江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题
【高三数学试题精选】2018年高三数学高考前模拟试题(附答案徐州市)
2018年高三数学高考前模拟试题(附答案徐州市)
5 徐州市2矩阵与变换](本小题满分10分)
设,,试求曲线在矩阵变换下的曲线方程.
c.[选修4-4坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,已知点为圆上任一点.求点到直线的距离的最小值与最大值.
D.[选修4-5不等式选讲](本小题满分10分)
已知为正数,且满足,求证.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出字说明、证明过程或演算步骤22.过直线上的动点作抛物线的两切线,为切点.
(1)若切线的斜率分别为,求证为定值;
(2)求证直线过定点.
23.已知.
⑴求及;
⑵试比较与的大小,并说明理由.
徐州市2018年高考考前信息卷
数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、填空题1. 2.3 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13.9 14.
二、解答题
15.⑴由,得.......................................................2分因为,,所以, (4)
分
所以,
所。
高三数学-2018徐州市高三质量调研卷[含解答]江苏 精品
2018年2月徐州市高三质量调研卷数 学 试 题班级 学号 姓名 得分 2018-3-21一. 选择题:(题共12小题, 每小题5分,共60分)1. 函数x 2x )x (f 2-=的定义域为}2,1,0{ , 则该函数的值域为 ( ) A. }1,0,1{ - B. }0,1{ - C. }1y 0|y {≤≤ D. }0y 1|y {≤≤-2. 已知4cot tan =α+α, 则α2sin 等于 ( )A.41 B. -41 C. 21 D. -21 3. 圆2)2y ()2x (22=++-截直线05y x =--所得弦长为 ( )A.6 B.225 C. 1 D. 5 4. 若曲线x x y 4-=在点P 处的切线平行于直线x 3y =, 则点P 的坐标为 ( )A. )0,0(B. )2,1( -C. )3,1(--D. )0,1(5. 已知实数a 和2b 的等差中项是5, 2a 和b 的等差中项是4, 则a 和b 等差中项是 ( ) A. 9 B. 3 C. 29 D. 23 6. 线性目标函数y x 2z +=在约束条件⎩⎨⎧≤≤1|y |1|x | 下, 取得最小值时的最优解是 ( )A. )1,1(B. )1,1( -C. )1,1(--D. )1,1(-7. 已知向量a )1,2(-=, b )3,x (-= , 且a ⊥b , 则实数x 等于 ( ) A. 23- B. 23 C. 61D. 68. 从10名女生, 5名男生中选出6名学生组成课外小组, 如果按性别比例分层抽样, 那么不同的抽 取方法种数为 ( )A. 25410A A ⋅B. 615CC. 35310C C ⋅D. 25410C C ⋅9. 抛物线2mx y =的焦点在直线01y x 2=--上, 则m 的值为 ( )A. -4B.41-C. 41-或4D. 41或-4 10. 已知函数1)2x (f y --=是奇函数, 则函数)x (f y =的图象关于 ( )A. 直线2x -=对称B. 直线2x =对称C. 点)1,2(-对称 D. 点)1 ,2(- 对称 11. 已知函数x 2)x (f =的反函数为)x (f y 1-=,若4)b (f )a (f 11=+--,则b4a 1+的最小值为( )A. 45B. 49C. 169 D. 112. 已知函数)R x ()x (f ∈ 的图象如图所示, 则函数)1x 1x (f )x (g -+= 的单调递减区间是 ( )A. ),1(],0,(∞+-∞B. ),3[],0,(∞+-∞C. ),1(,)1,(∞+-∞D. )1,1[-二. 填空题:(本大题共4小题;每小题4分,共16分)13. 已知n3)a1a 2(+的展开式中的常数项是第七项, 则正整数n 的值为 . 14. 已知双曲线中心在坐标原点, 一个焦点坐标为)0,5( , 一条渐近线方程为x 2y =, 则双曲线的标准方程为 .15. 如果函数)5x 6x (log )x (f 25.0-+-=在区间)1m ,m (+ 上是减函数,那么实数m 的取值 范围是 .16. 下图是某企业2000年至2018年四年来关于生产销售的一张统计图表 (注: 利润=销售额-生产成本). 对这四年有以下几种说法:(1) 该企业的利润逐年提高; (2) 2000年—2001年该企业销 售额增长率最快;(3) 2001年—2018年该企业生 产成本增长率最快;(4) 2018年—2018年该企业利 润增长幅度比2000年—2001年 利润增长幅度大.其中说法正确的是 (注:把你认为正确的说法序号都 填上).三. 解答题:(本大题6小题,共74分)17.(本题12分)已知函数b lg x )2a (lg x )x (f 2+++=满足2)1(f -=-且对于任意R x ∈, 恒有x 2)x (f ≥成立. (1) 求实数b ,a 的值; (2) 解不等式5x )x (f +<.18. (本题12分) 美国蓝球职业联赛(NBA)某赛季的总决赛在湖人队与活塞队之间进行, 比赛采取 七局四胜制, 即若有一队胜四场,则此队获胜且比赛结束. 因两队实力非常接近,在每场比赛 中每队获胜是等可能的.据资料统计, 每场比赛组织者可获门票收入100美元. 问: (1) 组织者在此次决赛中获门票收入恰为400万美元的概率为多少? (2) 组织者在此次决赛中获门票收入不少于600万美元的概率为多少?19. (本题12分) 已知函数)x cos()x sin()x (f θ-+θ+=的定义域为R.(1) 当2π=θ时, 求)x (f 的单调递增区间; (2) 设)2,0[π∈θ , 若)x (f 为偶函数, 求θ的值.20.(本题12分)已知各项为正数的数列}a {n 的前n 项和为n S , 且满足0S 2a a n n 2n =-+. (1) 求数列}a {n 的通项公式;(2) 若,b a c ),2n (0b b 2,1b n n n 1n n 1⋅=≥=-=- 数列}c {n 的前n 项和为 n T , 求证: .4T n <21. (本题12分) 如图, 在直角梯形ABCD 中, AD ∥BC, DA ⊥AB, 又AD =3, AB =4, BC =3, E 在线段AB 的延长线上. 曲线DE (含两端点) 上任意一点到A 、B 两点的距离之和都相等. (1) 建立适当的坐标系, 并求出曲线DE 的方程;(2) 过点C 能否作出一条与曲线DE 相交且以C 点为中心的弦? 如果不能, 请说明理由; 如果 能, 请求出弦所在直线的方程.22. (本题14分)已知定义在实数集R 上的奇函数)x (f 与偶函数)x (g 满足: x a )x (g )x (f =+ (0a >, 且1a ≠).(1) 求证: )x (g )x (f 2)x 2(f ⋅=;(2) 设)x (f 的反函数为)x (f 1-, 当12a -=时, 试比较)]x (g [f 1-与-1的大小, 并证明你 的结论;(3) 若1a >, n 为正偶数, 试比较)n (f 与)1(nf 的大小, 并证明你的结论.2018年2月徐州市高三质量调研卷数学试题(答卷纸)班级学号姓名得分(每小题4分,共16分)13. ; 14. ;15.;16. ;三. 解答题(共74分)17.(本小题满分12分)解:18.(本小题满分12分)解:20.(本小题满分12分)解:数 学 参 考 答 案(每小题4分,共16分)13. 8 ; 14. 14y x 22=-; 15. ]2,1[; 16. (2) (3) (4) ;三. 解答题(共74分) 17.(本小题满分12分)解: (1)由,2)1(f -=-知, ,01a lg b lg =+-…① ∴.10ba=…②……(2分)又x 2)x (f ≥恒成立, 有0b lg a lg x x 2≥+⋅+恒成立, 故0b lg 4)a (lg 2≤-=∆……(4分) 将①式代入上式得: 01b lg 2)a (lg 2≤+-, 即,0)1b (lg 2≤-故1b lg =, 即10b =,代入②得,100a =……(8分)(2),1x 4x )x (f 2++= ,5x )x (f +<即,5x 1x 4x 2+<++ ∴,04x 3x 2<-+解得: 1x 4<<-, ∴不等式的解集为}1x 4|x {<<-……(12分) 18.(本小题满分12分) 解: 由题意, 每场比赛两队获胜的概率均为21.……(2分) (1) 组织者获门票收入恰为400万美元, 故只比赛4场, 即某一队前四场全胜, ……(3分) 其概率为: .81)21(24=⋅……(6分) (2) 门票收入不少于600万美元, 即至少比赛6场. 比赛6场, 即某队前5场胜3场且第6场胜,其概率为: 1652521)21()21(C 242335==⨯⨯.……(9分) 比赛7场, 即某队前6场胜3 场且第7场胜, 其概率为:16521)21()21(C 23336=⨯⨯⋅.∴至少胜6场的概率为:85165165=+. ……(11分) 答: 组织者在比赛中获门票收入恰为400万美元的概率为81, 组织者在此次决赛中获门票收入不少于600万美元的概率为85.……(12分) ( 注: 两问未乘以2的各扣2分)19.(本小题满分12分)解: (1) 当2π=θ时, )4x sin(2)2x cos()2x sin()x (f π+=π-+π+=……(3分) 由,Z k ,2k 24x 2k 2∈π+π≤π+≤π-π知,Z k ,4k 2x 43k 2∈π+π≤≤π-π ∴)x (f 的单调递增区间是]4k 2,43k 2[π+ππ-π Z k ∈, ……(6分) (2) ∵)x (f 为偶函数, ∴对任意,R x ∈有),x (f )x (f =-∴)x cos()x sin()x cos()x sin(θ-+θ+=θ--+θ+-……(8分)∴,0sin x sin 2cos x sin 2=θ⋅+θ⋅∴ ,0)4sin(x sin 22=π+θ⋅……(10分)∵不恒为0, ∴,0)sin(=π+θ 又)2,0[π∈θ , ∴3π=θ或7π=θ (12)20.(本小题满分12分)解: (1)由0S 2a a n n 2n =-+, 知)a a (21S n 2n n +=, 当2n ≥时, )a a (21S 1n 21n 1n ---+=, ∴),a a a a (21a 1n 21n n 2n n ----+=……(3分) ,0a a a a 1n 21n n 2n =----- ,0)1a a )(a a (1n n 1n n =--+--∵}a {n 各项为正, ∴.1a a 1n n =--又1a 1=,∴)N n (n a n *∈= .……(6分)(2)由1b 1=, ),2n (0b b 21n n ≥=-- 知}b {n 是首项为1, 公比为21的等比数列. ∴,)21(b 1n n -=∴,)21(n c 1n n -⋅=……(8分)∴1n 2n )21(n )21(32121T -⨯++⨯+⨯+= ……①n 32n )21(n )21(3)21(221T 21⨯++⨯+⨯+= ……②……(10分) ①-②得,)21(n 211211)21(n )21()21()21(211T 21n n n 1n 32n ⨯---=⋅-+++++=- ∴.4)21(n 2)21(44T nn n <⨯-⨯-=……(12分)21.(本小题满分12分)解: (1)如图, 以AB 所在直线为x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由题意, 曲线DE 是椭圆上的一段弧. ……(2分))0,2(A -, )0,2(B , )3,2(D -, )32,2(C ,∴,4|)BD ||AD (|21a ,2c =+==222c a b -=12=,∴曲线DE 的方程为:,112y 16x 22=+ )32y 0,4x 2(≤≤≤≤- .……(6分)注:曲线方程中写0y ,2x≥-≥ 不扣分未写或写错范围的扣1分(2)假设存在直线l 与曲线DE 交于点)y ,x (N ),y ,x (M 2211 , 由,48y x 348y x 322222121⎪⎩⎪⎨⎧=+=+ 得.0)y y )(y y (4)x x )(x x (321212121=-++-+又⎩⎨⎧=+=+32y y 4x x 2221∴23y y x x 43x x y y k 212121211-=++⋅-=--=, ∴l 方程为),2x (233y --=- 即.32x 23y +-=……(9分)由,112y 16x 32x 23y 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=解得)0,4(N ),32,0(M 均在曲线DE 上.故所求的直线方程为: .32x 23y +-=……(12分) 注: 求出M 、N 点坐标而未说明在曲线DE 上的, 扣1分.22.(本小题满分14分)解:(1) ∵,a )x (g )x (f x =+∴.a )x (g )x (f x -=-+-∵)x (f 是奇函数,)x (g 是偶函数,∴,a )x (g )x (f x -=+-……(2分) ∴2a a )x (f x x --=, 2a a )x (g xx -+=, ∴),x 2(f 214a a 2a a 2a a )x (g )x (f x 2x 2x x x x =-=-⋅-=⋅--- ).x (g )x (f 2)x 2(f ⋅=……(4分)(2) ∵,112a 0<-=<∴x 1a y =是),(∞+-∞ 上的减函数, x 2a y -=是),(∞+-∞上的增函数, ∴2a a )x (f xx --=是),(∞+-∞ 上的减函数,且值域为),(∞+-∞ , 由反函数及函数的单调性的概念得: )x (f 1-是),(∞+-∞ 上的减函数. ……(6分) 又∵,12)12()12()1(f 1=---=--1a a 2a a )x (g x x x x =⋅≥+=--, ∴),1(f )]x (g [f 11--≤又,1)1(f -=-∴.1)]x (g [f 1-≤-……(8分) (3))]a a (n )a a [(212a a n 2a a )1(nf )n (f 1n n 1x x -------=-⋅--=- )]a a (n )a a a a a a a )(a a [(211)1n ()2n (12n 1n 1-----------⋅+⋅+⋅+-= ……(10分) )n a a a a a a )(a a (21)1n ()2n (12n 1n 1-+⋅+⋅+-=-------- ……(12分) ∵1a >, ∴,0a a 1>--2aa )1n (1n >+---,2a a a a )2n (12n >⋅+⋅----,… ∴n 22n a a a a a a )1n ()2n (12n 1n =⨯>+⋅+⋅+------- ∴,0)1(nf )n (f >>即).1(nf )n (f >……(14分)。
江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学
0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置 作答一律无效。
5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合 A { 1,2,3} , B {2,3,4} ,则集合 A B 中元素的个数为 ▲ .
x2 8.若双曲线 a2
y2 1
4a 2 的离心率为
3 ,则实数 a 的值为
▲ .
9.设 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和,若 a1 +a3 a5 a7 a9
10 ,a82 a2 2 =36 ,则 S10 的值为 ▲ .
10.函数 f ( x) Asin( x 的值为 ▲ .
)( A 0,
切点为 T ,若 PA 2PT ,则实数 k 的取值范围是 ▲ .
13.如图,在梯形 ABCD 中, AB // DC ,
D
C
AB 4, AD 2, BAD
且
3 , E 为 BC
的中点,若 AE DB 9 ,则对角线 AC
E
A
B
(第 13 题)
的长为 ▲ .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
14.若关于 x 的不等式 x3 3x2 +ax b 0 对
3
3.
( 1)求 tan B ;
( 2)若 a2 b2 7 ,求 c 的值 .
16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中.
