第18页/共206页
2.下标记号法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的阶次。

《弹塑性力学》第十一章塑性力学基础

几何方程
描述了塑性变形过程中应变和位移之间的关系，是塑性力学的基本方程之一。
塑性变形的增量理论
流动法则
描述了塑性变形过程中应力和应变增量之间的关系，是增量理论的核心。
屈服准则
描述了材料在受力达到屈服点时的行为，是增量理论的重要概念。
塑性变形的全量理论
全量应力和全量应变
描述了塑性变形过程中应力和应变的状态，是全量理论的基本概念。
100%
材料性能
塑性力学为材料性能的描述提供了理论基础，有助于深入了解材料的变形和破坏行为。
80%
科学基础
塑性力学是连续介质力学的一个重要分支，为研究物质宏观性质的变化规律提供了科学基础。
塑性力学的发展历程
初创期
塑性力学作为独立学科始于20 世纪初，初期主要研究简单的应力状态和理想塑性材料。
有限元法的优点在于其灵活性和通用性，可以处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种类型的塑性变形问题。
然而，有限元法在处理大规模问题时可能会遇到计算效率和精度方面的问题，需要进一步优化算法和网格划分技术。
边界元法在塑性力学中的应用
01
02
03
04
边界元法是一种仅在边界上离散化的数值方法，通过将问题转化为边界积分方程来求解。
发展期
随着实验技术的进步，塑性力学在20世纪中叶得到了快速发展，开始涉及更复杂的材料和应力状态。
深化期
进入20世纪末至今，塑性力学与计算机技术、先进材料等交叉融合，研究领域不断扩大和深化。
塑性力学的基本假设
02
01
03
连续性
材料内部是连续的，没有空洞或缝隙。
塑性变形不可逆
塑性变形发生后，不会消失或还原。

弹塑性力学复习(2022)

期末考试范围:1.推导公式，两类物理方程互换推导；2.平面直角坐标的逆解法，要求画出面力分布规矩；3.平面极坐标半逆解法，写出所有应力边界条件，等效应力可以不用积分最终结果。

4.半空间问题受法向集中力问题；5.平面问题的位移变分，指定里兹法，也给出了里兹法公式；6.1.推导公式，两类物理方程互换推导1[()]1[()]1[()]x x y z y y z x z z x y E E Eεσμσσεσμσσεσμσσ=-+=-+=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=θμμεμσθμμεμσθμμεμσ211211211z z y y x x E EE若不计体力，试推到分别用应变、应力、应力函数表示的相容方程。

2.平面直角坐标的逆解法，要求画出面力分布规矩；COxybh2l 2l例：设能否作为应力函数？并分析其所能解决的问题。

223126y a y a Φ+=xF exF已知函数([)== a y3 + bx2, a、b为常数。

试分析：1.该函数能否作为应力函数使用；（7分）2.如能作为应力函数使用，在左图所示不计体力的单位厚平板上，画出上述函数能够解决的问题。

(8分）女°厂l3.平面极坐标半逆解法，写出所有应力边界条件，等效应力可以不用积分最终结果。

已知曲杆内外半径分别为a 、b '一端固定，另一端受集中力F 作用，试求应力分量半定解，并写出除固定端外的所有边界条件（不用计算待定常数）。

可设定应力函数吵＝（A p '+�+Cp+Dp ln p }in ,p。

一一一一鲁酝Xo , ，p a,y4.半空间问题受法向集中力问题；里兹法·一－－6-c，忒确化方程吁－c ，化曲E 点处的茄宁0千0:.To;t __ / __ (T。

I I今J某杆件所用材料的应力应变曲线为σT=B∈0.5，若杆件在颈缩前的工程应变为0.4，当工程应变再增加多少时，杆件方能进入颈缩状态。

第一篇第一章弹塑性力学基础

化模型
E
s
ssign s
E
s
E
s
sign
s s
A m sign
E1
（4）在弹性区完全线弹性假设
-- 假定物体是,
a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。因此，即应力与应变关系可用胡克定律表示。符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。
变形状态假定：（5）小变形假定--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
弹性体--当可变形固体由于受外因而发生的变形限制在弹性范围内时，相应的物体称为弹性体。弹性力学的研究对象是完全弹性体。完全弹性—对应于一定的温度T，受载物体的应力和应变之间存在着一一对应的关系，和时间t无关。
弹性力学的研究对象--研究各种形状的弹性体，主要是板、壳、块体等非杆状结构，并对杆状结构作进一步的分析。 1.1.3 塑性力学塑形力学—研究物体在塑性状态的应力和应变分布规律。在塑性阶段，应力与应变不在具有一一对应的全量关系，和加载路径有关，且呈现非线性的关系。
第一节弹性力学与塑性力学概述第二节弹塑性力学中的研究方法和任务第三节弹性力学与塑性力学中的基本假定第四节弹性与塑性力学的发展概况第五节基本概念第六节弹塑性力学的基础实验第七节变形体的本构模型
§1-1 弹性力学与塑性力学概述
1.1.1 弹性与塑性的概念 1、弹性--变形的可恢复性。 2、塑性--变形的不可恢复性。 1.1.2 弹性力学弹性力学--研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
然后在边界条件下求解上述方程，得出应力、形变和位移。

