8-2-1第一换元积分法1习题
第一类换元积分法(一)
例 求 sin 2x dx.
解法1
sin2
x
dx
1 2
sin(2x)
d(2 x)
1 cos 2x C. 2
解法2 sin2x dx 2 sin x cos x dx
2 sin x d(sin x) sin 2 x C.
解法3 sin2x dx 2 sin x cos x dx
解
1 x2
sin
1 x
dx
sin 1 d 1 xx
cos 1 C. x
例 10 求
ex dx. 1ex
解
ex 1 ex dx
d(e x 1) ln(ex 1) C. ex 1
3.利用三角函数的恒等式.
例 11 求 tan xdx.
解
tan xdx
dx
a2 x2 (a x)(a x)
1 2a
(a x) (a x) (a x)(a x)
dx
1 2a
dx ax
dx ax
1 2a
d(a x) ax
d(a x) ax
1 ln a x C. 2a a x
第一类换元积分法(一)
1. 利 用 dx 1 d(ax b), a
3.利用三角函数的恒等式. 4.利用代数恒等式
一、原函数的定义 二、不定积分的定义 三、基本积分公式 四、不定积分的性质
引例：
求
sin2 x cos xdx.
换元法积分法1
1 x2
dx
d
(
1 x
)
注：1.凑微分法适用于被积表达式呈 f [(x)](x)dx
的积分；
两部分相乘的形式
2.用凑微分法关键在于把被积函数适当地分成繁简
两部分，并将简单部分凑成繁的部分的导数形式。
练习：1. (2x 1)15 dx
2.
1 3x
2
dx
4.1
x x2
dx
5.
在一般情况下：
设 F(u) f (u) ，则 f (u)du F(u) C.
如果 u (x) （可微）
dF[(x)] f [(x)](x)dx
f [(x)](x)dx F[(x)] C
[ f (u)du]u(x)
由此可得换元法定理:
2.x dx 1 d (x1)
1 exdx d (ex )
cos xdx d (sin x)
6. 1 sin 2
x
dx
d
(
ctgx )
1 dx d( tgx) cos2 x
7.
1 1
x2
dx
d
(arcsin
x)
1 dx d(arctgx) 1 x2
例：填写空白，使下列等式成立
定理：设f(u)有原函数，u (x)可导，则有
u (x)
f [(x)](x)dx
[
(x)dx du
f (u)du]u(x)
凑微分
注：1.虽然 f [(x)](x)dx 是一个整体符号，但其
中的dx可以看成是x的微分，从而等式(x)dx du
可以应用到积分的表达式当中。
第五章 2-1 第一类换元法
步骤: (1)凑微分；(2)换元求出积分； (3)代回原变量。
例 求 sin 2 xdx .
sin u du
1 解 sin 2 xdx sin 2 xd ( 2 x ) 2
(4). 有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分. 例.
dx x ln x ln ln x
d (ln x ) d (ln ln x ) ln | ln ln x | C. ln x ln ln x ln ln x
(5) 常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
令u 2x
1 1 sin udu cos u C 2 2 1 cos 2 x C ; 2
1 dx. 例 求 2x 3
1 udu 1 1 令2 x 3 u 1 1 d (2 x 3) du 解: 原式 2 2x 3 2 u 1 1 l n u C ln 2 x 3 C . 2 2 ( x) u f [ ( x )] ( x )dx f (u)du
第二节 第一换元积分法
通过问题驱
动的方式引
导学生主动
进行课堂小
结，在总结
锻炼学生总
结归纳能
力。
课 堂练 习（20 分
钟）
与学生共同形成课堂小结：
分钟）
分的性质进行简单的凑微分计 计 算 例 题 中
算
的各类不定
积分，并总
例 1：求不定积分 ���2���
结其中出现
例 2：求不定积分
的一些数学
3
计算方法，
x 2e x dx
如 恒 等 变
形，巧妙配
例 3：求不定积分
方换元，三
e x
角函数公式
x dx
的应用等。
根据基本积
分表和不定
积分的性质
进行简单的
2. 第一换元积分法的概念（20 分钟）
教学内容
3. 第一换元积分法的例题讲解（40 分钟）
4. 第一换元积分法的课堂练习（20 分钟）
5 .课堂小结（5 分钟）
重点难点
重点：第一换元积分法；
难点：会用第一换元积分法求函数的不定积分。
课前预习
课前任务
教师活动
布置学习任务，
为讲授新课做准
备，并达到预习
知识的效果。
任务 1：复习不定
积分的概念及求
简单不定积分的
方法。
任务 2 ：预习第
一还原积分法，
尝试理解其思想
1.发布课前学习任务
2. 观察统计学生完成情况，并
根据学生都得留言反馈对教学
进行针对性微调
课中学习
学生活动
信息化手段计
按照教师发
利用学习通发布学习
布要求，完
任务，并形成数据统
换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
课件：2 第一换元积分法(1)
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C.