H01徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题
徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置........ 1.已知集合{1,2,3}A =,{2,3,4}B =,则集合AB 中元素的个数为 .2.已知复数2(12i)z =-(i 为虚数单位),则z 的模为 .3.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人,则该校学生总人数为 .4.运行如图所示的伪代码,其结果为 .5.从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素,则这两个元素之和为奇数的概率是 .6.若函数4()2x xaf x x -=⋅为奇函数,则实数a 的值为 .7.不等式2221xx --<的解集为 .8.若双曲线222142x y a a -=-的离心率为3,则实数a 的值为 . 9.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若13579+10a a a a a +++=,2282=36a a -,则10S 的值为 .10.函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示,则(1)(2)(2018)f f f +++的值为 .11.已知正实数,m n 满足+3m n =,则22+1++1m n m n 的最小值为 .12.已知圆22:(2)2C x y -+=,直线:(2)l y k x =+与x 轴交于点A ,过l 上一点P 作圆C 的切线,切点为T ,若2PA PT =,则实数k 的取值范围是 . 13.如图,在梯形ABCD 中,//AB DC ,且AB=4,AD=2,4,2,3AB AD BAD π==∠=,E 为BC 的中点,若9AE DB ⋅=,则对角线AC 的长为 .14.若关于x 的不等式323+0x x ax b -+<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立,则实数a 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区......域内作答....,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.S ←0For I From 1 To 9 S ←S + I End For Print S(第4题)AD BCE(第13题)已知在ABC △中,角A B C ,,所对的边分别为,,a b c .若16cos ,sin 33A C ==.(1)求tan B ;(2)若227a b +=,求c 的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中.(1)若AD ⊥平面PAB ,PB PD ⊥,求证:平面PBD ⊥平面PAD ; (2)若AD ∥BC ,2AD BC =,E 为PA 的中点,求证:BE ∥平面PCD .17.(本小题满分14分)如图(1)是一个仿古的首饰盒,其横截面是由一个半径为r 分米的半圆,及矩形ABCD组成,其中AD 长为a 分米,如图(2).为了美观,要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米,容积为4立方分米(不计厚度),假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关,下半部分的制作费用为每平方分米1百元,上半部分制作费用为每平方分米2百元,设该首饰盒的制作费用为y 百元.(1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)当r 为何值时,该首饰盒的制作费用最低?如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为12A A ,,上顶点为(0,1)B ,且椭圆的离心率为32.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点,直线12A B A P ,交于点Q ,直线BP 与x 轴交于点R ,记直线2A Q RQ ,的斜率分别为12k k ,.求证:212k k -为定值.19.(本小题满分16分)已知无穷数列{}n a 满足12n n a a ++=,n S 为其前n 项和. (1)若12a =-,求4S ;(2)若10a >,且123,,a a a 成等比数列,求1a 的值;(3)数列{}n a 是否能为等差数列?若能,求出满足条件的1a ;若不能,说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数()ln ,f x x ax a a =-+∈R . (1)若1a =,解关于x 的方程()0f x =; (2)求函数()f x 在[]1,e 上的最大值;(3)若存在m ,对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-,试确定a 的所有可能值.徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题........,并在相应的答题区域.........内作答...,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,四边形ABCD 内接于圆O ,弧AB 与弧AD 长度相等,过A 点的切线交CB 的延长线于E 点.求证:2AB BE CD =⋅.B .[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵12a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 的一个特征值为2λ=-,其对应的特征向量为12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α,求矩阵A 的逆矩阵.C .[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为242sin(+)104ρρθπ--=,已知3(1,)2P π,Q 为圆C 上一点,求线段PQ 长度的最小值.D .[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)已知x ,y ,z 均为正数.求证: 111x y z yz zx xy x y z++++≥.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组,其中歌唱组有4名男生,1名女生,舞蹈组有2名男生,2名女生,学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出. (1)求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数;(2)记X 为选出的4名同学中女生的人数,求X 的分布列和数学期望. 23.(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足11a =,当2n ≥时,21111n n n a a a --=+-.(1)用数学归纳法证明:1tan 2n n a +π=; (2)求证:122C (1)2C (1)C (1)C (1)0kk nn n n n n nn n n a a k a n a -+-++-++-≤.徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I 参考答案一、填空题1.4 2. 5 3. 1200 4. 45 5.236. 1- 7. (1,2)- 8. 1 9.55210.2+2 11.答案:312.答案:3737[,]77-13.答案:23 14.答案:(,2)-∞- 二、解答题15.(1)在ABC △中,由1cos 3A =,得22122sin 1cos 1()33A A =-=-=.……………………………………………2分所以sin sin C A <,所以C A <,所以C 为锐角,于是2263cos 1sin 1()33C C =-=-=,…………………………………………4分 所以sin tan 22cos A A A ==,sin tan 2cos CC C==,……………………………………6分所以tan tan 222tan tan()21tan tan 1222A CB AC A C ++=-+=-=-=--⨯. ………………8分 (2)由,sin sin a bA B =可得22sin 233sin 363a Ab B ===, ……………………………10分 又227a b +=,解得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩, …………………………………………………12分所以22232cos 74333c a b ab C =+-=-⨯=, 所以3c =.……………………………………………………………………………14分(另解:又因为tan tan B C =,角B C ,为ABC △的内角,所以3c b ==.) 16.(1)因为AD ⊥平面PAB ,PB ⊂平面PAB ,所以AD PB ⊥, 又因为PB PD ⊥, 且ADPD D =,AD PD ⊂,平面PAD ,所以PB ⊥平面PAD , 又因为PB ⊂平面PBD ,PEABCDF(第16题图)所以平面PBD ⊥平面PAD .…………………6分 (2)取PD 的中点F ,连结EF ,因为E F ,分别是PA ,PD 的中点,所以//EF AD ,且=2AD EF ,又因为四边形ABCD 为直角梯形且//AD BC ,2AD BC =,所以//EF BC 且EF BC =,所以四边形EFCB 是平行四边形,所以//BE CF , 又CF ⊂平面PCD ,BE ⊄平面PCD ,所以//BE 平面PCD . …………………………………………………………14分 17.(1)由题意可知:232144(2)282r r ar r ar =π+=π+,所以332242284r r a r r -π-π==. ……………………………………2分 又因为2r a r ≤≤,得332284r ≤≤+π+π. …………………………………4分 所以2224(22)42(4)12810y r a r ar r r r ar r r =+++π⨯+π=++π,=2222128104r r r r r -π⨯++π=26(87)r r++π, 定义域为3322[,]84+π+π.……………………………………………………………6分 (2)令26()(87)f r r r =++π,所以26()(1614)f r r r'=-++π, …………………8分令()0f r '=,即26(1614)r r=+π,解之得:3387r =+π,当3387r >+π时()0f r '>,函数()y f r =为增函数; 当3387r <+π时()0f r '<,函数()y f r =为减函数. …………………12分 又因为332284r ≤≤+π+π,所以函数()y f r =在3322[,]84+π+π上为增函数, 所以当328r =+π时,首饰盒制作费用最低. 答:当328r =+π时,该首饰盒的制作费用最低. …………………………………14分 18.(1)因为椭圆的上顶点为(0,1)B ,离心率为32, 所以1,3,2b c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………………2分又222a b c =+,得224,1a b ==,所以椭圆的标准方程是2214x y +=;…………………………………………………4分 (2)根据题意,可得直线1:12xA B y =+,直线21:2)A Q y k x =-(,由112(2)x y y k x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩,解得11112(21)4(,)2121k k Q k k +-- . ……………………………………6分 由122(2)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22214(2)4x k x +-=,化简得2222111(41)161640k x k x k +-+-=, 因为2A (2,0),所以2121164241P k x k -=+,所以21212(41)41P k x k -=+,将21212(41)41P k x k -=+代入直线方程得:121441P k y k -=+,所以21122112(41)4(,)4141k k P k k --++. ……………………………………………10分 又因为(0,1)B ,所以1211211214141212(41)2(21)41BP k k k k k k k --++==----+, 所以直线1121:12(21)k BP y x k +=-+-,令0y =得,112(21)(0)21k R k -+,.………………12分 于是1112111140211=2(21)2(21)242121RQ k k k k k k k k k -- ==++---+,所以1211112=2()242k k k k -+-=,为定值.…………………………………………16分19.(1)由12a =-及12n n a a ++=得,20a =,所以32a =,40a =,所以41234=0S a a a a +++=;…………………………………………………………2分 (2)因为10a >,所以2112||2a a a =-=-,3212||2|2|a a a =-=--,①当102a <…时,3112(2)a a a =--=,所以2211(2)a a =-,得1=1a ;②当12a >时,3112(2)4a a a =--=-,所以2111(4)(2)a a a -=-,得1=22a -(舍)或1=22a +;综合①②可知,1=1a 或1=22a +;…………………………………………………6分 (3)假设数列{}n a 是等差数列,则有212||a a =-,312|2|||a a =--,且2132a a a =+得1112|2|||2||a a a -+-=(*) ……………………………………8分 ①当12a >时,由(*)得10a =,与12a >矛盾;②当102a <…时,由(*)得11a =,从而1()n a n *=∈N ,此时数列{}n a 为等差数列; ③当10a ?时,可得公差2d =,因此存在2m …, 使得12(1)2m a a m =+->,这与12||0m m m m d a a a a +=-=--<矛盾.综合①②③可知,当且仅当11a =时,数列{}n a 为等差数列. ……………………16分20.(1)当1a =时,()ln 1f x x x =-+,显然(1)0f =,所以1x =是方程()0f x =的一个根.………………………………2分又因为11()1xf x x x-'=-=,且当01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<, 所以()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,从而max ()(1)0f x f ==,所以1x =是方程()0f x =的唯一根. ………………………………………………4分(2)因为11()(0)ax f x a x x x-'=-=>, ①当0a …时,恒有()0f x '>,所以()f x 在[1e],上单调递增, 所以max ()(e)1+e f x f a a ==-;②当0a >时,当10x a <<时,()0f x '>,当1x a>时,()0f x '<,所以()f x 在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减,若1e a …,即10e a <…,max ()(e)1+e f x f a a ==-; 若11e a <<<,即11e a <<,max 11()()ln 11ln f x f a a a a a ==-+=--;若101a<…,即1a …,max ()(1)0f x f ==. 综上所述,()f x 在[1e],上的最大值为 max 11e,,e 1()1ln ,1,e 1, 1.a a a f x a a a a ⎧+-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥ ………10分 (3)因为对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-,所以22(1)ln (1)x x ax a x --<-+<- , (i )设2()(1)ln g x x x ax a =--+-,则11()2(1)22g x x a x a x x'=--+=-+-,显然()g x '在(1,)+∞单调递增, 所以()(1)=1g x g a ''-…, ①当1a …时,恒有g (1)0'…,所以()0g x '>在(1,)+∞恒成立, 所以()g x 在(1,)+∞单调递增,所以()>(1)=0g x g >,所以1a …符合题意; ②当01a <<时,有122(1)g (1)0,()20a g a a a-''<=-=>, 所以11(1,)x a∃∈,使得1()0g x '=,从而当11x x <<时,g ()0x '<,即()g x 在1(1,)x 上单调递减,所以()<(1)=0g x g >,不符合题意; ③当0a …时,2221()=0x x g x a x --'+<在13(1,)2+恒成立,所以()g x 在13(1,)2+单调递减,所以()<(1)=0g x g >,不符合题意. 综上,()0g x >恒成立时,1a ….……………………………………………………13分 (ii )设2()(1)ln h x x x ax a =-+-+,则1()22h x x a x'=+--, ()h x '在(1,)+∞单调递增(建议阅卷忽略,讲评要求证), 所以()(1)=1h x h a ''-…,①当1a >时,有1(1)0,()20h h a a a''<=+->,所以2(1,)x a ∃∈ ,使得2()0h x '=,从而当21x x <<时,()0h x '<,即()h x 在2(1,)x 上单调递减,所以()<(1)=0h x h >,不符合题意; ②当1a …时,有(1)0h '…,所以()(1)0h x h ''>>?在(1,)+∞恒成立, 所以()h x 在(1,)+∞单调递增,所以()>(1)=0h x h >恒成立, 所以1a …符合题意.综合(i )、(ii )可知,=1a . …………………………………………………………16分徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ参考答案21.A .连结AC .…………………………………………………1分因为EA 切圆O 于A , 所以∠EAB =∠ACB . …………3分因为弧AB 与弧AD 长度相等,所以∠ACD =∠ACB ,AB =AD .于是∠EAB =∠ACD . …………………………………5分 又四边形ABCD 内接于圆O ,所以∠ABE =∠D . 所以ABE ∆∽CDA ∆.于是AB BECD DA=,即AB DA BE CD ⋅=⋅.………………9分所以2AB BE CD =⋅.…………………………………10分B .由λ⋅=⋅A αα得:1112222a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,122,44,a b +=-⎧∴⎨-=-⎩3,20,a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ ………5分 设1x y s t -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,则1310120102x y s t -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦A A , 31,220,30,221,x s s y t t ⎧-=⎪⎪-=⎪∴⎨⎪-=⎪⎪-=⎩1,0,3,41,2x s y t =⎧⎪=⎪⎪∴⎨=-⎪⎪=-⎪⎩1314102-⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A . ……………………………………10分C .以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,圆C 的直角坐标方程为224410x y x y +---=,即22(2)(2)9x y -+-=,A EBCD O· (第21-A 题)所以圆心C 的坐标为(2,2)C ,………………………………………………………4分 点P 的直角坐标为(0,1)P -, ………………………………………………………6分 所以线段PQ 长度的最小值为3133PC -=-. ………………………………10分D .因为x ,y ,z 无为正数.所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥, …………………………4分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥,≥, ………………………………………………7分 当且仅当x =y =z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得111x y z yz zx xy x y z++++≥. ……10分 22.(1)由题意知,所有的选派方法共有2254=60C C ⋅种,其中有3名女生的选派方法共有112412=4C C C ⋅⋅种,所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种. …………3分 (2)X 的可能取值为0,1,2,3. ……………………………………………………5分2242225461(0)6010C C P X C C ====,2122114124222254+4+247(1)6015C C C C C C P X C C ====, 1111224122422254+16+611(2)6030C C C C C C P X C C ====,112412225441(3)6015C C C P X C C ====,8分 所以X 的分布列为所以171117()0123101530155E X =⨯+⨯+⨯+⨯= . …………………………………10分 23.(1)将11a =代入212111a a a =+-得221a =-,当1n =时,1tan14a π==成立. 假设当n k =(*k ∈N ,1k ≥)时成立,即1tan2k k a +π=, 则当1n k =+时,2111kk ka a a ++-=2111tan 12tan 2k k ++π+-=π1211cos 2tan 2sin 2k k k +++π-π==π, 这就说明,当1n k =+时结论也成立.综上所述,1tan2n n a +π=. ……………………………………………………5分 (2)因为11A C C !k kk n nn k k n k --==,所以111C (1)(1)C (1)k k k k n n n n n k a a n a ----=--, 因此122C (1)2C (1)C (1)C (1)k k nn n n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-1(1)n n n a na -=-. X 012 3P110715 1130115由(1)知,1tan (0,1]2n n a +π=∈,所以1(1)0n n n a na --≤,得证.……………10分。
2018届江苏省徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟数学试题及答案 精品
徐州、连云港、宿迁三市2018届高三第三次模拟数学Ⅰ参考公式:棱柱的体积公式:错误!未找到引用源。
其中错误!未找到引用源。
是棱柱的底面积,错误!未找到引用源。
是高. 一、填空题:本大题共14题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上......... 1.已知复数错误!未找到引用源。
是虚数单位),则错误!未找到引用源。
的模为 ▲ .2.已知集合错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
▲ .3.如图是某市2018年11月份30天的空气污染指数的频率分布直注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页,包含填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分。
本试卷满分160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。
3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位置作答一律无效。
4.如有作图需要,可用错误!未找到引用源。
铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。
方图. 根据国家标准,污染指数在区间错误!未找到引用源。
内,空气质量为优;在区间错误!未找到引用源。
内,空气质量为良;在区间错误!未找到引用源。
内,空气质量为轻微污染;错误!未找到引用源。
由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有▲天.4.执行如图所示的算法流程图,则输出错误!未找到引用源。
的值是▲ .5.已知集合错误!未找到引用源。
若从错误!未找到引用源。
中各取一个数,则这两个数之和不小于4的概率为▲ .6.设等差数列错误!未找到引用源。
的前错误!未找到引用源。
项为错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
的值为▲ .7.设函数错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
的值为▲ .8.已知双曲线错误!未找到引用源。
的离心率为2,它的一个焦点是抛物线错误!未找到引用源。
2018年江苏省徐州市高考数学一模试卷