弹塑性力学基础知识复习

即空间力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零，对每一坐标轴之矩的代数和为零。
空间力系的平衡方程包含了各种特殊力系的平衡方程，所以由公式可以导出各种特殊力系的平衡方程。
（1）空间汇交力系的平衡方程设空间汇交力系汇交于O点，则各力对O点的矩恒为零，
于是独立的平衡方程为
i1
把上式向直角坐标轴投影并利用力对点的矩和力对轴的矩关系即公式有
n
n
n
i1
n
i1
Fix 0,
i1
Mx(Fi)0,
Fini1yM 0y(F,i)i10F,izin10Mz(Fi)0
(4-1)
式(4-1)就是空间力系的平衡方程的一般式，其平衡方程还有四矩式、五矩式和六矩式，读者可以参考其它资料了解。
弯曲中心概念典型图形弯曲中心的位置
挠曲线必须是光滑和连续的，任意截面都有唯一的挠度和转角
二挠曲线近似微分方程 d 2y M dx 2 EI
{ 两个近似
忽略了剪力Q的影响
忽略 ( dy ) 2 ， 1(dy)2 1
边界条件
dx
dx dytan
光滑连续条件
A
P
dx
C yA0,yBLB C
B
பைடு நூலகம் P
A
n
n
n
F ix0, F iy0, F iz0
i1
i1
i1
（2）空间力偶系的平衡方程空间力偶系的主矢恒等于零，所以独立的平衡方程为
n
n
n
M x(F i) 0 , M y(F i) 0 , M z(F i) 0
i 1
i 1
i 1
（3）空间平行力系的平衡方程

11-弹塑性力学-总结与复习

谢谢！
4．应力、应变图（主变形图）：应变3×应力9=27种组合实际： 23种组合，为什么？ 5．应力测量，应变花，τij？
总结与复习 (Summarization and Review)
四、弹性力学（542） 5组基本方程：
1. 应力平衡微分方程：含义：表征点的应力之间的关系（基体假设的
应用，平面问题的具体形式） 2．几何方程：含义：位移-应变的关系 3．物理方程：广义虎克定律含义：σ—ε关系 ①公式；②参数含义、关系 4．应变协调方程（相容方程，连续方程）：含义，平面问题的相容方程 P P P （塑性变形连续方程： 1 2 3 0 ） 5．边值方程：具体问题具体分析

区别：弹性变形特点、塑性变形特点(可逆性、与加载路线的关系、对组织与性能的影响、变形特点描述等) 联系：①量变→质变（韧性材料） e p ②弹塑性共存：（包含关系、材料加工工模具弹性变形与工件塑性变形共存）
总结与复习 (Summarization and Review)
六、断裂力学基础
5．应力强度因子：含义，影响因素，量纲
6．断裂韧度Kic（实验确定）,与试件几何（厚度）的关系：厚度→平面应力→塑区大→扩展需能↑→KC↑ 7．KIC：平面应变断裂韧度，材料常数，应与几何无关，但测量时应得保证试样足够厚，以保证裂纹尖端处于平面应变状态。
总结与复习
(Summarization and Review)
总结与复习 (Summarization and Review)
②主剪应力（110）；最大剪应力： max
1 3
2
③八面体应力（111）；如何求？有何意义？ ④等效应力：等效的含义，求解？