2
1
(1)
f (ax b)dx a
d(ax b)
例3 计算
x(1
1 2ln
x
dx. )
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2ln
d x
(1
2ln
x)
u 1 2 ln x
1 2
1 du u
1 2
1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 ln x a C. 2a x a
例8 计算
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x dx
1
ex 1
e ex
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
ex
dx 1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
dx
1 sin2
x
dx
cos sin2
x x
dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos4 xd (sin x )
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
第一类换元法
证 设 Φ(t )为f [ψ (t )]ψ ′(t )的原函数,
令 F (x) = Φ(ψ −1(x))
则 F ′( x) = dΦ ⋅ dt = f [ψ (t)]ψ ′(t) ⋅ 1
dt dx
ψ ′(t)
2009-12-15
换元积分法（45）
26
解（三） ∫ sin 2xdx = 2∫ sin x cos xdx
= −2∫ cos xd(cos x) = − cos2 x + C.
2009-12-15 P207, T2(5)
换元积分法（45）
5
例2
求
∫
3
1 +2
dx. x
解
3
1 +2
x
=
1 2
⋅
3
1 +2
x
⋅
(3
+
2
x)′,
∫
3
1 +2
dx x
∫
a2
1 +
x 2 dx
=
1 a2
∫
1
1
+
x a2
2 dx
=
1 a
∫
1
+
1 ⎜⎛ x
⎞⎟
2
d
⎜⎛ ⎝
x a
⎟⎞ ⎠
=
1 a
arctan
x a
+
C.
⎝a⎠
2009-12-15
换元积分法（45）
9
∫ 例6
求
x2
−
1 8x
+
dx. 25
解
第一类换元积分法
ln 2 x C 2
第二节 换元积分法
第四章 不定积分
第二节 换元积分法
例9、 sin2x cosxdx
例10、 2
sin x cos
x
dx
解：原式
u sin x
sin2xd sin x 解：原式
u 2du
1 (sin x)dx 2 cos x
1 u3 C 3
2
1 ( cos u) C 2
（4）u还原为x
1 cos(2x 3) C 2
1 4
sin
udu
1 ( cosu) C 4
1 cos(4x 5) C 4
第四章 不定积分
第二节 换元积分法
凑微分公式1：dx 1 d(ax b) a
例4、e5x3dx
练习2： e6x2dx
（1）凑微分
第二节 换元积分法
凑微分公式2：xdx 1 d(x2 b) 2
例6、xex2 2dx
凑微分公式 2：xdx 1 d (a x2 b) 2a
例7： xe3x2 2dx
（1）凑微分
解：原式 1 ex22d (x2 2) 2 （2）换元
1 2
eu du
（3）查积分公式写结果
解：原式 1 e3x2 2d (3x2 2) 6
2、利用微分公式凑微分
exdx dex
1 x2
dx
d
1 x
sin xdx d cos x
1 dx d x
cos xdx d sin x 2 x
1 dx d ln x x
2xdx dx2
第四章 不定积分
二、小结与布置作业 第一类换元积分法
熟背不定积分的基本公式， 勤做题，善积累，练就一双 火眼金睛，找出相应公式。
不定积分的第一类换元积分法
第二节 不定积分的换元积分法
第一类换元法. 第一类换元法.