2018年江苏省徐州市高考数学一模试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.1. 已知集合A ={x|x 2−x =0},B ={−1, 0},则A ∪B =________. 【答案】 {−1, 0, 1} 【考点】 并集及其运算 【解析】化简集合A ,根据并集的定义写出A ∪B . 【解答】解:集合A ={x|x 2−x =0}={x|x =0或x =1}={0, 1}, B ={−1, 0},则A ∪B ={−1, 0, 1}. 故答案为:{−1, 0, 1}.2. 已知复数z =2+i 2−i(i 为虚数单位),则z 的模为________.【答案】 1【考点】 复数的模 【解析】利用复数代数形式的乘除运算,再由复数模的计算公式求解. 【解答】解:∵ z =2+i2−i =(2+i)2(2−i)(2+i)=35+45i , ∴ |z|=√(35)2+(45)2=1.故答案为:1.3. 函数y =√log 12x 的定义域是________.【答案】(0, 1] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】令被开方数大于等于0,然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x 的范围,写出集合区间形式即为函数的定义域. 【解答】 解:log 12x ≥0, ∴ 0<x ≤1.∴ 函数的定义域为(0, 1].故答案为:(0, 1].4. 如图是一个算法的伪代码,运行后输出b的值为________.【答案】13【考点】循环结构的应用【解析】通过分析伪代码,按照代码进行执行,当I=8时即跳出循环.输出b的值即可.【解答】解:模拟程序的运行,可得,a=0,b=1,I=2,满足条件I≤6,执行循环体,a=0+1=1,b=1+1=2,I=2+2=4,满足条件I≤6,执行循环体,a=1+2=3,b=3+2=5,I=4+2=6,满足条件I≤6,执行循环体,a=3+5=8,b=8+5=13,I=6+2=8,不满足条件I≤6,退出循环,输出b的值为13.故答案为:13.5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250, 400)内的学生共有________人.【答案】750【考点】频率分布直方图【解析】由样本的频率分布直方图求出a,从而成绩在[250, 400)内的频率为0.75,由此能求出成绩在[250, 400)内的学生人数.【解答】解:由样本的频率分布直方图得:(0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003)×50=1,解得a=0.006.∴成绩在[250, 400)内的频率为(0.004+0.006+0.005)×50=0.75,∴成绩在[250, 400)内的学生共有1000×0.75=750.故答案为:750.6. 在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为x−2y=0,则该双曲线的离心率为________.【答案】√52【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】根据题意,由双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为y=±bax,结合题意可得b a =12,即a=2b,由双曲线的几何性质可得c=√a2+b2=√5b,由双曲线的离心率公式计算可得答案.【解答】解:根据题意,双曲线x2a2−y2b2=1的焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±bax,若双曲线的一条渐近线方程为x−2y=0,即y=12x,则有ba =12,即a=2b,则c=√a2+b2=√5b,则该双曲线的离心率e=ca =√52.故答案为:√52.7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为________.【答案】59【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=6×6=36,利用列举求出事件“点数之积是3的倍数”包含的基本事件(a, b)有20个,由此能求出事件“点数之积是3的倍数”的概率.【解答】解:连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,基本事件总数n=6×6=36,事件“点数之积是3的倍数”包含的基本事件(a, b)有20个,分别为:(1, 3),(3, 1),(1, 6),(6, 1),(2, 3),(3, 2),(2, 6),(6, 2),(3, 3),(3, 4),(4, 3),(3, 5),(5, 3),(3, 6),(6, 3),(4, 6),(6, 4),(5, 6),(6, 5),(6, 6),∴事件“点数之积是3的倍数”的概率:p=2036=59.故答案为:59.8. 已知正四棱柱的底面边长是3cm,侧面的对角线长是3√5cm,则这个正四棱柱的体积为________cm3.【答案】54【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由正四棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3√5cm,求出高ℎ=6cm,由此能求出这个正四棱柱的体积.【解答】解:设正四棱柱的高为ℎ,∵正四棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3√5cm,∴√32+ℎ2=3√5,解得ℎ=6(cm),∴这个正四棱柱的体积V=Sℎ=3×3×6=54(cm3).故答案为:54.9. 若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是π6,π3,2π3,则实数ω的值为________.【答案】4【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义【解析】由题意,函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标可知,函数f(x)相邻的对称轴x=π4和π2,又根据相邻对称轴是半个周期即可求解ω的值.【解答】解:由题意,函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是π6,π3,2π3,可知函数f(x)相邻的对称轴x=π6+π32=π4,另一条为x=π2,相邻对称轴是半个周期,即12T=π2−π4,可得:T=π2.∴ω=2ππ2=4.故答案为:4.10. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C:xy =√3上任意一点P 到直线l:x +√3y =0的距离的最小值为________. 【答案】 √3【考点】基本不等式在最值问题中的应用 点到直线的距离公式 【解析】设P(a,√3a),可得任意一点P 到直线l:x+√3y =0的距离d =|a+3a|2=|a|+3|a|2,利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】 解:设P(a,√3a ),则任意一点P 到直线l:x +√3y =0的距离: d =|a+3a|2=|a|+3|a|2≥2√32=√3,当且仅当|a|=√3时取等号.故答案为:√3.11. 已知等差数列{a n }满足a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10,a 82−a 22=36,则a 11的值为________. 【答案】 11【考点】等差数列的性质 等差数列的通项公式 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵ a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10,可得5a 5=10,可得:a 1+4d =2.由a 82−a 22=36,可得6d(a 8+a 2)=36,即2a 5⋅d =6,联立解出即可得出. 【解答】解:设等差数列{a n }的公差为d , ∵ a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10, ∴ 5a 5=10,可得:a 1+4d =2.∵ a 82−a 22=36, ∴ 6d(a 8+a 2)=36,即2a 5⋅d =6,∴ d =32, ∴ a 1=−4.则a 11=−4+10×32=11.故答案为:11.12. 在平面直角坐标系xOy 中,若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)上存在点P ,且点P 关于直线x −y =0的对称点Q 在圆C 2:(x −2)2+(y −1)2=1上,则r 的取值范围是________.【答案】[√2−1, √2+1] 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 关于点、直线对称的圆的方程 【解析】根据圆的对称性转化为两圆相交的等价条件进行求解即可. 【解答】解:若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)上存在点P ,且点P 关于直线x −y =0的对称点Q 在圆C 2:(x −2)2+(y −1)2=1上, 等价为若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)关于直线y =x 的对称圆 与圆C 2:(x −2)2+(y −1)2=1相交,则圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)关于直线y =x 的对称圆为 圆C:y 2+(x −1)2=r 2(r >0),则圆心C(1, 0),半径r ,圆心C 2(2, 1),半径1, 则|CC 2|=√(2−1)2+1=√2,若两圆相交则满足r −1≤|CC 2|≤r +1, 即r −1≤√2≤r +1, 解得√2−1≤r ≤√2+1,即r 的取值范围是[√2−1, √2+1], 故答案为:[√2−1, √2+1].13. 已知函数f(x)={2−|x +1|,x ≤1(x −1)2,x >1 函数g(x)=f(x)+f(−x),则不等式g(x)≤2的解集为________. 【答案】 [−2, 2] 【考点】一元二次不等式的解法分段函数的解析式求法及其图象的作法 【解析】讨论当−1≤x ≤1时,当x <−1时,去绝对值,再分别讨论−1≤x ≤1,x <−1,x >1时,求得g(x)的解析式,解不等式求并集,即可得到所求解集. 【解答】解:函数f(x)={2−|x +1|,x ≤1(x −1)2,x >1, 当−1≤x ≤1时,f(x)=1−x ; 当x <−1时,f(x)=x +3; 当x >1时,f(x)=(x −1)2. ①当x >1,即−x <−1,可得g(x)=(x −1)2+3−x =x 2−3x +4, 由g(x)≤2,解得1<x ≤2;②当x <−1时,−x >1,则g(x)=x +3+(x +1)2=x 2+3x +4, 由g(x)≤2,解得−2≤x <−1; ③当−1≤x ≤1时,−1≤−x ≤1, 可得g(x)=1−x +1+x =2, 由g(x)≤2,解得−1≤x ≤1,综上可得,原不等式的解集为[−2, 2]. 故答案为:[−2, 2].14. 如图,在△ABC 中,已知AB =3,AC =2,∠BAC =120∘,D 为边BC 的中点.若CE ⊥AD ,垂足为E ,则EB →⋅EC →的值为________.【答案】−277【考点】 余弦定理平面向量数量积的运算 向量的三角形法则 【解析】 在△ABC 中,由余弦定理即可求出BC =√19,从而得出DC =√192,并求出cos∠ACB =2√19,这样在△ACD 中,由余弦定理即可求出AD 的值,从而求出cos∠ADC =√7×√19,这样在Rt △CDE 中即可求出DE 的值,而EB →∗EC →=ED →2−DB →2,从而可求出数量积EB →∗EC →的值.【解答】解:在△ABC 中,由余弦定理:BC 2=32+22−2×3×2×(−12)=19, ∴ BC =√19,BD =DC =√192,∴ cos∠ACB =2×2×√19=2√19.在△ACD 中: AD 2=22+(√192)2−2×2×√192×2√19=74,∴ AD =√72,∴ cos∠ADC =74+194−42×√72×√192=√7×√19,在Rt △DEC 中,DE =CD ⋅cos∠ADC =2√7, ∴ EB →⋅EC →=(ED →+DB →)⋅(ED →+DC →)=(ED →+DB →)⋅(ED →−DB →) =|ED →|2−|DB →|2 =(52√7)2−(√192)2=2528−194 =−277. 故答案为:−277.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且cosA =35,tan(B −A)=13. (1)求tanB 的值;(2)若c =13,求△ABC 的面积. 【答案】解:(1)在△ABC 中,由cosA =35可知A 为锐角,所以sinA =45, 所以tanA =sinA cosA =43,所以tanB =tan[(B −A)+A]=tan(B−A)+tanA1−tan(B−A)tanA =13+431−13×43=3;(2)在三角形ABC 中,由tanB =3, 所以sinB =3√1010,cosB =√1010,由sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =13√1050,由正弦定理bsinB =csinC ,得b =csinB sinC=13×3√101013√1050=15,所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×15×13×45=78.【考点】两角和与差的正切公式 正弦定理同角三角函数间的基本关系 【解析】(1)根据同角的三角函数的关系以两角和的正切公式即可求出,(2)根据两角和的正弦公式以及正弦定理和三角形的面积公式即可求出. 【解答】解:(1)在△ABC 中,由cosA =35可知A 为锐角,所以sinA =45, 所以tanA =sinAcosA =43,所以tanB =tan[(B −A)+A]=tan(B−A)+tanA1−tan(B−A)tanA =13+431−13×43=3;(2)在三角形ABC 中,由tanB =3, 所以sinB =3√1010,cosB =√1010,由sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =13√1050,由正弦定理bsinB =csinC ,得b =csinB sinC=13×3√101013√1050=15,所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×15×13×45=78.如图,在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠ABC =90∘,AB =AA 1,M ,N 分别是AC ,B 1C 1的中点.求证:(1)MN // 平面ABB 1A 1;(2)AN ⊥A 1B . 【答案】证明:(1)如图,取AB 的中点P ,连结PM 、PB 1.因为M ,P 分别是AC ,AB 的中点, 所以PM // BC ,且PM =12BC .在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中, BC // B 1C 1,BC =B 1C 1, 又因为N 是B 1C 1的中点,所以PM // B 1N ,且PM =B 1N . 所以四边形PMNB 1是平行四边形, 所以MN // PB 1,又MN 平面ABB 1A 1,PB 1⊂平面ABB 1A 1, 所以MN // 平面ABB 1A 1.(2)因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱, 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1, 又因为BB 1⊂平面ABB 1A 1,所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1,又因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1=A1B1,B1C1⊂平面A1B1C1,A1B1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,又因为A1B⊂平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1B,即NB1⊥A1B,如图,连结AB1,因为在平行四边形ABB1A1中,AB=AA1,所以AB1⊥A1B,又因为NB1∩AB1=B1,且AB1,NB1⊂平面AB1N,所以A1B⊥平面AB1N,又AN⊂平面AB1N,所以AN⊥A1B.【考点】两条直线垂直的判定平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质直线与平面平行的判定棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】证明:(1)如图,取AB的中点P,连结PM、PB1.因为M,P分别是AC,AB的中点,BC.所以PM // BC,且PM=12在直三棱柱ABC−A1B1C1中,BC // B1C1,BC=B1C1,又因为N是B1C1的中点,所以PM // B1N,且PM=B1N.所以四边形PMNB1是平行四边形,所以MN // PB1,又MN平面ABB1A1,PB1⊂平面ABB1A1,所以MN // 平面ABB1A1.(2)因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱,所以BB1⊥平面A1B1C1,又因为BB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1,又因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1=A1B1,B1C1⊂平面A1B1C1,A1B1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,又因为A1B⊂平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1B,即NB1⊥A1B,如图,连结AB1,因为在平行四边形ABB1A1中,AB=AA1,所以AB1⊥A1B,又因为NB1∩AB1=B1,且AB1,NB1⊂平面AB1N,所以A1B⊥平面AB1N,又AN⊂平面AB1N,所以AN⊥A1B.某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1,为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180∘而成,如图2,已知圆O的,圆锥的侧面积为Scm2.半径为10cm,设∠BAO=θ,0<θ<π2(1)求S关于θ的函数关系式;(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.【答案】解:(1)根据题意,设AO 交BC 于点D ,过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,在△AOE 中,AE =10cosθ,AB =2AE =20cosθ, 在△ABD 中,BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ,所以S =12×2π×20sinθcosθ×20cosθ=400πsinθcos 2θ,(0<θ<π2). (2)由(1)得:S =400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ) 设f(x)=x −x 3,(0<x <1),则f′(x)=1−3x 2,令f′(x)=1−3x 2=0,可得x =√33,当x ∈(0, √33)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(0, √33)上单调递增,当x ∈(√33, 1)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(√33, 1)上单调递减,所以f(x)在x =√33时取得极大值,也是最大值;所以当sinθ=√33,即cosθ=√63时,侧面积S 取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB =20cosθ=20√63;答:侧面积S 取得最大值时,等腰三角形的腰AB 的长度为20√63cm . 【考点】利用导数研究函数的最值 解三角形的实际应用同角三角函数间的基本关系 【解析】(1)根据题意,设AO 交BC 于点D ,过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,分析可得AB =2AE =20cosθ,BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ,由圆锥的侧面积公式可得S 的表达式,即可得答案;(2)由(1)可得S 的表达式可得S =12400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ),设f(x)=x −x 3,(0<x <1),求导求出其在区间(0, 1)上的最大值,求出x 的值,即可得当sinθ=√33,即cosθ=√63时,侧面积S 取得最大值,计算即可得答案.【解答】解:(1)根据题意,设AO 交BC 于点D ,过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,在△AOE 中,AE =10cosθ,AB =2AE =20cosθ, 在△ABD 中,BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ,所以S =12×2π×20sinθcosθ×20cosθ=400πsinθcos 2θ,(0<θ<π2). (2)由(1)得:S =400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ) 设f(x)=x −x 3,(0<x <1),则f′(x)=1−3x 2,令f′(x)=1−3x 2=0,可得x =√33,当x ∈(0, √33)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(0, √33)上单调递增,当x ∈(√33, 1)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(√33, 1)上单调递减,所以f(x)在x =√33时取得极大值,也是最大值;所以当sinθ=√33,即cosθ=√63时,侧面积S 取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB =20cosθ=20√63;答:侧面积S 取得最大值时,等腰三角形的腰AB 的长度为20√63cm .如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为12,且过点(1, 32).F 为椭圆的右焦点,A ,B 为椭圆上关于原点对称的两点,连接AF ,BF 分别交椭圆于C ,D 两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若AF =FC ,求BFFD 的值;(3)设直线AB ,CD 的斜率分别为k 1,k 2,是否存在实数m ,使得k 2=mk 1,若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)由题意知e =ca =12,则a =2c ,b 2=a 2−c 2=3c 2, 将(1, 32)代入椭圆方程:14c 2+93c 2×4=1,解得:c =1, 则a =2,b =√3, ∴ 椭圆方程为:x 24+y 23=1;(2)若AF =FC ,根据椭圆的对称性可知,A(1, 32), ∵ A ,B 为椭圆上关于原点对称的两点,∴ B(−1, −32), ∵ F 为椭圆的右焦点,∴ F(1, 0), 此时直线BF 方程为3x −4y −3=0,由{3x −4y −3=0x 24+y 23=1 ,整理得7x 2−6x −13=0,解得x =137(x =−1舍去),故BFFD =1−(−1)137−1=73.(3)设A(x 0, y 0),则B(−x 0, −y 0),直线AF 的方程为y =y 0x 0−1(x −1),代入椭圆方程x 24+y23=1,得(15−6x 0)x 2−8y 02−15x 02+24x 0=0,即(15−6x 0)x 2−(24−6x 02)x −15x 02+24x 0=0,因为x =x 0是该方程的一个解,所以C 点的横坐标x C =8−5x5−2x 0,又C(x C , y C )在直线y =yx 0−1(x −1)上,所以y C =y 0x 0−1(x C −1)=−3y 05−2x 0,同理,D 点坐标为(8+5x 05+2x 0, 3y5+2x 0),所以k 2=3y 05+2x 0−−3y 05−2x 08+5x 05+2x 0−8−5x 05−2x 0=5y 03x 0=53k 1,即存在m =53,使得k 2=53k 1.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆的应用 椭圆的标准方程 【解析】(1)根据椭圆的离心率公式,将点代入椭圆方程,即可求得a 和b 的值,即可求得椭圆方程;(2)由AF =FC ,即可求得A 和B 点坐标,求得直线BF 的方程,代入椭圆方程,即可求得B 点坐标,即可求得答案;(3)设A 点坐标,求得直线AF 的方程,代入椭圆方程,即可求得C 点坐标,同理求得D 点坐标,根据直线的斜率公式,即可求得即存在m =53,使得k 2=53k 1. 【解答】解:(1)由题意知e =ca =12,则a =2c ,b 2=a 2−c 2=3c 2,将(1, 32)代入椭圆方程:14c 2+93c 2×4=1,解得:c =1, 则a =2,b =√3, ∴ 椭圆方程为:x 24+y 23=1;(2)若AF =FC ,根据椭圆的对称性可知,A(1, 32), ∵ A ,B 为椭圆上关于原点对称的两点,∴ B(−1, −32), ∵ F 为椭圆的右焦点,∴ F(1, 0), 此时直线BF 方程为3x −4y −3=0,由{3x −4y −3=0x 24+y 23=1,整理得7x 2−6x −13=0,解得x =137(x =−1舍去),故BF FD =1−(−1)137−1=73. (3)设A(x 0, y 0),则B(−x 0, −y 0),直线AF 的方程为y =y 0x 0−1(x −1),代入椭圆方程x 24+y 23=1,得(15−6x 0)x 2−8y 02−15x 02+24x 0=0,即(15−6x 0)x 2−(24−6x 02)x −15x 02+24x 0=0,因为x =x 0是该方程的一个解,所以C 点的横坐标x C =8−5x5−2x 0,又C(x C , y C )在直线y =y 0x 0−1(x −1)上,所以y C =y 0x0−1(x C −1)=−3y 05−2x 0,同理,D 点坐标为(8+5x 05+2x 0, 3y5+2x 0),所以k 2=3y 05+2x 0−−3y 05−2x 08+5x 05+2x 0−8−5x 05−2x 0=5y 03x 0=53k 1,即存在m =53,使得k 2=53k 1.已知函数f(x)=x 2+ax +1,g(x)=lnx −a(a ∈R). (1)当a =1时,求函数ℎ(x)=f(x)−g(x) 的极值;(2)若存在与函数f(x),g(x) 的图象都相切的直线,求实数a 的取值范围. 【答案】解:(1)函数ℎ(x)的定义域为(0, +∞),当a =1时,ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 2+x −lnx +2, 所以ℎ′(x)=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x,所以当0<x <12时,ℎ′(x)<0,当x >12时,ℎ′(x)>0, 所以函数ℎ(x)在区间(0, 12)单调递减,在区间(12, +∞)单调递增, 所以当x =12时,函数ℎ(x)取得极小值为114−ln2,无极大值;(2)设函数f(x)上点(x1, f(x1))与函数g(x)上点(x2, g(x2))处切线相同,则f′(x1)=g′(x2)=f(x1)−g(x2)x1−x2,所以2x1+a=1x2=x12+ax1+1−lnx2+ax1−x2,所以x1=12x2−a2,代入x1−x2x2=x12+ax1+1−lnx2+a得:1 4x22−a2x2+lnx2−a+a24−2=0(∗)设F(x)=14x −a2x+lnx−a+a24−2,则F′(x)=−12x3+a2x2+1x=2x2+ax−12x3,不妨设2x02+ax0−1=0(x0>0),则当0<x<x0时,F′(x)<0,当x>x0时,F′(x)>0,所以F(x)在区间(0, x0)上单调递减,在区间(x0, +∞)上单调递增,代入a=1−2x02x0=1x0−2x0,可得F(x)min=F(x0)=x02+2x0−1x+lnx0−2,设G(x)=x2+2x−1x+lnx−2,则G′(x)=2x+2+1x2+1x>0对x>0恒成立,所以G(x)在区间(0, +∞)上单调递增,又G(1)=0,所以当0<x<1时G(x)≤0,即当0<x1≤1时F(x1)≤0,又当x=e m+2时F(x)=14e2m+4−a2e m+2+lne m+2−a+a24−2=14(1e m+2−a)2≥0,因此当0<x1≤1时,函数F(x)必有零点;即当0<x1≤1时,必存在x2使得(∗)成立;即存在x1,x2,使得函数f(x)上点(x1, f(x1))与函数g(x)上点(x2, g(x2))处切线相同.又由y=1x −2x得y′=−1x−2<0,所以y=1x−2x在(0, 1)单调递减,因此a=1−2x02x0=1x0−2x0∈[−1, +∞),所以实数a的取值范围是[−1, +∞).【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】(1)求得ℎ(x)的定义域,以及导数,讨论单调区间,可得极值;(2)设函数f(x)上点(x1, f(x1))与函数g(x)上点(x2, f(x2))处切线相同,分别求得导数和切线的斜率,可得14x 22−a2x 2+lnx 2−a +a 24−2=0(∗)设F(x)=14x 2−a2x +lnx −a +a 24−2,求出导数和单调区间,最值,运用单调性,计算可得a 的范围.