弹塑性力学基础

温加工
冷加工在不产生回复和再结晶温度以下
改善产品组织性能
降低金属变形抗力改善金属塑性提高强度
冷加工－退火表面光洁，尺寸精确，组织性能良好
加热温度变形终了温度变形程度冷却速度
冷变形及热变形
冷变形
变形温度低于回复温度时，金属在变形过程中只有加工硬化而无回复与再结晶现象，变形后的金属只具有加工硬化组织，这种变形称为冷变形。
继续提高变形速度，塑性又开始下降：随变形速度↑，变形抗力
升高，达到相应于更小变形程度下的断裂抗力之值。第二次上升：热效应起作用，温度↑ ，变形抗力下降。
第二次下降：热效应极大，把金属加热到出现液相或大大降
低其晶间物质的强度。
4.变形程度变形程度对塑性的影响，是同加工硬化及加工过程中伴随着塑性变形的发展而产生的裂纹倾向联系在一起的。在热变形过程中，变形程度与变形温度-速度条件是相互联系着的，当加工硬化与裂纹胚芽的修复速度大于发生速
4、具有纤维组织的金属，各个方向上的机械性能不相同。顺纤维方向的机械性能比横纤维方向的好。金属的变形程度越大，纤维组织就越明显，机械性能的方向性也就越显著。
使纤维分布与零件的轮廓相符合而不被切断；使零件所受的最大拉应力与纤维方向一致，最大切应力与纤维方向垂直。
实例：
当采用棒料直接经切削加工制造螺钉时，螺钉头部与杆部的纤维被切断，不能连贯起来，受力时产生的切应力顺着纤维方向，故螺钉的承载能力较弱(如图a示 )。当采用同样棒料经局部镦粗方法制造螺钉时(如图b示)，纤维不被切断且连贯性好，纤维方向也较为有利，故螺钉质量较好。
3）金属表面形成吸附润滑层，塑性↑
提高金属塑性的主要途径
提高塑性的主要途径有以下几个方面： (1)控制化学成分、改善组织结构，提高材料的成分和组织的均匀性； (2)采用合适的变形温度—速度制度；

弹塑性力学复习课件详解

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x
y
2u 2v
0 0
应力解法：Michell－Beltrami
(
)
z
2 w
0
4、解的唯一性：
2 ij
1
1
( I1 ),ij
1
fk ,kij ( fi, j f j ,i )
5、圣维南原理：掌握基本思想（注意局部性和静力等效性）
如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是在远处所受的影响可以不计。
1 E
(
r
r
1 G
r
6、具体问题的解法：半无限平面问题，园孔的应力集中。
能量原理
1、功能原理：应变能应变余能； 2、虚位移原理：导出平衡方程及边界条件；
虚位移原理：在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给予物体约束允
许的微小虚位移时，外力在虚位移上所做虚功等于物体的虚应变能。
3、最小总势能原理基本思想；与虚位移原理的比较；在给定外力作用下而保持平衡的弹性体，在满足位移边
5、极坐标里的3组方程组；
极坐标系下的平衡方程为
几何关系：
r r
r r
r
r
Fr
0
r r
r
2 r r
F
0
r
u r
1 r
v
u r
r
1 u r
v r
v r
r
1 2 E
( r
1
)
1 2 E
(
1
r ]
r
1 G
r
2(1 E
)
r

弹塑性力学总复习

《弹塑性力学》课程第一篇基础理论部分第一章应力状态理论1.1 基本概念1．应力的概念应力：微分面上内力的分布集度。

从数学上看，应力sPF s ∆∆=→∆0lim ν由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的正应力νσ和微分面上的剪应力ντ。

注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。

2．一点的应力状态（1）一点的应力状态概念凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。

物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。

（2）应力张量物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何描绘一点的应力状态的问题。

应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题。

在直角坐标系里，一点的应力张量可表示为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z zy zx yz yyx xz xy x ij στττστττσσ若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面ν上的应力矢量p就可以由以下公式求出：n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=（1-1’b ）n m l p z zy zx z σττν++=（1-1’c ）由式（1-1），还可进一步求出该微分面上的总应力p 、正应力νσ和剪应力v τ： 222z y x p p p p ++=（1-2a ）nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=（1-2b ）22ννστ-=p（1-2c ）（3）主平面、主方向与主应力由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分面上，只有正应力，而剪应力为零。

这样的微分面即称为主平面，该面的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为主应力。

主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：}{}]{[i n i ij n n σσ=（1-3）式中，][ij σ为该点应力张量分量构成的矩阵，n σ为主应力，}{i n 为主方向矢量。