3
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铃
一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有
f[j(x)j](x)dx[ f(u)du]uj(x)
(1)
证 因 [F(j(x)])F(j(x))j(x)
结束
铃
例12Hale Waihona Puke 求11 e
x
dx
解 法一
1 1 ex
dx
1 e x
1ex
e
x
dx
11exex dx
dx ex dx 1ex
dx
1
1ex
d(1ex)
u = ex
exdxd(ex)
xln1(ex)C
12
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例9
x
1 x4 dx
1
2
1 1(x2)2
d
(x2)
1dxd(lnx) x xdx1d(x2)
2
1arctax2n)(C. 2
10
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铃
jj jjj f [ ( x ) ( x ) ] d x f [ ( x ) d ( x ] ) ,u ( x ) ?
例 4 . x 1 x 2 d 1 2 x 1 x 2 ( 1 x 2 ) d 1 2 x 1 x 2 d ( 1 x 2 ) u2x.
第一换元积分法与第二换元积分法
例2 计算
3
1 dx. 2x
解
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2x
)dx
1 2
3
1 2x
d
(
3
2
x)
32 xu
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C. 2
例3 计算
x(1
1 2
ln
dx. x)
解
Hale Waihona Puke x(11 2ln
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x
)
u 1 2ln x
1 2
1 du u
1 ln u 2
C
1 ln1 2
2 ln
x
C.
例4 计算
(1
x x
)3
dx
.
解
(1
x x
)3
dx
x 11 (1 x)3 dx
x a
1 arctan a
x C. a
作为公式
练习题
x
2
1 8x
dx. 25
练习题
1
x
2
第一换元积分法(凑微分法)
π π 作三角变换，令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x
2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解 令 x a tan t t ，则dx a sec 2 tdt． 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C ． 所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法．
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对 于 x t , 要 求 其 单 调 可 导 ， t 0, 且 其 反 函 数 t 1 x 存在．下面通过一些例子来说明．
例 2
解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 xdx d( x 2 ) ．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
求 2 xe dx ．
x2
x2
2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2
解
设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4
解
dx 求 ． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1
一第一类换元积分法
则 x 1，t2 dx， 2tdt
于是
2
1 dx x 1
1 2
t
2tdt
2
t
2 2t
2
dt
2
dt
4
1 2
dt t
2t
4
ln(2
t)
C
2 x 1 4 ln(2 x 1) C
例18 求 a2 x2 dx
解：设 x a sin t, t
22
，t 则arcsin x a
a2 x2 a 1 sin2 t a cost, dx a costdt
代入被积表达式，得
a2 x2 dx
a cos t a cos tdt a2
1 cos 2tdt 2
a2
(
dt