【解答】解:(1)函数ℎ(x)的定义域为(0, +∞),当a =1时,ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 2+x −lnx +2, 所以ℎ′(x)=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x,所以当0<x <12时,ℎ′(x)<0,当x >12时,ℎ′(x)>0, 所以函数ℎ(x)在区间(0, 12)单调递减,在区间(12, +∞)单调递增, 所以当x =12时,函数ℎ(x)取得极小值为114−ln2,无极大值;(2)设函数f(x)上点(x 1, f(x 1))与函数g(x)上点(x 2, g(x 2))处切线相同, 则f′(x 1)=g′(x 2)=f(x 1)−g(x 2)x 1−x 2,所以2x 1+a =1x 2=x 12+ax 1+1−lnx 2+ax 1−x 2,所以x 1=12x 2−a2,代入x 1−x 2x 2=x 12+ax 1+1−lnx 2+a 得:14x 22−a 2x 2+lnx 2−a +a 24−2=0(∗) 设F(x)=14x−a 2x+lnx −a +a 24−2, 则F′(x)=−12x 3+a2x 2+1x =2x 2+ax−12x 3,不妨设2x 02+ax 0−1=0(x 0>0),则当0<x <x 0时,F′(x)<0,当x >x 0时,F′(x)>0,所以F(x)在区间(0, x 0)上单调递减,在区间(x 0, +∞)上单调递增,代入a =1−2x 02x 0=1x 0−2x 0,可得F(x)min =F(x 0)=x 02+2x 0−1x 0+lnx 0−2, 设G(x)=x 2+2x −1x +lnx −2,则G′(x)=2x +2+1x 2+1x >0对x >0恒成立,所以G(x)在区间(0, +∞)上单调递增,又G(1)=0,所以当0<x <1时G(x)≤0,即当0<x 1≤1时F(x 1)≤0, 又当x =em+2时F(x)=14e 2m+4−a2e m+2+lne m+2−a +a 24−2=14(1e m+2−a)2≥0,因此当0<x 1≤1时,函数F(x)必有零点; 即当0<x 1≤1时,必存在x 2使得(∗)成立;即存在x 1,x 2,使得函数f(x)上点(x 1, f(x 1))与函数g(x)上点(x 2, g(x 2))处切线相同.又由y=1x −2x得y′=−1x2−2<0,所以y=1x−2x在(0, 1)单调递减,因此a=1−2x02x0=1x0−2x0∈[−1, +∞),所以实数a的取值范围是[−1, +∞).已知数列{a n},其前n项和为{S n},满足a1=2,S n=λna n+μa n−1,其中n≥2,n∈N∗,λ,μ∈R.(1)若λ=0,μ=4,b n=a n+1−2a n(n∈N∗),求证:数列{b n}是等比数列;(2)若数列{a n}是等比数列,求λ,μ的值;(3)若a2=3,且λ+μ=32,求证:数列{a n}是等差数列.【答案】(1)证明:若λ=0,μ=4,则当S n=4a n−1(n≥2),所以a n+1=S n+1−S n=4(a n−a n−1),即a n+1−2a n=2(a n−2a n−1),所以b n=2b n−1,又由a1=2,a1+a2=4a1,得a2=3a1=6,a2−2a1=2≠0,即b n≠0,所以b nb n−1=2,故数列{b n}是等比数列.(2)解:若{a n}是等比数列,设其公比为q(q≠0),当n=2时,S2=2λa2+μa1,即a1+a2=2λa2+μa1,得1+q=2λq+μ,①当n=3时,S3=3λa3+μa2,即a1+a2+a3=3λa3+μa2,得1+q+q2=3λq2+μq,②当n=4时,S4=4λa4+μa3,即a1+a2+a3+a4=4λa4+μa3,得1+q+q2+q3=4λq3+μq2,③②-①×q,得1=λq2,③-②×q,得1=λq3,解得q=1,λ=1.代入①式,得μ=0.此时S n=na n,(n≥2),所以若{a n}是以a1=2公比为1的等比数列,则λ=1,μ=0.(3)证明:若a2=3,由a1+a2=2λa2+μa1,得5=6λ+2μ,又λ+μ=32,解得λ=12,μ=1.由a1=2,a2=3,λ=12,μ=1,代入S n=λna n+μa n−1得a5=4,所以a1,a2,a3成等差数列,由S n=n2a n+a n−1,得S n+1=n+12a n+1+a n,两式相减得:a n+1=n+12a n+1−n2a n+a n−a n−1,即(n−1)a n+1−(n−2)a n−2a n−1=0,所以na n+2−(n−1)a n+1−2a n=0,相减得:na n+2−2(n−1)a n+1+(n−2)a n−2a n+2a n−1=0,所以n(a n+2−2a n+1+a n)+2(a n+1−2a n+a n−1)=0,所以a n+2−2a n+1+a n=−2n (a n+1−2a n+a n−1)=22n(n−1)(a n−2a n−1+a n−2)=...=(−2)n−1n(n−1)⋯2(a3−2a2+a1),因为a3−2a2+a1=0,所以a n+2−2a n+1+a n=0,即数列{a n}是等差数列.【考点】数列递推式等比关系的确定等差关系的确定【解析】(1)利用数列的递推关系,结合等比数列的定义进行证明即可.(2)根据等比数列的性质建立方程关系进行求解.(3)利用数列的递推关系,结合等差数列的定义进行证明.【解答】(1)证明:若λ=0,μ=4,则当S n=4a n−1(n≥2),所以a n+1=S n+1−S n=4(a n−a n−1),即a n+1−2a n=2(a n−2a n−1),所以b n=2b n−1,又由a1=2,a1+a2=4a1,得a2=3a1=6,a2−2a1=2≠0,即b n≠0,所以b nb n−1=2,故数列{b n}是等比数列.(2)解:若{a n}是等比数列,设其公比为q(q≠0),当n=2时,S2=2λa2+μa1,即a1+a2=2λa2+μa1,得1+q=2λq+μ,①当n=3时,S3=3λa3+μa2,即a1+a2+a3=3λa3+μa2,得1+q+q2=3λq2+μq,②当n=4时,S4=4λa4+μa3,即a1+a2+a3+a4=4λa4+μa3,得1+q+q2+q3=4λq3+μq2,③②-①×q,得1=λq2,③-②×q,得1=λq3,解得q=1,λ=1.代入①式,得μ=0.此时S n=na n,(n≥2),所以若{a n}是以a1=2公比为1的等比数列,则λ=1,μ=0.(3)证明:若a2=3,由a1+a2=2λa2+μa1,得5=6λ+2μ,又λ+μ=32,解得λ=12,μ=1.由a1=2,a2=3,λ=12,μ=1,代入S n=λna n+μa n−1得a5=4,所以a1,a2,a3成等差数列,由S n=n2a n+a n−1,得S n+1=n+12a n+1+a n,两式相减得:a n+1=n+12a n+1−n2a n+a n−a n−1,即(n−1)a n+1−(n−2)a n−2a n−1=0,所以na n+2−(n−1)a n+1−2a n=0,相减得:na n+2−2(n−1)a n+1+(n−2)a n−2a n+2a n−1=0,所以n(a n+2−2a n+1+a n)+2(a n+1−2a n+a n−1)=0,所以a n+2−2a n+1+a n=−2n (a n+1−2a n+a n−1)=22n(n−1)(a n−2a n−1+a n−2)=...=(−2)n−1n(n−1)⋯2(a3−2a2+a1),因为a3−2a2+a1=0,所以a n+2−2a n+1+a n=0,即数列{a n}是等差数列.【选做题】本题包括21,22,23,24四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1:几何证明选讲]如图,AB是圆O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:AB2=BE⋅BD−AE⋅AC.【答案】证明:如图所示,连接AD,BC.∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90∘.∵EF⊥FB,∴∠EFB=90∘=∠ADB,∴ A ,D ,E ,F 四点共圆,∴ BD ⋅BE =AB ⋅BF =AB ⋅(AB +AF)=AB 2+AB ⋅AF . 在△EFA 与△BCA 中,∠EAF =∠BAC ,∠EFA =∠BCA , ∴ △EFA ∼△BCA ,∴ AEAB =AFAC ,∴ AB ⋅AF =AE ⋅AC .∴ AB 2=BE ⋅BD −AE ⋅AC . 【考点】与圆有关的比例线段 相似三角形的性质 相似三角形的判定 【解析】如图所示,连接AD ,BC .由AB 是圆O 的直径,可得∠ADB =∠ACB =90∘.由EF ⊥FB ,可得四点A 、D 、E 、F 共圆,利用切割线定理:BD ⋅BE =AB ⋅BF =AB ⋅(AB +AF)=AB 2+AB ⋅AF .由已知可得:△EFA ∽△BCA .可得AB ⋅AF =AE ⋅AC .即可证明. 【解答】证明:如图所示,连接AD ,BC .∵ AB 是圆O 的直径,∴ ∠ADB =∠ACB =90∘. ∵ EF ⊥FB ,∴ ∠EFB =90∘=∠ADB , ∴ A ,D ,E ,F 四点共圆,∴ BD ⋅BE =AB ⋅BF =AB ⋅(AB +AF)=AB 2+AB ⋅AF . 在△EFA 与△BCA 中,∠EAF =∠BAC ,∠EFA =∠BCA , ∴ △EFA ∼△BCA ,∴ AEAB =AFAC ,∴ AB ⋅AF =AE ⋅AC . ∴ AB 2=BE ⋅BD −AE ⋅AC . [选修4-2:矩阵及变换]已知矩阵A =[100−1],B =[4123],若矩阵M =BA ,求矩阵M 的逆矩阵M −1.【答案】解:M =BA =[4123][100−1]=[4−12−3], 所以矩阵M 的逆矩阵M −1=[310−11015−25]. 【考点】逆变换与逆矩阵 【解析】根据矩阵的乘法,求得M ,根据二阶矩阵的逆矩阵的求法,即可求得矩阵M 的逆矩阵M −1. 【解答】解:M =BA =[4123][100−1]=[4−12−3], 所以矩阵M 的逆矩阵M −1=[310−11015−25]. [选修4-4:坐标系与参数方程]以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线l:{x =1+2ty =1−2t (t 为参数)与圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0的位置关系. 【答案】解:把直线方程l {x =1+2ty =1−2t (t 为参数),转化为普通方程为x +y =2.将圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0转化为:x 2+2x +y 2−2y =0, 即:(x +1)2+(y −1)2=2. 圆C 到直线l 的距离d =√2=√2, 所以直线l 与C 相切. 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线的参数方程 直线与圆的位置关系 【解析】首先把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化,再利用点到直线的距离公式求出直线和远的位置关系. 【解答】解:把直线方程l {x =1+2ty =1−2t (t 为参数),转化为普通方程为x +y =2.将圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0转化为:x 2+2x +y 2−2y =0, 即:(x +1)2+(y −1)2=2. 圆C 到直线l 的距离d =2=√2, 所以直线l 与C 相切. [选修4-5:不等式选讲]已知a ,b ,c ,d 都是正实数,且a +b +c +d =1,求证:a 21+a+b 21+b +c 21+c +d 21+d ≥15. 【答案】证明:∵ a ,b ,c ,d 都是正实数,且a +b +c +d =1; ∴ [(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a 21+a+b 21+b +c 21+c +d 21+d ) ≥(√1+a a√1+a√1+b b √1+b√1+c ⋅c √1+c+√1+d d √1+d)2=(a +b +c +d)2=1当且仅当(1+a)2a2=(1+b)2b2=(1+c)2c2=(1+d)2d2等号成立;又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=4+a+b+c+d=5;∴a21+a +b21+b+c21+c+d21+d≥15.【考点】不等式的证明【解析】由a,b,c,d都是正实数,并且a+b+c+d=1,根据柯西不等式即可得出[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a21+a +b21+b+c21+c+d21+d)≥1,从而可得出a21+a+b21+b+c2 1+c +d21+d≥15.【解答】证明:∵a,b,c,d都是正实数,且a+b+c+d=1;∴[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a21+a +b21+b+c21+c+d21+d)≥(√1+a√1+a √1+b√1+b√1+c⋅√1+c+√1+d√1+d)2=(a+b+c+d)2=1当且仅当(1+a)2a2=(1+b)2b2=(1+c)2c2=(1+d)2d2等号成立;又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=4+a+b+c+d=5;∴a21+a +b21+b+c21+c+d21+d≥15.【必做题】第25题、第26题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在正三棱柱ABC−A1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F,G分别是AA1,AC和A1C1的中点.以{FA→, FB→, FG→}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F−xyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值;(2)求二面角F−BC1−C的余弦值.【答案】解:(1)因为AB=1,AA1=2,则F(0, 0, 0),A(12, 0, 0),C(−12, 0, 0),B(0, √32, 0),E(12, 0, 1),所以AC →=(−1, 0, 0),BE →=(12,−√32, 1),记直线AC 和BE 所成角为α, 则cosα=|cos <AC →,BE →>|=−1×12(12)+(−√32)=√24,所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为√24.(2)设平面BFC 1的法向量为m →=(x, y, z), 因为FB →=(0, √32, 0),FC 1→=(−12,0,2),则{m →⋅FB →=√32y =0m →⋅FC 1→=−12x +2z =0,取x =4,得m →=(4, 0, 1), 设平面BCC 1的一个法向量为n →=(x, y, z),因为CB →=(12,√32, 0),CC 1→=(0, 0, 2),则{n →⋅CB →=12x +√32y =0n →⋅CC 1→=2z =0 ,取x =√3,得n →=(√3,−1,0), ∴ cos <m →,n →>=√3√4⋅√17=2√5117,根据图形可知二面角F −BC 1−C 为锐二面角, 所以二面角F −BC 1−C 的余弦值为2√5117. 【考点】用空间向量求平面间的夹角用空间向量求直线间的夹角、距离 【解析】(1)求出AC →=(−1, 0, 0),BE →=(12,−√32, 1),由此能求出直线AC 和BE 所成角的余弦值.(2)求出平面BFC 1的法向量和平面BCC 1的一个法向量,利用向量法能求出二面角F −BC 1−C 的余弦值. 【解答】解:(1)因为AB =1,AA 1=2, 则F(0, 0, 0),A(12, 0, 0),C(−12, 0, 0), B(0, √32, 0),E(12, 0, 1), 所以AC →=(−1, 0, 0),BE →=(12,−√32, 1),记直线AC 和BE 所成角为α, 则cosα=|cos <AC →,BE →>|=−1×12(12)+(−√32)=√24,所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为√24.(2)设平面BFC 1的法向量为m →=(x, y, z), 因为FB →=(0, √32, 0),FC 1→=(−12,0,2),则{m →⋅FB →=√32y =0m →⋅FC 1→=−12x +2z =0 ,取x =4,得m →=(4, 0, 1), 设平面BCC 1的一个法向量为n →=(x, y, z), 因为CB →=(12,√32, 0),CC 1→=(0, 0, 2),则{n →⋅CB →=12x +√32y =0n →⋅CC 1→=2z =0 ,取x =√3,得n →=(√3,−1,0), ∴ cos <m →,n →>=√3√4⋅√17=2√5117,根据图形可知二面角F −BC 1−C 为锐二面角, 所以二面角F −BC 1−C 的余弦值为2√5117.在平面直角坐标系xOy 中,已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C:y 2=4x 于点P ,点F 为C 的焦点.圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ,PF ,x 轴都相切,设M 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程;(2)若直线l 1与曲线E 相切于点Q(s, t),过Q 且垂直于l 1的直线为l 2,直线l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B .当线段AB 的长度最小时,求s 的值. 【答案】解:(1)因为抛物线C 的方程为y 2=4x ,所以F 的坐标为(1, 0), 设M(m, n),因为圆M 与x 轴、直线l 都相切,l 平行于x 轴, 所以圆M 的半径为|n|,点P(n 2, 2n),则直线PF 的方程为y2n =x−1n 2−1,即2n(x −1)−y(n 2−1)=0, 所以2222=|n|,又m ,n ≠0,所以|2m −n 2−1|=n 2+1,即n 2−m +1=0, 所以E 的方程为y 2=x −1,(y ≠0). (2)设Q(t 2+1, t),A(0, y 1),B(0, y 2),由(1)知,点Q 处的切线l 1的斜率存在,由对称性不妨设t >0,由y′=2√x−1,所以k AQ =t−y 1t 2+1=2√t 2+1−1=12t , k BQ =t−y2t 2+1=−2√t 2+1−1=−2t ,所以y 1=t 2−12t ,y 2=2t 3+3t ,所以AB =|2t 3+3t −t2+12t |=2t 3+52t +12t ,t >0. 令f(t)=2t 3+52t +12t ,t >0, 则f′(t)=6t 2+52−12t2=12t 4+5t 2−12t 2,由f′(t)>0得t >√−5+√7324,由f′(t)<0得0<t <√−5+√7324,所以f(t)在区间(0, √−5+√7324)单调递减,在(√−5+√7324单调递增,所以当t =√−5+√7324时,f(t)取得极小值也是最小值,即AB 取得最小值,此时s =t 2+1=19+√7324.【考点】直线与抛物线结合的最值问题 利用导数研究函数的最值 轨迹方程 【解析】(1)根据题意可得PF 的方程2n(x −1)−y(n 2−1)=0,根据距离即可求出,(2)点Q 处的切线l 1的斜率存在,由对称性不妨设t >0,根据导数的几何意义和斜率公式,求|AB|,并构造函数,利用导数求出函数的最值. 【解答】解:(1)因为抛物线C 的方程为y 2=4x ,所以F 的坐标为(1, 0), 设M(m, n),因为圆M 与x 轴、直线l 都相切,l 平行于x 轴, 所以圆M 的半径为|n|,点P(n 2, 2n),则直线PF 的方程为y2n =x−1n 2−1,即2n(x −1)−y(n 2−1)=0, 所以2222=|n|,又m ,n ≠0,所以|2m −n 2−1|=n 2+1,即n 2−m +1=0, 所以E 的方程为y 2=x −1,(y ≠0). (2)设Q(t 2+1, t),A(0, y 1),B(0, y 2),由(1)知,点Q 处的切线l 1的斜率存在,由对称性不妨设t >0,由y′=2√x−1,所以k AQ =t−y 1t 2+1=2√t 2+1−1=12t , k BQ =t−y2t 2+1=−2√t 2+1−1=−2t ,所以y 1=t 2−12t ,y 2=2t 3+3t ,所以AB =|2t 3+3t −t2+12t |=2t 3+52t +12t ,t >0. 令f(t)=2t 3+52t +12t ,t >0, 则f′(t)=6t 2+52−12t2=12t 4+5t 2−12t 2,由f′(t)>0得t >√−5+√7324,由f′(t)<0得0<t <√−5+√7324,所以f(t)在区间(0, √−5+√7324)单调递减,在(√−5+√7324单调递增,所以当t =√−5+√7324时,f(t)取得极小值也是最小值,即AB 取得最小值,此时s=t2+1=19+√73.24。
2018届徐州、宿迁两市高三第三次模拟考试数学试卷(word版)含答案
2018届徐州、宿迁两市高三第三次模拟考试数学试卷参考公式:样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑;锥体的体积公式:1=3V Sh 锥体,其中S 为锥体的底面面积,h 是高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1. 已知i 是虚数单位,若3ii(,)ia b a b =∈++R ,则ab 的值为 ▲ .2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1则这组数据的方差为 ▲ .3. 右图是一个算法流程图,则输出的S 的值是 ▲ .4. 若集合{}1,0,1A =-,{}|cos(),B y y x x A ==π∈,则A B = ▲ .5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ . 6.在ABC △中,已知4cos 5A =,1tan()2A B -=-,则tan C 的值是 ▲ .7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ .8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若77S =,1575S =,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ .9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等,现沿PA ,PB ,PC 三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为,则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ .10.已知O 为ABC △的外心,若51213OA OB OC +-=0,则C ∠等于 ▲ .11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字,则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ . 12. 若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为 ▲ . 13.已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥,且()()f a f b =,则()bf a 的取值范围是 ▲ .14. 已知曲线C :()(0)af x x a x=>+,直线l :y x =,在曲线C 上有一个动点P ,过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线,垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线,分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ,O 是(第3题图)坐标原点.若ABP △的面积为12,则OMN △的面积为 ▲ . 二、解答题: 本大题共6小题, 15~17每小题14分,18~20每小题16分,共计90分.请在答题卡指定的......区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ⑵由⑴AC BC ⊥,又因为CD 为圆O 的直径, 所以BD BC ⊥,因为,,AC BC BD 在同一平面内,所以AC BD ,…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ,AC ⊂平面ACE ,所以BD 平面ACE .………………………11分 因为BF CE ,同理可证BF 平面ACE , 因为BD BF B = ,,BD BF ⊂平面BDF , 所以平面BDF 平面ACE ,因为D F ⊂平面BDF ,所以DF 平面ACE . (14)16.已知ABC △的面积为S ,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,32AB AC S =.⑴求cos A 的值;⑵若,,a b c 成等差数列,求sin C 的值.17.已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ,O 为半圆的圆心,12OC r =,残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以BC 为斜边;如图乙,直角顶点E 在线段OC 上,且另一个顶点D 在AB 上.要使截出的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三角形面积的最大值.(第17题甲图) (第17题乙图)(第15题图)18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点,圆2A 的半径为a ,过点1A 作圆2A 的切线,切点为P ,在x 轴的上方交椭圆E 于点Q .⑴求直线OP 的方程;⑵求1PQ QA 的值;⑶设a 为常数.过点O 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆E 于点,B C ,分别交圆2A 于点,M N ,记OBC △和OMN △的面积分别为1S ,2S ,求12S S ⋅的最大值.19.已知数列{}n a 满足:12(0)a a a =+≥,1n a +=*n ∈N . ⑴若0a =,求数列{}n a 的通项公式;⑵设1n n n b a a +=-,数列{}n b 的前n 项和为n S ,证明:1n S a <.(第18题图)20.已知函数2()ln f x x ax x =--,a ∈R .⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数,求a 的取值范围;⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c (点P 除外),该函数图象在点P 处的切线为l ,且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧,试求所有满足条件的a 的值.2018届徐州、宿迁两市高三第三次模拟考试数学试卷数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题,请从这4题中选做2小题.每小题10分,共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4-1:几何证明选讲如图,已知圆A ,圆B 都经过点C ,BC 是圆A 的切线,圆B 交AB 于点D ,连结CD 并延长交圆A 于点E ,连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.EA B C DB .选修4-2:矩阵与变换已知,a b ∈R ,若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l :23x y -=变换为自身,求1-M .C .选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2,求a 的值.D .选修4-5:不等式选讲已知,,x y z ∈R ,且234x y z --=,求222x y z ++的最小值. 22.【必做题】本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,已知16AA =,2AB =,,M N 分别是棱1BB ,1CC 上的点,且4BM =,2CN =. ⑴求异面直线AM 与11AC 所成角的余弦值;⑵求二面角1M AN A --的正弦值.23.