弹塑性力学基本知识

2
面在 π 平面上的投影为圆形。根据式（18）可知，Mises 屈服条件的物理意义为：当材料的八面体剪应力达到一定值时，材料屈服；根据式（26）可知，Mises 屈服条件的物理意义也为：当材料的剪切应变能达到一定值时，材料屈服。注意，Mises 屈服条件考虑了中间主应力的影响，但也忽略了静水压力的影响。
0
则材料稳定，（2）加载面 f σ ij , ξ β = 0 外凸。这也可以由式（42）推出。（3）正交流动法则（ dλ 的物理意义：反映塑性应变增量的大小，称作比例因子。）：
P dε ij = dλ
(
)
∂f ∂σ ij ∂f s ∂σ ij
（43）
或： dε ij = dλs
P
（44）
p
得：
h=−
∂
( ∫ dε )
p
∂f
2 ∂f
∂f
3 ∂σ ij ∂σ ij
（60）
对于 Mises 材料，设材料等向硬化，且内变量为累积塑性应变，结合式（51），有：
2 ∂f
∂f
3 ∂σ ij ∂σ ij
=1
（61）
结合式（61），（59），（60），可得：
dλ = d ε p ； h =
( 2σ 2 − σ 1 − σ 3 )
当采用极坐标表示时，则有：
⎧ rσ = x 2 + y 2 = 2 J 2 ⎪ ⎨ y 1 ⎛ 2σ 2 − σ 1 − σ 3 ⎞ 1 μσ ⎪ tan θσ = = ⎜ ⎟= x 3 ⎝ σ1 − σ 3 3 ⎩ ⎠
z Tresca 屈服条件当 τ max =
（59）
结合式（43）和式（14），（注意：当屈服与静水压力无关，体积应力不产生塑性应变），可得：

弹塑性力学(工学专业工程硕士研究生)复习题

复习题一、选择题01．受力物体内一点处于空间应力状态（根据oxyz 坐标系），一般确定一点应力状态需（）独立的应力分量。

A ．18个；B ．9个；C ．6个；D ．2个；02．一点应力状态的最大（最小）剪应力作用截面上的正应力，其大小（）。

A ．一般不等于零；B ．等于极大值；C ．等于极小值；D ．必定等于零；03．一点应力状态主应力作用截面和主剪应力作用截面间的夹角为（）。

A ．π/2；B ．π/4；C ．π/6；D ．π；04．正八面体单元微截面上的正应力σ8为：（）。

A ．零；B ．任意值；C ．平均应力；D ．极值；05．从应力的基本概念上讲，应力本质上是（）。

A ．集中力；B ．分布力；C ．外力；D ．内力；06．若研究物体的变形，必须分析物体内各点的（）。

A ．线位移；B ．角位移；C ．刚性位移；D ．变形位移；07．若物体内有位移u 、v 、w （u 、v 、w 分别为物体内一点位置坐标的函数），则该物体（）。

A ．一定产生变形；B ．不一定产生变形；C ．不可能产生变形；D ．一定有平动位移；08．弹塑性力学中的几何方程一般是指联系（）的关系式。

A ．应力分量与应变分量；B ．面力分量与应力分量；C ．应变分量与位移分量；D ．位移分量和体力分量；09．当受力物体内一点的应变状态确定后，一般情况下该点必有且只有三个主应变。

求解主应变的方程可得出三个根。

这三个根一定是（）。

A ．实数根；B ．实根或虚根；C ．大于零的根；D ．小于零的根；10．固体材料受力产生了塑性变形。

此变形过程（）。

A ．必定要消耗能量；B ．必定是可逆的过程；C ．不一定要消耗能量；D ．材料必定会强化；11．理想弹塑性模型, 这一力学模型抓住了（）的主要特征。

A ．脆性材料；B ．金属材料；C ．岩土材料；D ．韧性材料；12．幂强化力学模型的数学表达式为σ=A εn ，当指数n=1时，该力学模型即为（）。

弹塑性力学讲义第十一章塑性力学基础知识（精品PDF）

截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ), 或
M EI
,
将应力与弯矩关系式 My 代入上式，可得 I
Ey
。
在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得
s Ey0
，
或
y0
s E
代入梁弹塑性弯曲时 M 的表达式
将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数）当软钢应力达到 A 点后，软钢有明显屈服（塑性流动）阶段。
经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为强化阶段，BC 段），但
强化阶段增幅较少。对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时，卸载将有
2 3
J
* 2
类似于e 的定义，在三维应力状态定义等效应变e：
1
e
2 3
J
* 2
2 3
1 2
eij
eij
2
2 3
eij
eij
2 3
1 2 2 2
3 2 3 1 2
1 2
1
2 3
x
y
2
y
z
2
z
x
23 2
2 xy
2 yz
2 zx
2
e 以发生塑性变形定义的量（由 1、2、3 定义）,在变形过程中的每一瞬时，发生应变增量（d1、d2、d3），则可定义瞬
对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同
的等效应力e