cos 2tdt) a2 t a2 sin 2t C
2
24
由 x asin t cos得t a2 x2
a
sin，t 与 ax
,
t
arcsin
x a
一起
代入，得
a2
dt
t
1 1
t
1 1
dt
t
1d 1
(t
1)
t
1d 1
(t
1)
ln(t 1) ln(t 1 C)
ln t 1 C ln ex 1 1 C
t 1
ex 1 1
元积分公式
f (x)dx f [ (t)] (t)dt t (x)
其中 t 为(x) x的反函(t数) 。
例17
求 2
1 dx x 1
解：基本积分公式表中没有公式可提供本题直接套用，
凑微分也不容易，本题的困难在于被积函数中含有根
一元函数积分学
第三章 一元函数积分学（28学时）微积分是微分学与积分学的总称。
一元函数积分学将研究两个基本问题――不定积分与定积分。
由于许多实际问题需要解决和求导问题相反的问题，即某个函数的导数已知，要求这个函数，由此引出了原函数和不定积分的概念；同时，在许多实际问题中，一些量的计算，往往可以归结为其微小量的无穷累加问题，由此引出定积分的概念。
本章先介绍不定积分的概念及计算方法，然后介绍定积分的概念、计算方法及其在几何学和物理学中的一些应用。
具体的要求如下： 1．理解不定积分和定积分的概念及性质。
2．掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。
3．会求简单的有理函数的积分。
4．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton ）-莱布尼兹（Leibniz ）公式。
5．了解广义积分的概念。
6．了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。
7．掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法。
§3-1 不定积分的概念及其计算法概述定义1：若在区间I 内，F ’(x)=f (x)，或()()dF x f x dx =，则称F(x)为f (x)的原函数。
如：x x cos )'(sin =，则sin x 是cos x 的原函数34)'41(x x =，则441x 是3x 的原函数关于原函数的三个问题：1． 原函数的存在定理；2． 原函数有无限多个（某些函数原函数存在的话） 3．任意两个原函数只差一个常数定义2：函数f (x)的全体原函数，称为f (x)的不定积分，记为⎰dx x f )(。
其中，“⎰”称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数——它是任意常数。
性质1：常量因子可以提到积分号的外面；性质2：求导运算与求不定积分运算是互逆运算。
证：设)()('x f x F =。
第一换元积分法(一)
C
2
；
sin
x
； C
（5） （6）
1 d (1 x2 1 x2
1 d（ln x） ln2 x
) ln(1
1 C ln x
x2
)
C
．
；
二、 第一换元积分法（凑微分法）
例1 求 sin 2xdx
解： sin
2
xdx
1 2
2 sin
2
xdx
凑微分 1
换元
2 sin 2xd(2x) 令2x u
3.3.1 第一类换元积分法
课前复习
一、基本积分公式（熟记）
二、直接积分法求不定积分的具体方法和技巧
（1）化 x 型 （4）三角恒等变形
（2）先展后积 （3）先约后积
（5）拆项：①假分式=整式+真分式 ②按分母的因式拆项
作业解析：P124 2题
解： (2) (3x ex 3sin x 1)dx
23
x3
(6)
x3 x
3
dx
5
x 2 dx
xdx
3
1 dx x
2
7
x2
1
x2
6
x C
72
(8)
cos2
x 2
dx
1
cos 2
xdx
1 2
dx
1 2
cos
xdx
cos 2x 2cos2 x 1
1 x 1 sin x C 22
(10)
微积分第一类换元法
d
(cot
x),
1 cos2
x
dx
d
(tan
x).
例7 求 sin 2xdx.
解（一）
sin
1 2
2 xdx
sin 2
1 2
xd (2
sin 2x(2x)dx
x) 1 cos 2x 2
C;
解（二） sin 2xdx 2 sin xcos xdx 2 sin x(sin x)dx
x
C.
类似可证: cot xdx ln sin x C.
例12 求 csc xdx.
解（一） csc xdx
1 sin
x
dx
2
sin
1 x cos
x
dx
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x
d
2 tan
x 2
1 4
x
1
dx 3
1 ln 4
x 1 x3
C.