【必做题】本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n n n n n n f x x x x x x ------=-+-+-++- ,n *∈N . ⑴当2n ≥时,求函数()f x 的极大值和极小值;⑵是否存在等差数列{}n a ,使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++= 对一切n *∈N 都成立?并说明理由.(第22题图) A BC A 1B 1C 1 MN2018届徐州、宿迁两市高三第三次模拟考试数学试卷数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-;2. 0.032;3. 58;4. {1,1}-;5.(1,5)-;6.112; 7.1;8.55; 9.9; 10.3π4; 11. 38; 12. 13.5[,3)4; 14. 4二、解答题分16.⑴由32AB AC S = ,得31cos sin 22bc A bc A =⨯,即4sin cos 3A A =.……………2分代入22sin cos 1A A =+,化简整理得,29cos 25A =.……………………………………4分由4sin cos 3A A =,知cos 0A >,所以3cos 5A =.………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理,得2sin sin sin B A C =+,即2sin()sin sin A C A C =++,………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++.①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =,得4sin 5A =,……………………………………………10分 代入①,整理得4sin cos 8CC -=.代入22sin cos 1C C =+,整理得265sin 8sin 480C C --=,……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-.因为(0,)C ∈π,所以12sin 13C =.…………………………………………………………14分17.如图甲,设DBC α∠=,则3cos 2r BD α=,3sin 2rDC α=, ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△………………………………………………………………………4分2916r ≤, 当且仅当π4α=时取等号, …………………………………………………6分 此时点D 到BC 的距离为34r ,可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部,因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r . …………………………………………………7分如图乙,设EOD θ∠=,则cos OE r θ=,sin DE r θ=,所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△,ππ[,]32θ∈ . …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+,则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-,当ππ[,]32θ∈时,()0f θ'≤,所以π3θ=时,即点E 与点C 重合时,BDE △2. ………………………………………………………13分22916r >,2.…………14分 18.⑴连结2A P ,则21A P A P ⊥,且2A P a =, 又122A A a =,所以1260A A P ∠= .所以260POA ∠= ,所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知,直线2A P的方程为)y x a =-,1A P的方程为)y x a +, 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分因为e =c a =2234c a =,2214b a =,故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-,…………………………………………………………7分(第17题甲图)(第17题乙图)所以1()3274()7a a PQ a QA a --==---. ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>,联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ,所以OB =10分用1k-代替上面的k,得OC =同理可得,OM,ON =.…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=14分15≤,当且仅当1k =时等号成立,所以12S S ⋅的最大值为45a .………………………………16分19.⑴若0a =时,12a =,1n a +=212n n a a +=,且0n a >. 两边取对数,得1lg22lg lg n n a a +=+,……………………………………………………2分 化为11lg lg2(lg lg2)2n n a a +=++, 因为1lg lg22lg2a =+,所以数列{lg lg2}n a +是以2lg 2为首项,12为公比的等比数列.……………………4分 所以11lg lg22()lg22n n a -=+,所以2212n n a --=.………………………………………6分⑵由1n a +=212n n a a a +=+,① 当2n ≥时,212n n a a a -=+,②①-②,得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+,…………………………………………8分 由已知0n a >,所以1n n a a +-与1n n a a --同号.…………………………………………10分因为2a =0a >,所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立,所以210a a -<,所以10n n a a +-<.………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-,所以1()n n n b a a +=--, 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<.…………………………………………………………16分 20.⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+,………………………………………2分 只需要2210ax x +-≤,即22111112()24a x x x -=--≤,所以18a -≤.…………………………………………………………………………………4分⑵因为1()21f x ax x'=--.所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--.令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦,则(2)0g =.212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-.………………………………………6分 若0a =,则2()2xg x x-'=, 当(0,2)x ∈时,()0g x '>;当(2,)x ∈∞+时,()0g x '<,所以()(2)0g x g =≥,12,c c 在直线l 同侧,不合题意;…………………………………8分若0a ≠,12(2)()4()a x x a g x x-+'=-,若18a =-,2(1)2()0x g x x -'=≥,()g x 是单调增函数, 当(2,)x ∈∞+时,()(2)0g x g >=;当(0,2)x ∈时,()(2)0g x g <=,符合题意;…10分若18a <-,当1(,2)4x a∈-时,()0g x '<,()(2)0g x g >=, 当(2,)x ∈+∞时,()0g x '>,()(2)0g x g >=,不合题意; …………………………12分 若108a -<<,当1(2,)4x a∈-时,()0g x '<,()(2)0g x g <=, 当(0,2)x ∈时,()0g x '>,()(2)0g x g <=,不合题意; ……………………………14分 若0a >,当(0,2)x ∈时,()0g x '>,()(2)0g x g <=, 当(2.)x ∈+∞时,()0g x '<,()(2)0g x g <=,不合题意.故只有18a =-符合题意. ………………………………………………………………16分附加题21.A .由已知,AC BC ⊥,因为90ACD BCD ∠∠=︒+, AC AE =,BC BD =,所以ACD E ∠=∠,BCD BDC ∠=∠,因为ADE BDC ∠=∠,所以90E ADE ∠∠=︒+,所以AE AB ⊥.……………………………………………5分延长DB 交B 于点F ,连结FC ,则2DF DB =,90DCF ∠=︒, 所以ACD F ∠=∠,所以E F ∠=∠,所以Rt ADE △∽Rt CDF △, 所以AD DECD DF=,所以DE DC AD DF ⋅=⋅,因为2DF DB =, 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B .对于直线l 上任意一点(),x y ,在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y '',则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++, 因为23x y ''-=,所以2()(3)3x ay bx y --=++, ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M , …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 FEA BC D (第21—A 题图)C .直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++, …………………………3分圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+,即22(2)4x y -=+ ,…………6分因为截得的弦长为2,所以圆心(0,2),=0a >,所以2a =. ………………………………………10分D .由柯西不等式,得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤,即2222(23)14()x y z x y z --++≤, ……………………………………………………5分即2221614()x y z ++≤. 所以22287x y z ++≥,即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分 22.⑴以AC 的中点为原点O ,分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴,建立空间直角坐标系O xyz -(如图). 则(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(1,0,0)C -,B ,1,6,0). 所以(AM =- ,11(2,0,0)AC =- .所以111111cos ,AM A C AM A C AM A C <>=== 所以异面直线AM 与11AC ⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m . 设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ,因为(AM =- ,(2,2,0)AN =- ,由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩++令1x =,则(1,1,=n . 所以cos ,<>=== m n m n m n , 所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23.(1)101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n nn n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --, 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+,令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-, 因为2n ≥,所以123x x x <<.…………………………………………………2分当n 为偶数时()f x 的增减性如下表:x (,0)-∞ 0 1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1 (1,)+∞()f x ' + 0 + 0 - 0 + ()f x 无极值 极大值 极小值 所以当121n x n -=-时,121(1)()(21)n nn n n y n ---⋅--极大;当1x =时,0y =极小.………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表:所以0x =时,0y =极大;当121n x n -=-时,121(1)()(21)n nn n n y n ---⋅-=-极小.…………6分(2)假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立,由组合数的性质C C m n mn n -=,把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅,两式相加,因为{}n a 是等差数列,所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+ , 故0111()(C C C )2n nn n n n a a n +++++=⋅ ,所以11n a a n ++=. …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==,,得121a a +=且132a a +=, 进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N .………10分x (,0)-∞ 0 1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1 (1,)+∞ ()f x ' + 0 - 0 + 0 +()f x 极大值 极小值 无极值。
江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题 (8)
【题文】已知函数2()1f x x ax =++,()ln ()g x x a a R =-∈.(1)当a =1时,求函数()()()h x f x g x =-的极值;(2)若存在与函数f (x ),g (x )的图象都相切的直线,求实数a 的取值范围.【答案】(1)函数()h x 的定义域为(0,)+∞. 当1a =时,2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+, 所以1(21)(1)()21x x h x x x x -+'=+-=, 所以当102x <<时,()0h x '<,当12x >时,()0h x '>, 所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减,在区间1(,)2+∞单调递增, 所以当12x =时,函数()h x 取得极小值为11+ln 24,无极大值. (2)设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同,则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-, 故211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==-, 所以12122a x x =-,代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--,得222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--,则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=, 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时,()0F x '<,当0x x >时,()0F x '>, 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减,在区间0(,)x +∞上单调递增, 代入20000121=2x a x x x -=-可得:2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-, 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-,则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立, 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增,又(1)=0G ,所以当01x <≤时()0G x ≤,即当001x <≤时0()0F x ≤,又当2a x e +=时,222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥,14分因此当001x <≤时,函数()F x 必有零点;即当001x <≤时,必存在2x 使得(*)成立; 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同. 又由12y x x =-得:2120y x'=--<, 所以12(0,1]y x x=-在单调递减,因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞,, 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞.【解析】【标题】江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题【结束】。
2018年江苏省徐州市高考数学三模试卷
可得 , ,
∴ .
再根据五点法作图可得 ,
解得 ,
∴ .
点 的横坐标为 ,求得 ,
根据 , ( , 均为锐角),可得 , ,
∴ ,∴ .
如图,某生态农庄内有一直角梯形区域 , , , 百米, 百米.该区域内原有道路 ,现新修一条直道 (宽度忽略不计),点 在道路 上(异于 , 两点), .
用 表示直道 的长度;
计划在 区域内种植观赏植物,在 区域内种植经济作物.已知种植观赏植物的成本为每平方百米 万元,种植经济作物的成本为每平方百米 万元,新建道路 的成本为每百米 万元,求以上三项费用总和的最小值.
【答案】
解: 过点 作 ,垂足为 ,
如图,
在 中,
∵ , , ,
∴ ,
在 中,
∵ , , ,
求函数 的解析式;
记 , ( , 均为锐角),求 的值.
【答案】
解: 根据函数 在一个周期内的图象,
以及点 , 是图象上的最低点, 是图象上的最高点,
可得 , ,
∴ .
再根据五点法作图可得 ,
解得 ,
∴ .
点 的横坐标为 ,
求得 ,
根据 , ( , 均为锐角),
可得 , ,
∴ ,
∴ .
【考点】
二倍角的正切公式
即 ,
解得 ,
即定义域为 .
故答案为: .
6.袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球,这些球除颜色外完全相同.现从中随机摸出 只球,若摸出的球不是红球的概率为 ,不是黄球的概率为 ,则摸出的球为蓝球的概率为________.
【答案】
【考点】
对立事件的概率公式及运用
徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I参考答案
S 数学 I 参考答案 第 1 页(共 4 页)
所以平面 PBD ⊥ 平面 PAD .…………………6 分 (2)取 PD 的中点 F ,连结 EF , 因为 E,F 分别是 PA , PD 的中点, 所 以 EF // AD , 且 AD =2EF , 又 因 为 四 边 形 ABCD 为 直 角 梯 形 且 AD // BC ,
16. (1)因为 AD ⊥ 平面 PAB , PB ⊂ 平面 PAB , 所以 AD ⊥ PB , 又因为 PB ⊥ PD , 且 AD ∩ PD = D , AD,PD ⊂ 平面 PAD , 所以 PB ⊥ 平面 PAD , 又因为 PB ⊂ 平面 PBD ,
P
E
A
F F
D
BCLeabharlann (第 16 题图)于是 cos C = 1 − sin 2 C = 1 − (
2 2 a b a sin A 2 3 (2)由 , ……………………………10 分 = , 可得 = = 3 = sin A sin B b sin B 3 6 3 ⎧ ⎪a = 2 又 a 2 + b 2 = 7 ,解得 ⎨ , …………………………………………………12 分 ⎪ ⎩b = 3 3 所以 c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C = 7 − 4 3 × =3, 3 所以 c = 3 .……………………………………………………………………………14 分 (另解:又因为 tan B = tan C ,角 B,C 为 △ ABC 的内角,所以 c = b = 3 .)
AD = 2 BC ,所以 EF // BC 且 EF = BC ,所以四边形 EFCB 是平行四边形,
所以 BE // CF , 又 CF ⊂ 平面 PCD , BE ⊄ 平面 PCD , …………………………………………………………14 分 1 2 17. (1)由题意可知: 4 = 4r ( πr + 2ar ) = 2πr 3 + 8ar 2 , 2 3 3 4 − 2πr 2 − πr 所以 a = = . ……………………………………2 分 2 8r 4r 2 2 2 又因为 r ≤ a ≤ 2r ,得 3 . …………………………………4 分 ≤r≤ 3 8+π 4+π 所以 y = 4r (2a + 2r ) + 4ar + 2( πr × 4r + πr 2 ) = 12ar + 8r 2 + 10πr 2 , 2 − πr 6 = 12r × + 8r 2 + 10πr 2 = + (8 + 7 π)r 2 , 2 4r r 2 3 2 定义域为 [ 3 , ] .……………………………………………………………6 分 8+π 4+π 6 6 (2)令 f (r ) = + (8 + 7 π)r 2 ,所以 f ′(r ) = − 2 + (16 + 14π)r , …………………8 分 r r 6 3 令 f ′(r ) = 0 ,即 2 = (16 + 14π)r ,解之得: r = 3 , r 8 + 7π 3 当r > 3 时 f ′( r ) > 0 ,函数 y = f (r ) 为增函数; 8 + 7π 所以 BE // 平面 PCD .
推荐-徐州一中2018届高三数学一检模拟综合题1[整理] 精品
徐州一中2018届高三数学一检模拟综合题1(卷1)班级 学号 姓名 得分一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合A={x |Z x x ∈≤-,1|42},则集合A 的真子集个数为 ( ) A.2个 B.1个 C.4个 D.3个2.下面四个图形中,与函数y = 2 + log 2x (x ≥1)的图象关于直线y = x 对称的是 ( )3.已知命题p :函数y = log a (ax + 2a )(a > 0且a ≠1)的图象必过定点(– 1,1);命题q :如果函数y = f (x – 3)的图象关于原点对称,那么函数y = f (x )的图象关于(3,0)点对称. 则 ( ) (A )“p 且q ”为真 (B )“p 或q ”为假 (C )p 真q 假 (D )p 假q 真4.从4台A 型笔记本电脑和5台B 型笔记本电脑中任意选取3台,其中至少要有A 型和B 型笔记本电脑各一台,则不同的选取方法共有 ( ) A 140种 B 84种 C 70种 D 35 种5.已知△ABC 中,||=3,||=4,且·=-63,则△ABC 的面积是A.6B.33C.3D.26+6.在8(1)(1)x x -+的展开式中5x的系数是 ( )(A )-14 (B )14 (C )-28 (D )28 7.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )(A )2 (B )12(C )2 (D 1 8.已知P 为抛物线y 2=4x 上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则|P A |+d 的最小值为 ( ) A.4B.34C.117-D.134-9.某交往式计算机有20个终端,这些终端由各个单位独立操作,使用率均为0.8,则20个终端中至少有一个没有使用的概率为 ( ) A.0.220 B.0.820 C.1-0.820 D.1-0.22010.曲线1323+-=x x y 在点(1,-1)处的切线方程为 ( )A .Y=3x-4B y= -3x+2C . Y=-4x+3D . Y=4x-511.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y =2x 2+1,值域为{5,19}的“孪生函数”共有 A.10个 B.9个 C.8个 D.7个12.计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A ~F 共16个计例如,用十六进制表示:E+D=1B ,则A ×B= ( ) (A )6E (B )72 (C )5F (D )B0二、填空题:(本题共6小题,每题4分,共24分)13.函数223)(a bx ax x x f +++=,在x=1时,有极值10,那么a,b 的值为 14.双曲线与椭圆9x 2 + 25y 2 = 225有相同的焦点,并且一条准线方程为x = 2,则双曲线的焦点坐标为___________________;渐近线方程是_________________. 15.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-+-0, 10, 20, 2y x y x 表示的区域为D ,z = x + y 是定义在D 上的目标函数,则区域D 的面积为_________;z 的最大值为_________.16.经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人17.双曲线3x 2-4y 2-12x +8y -4=0按向量m 平移后的双曲线方程为13422=-y x ,则平移向量m= .18.设函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f 给出以下四个论断:(1)它的图象关于直线12π=x 对称;(2)它的图象关于点)0,3(π对称;(3)它的周期是π; (4)在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,6π上是增函数。
徐州市2018~2019学年度高三年级考前模拟检测数学试题与答案
从而四边形 BEFG 为平行四边形, ………4 分
高三数学 第 1 页 共 6 页
于是 EF // BG ,
又因为 BG 面 ABB1A1 , EF 面 ABB1A1 , 所以 EF // 平面 ABB1A1 ;……………………7 分 (2)证明:在△ABC 中,因为 AB AC , E 为 BC 的中点,
所以 AE BC ,
又因为侧面 BCC1B1 底面 ABC ,侧面 BCC1B1 底面 ABC=BC ,且 AE 面 ABC , 所以 AE 平面 BCC1B1 , ………………………………………………………12 分 又 AE 面 AEF , 所以平面 AEF 平面 BCC1B1 . ……………………………………………………14 分
0
,
则实数 k 的值为 ▲ .