P.125 例3(1)
(1)
x2
x2
2x
dx 3
解 (x2 2x 3) 2x 2,
x 2 1 (2x 2) 1 1 (x2 2x 3) 1,
2
2
原式 1
2
(
x2 x2
dx 1 d(ax b), a
1 dx d(ln x), x
1 dx 2d ( x), x
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
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§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
例4 sin x x dx sin
x
1 x
dx
2sin
x 1 dx 2x
2sin x d x
2 sin x d x 2cos x C
例5 e2xdx 1 e2xd 2x 1 e2x C
2
2
例6
xsin x2dx sin x2 xdx 1 sin x2 d (x2 ) 2 1 cos x2 C 2
x
|
C
ln
|cosx源自|C(cos x)' sin x, d(cos x) sin xdx, sin xdx d(cos x)
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
例9
cot
xdx
cos sin
xdx x
cos xdx sin x
d sin x sin x
• 【注】
d sin x sin x
ln
|
sin
x
|
C
ln
|
sin
x
|
C
(sin x)' cos x, d (sin x) cos xdx, cos xdx d (sin x)
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
4.掌握适当拆项，凑项的技巧
分部积分法
cos4 xdx
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
1 (
cos 2
2
x
)2dx
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
例8
tan
xdx
sin cos
x dx x
sin xdx cos x
d cos cos x
x
d cos x cos x
• 【注】
d cos x cos x
ln
|
cos
7)9
1 5
d
(5x
7)
1 5
(5x
7)9
d
(5x
7)
1 5
(5x
7)9d
(5x
7)
1 1 (5x 7)10 C 1 (5x 7)10 C
5 10
50
• 【注】
(5x 7)' 5, d (5x 7) 5dx, dx 1 d (5x 7) 5
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
分部积分法
例10
x2
1
a2
dx
(x
1 a)( x
dx a)
1 2a
x
1
a
x
1
a
dx
1 2a
x
1
dx a
x
1
dx a
1 ln | x a | ln | x a | C
d (x2 1) 1 4 (x2 1)2 8
d (x2 1)
1
x2 2
1
2
1 4
d
x2 2
1
1
x2 2
1
2
1 arctan( x2 1) C
4
2
数学分析 第八章 不定积分
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§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
2.函数外比函数内低一次的 ，把函数外的凑 入微分号，凑成函数内的形式；
F ((x)) C
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§2 换元积分法与分部积分法
方法
换元积分法
拆
g(x)dx
f (x)(x)dx
分部积分法
凑 f (x)d(x)
换
积
代
令 u (x) f (u)du
F(u) C
F (x) C
u (x)
“拆，凑，换”
➢步骤 g(x)dx
f (u)du
求出原函数：
g(x)dx f ((x)) '(x)dx f ((x))d(x) f (u)du F (u) C
（5）将 u (x) 代入上面的结果，回到原来的积 分变量得：
g(x)dx f ((x)) '(x)dx f ((x))d(x) f (u)du F (u) C
不好积
好积
➢关键 拆项 凑积分因子
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§2 换元积分法与分部积分法
技巧
换元积分法
分部积分法
1.分子比分母低一次的，把分子凑入微分号， 凑成分母的形式；
4
x x3
2
dx 5
1 12
1 4x3
d (4x3 5
5)
数学分析 第八章 不定积分
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§2 换元积分法与分部积分法
x cos(x2 )dx 1 cos(x2 )d x2 2
x2 (x3 4)7 dx 1 (x3 4)7 d (x3 4)
3
数学分析 第八章 不定积分
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§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
例3 • (5x 7)9dx (5x 7)9 dx
(5x
1
dx
(x 1)(x 2)
拆
[
(x
1
2)
(
x
1 1)
]dx
4x3
x2 1 dx
拆
4x(x2 1）- 4x x2 1 dx
1
sin2 x cos2 x dx
凑
sin 2 sin
x cos 2 x cos2
2x x
dx
数学分析 第八章 不定积分
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§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
换元积分法
分部积分法
例1
2xdx x4 2x2 2
2xdx x4 2x2 2
d(x2) x4 2x2 2
d (x2 1) 1 (x2 1)2
arctan(x2 1) C
例2 x4
xdx 2x2
5
1 2
x4
2xdx 2x2
5
1 2
d(x2) x4 2x2 5
1 2
数学分析 第八章 不定积分
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§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
3. 只含有三角函数的，通常要降次，或者直 接将部分项凑入微分号
cos x
sin3
dx x
1
sin3
d x
sin
x
tan7 x sec2 xdx tan7 xd tan x
sec5 x tan3 xdx sec4 x tan2 xd sec x
g(x) dx f ((x)) '(x)dx
• (2)凑微分：
g(x)dx f ((x)) '(x)dx f ((x)) d(x)
• (3)作变量代换 ：
u (x)
f (u)du
数学分析 第八章 不定积分
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§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
（4）利用基本积分公式 f (u)du F (u) C
数学分析 第八章 不定积分
§2 换元积分法与分部 积分法
不定积分是求 导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的 链式法则, 不定积分有 换元积分法.
第一换元积分法
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§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
第一换元法的具体步骤如下：
• (1)变换被积函数的积分形式：