9.
已知函数
f
(x)
2 sin(2 x
) 6
,若实数
x1,
x2
满足
f (x1)
f (x2 ) 0 ,则
x1 x2
的最小值
为▲.
10.已知数列{an} 的前 n 项积为 Tn ,若对 n 2 , n N ,都有 Tn1 Tn1 2Tn2 成立,且
(2)若函数在区间1, 2 上存在极小值,求实数 a 的取值范围;
(3)如果 f (x) 0 的解集中只有一个整数,求实数 a 的取值范围.
(第 18 题)
20.(本小题满分 16 分) 在数列 {an} 中, a1 0 ,且对任意 k N , a2k1, a2k , a2k1 成等差数列,其公差为 dk . (1)若 d1=2 ,求 a2 , a3 的值; (2)若 dk =2k ,证明 a2k , a2k1, a2k+2 成等比数列( k N ); (3)若对任意 k N , a2k , a2k1, a2k+2 成等比数列,其公比为 qk .设 q1 1,证明数列 1 { } 是等差数列. qk 1
推荐-徐州市2018-2018学年度高三年级摸底考试数学试题 精品
徐州市2018-2018学年度高三年级摸底考试数 学 试 题一、填空题:本大题10小题,每小题5分,共50分.请把答案直接填在答题卡的相应位置上. 1、 命题“2,12x R x x ∀∈+≥”的否定是 2、 方程2lg(1)1lg(1)x x ++=-的解是 3、 若2,1iz i=-则||z = 4、 甲、乙两个学习小组各有10名同学,他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示,则他们在这次测验中成绩较好的是 组。
甲 乙5 81 1 1136 47 1 94 7 45669 8664318 18 1 1 09 5、 若奇函数()sin f x x c =+的定义域为[,]a b ,则a+b+c=6、 若随机向一个边长为2的正三角形内丢一粒豆子,则豆子落在此三角形内切圆内的概率为 7、 在三角形ABC 中,若sin :sin :sin A B C =,则该三角形的最大内角等于 8、 已知向量,a b 满足|1,||3,(3,1)a b a b ==+=,则||a b -= 9、 一个空间几何体的三视图及有关尺寸如右上图所示,则此几何体的侧面积为 10、某超市为了吸引顾客,采用“满一百送二十,连环送”的酬宾促销方式,即顾客在店内花钱满100元(可以是现金,也可以现金与奖励劵合计),就送20元,满200元就送40元奖励劵,满300元就送60元奖励劵….当是有一位顾客共花出现金7180元,如果按照酬宾促销方式,他最多能购买 元的商品。
二、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的11、函数3()1f x x x =+-的零点所在的区间为A 、1(0,)2B 、1(,1)2C 、3(1,)2D 、3(,2)212、“a =1”是“直线y=ax+1和直线y= -ax -1垂直”的 A 、充分不必条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既非充分又非充分条件113、若直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相离,则点(a,b)与此圆的位置关系是A 、在圆上B 、在圆外C 、在圆内D 、不能确定14、为了计算13599⨯⨯⨯⨯的值,请你把右边框图中空缺的部分补完整,正确的为 A 、①I I+1②S S ×I B 、①I I+2②S S ×I C 、①S S ×I ②I I+1 D 、①S S ×I ②I I+215、已知x,y 满足010112x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤≤⎨⎪⎪-≥⎩,则z=1-2x+y 的最大值为A 、0B 、1C 、1.5D 、216、对于任意两个实数a,b 定义运算“*”如下:aa ba b b a b≤⎧*⎨>⎩则函数2()[(6)(215)]f x x x x =*-*+的最大值为A 、25B 、16C 、9D 、4三、解答题:本大题共6小题,共80分。
江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题(解析版)
徐州市2017~2018学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置........1.已知集合,,则____.【答案】【解析】,所以。
2.已知复数(为虚数单位),则的模为____.【答案】【解析】,所以。
3.函数的定义域为____.【答案】【解析】,解得定义域为。
4.如图是一个算法的伪代码,运行后输出的值为___________.【答案】13【解析】根据题意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件,故得到此时输出的b值为13.故答案为:13.5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩,并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有____人.【答案】750【解析】因为,得,所以。
6.在平面直角坐标系xOy中,双曲线的一条渐近线方程为,则它的离心率为_______.【答案】【解析】,所以,得离心率。
7.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____.【答案】【解析】总事件数为,目标事件:当第一颗骰子为1,2,4,6,具体事件有,共8种;当第一颗骰子为3,6,则第二颗骰子随便都可以,则有种;所以目标事件共20中,所以。
8.已知正四棱柱的底面边长为,侧面的对角线长是,则这个正四棱柱的体积是____.【答案】【解析】Aa 设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为故答案为:54.9.若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为____.【答案】【解析】由三角函数的图象可知,直线与正弦函数图象交的三个相邻交点中,第一个点和第三个点之间正好一个周期,则,所以。
2018年4月最新优质市级模拟试卷快递:江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题(解析版)
1.【解析】,所以。
2.【解析】,所以。
3.【解析】,解得定义域为。
4.135.750【解析】因为,得,所以。
6.【解析】,所以,得离心率。
7.【解析】总事件数为,目标事件:当第一颗骰子为1,2,4,6,具体事件有,共8种;当第一颗骰子为3,6,则第二颗骰子随便都可以,则有种;所以目标事件共20中,所以。
8.54【解析】Aa 设正四棱柱的高为h 得到故得到正四棱柱的体积为故答案为:54. 9.【解析】由三角函数的图象可知,直线与正弦函数图象交的三个相邻交点中,第一个点和第三个点之间正好一个周期,则,所以。
10.【解析】,所以,得,由图象对称性,取点,所以。
11.14点睛:这个题目考查的是等差数列的性质和应用;解决等差等比数列的小题时,常见的思路是可以化基本量,解方程;利用等差等比数列的性质解决题目;还有就是如果题目中涉及到的项较多时,可以观察项和项之间的脚码间的关系,也可以通过这个发现规律。
12.【解析】关于直线的对称圆,由题意,圆与圆有交点,所以,所以的范围是。
点睛:本题考查直线和圆的位置关系。
由题意,得到关于直线的对称圆,存在点满足条件,即圆与圆有交点,由图象特点得,求得的范围。
直线和圆的题型充分利用图象辅助解题。
13.[]2,2-【解析】函数f (x )=()221,1{1,1x x x x -+≤->,当﹣1≤x≤1时,f(x)=1﹣x;当x<﹣1时,f(x)=x+3;当x>1时,f(x)=(x﹣1)2.①当x>1,即﹣x<﹣1,可得g(x)=(x﹣1)2+3﹣x=x2﹣3x+4,由g(x)≤2,解得1<x≤2;②当x<﹣1时,﹣x>1,则g(x)=x+3+(x+1)2=x2+3x+4,由g(x)≤2,解得﹣2≤x<﹣1;③当﹣1≤x≤1时,﹣1≤﹣x≤1,可得g(x)=1﹣x+1+x=2,由g(x)≤2,解得﹣1≤x≤1,综上可得,原不等式的解集为[﹣2,2].故答案为:[﹣2,2].14.点睛:这个题目考查的是向量基本定理的应用;向量的点积运算。
江苏省徐州市大庙镇中心中学2018年高三数学理模拟试题含解析
江苏省徐州市大庙镇中心中学2018年高三数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设偶函数,当时,,则A. B.C. D.参考答案:B2. 由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()A. B.4 C. D.6参考答案:C3. 甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是()A.210 B.84 C.343 D.336参考答案:D【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【分析】由题意知本题需要分组解决,共有两种情况,对于7个台阶上每一个只站一人,若有一个台阶有2人另一个是1人,根据分类计数原理得到结果.【解答】解:由题意知本题需要分组解决,因为对于7个台阶上每一个只站一人有种;若有一个台阶有2人另一个是1人共有种,所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种.故选:D.【点评】分类要做到不重不漏,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.分步要做到步骤完整,完成了所有步骤,恰好完成任务.4. 已知实数p>0,直线4x+3y﹣2p=0与抛物线y2=2px和圆(x﹣)2+y2=从上到下的交点依次为A,B,C,D,则的值为()A.B.C.D.参考答案:C【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线的焦点为F,由题得|BF|=|CF|=.由抛物线的定义得:|AC|=|AF|+|CF|=+x1+=x1+p,同理得|BD|=x2+p.联立直线4x+3y﹣2p=0与抛物线y2=2px且消去x解出y1=,y2=﹣2p,所以x1=,x2=2p,进而得到答案.【解答】解:设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线的焦点为F,由题意得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得:|AC|=|AF|+|CF|=+x1+=x1+p,同理得|BD|=x2+p.联立直线4x+3y﹣2p=0与抛物线y2=2px且消去x得:2y2+3py﹣2p2=0解得:y1=,y2=﹣2p,所以x1=,x2=2p所以==.故选:C.5. 已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足,,,若,,则=( )A. B. C. D.参考答案:A试题分析:∵,,∴,∴.考点:向量的运算.6. 设集合,,在集合().A.B.C.D.参考答案:B或,,∴,故选.7. 如图,抛物线的一条弦AB经过焦点F,取线段OB的中点D,延长OA至点C,使,过点C,垂D分别作y轴的垂线,垂足分别为E,G,则|EG|的最小值为( ).A.B.C. D. 4参考答案:D8. 已知函数,若,则实数的取值范围是( )A.或 B.C.或 D.参考答案:D9. (04年全国卷IV文)为了得到函数的图象,可以把函数的图象()A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度参考答案:答案:D10.2007年12月中旬,我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾,电煤库存吃紧。
江苏省徐州市铜山区2018届高考模拟(一)数学试题
2018届铜山区高考模拟卷(一)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x 或,则A B ▲.2.设复数z 满足i z i 2)1(,则z =___▲___.3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为▲.4.执行如图所示的伪代码,若0x ,则输出的y 的值为▲.5.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负,则一次游戏中甲胜出的概率是___▲___.6.已知3tan()63,则tan()6▲.7. 若实数x ,y 满足约束条件1122y xyx y x,则目标函数y x z 2的最小值为▲.8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为_ ▲.9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a ,648S ,则{}n a 的公差为___▲___.10.已知椭圆C :22221x y a b ,)0(b a 的左、右顶点分别为21,A A ,且以线段21A A 为直径的圆与直线20bx ay ab 相切,则C 的离心率为___▲___.11.函数()f x 是周期为4的偶函数,当[0,2]x 时,()1f x x ,则不等式()0xf x 在[1,3]上的解集为▲.12.在矩形21AD AB ABCD ,中,,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上。
若AD AB AP ,则的最大值为___▲___.13.已知函数211()2()x x f x x x a e e 有唯一零点,则a =___▲___.14.已知1,2a b ,则22214a ba b 的最小值为___▲___.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知函数22sin sin 6f x x x ,[0,]2x (1)求()f x 的值域;(2)若ABC 的面积为332,角C 所对的边为c ,且1()2f C ,7c ,求ABC 的周长.16.(本小题满分14分)如图,在四面体ABCD 中,平面ABC ⊥平面ACD ,E ,F ,G 分别为AB ,AD ,AC 的中点,ACBC ,90ACD .(1)求证:AB ⊥平面EDC ;(2)若P 为FG 上任一点,证明:EP∥平面BCD .17.(本小题满分14分)某企业为了减少噪声对附近居民的干扰,计划新增一道“隔音墙”,从上往下看,“隔音墙”可以看成曲线,在平面直角坐标系xOy 中,“隔音墙”的一部分所在曲线的方程2,1,1ln )(x x ax x f 为(单位:千米). 已知居民区都在x 轴的下方,这部分曲线上任意两点连线的斜率都小于-1时“隔音墙”的隔音效果最佳.(1)当29a时,求“隔音墙”所在曲线)(x f 上的点到轴最近距离;(2)当实数a 在什么范围时,“隔音墙”的隔音效果最佳?18. (本小题满分16分)已知椭圆C 1以直线所过的定点为一个焦点,且短轴长为4.(Ⅰ)求椭圆C 1的标准方程;(Ⅱ)已知椭圆C 2的中心在原点,焦点在y 轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍(λ>1),过点C (﹣1,0)的直线l 与椭圆C 2交于A ,B 两个不同的点,若,求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程.。
徐州市2018学年度高三年级摸底考试高三摸底数学I试题定稿
绝密★启用前徐州市 2021- 2021学年度高三年级摸底考试数学 I注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1.本试卷共 4 页,均为非选择题〔第 1 题~第 20 题,共 20 题〕。
本卷总分值为 160 分,考试时间为 120 分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题,必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式: 1.样本数据 x 1 , x 2 ,, x n 的方差 s2 1 n21 n i 1 ( x i x) ,其中 xn nx i ; i 12.锥体的体积公式:V1Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高.3一 .填空题: 本大题共 14 小题 ,每题 5 分,共 70 分 .请把答案填写在答题卡 相应位置 .... ....1.设集合 A {1,2,3} , B {2,4,6} ,那么 A B ▲.开始2.复数 z 满足 (1i) z i ,其中 i 为虚数单位,那么复数z 的实部为 ▲ .3.函数 f (x)2sin( x1) 的周期为▲.3 44.一组数据: 87, x,90,89,93 的平均数为90,那么该组数据的方差为 ▲ .x 0,k 0Yx ≥ 8Nxlog 2 xx2x5.双曲线 x 2y 21的离心率为▲.3k k +16.从 2 个黄球, 3 个红球中随机取出两个球,那么两球颜色不同的概率是 ▲ . k ≥5 N7.执行如下图的流程图,那么输出的 x 值为 ▲ .8.各棱长都为 2的正四棱锥的体积为 ▲ .Y输出 x9.公差不为零的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且a ,a ,S 数学I试卷第1页(共9页)10.如,在半径 2 的扇形 AOB 中, AOB90 ,P AB 上的一点,假设 OP OA 2 ,OP AB 的▲.11.函数f x e x e x +1〔 e自然数的底数〕,假设 f (2x1) f (4 x2 )2,数 x 的取范PB▲.12.数x, y 足x2y2 3 , | x || y | ,142x y 2x 2 y 2的最小▲.13.点P是O : x2y2 4 上的点,点A(4,0) ,假设直〔第 10 〕O A y kx 1 上存在点 Q ,使点 Q 恰是段 AP 的中点,数 k 的取范▲.14.函数f (x) x3x22a ,假设存在x0,a ,使 f ( x0)⋯0,数 a 的取范▲.二.解答:本大共 6 小,共 90分.在答卡指定区域内作答,解答写出..........文字明、明程或算步.15. ( 本小分14 分 )△ ABC 的内角A,B, C 所的分a, b ,c,且 a2c 2bcosA .〔 1〕求角B的大小;〔 2〕假设b 2 3 ,a c=4 ,求△ ABC 的面.16.〔本小分 14 分〕AC ,D BC 的中点,E AC 上一如,在三棱 S ABC 中, SA SC , AB点,且 DE // 平面SAB.求:〔 1〕直AB //平面 SDE ;S〔 2〕平面 ABC平面 SDE.EACDB〔第 16 题〕17.〔本小题总分值14 分〕如图,有一块半圆形空地,开发商方案建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ,并将剩余空地进行绿化,园林局要求绿化面积应最大化.其中半圆的圆心为 O ,半径为R,矩形的一边AB在直径上,点 C 、D、 G 、H在圆周上,E、F在边 CD 上,且BOG,设BOC.3(1〕记游泳池及其附属设施的占地面积为f ( ) ,求 f ( ) 的表达式;(2〕怎样设计才能符合园林局的要求?H GD CE FA O B〔第 17 题〕18.〔本小题总分值16 分〕如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆x2y2b21(a b 0)的左顶点为 A(2,0) ,E :a 2离心率为1,过点 A 的直线l与椭圆E交于另一点 B ,点 C 为y轴上的一点. 2〔 1〕求椭圆E的标准方程;〔 2〕假设△ ABC 是以点 C 为直角顶点的等腰直角三角形,求直线l 的方程 .yBA O xC〔第 18 题〕19.〔本小题总分值16 分〕N*.数列{ b n}满足数列 { a n} 的前 n 项和为 S n,满足S n 2 a n 1 ,nnb n 1 (n 1)b n n( n 1) ,n N*,且 b1 1 .〔 1〕求数列 { a n } 和{ b n}的通项公式;〔 2〕假设c n a n b n,数列 { c n } 的前 n项和为 T n,对任意的 n N*,都有T n nS n a ,求实数 a 的取值范围;(3〕是否存在正整数m,n,使 b1,a m,b n〔n 1〕成等差数列,假设存在,求出所有满足条件的 m , n,假设不存在,请说明理由.20.〔本小题总分值16 分〕函数 f (x) (ax 1)e x( a0 , e是自然对数的底数).(1〕假设函数 f ( x)在区间1,2上是单调减函数 , 求实数a的取值范围;(2〕求函数 f ( x)的极值;〔 3〕设函数 f ( x) 图象上任意一点处的切线为l ,求 l 在x轴上的截距的取值范围.徐州市 2021- 2021学年度高三年级摸底考试数学 I参考答案一.填空题:1.{2}2.13. 64.45.237. 442 26.8.12.354,0]39. 8810. 2 2 3 11.( 1,3)13.[14. [ 1,0][2,)53二.解答题:15.〔 1〕因为 a2c2b cosA ,因为 C A B ,所以 sinA+2sin A B2sinBcosA .即 sinA+2sin A cosB 2cos Asin B 2sinBcosA ,所以 sinA 1+2cosB 0. ······4分因为 sin A10 ,所以 cosB . ·····6 分又因为 0B ,22 .·······7 分所以 B3〔 2〕由余弦定理 a 2c 2 2ac cosB b 2 及 b 2 3 得, a 2 c 2 + ac 12 ,2即 a cac 12 . ······10 分 又因为 a c=4 ,所以 ac 4 , ·······12 分所以 S △ ABC = 1 1 33 .····14 分acsin B 42 2 216. 〔 1〕因为 DE // 平面 SAB , DE 平面 ABC ,平面 SAB 平面 ABC AB ,所以 DE // AB .···3 分因为 DE平面 SDE , AB平面 SDE ,所以 AB // 平面 SDE .······6 分〔 2〕因为 D 为 BC 的中点, DE // AB ,所以 E 为 AC 的中点.又因为 SASC ,所以 SE AC , ·····8 分又 AB AC , DE // AB ,所以 DE AC . ····10 分DE ,SE平面 SDE , DE SE E ,所以 AC平面 SDE . ······12 分因为 AC 平面 ABC ,所以平面 ABC平面 SDE . ······14 分17.〔 1〕由题意, AB 2R cos , BCR sin,且 △HOG 为等边三角形,所以, HGR , EH3 R Rsin , ····2 分2f ( )= S ABCDS EFGH2RcosRsinR( 3 R Rsin )2R 2(2sincossin+ 3〕,(0, ) .····6分2 3 〔 2〕要符合园林局的要求,只要 f ( ) 最小,由〔 1〕知, f ( ) R 2 (2cos 22sin 2 cos 〕=R 2(4cos 2cos 2)令 f ( ) 0 ,即 4cos 2cos2=0 ,解得 cos= 1+ 33 或 cos =133〔舍去〕, ····10 分88令 cos 0 = 1+ 33 ,0, ,8 3当 〔 0, 0〕时, f ( ) 0, f ( ) 是单调减函数,当〔 0,〕时, f ( ) 0, f ( ) 是单调增函数,3所以当= 0 时, f ( ) 取得最小值 .答:当 满足 cos =1+33时,符合园林局要求 . ···14 分8a 2 a 218.〔 1〕由题意可得:e1 ,即 c1 ,2a2从而有 b 2a 2 c 2 3 ,所以椭圆 E 的标准方程为:x 2y 24431.···· 分〔 2〕设直线 l 的方程为 yk( x 2) ,代入x 2y 21,43得 (3 4k 2 ) x 2 16k 2 x 16k 2 12 0 ,因为 x2 为该方程的一个根, 解得6 8k 212kB( 3 4k 2 ,3 4k 2),···6分y 0 12ky 0设 C(0, y 0 ) , 由 k AC k BC 1 , 得: 3 4k 2 1 ,2 68k 23 4k 2即:(3 4k 2 ) y 0 2 12ky 0 (16k 212) 0 ( ) ·····10 分6 8k 212k 2 ) 2 , 由 ACBC , 即 AC 2 BC 2,得 4y 0 2 ( 2 ) 2 ( y 033 4k4k 即 4(68k 2 ) 2 ( 12k ) 2 24k y 0,3 4k 2 3 4k 2 3 4k 2即 4(3 4k 2 )2 (6 8k 2 )2 144k 2 24k(34k 2 ) y 0 ,所以 k0 或 y 02k,······14 分34k2当 k 0 时,直线 l 的方程为 y 0 ,当 y 03 2k 时,代入 ( ) 得 16k4 7k 2 9 0 ,解得 k3 ,4k 24此 直 l 的方程 y3(x 2) .4上 , 直 l的方程 y0 , y3(x 2) . ·····16 分419.〔 1〕当 n=1 , S 1 2a 11=a 1 ,所以 a 1 =1 .当n 2, S n 2a n 1 , S n -12a n-1 1,两式相减得 a n2a n 1 ,从而数列 { a n } 首 a 1 =1,公比 q=2 的等比数列,从而数列 { a n } 的通 公式 a n2n 1 .由 nb n 1 (n 1)b n n(n 1) 两 同除以 n( n 1) ,得bn 1b n 1 n 1n从而数列 {b n} 首 b 11,公差 d1 的等差数列,所以b n=n ,n2n从而数列 { b n} 的通 公式b n n.4···· 分〔 2〕由〔 1〕得 c n a n b nn 2n 1 ,于是 T n 1 1 2 2 3 22(n 1) 2n 2n 2n 1 ,所以 2T n 1 2 2 22 3 23(n 1) 2n 1 n 2n两式相减得T n 1 2 222n 1n 2n1 2n n 2n ,1 2所以 T n 〔n-1〕 2n +1,n由〔 1〕得 S n 2a n 1 2 1 ,·····8 分因n N * ,都有 T nnS n a ,nn即〔n-1〕2 +1 n(2 1) a 恒成立, 所以 a 2n n 1 恒成立,c n 2n n 1,所以 a ( c n )min ,·······10 分因 c n+1 c n (2n 1 (n 1) 1)(2n n 1) 2n1 0 ,从而数列 c n 增数列,所以当 n=1 c n 取最小 c 1 =0 ,于是 a0 . ·······12 分〔 3〕假 存在正整数 m , n 〔 n 1〕,使 b 1 ,a m ,b n 成等差数列,b 1 +b n =2 a m ,即 1 n 2 2m ,假设 n 偶数, 1假设 n 奇数, nn 2奇数,而m偶数,上式不成立 .22k 1(k N ) , 1 n 2 1+(2k 1)2 4k 2 4k 2 2m ,于是 2k 2 2k 1 2m 1 ,即 2(k 2 k) 1 2m 1 , 当 m 1 , k1 ,此 n=2k 1=1 与 n 1 矛盾;当 m ⋯2 ,上式左 奇数,右 偶数, 然不成立. 上所述, 足条件的 数( m, n) 不存在. ·····16 分20.〔 1〕函数 f ( x) 的导函数 f '(x) (ax 1 a)e x,那么 f '(x), 0 在区间 1,2 上恒成立,且等号不恒成立,又 e x0 ,所以 ax1 a, 0 在区间 1,2 上恒成立, ···2 分记 g( x)ax 1a ,只需g(1), 02a1, 01 . ··4 分g(2), , 即,解得 a,3a 1? 03〔 2〕由'( ) ( 1 )e x =0 ,得 1 a,f xaxax a①当 a0 时,有 x( ,1a a), f ( x)0 ; x (1a , ), f ( x) 0 ,a所以函数f (x) 在 x (,1a) 单调递增, x(1a , ) 单调递减,a1 a a1a取得极大值所以函数f (x) 在 x a e a ,没有极小值.a②当 a0 时,有 x( ,1 a a), f ( x)0 ; x (1a , ), f ( x) 0 ,a所以函数f (x) 在 x (,1a) 单调递减, x(1a ,) 单调递增,a1 a a1 a所以函数f (x) 在 xa e a ,没有极大值.取得极小值a1 a1 a综上可知 : 当 a0 时,函数 f ( x) 在 x取得极大值a e a ,没有极小值; a1 a1 a当 a0 时,函数 f (x) 在 x 取得极小值a e a ,没有极大值.a··········10 分( 3〕设切点为 T (t,( at 1)e t ) , 那么曲线在点 T 处的切线 l 方程为(1)t(1)()t ,ateata x t ey1 a时,切线 l 的方程为 y=(at1)e t1 a当 t= a e a ,其在 x 轴上的截距不存在.a当 t 1 a时,令 y 0,得切线 l 在 x 轴上的截距为a1 x tat 1t (at 1 a)a t 1at11 1 at 1 aat 1 aat 1 atat 1 1121, ······12 分at1a1a1S 数学I试卷第8页(共9页)徐州市2018学年度高三年级摸底考试高三摸底数学I 试题定稿x t1 11 21⋯2 (t1 1) 12 1 = 1,at 1aa1 1a a1taa当且仅当 t1 1 1或 t=1 2 时取等号; ··14 分a1=,即 t=a1 1 ata当 t 11 0 时, ax t1 111 1 11 2 1, 2 [ (t1)]2=4 ,at 1 1 aa1 1) aaa(t11,即 t=1或 t=1a当且仅当 t1=2 时取等号 .a11aata所以切线 l 在 x 轴上的截距范围是,141 ,a a. ···16 分S 数学 I 试卷 第 9 页(共 9 页 )。
江苏省徐州市2018届高考模拟(三)数学试题
2While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤(第4题)江苏省徐州市2018届高考模拟卷(三)数学试卷一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上........) 1. 知集合{}|02A x x =<<,B ={2|x x 1<},则A ∩B = ▲ .2. 知复数z 满足i 1i z =+(i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点在第 ▲ 象限.3. 人甲在某周五天的时间内,每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表示零件个数的十位数,右边的数字表示零件个数的个位数),则该组数据的 方差2s 的值为 ▲ .4. 据右图所示的伪代码,可知输出的结果S 为 ▲ .5.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点 的正方体玩具)先后抛掷2次,则向上的点数之差的绝对值...是2的概率为 ▲ . 6. 实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥,≤,≥,则32x y +的最大值为 ▲ .7. 直线+2y x =与双曲线22221-=y x a b的一条渐近线平行,则双曲线的离心率为 ▲ . 8. 已知平面α ,β,直线m ,n ,给出下列命题:① 若//m α,//,n m n β⊥,则βα⊥;② 若//αβ,//,//m n αβ,则//m n ; ③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥;④ 若βα⊥,,m n αβ⊥⊥,则m n ⊥. 其中是真命题的是 ▲ .(填写所有真命题的序号).9. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,3S ,9S ,6S 成等差数列,且252m a a a +=,则m = ▲ . 10. 等边ABC ∆边长为2,过边BC 上一点P 分别作,AB AC 的垂线,垂足分别为,N M ,则PM PN 的最小值为_________.11. 已知圆O :222x y r +=(0r >)及圆上的点(,0)A r -,过点A 的直线l 交y 轴于点0,1B (),交圆于另一点C ,若2AB BC =,则直线l 的斜率为 .1872212(第3题)12.设函数2,1()21,1x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,则满足2(())(())f f a f a <的a 的取值范围为 ▲ .13.正数,,a b c 满足111a b c +=,若a b t c c b+>+恒成立,则实数t 最大值为__ ▲ ___ 14. 当0a >时,若∃x ∈R ,使得2342x xxa --≥成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知1a =,b =π6B A -=. (1)求sin A 的值; (2)求c 的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,平面ABP ⊥平面BCP ,90APB ∠=︒,BP BC =,M 为CP 的中点.求证: (1)AP //平面BD M ; (2)BM ACP ⊥平面.17.(本小题满分14分)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务,为了保证直升飞机的降落准确、安全,在门诊楼AB 和综合楼CD 的楼上安装导航标记,已知两楼的地面距离50AC m =,在,A C 之间取一导航标志观测点P ,当点P 在AC 中点时,测得两楼顶导航标记的张角045BPD ∠=,若045ACB ∠=.(1)求两导航标记距离地面的高度AB 、CD ;ABCDPM(第16题)D18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,已知A B ,分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下顶点,点()102M ,为线段AO的中点,AB =.(1)求椭圆的方程;(2)设(2)N t ,(0t ≠),直线NA ,NB 分别交椭圆于点P Q ,,直线NA ,NB ,PQ 的斜率分别为1k ,2k ,3k .① 求证:P M Q ,,三点共线;② 求证:132312k k k k k k +-为定值.19.(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项1a a =(0a >),其前n 项和为n S ,设1n n nb a a +=+(n *∈N ).数列{}n b 的前n 项和为n T ,满足2n T n =.(1)求证:数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)若对N n *∀∈,且2n ≥,不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥恒成立,求a 的取值范围.20.(本小题满分16分)已知函数()f x x a =-,()ln g x x b =-,,a b R ∈ (1)若0b =,()(0f x g x ≥)恒成立,求实数a 的值; (2)若0a =,(()()g x h x f x =),求证:函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点; (3)若0a =,12tb =+,若1122()(=()(f x g x f x g x )),12x x ≠,求证:12t x x e <.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答.................. A .[选修41:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 为⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点,过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C .若DA = DC , 求证:AB = 2BC .B .[选修:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知,a b R ∈,向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量. (1)求矩阵A 的另一个特征值; (2)求矩阵A 的逆矩阵1A -. C .[选修:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-.求直线l 被曲线C 所截得的弦长. D .[选修:不等式选讲] (本小题满分10分)已知实数x ,y ,z 满足x + y + z = 2,求22232z y x ++的最小值.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷纸指定区域内........作答. 22.(本小题满分10分)某小组共10人,利用寒假参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别 为3,3,4.现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ,求事件A 发生的概率; (2)设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望.23.(本小题满分10分)在各项均不相同的数列1a ,2a ,3a ,…,n a *(n N ∈)中,任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位 置,其余n k -项保持位置不动,得到不同的新数列,由此产生的不同新数列的个数记为()n P k .(1)求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值; (2)求5(5)P 的值;(3)设1()n n n k A kP n k ==-∑,求证:10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑.2018届高考模拟卷(三)参考答案一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题..1. {}|01x x <<.2. 四3. 2254. 125. 29.③④9. 8 10. 38-11. 312. 1a < 13. 2 14. 1902a <≤或2a ≥二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)解析:(1)在△ABC 中,因为1a =,b =π6B A -=,由正弦定理得,1sin πsin 6A A =+, ………………… 2分于是ππsin cos cos sin 66A A A =+,即cos A A =, ………………… 4分又22sin cos 1A A +=,所以sin A . ………………… 6分(2)由(1)知,cos A =,则sin 22sin cos A A A =,213cos212sin 14A A =-=, …………… …… 10分在△ABC 中,因为πA B C ++=,π6B A -=,所以5π26C A =-.则()5πsin sin 26C A =-5π5πsin cos2cos sin 266A A =-113214=⨯1114=. …………………12分由正弦定理得,sin sin a C c A == …………… …… 14分16.(本小题满分14分)(1)设AC 与BD 交于点O ,连结OM ,因为ABCD 是平行四边形,所以O 为AC 中点,………2分 因为M 为CP 的中点,所以AP ∥OM ,…………………4分 又AP ⊄平面BD M ,OM ⊂平面BD M ,AB CDPMO所以AP ∥平面BD M .…………………………7分 (2)平面ABP ⊥平面BCP ,交线为BP , 因为90APB ∠=︒,故A P B P ⊥,因为AP ⊂平面ABP ,所以AP ⊥平面BCP ,……………9分 因为BM ⊂平面BCP ,所以AP ⊥BM . ……………11分 因为BP BC =,M 为CP 的中点,所以BM CP ⊥.……12分 因为APCP P =,AP CP ⊂,平面ACP ,所以BM ⊥平面ACP ,……………………………………………………………14分 17.(本小题满分14分)(1)因为点P 是AC 中点,50AC =,所以25AP PC ==, 在Rt ABC ∆中,50AC =,045ACB ∠=,可得50AB AC ==, 在Rt APB ∆中,50tan 225AB APB AP ∠===, 在Rt CPD ∆中,tan 25CD CDDPC PC ∠==, 因为045BPD ∠=,所以0135APB DPC ∠+∠=,于是2tan tan 25tan()11tan tan 1225CDAPB DPC APB DPC CDAPB DPC +∠+∠∠+∠===--∠⋅∠-⋅, 解得75CD =.(2)设AP x =,则50PC x =-, 在Rt APB ∆中,50tan AB APB AP x ∠==, 在Rt CPD ∆中,75tan 50CD DPC PC x∠==-, 于是0tan =tan(180)tan()BPD APB DPC APB DPC ∠-∠-∠=-∠+∠25075tan tan 25(100)50=50751tan tan 505075150APB DPC x x x APB DPC x x x x +∠+∠+--=-=-∠⋅∠-+⨯-⋅-, 设100x t +=,则2225tan ()2502530tBPD f t t t ∠==-+⨯,225()2530+250f t t t =≤=⨯- 当且仅当22530=t t ⨯不等式取等号,于是当t ()f t 取最大值,此时100x +=100x =,又因为2225025300t t -+⨯>恒成立,所以tan ()0BPD f t ∠=> 从而(0,)2BPD π∠∈,而正切函数在(0,)2π上为增函数,所以当()f t 取最大值时BPD ∠也最大,答:(1)两导航标记距离地面的高度AB 、CD 分别为50,75m m ;(2)当100AP m =时,在点P 处看两楼顶导航标记的张角BPD ∠最大.18. (本小题满分16分)(1)由题意知,124()2b b =-=,解得a =1b =,所以椭圆的方程为221x y +=.(2)① 由(2)N t ,,(01)A ,,(01)B -,,则 直线NA 的方程为11y x t =+,直线NB 的方程为31y x t=-.由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩,得,222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩,,故()2224222t t t t P --++,. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩,得,222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩,,故()22212181818t t t t Q -++,. 所以直线PM 的斜率2222126242PMt t t k t t ---+==-+,直线QM 的斜率2222181261812818QMt t t k t t t ---+==+,所以PM QM k k =,故P M Q ,,三点共线.② 由①知,11k t =,213k t =,2368t k t-=. 所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-, 所以132312k k k k k k +-为定值12-.19.(本小题满分16分)解:(1)由2n T n =,得121n n n b T T n -=-=-(2n ≥),由于11b =符合上式,所以21n b n =-(n *∈N ), …… 2分 假设存在{}n b 的连续三项11,,k k k b b b -+ (,2k k *∈≥N )成等比数列,则211=k k k b b b -+,即()()()2212321k k k -=-+可得22441443k k k k -+=-- ,这不可能,所以假设不成立,从而数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列. …… 5分(2)由(1)得, 121n n n a a b n ++==-. 所以1(1)()n n a n a n +--=--,即11(1)n n a na n +-=---, …… 7分所以数列{}(1)n a n --为等比数列,且公比为1-,因为10a a =>,所以1(1)(1)n n a a n -=⋅-+-(n *∈N ). …… 10分(3)不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥即为11()12(1)n n n n a a a a n ++-++-≥,由于121n n a a n ++=-,所以不等式即为10n n a a +≥. 当n 是奇数时,(1)n a a n =+-,1n a a n +=-+,所以[]21(1)()(1)0n n a a a n a n a a n n +=+-⋅-+=-++-≥, 即2(1)a a n n -+--≥对n *∀∈N ,且2n ≥恒成立,所以26a a -+-≥,解得23a -≤≤. …… 13分 当n 为偶数时,(1)n a a n =-+-,1n a a n +=+,由10n n a a +≥,得2(1)a a n n ----≥对n *∀∈N ,且2n ≥恒成立, 所以22a a ---≥,解得21a -≤≤,因为0a >,所以a 的取值范围是01a <≤. …… 16分20.(本小题满分16分)(1)若0b =, ()g()()ln 0f x x x a x =-≥恒成立,当ln 0x ≥时,即1x ≥时,0x a -≥恒成立,于是x a ≥,min a x ≤(),从而1a ≤; 当ln 0x <时,即01x <<时,0x a -≤恒成立,于是x a ≤,max a x ≥(),从而1a ≥; 综上所述,1a =. (2)若0a =,(ln ()()g x x bh x f x x-==), 因为21ln ()b x h x x +-'=, 令21ln ()0b xh x x+-'=>,解得1b x e +<,于是()h x 在1(0,)b e +上递增,在1(+)b e +∞,上递减, 从而在1b x e +=处取极大值,这样1max 11()()0b b h x h e e ++==>, 又111()0b b h e e---=<,所以()h x 在1(0,)b e +上有唯一零点; 而在1(+)b e +∞,上,因为1ln ln 10b x b e b +->-=>,于是ln ()0x bh x x-=>, 从而()h x 在1(,)b e ++∞上没有零点,综上所述,函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点. (3)若0a =,()g()(ln )f x x x x b =-由1122()(=()(f x g x f x g x ))得1122(ln )(ln )x x b x x b -=-,即112212ln ln ()x x x x x x b -=-, 一方面1121212212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-,即11212122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-()() 另一方面1112122212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-,即11221122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-()() 两式相加得1121212122ln ln ))ln 2()x x x x x x x x x b x -++=-()((+(),因为12x x ≠,所以12112122ln ln 2ln x x xx x b x x x +=--+() 要证明12t x x e <,只要证12ln x x t <,即证12ln ln x x t +<, 从而只要证1211222ln x x xb x x x --+()<t 又因为12tb =+,所以只要证121122ln x x x x x x -+()>2,即证12112221ln 1x x x x x x -+()>2不妨设12x x >,12x u x =,于是只要证当1u >时,1ln 1u u u -+>2 只要证1ln 1u u u >-(+)2(),即证1ln 2u u u ->-(+)2 记()1ln p u u u u =-(+)2, 则11()ln 2ln 1u p u u u u u'=+-=+-+, 记1()ln 1q u u u =+-,因为22111()0u q u u u u-'=-=>,所以()q u 在(1,)+∞上递增, 从而()(1)0q u q >=,即()0p u '>,于是()p u 在(1,)+∞上递增,()(1)2p u p >=-, 这样1ln 2u u u ->-(+)2得证,所以12t x x e <.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.A .证明:连接OD因为DC 为切线且点D 为切点,所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分 B .解:(1)由条件得,2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩,解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩ ………2分 因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-, ………4分令()0f λ=,解得3,2λλ=-=.所以矩阵A 的另一个特征值为2. ………5分 (2)因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-, ………7分 所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. ………10分 C .解:把曲线C的极坐标方程)4πρθ=-化为直角坐标方程为:22220x y x y +--=,即22(1)(1)2x y -+-=, ………2分∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C………4分直线l 的参数方程415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程 为3410x y +-=, ………6分∴圆心C 到直线l 的距离为65, ………8分 直线l 被曲线C所截得的弦长为= ………10分 (说明:也可以用直线参数方程的几何意义去完成) D .证明:由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z +⋅≤++++所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ,当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号. ………10分 22.解:(1)由已知有1123432101()3C C C P A C +==,所以事件A 的发生的概率为13.…3分 (2)随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2. ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===;111133342107(1)15C C C C P X C +===; 11342104(2)15C CP X C === . ………6分所以随机变量X 的分布列为………8分数学期望()1E X =. ………10分23.解:(1)21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=. ………2分 (2)111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=. ………4分(3)证明:()()k n n n k P n k C P n k --=-,11k k n n kC nC --=,∴11111()()(0)()(0)nn n k n n n n n n k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑11111111()(0)()(0)n n k k n n kn n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑,1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk nn k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑ 1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑10(1)()(0)n knn k n k n C P n k nP --==+-+∑(1)()nn k n P n k ==+-∑. ………10分。
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徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置........ 1.已知集合{1,2,3}A =,{2,3,4}B =,则集合AB 中元素的个数为 ▲ .2.已知复数2(12i)z =-(i 为虚数单位),则z 的模为 ▲ .3.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人,则该校学生总人数为 ▲ .4.运行如图所示的伪代码,其结果为 ▲ . 5.从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素, 则这两个元素之和为奇数的概率是 ▲ .6.若函数4()2x xaf x x -=⋅为奇函数,则实数a 的值为 ▲ .7.不等式2221xx --<的解集为 ▲ .8.若双曲线222142x y a a -=-a 的值为 ▲ .9.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若13579+10a a a a a +++=,2282=36a a -,则10S 的值为 ▲ . 10.函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示,则(1)(2)(2018)f f f +++的值为 ▲ .S ←0For I From 1 To 9 S ←S + I End For Print S(第4题)11.已知正实数,m n 满足+3m n =,则22+1++1m n m n 的最小值为 ▲ . 12.已知圆22:(2)2C x y -+=,直线:(2)l y k x =+与x 轴交于点A ,过l 上一点P 作圆C 的切线,切点为T ,若2PA PT =,则实数k 的取值范围是 ▲ . 13.如图,在梯形ABCD 中,//AB DC ,且4,2,3AB AD BAD π==∠=,E 为BC的中点,若9AE DB ⋅=,则对角线AC的长为 ▲ .14.若关于x 的不等式323+0x x ax b -+<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答..........,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤. 15.(本小题满分14分)已知在ABC △中,角A B C ,,所对的边分别为,,a b c .若16cos ,sin 33A C ==. (1)求tan B ;(2)若227a b +=,求c 的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中.(1)若AD ⊥平面PAB ,PB PD ⊥,求证:平面PBD ⊥平面PAD ; (2)若AD ∥BC ,2AD BC =,E 为PA 的中点,求证:BE ∥平面PCD .17.(本小题满分14分)AD BCE(第13题)如图(1)是一个仿古的首饰盒,其横截面是由一个半径为r 分米的半圆,及矩形ABCD 组成,其中AD 长为a 分米,如图(2).为了美观,要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米,容积为4立方分米(不计厚度),假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关,下半部分的制作费用为每平方分米1百元,上半部分制作费用为每平方分米2百元,设该首饰盒的制作费用为y 百元.(1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)当r 为何值时,该首饰盒的制作费用最低?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为12A A ,,上顶点为(0,1)B ,且椭圆的离心率为32.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点,直线12A B A P ,交于点Q ,直线BP 与x 轴交于点R ,记直线2A Q RQ ,的斜率分别为12k k ,.求证:212k k -为定值.19.(本小题满分16分)已知无穷数列{}n a 满足12n n a a ++=,n S 为其前n 项和. (1)若12a =-,求4S ;(2)若10a >,且123,,a a a 成等比数列,求1a 的值;(3)数列{}n a 是否能为等差数列?若能,求出满足条件的1a ;若不能,说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数()ln ,f x x ax a a =-+∈R . (1)若1a =,解关于x 的方程()0f x =; (2)求函数()f x 在[]1,e 上的最大值;(3)若存在m ,对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-,试确定a 的所有可能值.徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题........,并在相应的答题区域内作答............,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,四边形ABCD 内接于圆O ,弧AB 与弧AD 长度相等,过A 点的切线交CB 的延长线于E 点.求证:2AB BE CD =⋅.B .[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵12a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 的一个特征值为2λ=-,其对应的特征向量为12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α,求矩阵A 的逆矩阵.C .[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为242sin(+)104ρρθπ--=,已知3(1,)2P π,Q 为圆C 上一点,求线段PQ 长度的最小值.D .[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)已知x ,y ,z 均为正数.求证: 111x y z yz zx xy x y z++++≥.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组,其中歌唱组有4名男生,1名女生,舞蹈组有2名男生,2名女生,学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出. (1)求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数;(2)记X 为选出的4名同学中女生的人数,求X 的分布列和数学期望. 23.(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足11a =,当2n ≥时,11n n a a -.(1)用数学归纳法证明:1tan 2n n a +π=; (2)求证:122C (1)2C (1)C (1)C (1)0k knn n n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-≤.徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I 参考答案一、填空题1.4 2. 5 3. 1200 4. 45 5.26. 1- 7. (1,2)- 8.1 9.55210. 11.3 12.[13. 14.(,2)-∞-二、解答题15.(1)在ABC △中,由1cos A =,得sin A ==.……………………………………………2分所以sinsin C A <,所以C A <,所以C 为锐角,于是cos 3C ==,…………………………………………4分所以sin tan cos A A A ==,sin tan cos CC C=,……………………………………6分所以tan tantan tan()1tantan A C B A C A C +=-+=-==-………………8分 (2)由,sin sina bA B =可得sin sin 3a A b B ===, ……………………………10分 又227a b +=,解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩, …………………………………………………12分所以2222cos 73c a b ab C =+-=-=, 所以c =.……………………………………………………………………………14分(另解:又因为tan tan B C =,角B C ,为ABC △的内角,所以c b ==.) 16.(1)因为AD ⊥平面PAB ,PB ⊂平面PAB ,所以AD PB ⊥, 又因为PB PD ⊥, 且ADPD D =,AD PD ⊂,平面PAD ,所以PB ⊥平面PAD ,PEABCDFF(第16题图)又因为PB ⊂平面PBD ,所以平面PBD ⊥平面PAD .…………………6分 (2)取PD 的中点F ,连结EF ,因为E F ,分别是PA ,PD 的中点,所以//EF AD ,且=2AD EF ,又因为四边形ABCD 为直角梯形且//AD BC ,2AD BC =,所以//EF BC 且EF BC =,所以四边形EFCB 是平行四边形, 所以//BE CF , 又CF ⊂平面PCD ,BE ⊄平面PCD ,所以//BE 平面PCD . …………………………………………………………14分17.(1)由题意可知:232144(2)282r r ar r ar =π+=π+,所以332242284r r a r r -π-π==. ……………………………………2分 又因为2r a r ≤≤r ≤≤…………………………………4分 所以2224(22)42(4)12810y r a r ar r r r ar r r =+++π⨯+π=++π,=2222128104r r r r-π⨯++π=26(87)r r++π, 定义域为.……………………………………………………………6分 (2)令26()(87)f r r r =++π,所以26()(1614)f r r r'=-++π, (8)分令()0f r '=,即26(1614)r r=+π,解之得:r =当r >()0f r '>,函数()y f r =为增函数;当r <()0fr '<,函数()y f r =为减函数. …………………12分r ≤≤()y f r =在上为增函数, 所以当r =.答:当r =. (14)分18.(1)因为椭圆的上顶点为(0,1)B , 所以1,b c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………………2分又222a b c =+,得224,1a b ==,所以椭圆的标准方程是2214x y +=;…………………………………………………4分(2)根据题意,可得直线1:12xA B y =+,直线21:2)A Q y k x =-(,由112(2)x y y k x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩,解得11112(21)4(,)2121k k Q k k +-- . ……………………………………6分 由122(2)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22214(2)4x k x +-=,化简得2222111(41)161640k x k x k +-+-=, 因为2A (2,0),所以2121164241P k x k -=+,所以21212(41)41P k x k -=+,将21212(41)41P k x k -=+代入直线方程得:121441Pk y k -=+, 所以21122112(41)4(,)4141k k P k k --++. ……………………………………………10分 又因为(0,1)B ,所以1211211214141212(41)2(21)041BP k k k k k k k --++==----+, 所以直线1121:12(21)k BP y x k +=-+-,令0y =得,112(21)(0)21k R k -+,.………………12分于是1112111140211=2(21)2(21)242121RQ k k k k k k k k k -- ==++---+,所以1211112=2()242k k k k -+-=,为定值.…………………………………………16分19.(1)由12a =-及12n n a a ++=得,20a =,所以32a =,40a =,所以41234=0S a a a a +++=;…………………………………………………………2分 (2)因为10a >,所以2112||2a a a =-=-,3212||2|2|a a a =-=--,①当102a <时,3112(2)a a a =--=,所以2211(2)a a =-,得1=1a ;②当12a >时,3112(2)4a a a =--=-,所以2111(4)(2)a a a -=-,得1=2a (舍)或1=2a综合①②可知,1=1a或1=2a +6分 (3)假设数列{}n a 是等差数列,则有212||a a =-,312|2|||a a =--,且2132a a a =+得1112|2|||2||a a a -+-=(*) ……………………………………8分 ①当12a >时,由(*)得10a =,与12a >矛盾;②当102a <时,由(*)得11a =,从而1()n a n *=∈N ,此时数列{}n a 为等差数列; ③当10a 时,可得公差2d =,因此存在2m ,使得12(1)2m a a m =+->,这与12||0m m m m d a a a a +=-=--<矛盾.综合①②③可知,当且仅当11a =时,数列{}n a 为等差数列. ……………………16分 20.(1)当1a =时,()ln 1f x x x =-+,显然(1)0f =,所以1x =是方程()0f x =的一个根.………………………………2分又因为11()1xf x x x-'=-=,且当01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<, 所以()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,从而max ()(1)0f x f ==,所以1x =是方程()0f x =的唯一根. ………………………………………………4分(2)因为11()(0)ax f x a x x x-'=-=>, ①当0a 时,恒有()0f x '>,所以()f x 在[1e],上单调递增, 所以max ()(e)1+e f x f a a ==-;②当0a >时,当10x a <<时,()0f x '>,当1x a>时,()0f x '<,所以()f x 在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减,若1e a ,即10e a <,max ()(e)1+e f x f a a ==-; 若11e a <<,即11e a <<,max 11()()ln 11ln f x f a a a a a ==-+=--;若101a<,即1a ,max ()(1)0f x f ==.综上所述,()f x 在[1e],上的最大值为 max 11e,,e 1()1ln ,1,e 1, 1.a a a f x a a a a ⎧+-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥ ………10分(3)因为对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-,所以22(1)ln (1)x x ax a x --<-+<- , (i )设2()(1)ln g x x x ax a =--+-,则11()2(1)22g x x a x a x x'=--+=-+-,显然()g x '在(1,)+∞单调递增, 所以()(1)=1g x g a ''-,①当1a 时,恒有g (1)0',所以()0g x '>在(1,)+∞恒成立,所以()g x 在(1,)+∞单调递增,所以()>(1)=0g x g ,所以1a 符合题意;②当01a <<时,有122(1)g (1)0,()20a g a a a-''<=-=>,所以11(1,)x a∃∈,使得1()0g x '=,从而当11x x <<时,g ()0x '<,即()g x 在1(1,)x 上单调递减,所以()<(1)=0g x g ,不符合题意;③当0a 时,2221()=0x x g x a x--'+<在1(1,2+恒成立, 所以()g x在单调递减,所以()<(1)=0g x g ,不符合题意.综上,()0g x >恒成立时,1a .……………………………………………………13分(ii )设2()(1)ln h x x x ax a =-+-+,则1()22h x x a x'=+--, ()h x '在(1,)+∞单调递增(建议阅卷忽略,讲评要求证), 所以()(1)=1h x h a ''-,①当1a >时,有1(1)0,()20h h a a a''<=+->,所以2(1,)x a ∃∈ ,使得2()0h x '=,从而当21x x <<时,()0h x '<,即()h x 在2(1,)x 上单调递减,所以()<(1)=0h x h ,不符合题意; ②当1a 时,有(1)0h ',所以()(1)0h x h ''>在(1,)+∞恒成立, 所以()h x 在(1,)+∞单调递增,所以()>(1)=0h x h 恒成立, 所以1a 符合题意.综合(i )、(ii )可知,=1a . …………………………………………………………16分徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ参考答案21.A .连结AC .…………………………………………………1分因为EA 切圆O 于A , 所以∠EAB =∠ACB . …………3分因为弧AB 与弧AD 长度相等,所以∠ACD =∠ACB ,AB =AD .于是∠EAB =∠ACD . …………………………………5分 又四边形ABCD 内接于圆O ,所以∠ABE =∠D . 所以ABE ∆∽CDA ∆.于是AB BECD DA =,即AB DA BE CD ⋅=⋅.………………9分所以2AB BE CD =⋅.…………………………………10分B .由λ⋅=⋅A αα得:1112222a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,122,44,a b +=-⎧∴⎨-=-⎩3,20,a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ ………5分 设1x y st -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,则1310120102x y s t -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦A A ,(第21-A 题)31,220,30,221,x s s y t t ⎧-=⎪⎪-=⎪∴⎨⎪-=⎪⎪-=⎩1,0,3,41,2x s y t =⎧⎪=⎪⎪∴⎨=-⎪⎪=-⎪⎩1314102-⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A . ……………………………………10分 C .以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,圆C 的直角坐标方程为224410x y x y +---=,即22(2)(2)9x y -+-=, 所以圆心C 的坐标为(2,2)C ,………………………………………………………4分 点P 的直角坐标为(0,1)P -, ………………………………………………………6分 所以线段PQ长度的最小值为33PC -=. ………………………………10分D .因为x ,y ,z 无为正数.所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥, …………………………4分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥,≥, ………………………………………………7分 当且仅当x =y =z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得111x y z yz zx xy x y z++++≥. ……10分 22.(1)由题意知,所有的选派方法共有2254=60C C ⋅种,其中有3名女生的选派方法共有112412=4C C C ⋅⋅种,所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种. …………3分 (2)X 的可能取值为0,1,2,3. ……………………………………………………5分2242225461(0)6010C C P X C C ====,2122114124222254+4+247(1)6015C C C C C C P X C C ====,1111224122422254+16+611(2)6030C C C C C C P X C C ====,112412225441(3)6015C C C P X C C ====,8分 所以X 的分布列为所以171117()0123101530155E X =⨯+⨯+⨯+⨯= . …………………………………10分 23.(1)将11a =代入121a a得21a =,当1n =时,1tan14a π==成立. 假设当n k =(*k ∈N ,1k ≥)时成立,即1tan2k k a +π=,则当1n k =+时,1k ka +1tan 2k +1211cos 2tan 2sin 2k k k +++π-π==π, 这就说明,当1n k =+时结论也成立.综上所述,1tan2n n a +π=. ……………………………………………………5分 (2)因为11A C C !k kk n nn k k n k --==,所以111C (1)(1)C (1)k k k k n n n n n k a a n a ----=--, 因此122C (1)2C (1)C (1)C (1)k k nn n n nn n n n n a a k a n a -+-++-++-1(1)n n n a na -=-. 由(1)知,1tan (0,1]2n n a +π=∈,所以1(1)0n n n a na --≤,得证.……………10分。