函数单调性的判定方法(高中数学)
高中数学讲义：求函数的单调区间
函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。
一、基础知识：1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D Í，若对于1212,,x x I x x "Î<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。
若对于1212,,x x I x x "Î<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x Þ"γ， 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+¥，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。
（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x Þ"Σ，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()',()x a b f x "Î，的符号能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。
函数单调性的判定方法(高中数学)
函数单调性的判定方法学生： 日期; 课时： 教师：1.判断具体函数单调性的方法1.1 定义法一般地，设f 为定义在D 上的函数。
若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有(1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数；(2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。
利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。
例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。
证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=-由于043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。
例2.用定义证明函数xkx x f +=)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。
证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则)()()()(221121x kx x k x x f x f +-+=-)()(2121x k x k x x -+-=)()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((212121x x kx x x x --=， 又210x x << 所以021<-x x ，021>x x ，当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。
高中数学函数单调性的判断方法
高中数学函数单调性的判断方法单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。
那么，有哪些求函数单调性的方法呢？方法一：定义法对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x（1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数；（2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。
例如：根据函数单调性的定义，证明：函数在 上是减函数。
要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。
方法二：性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有：1. f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性；2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。
这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。
方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题）对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。
高中数学函数的单调性知识点总结
高中数学函数的单调性知识点总结函数的单调性，指的是函数的在其定义域或某区间上的增减性。
包括单调增和单调减两种情况。
1.增函数和单调递增区间一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增。
特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。
图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈上升趋势。
2.减函数和单调递减区间一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递减。
特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。
图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈下降趋势。
3.定义法判断或证明函数单调性的步骤，可以归纳为：取值定大小，作差和变形，定号给结论，3个关键步骤。
4.复合函数的单调性复合函数()()y f u x =的单调性，遵循“同增异减”的原则.其中()y f u =是外层函数，()u u x =是内层函数,有以下几种情况：①()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；②()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；③()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；④()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；【小结】内外层函数单调性相同时为增函数，单调性相反时为减函数。
例题：判断下列复合函数在()0,1x ∈上的单调性。
（1）y =解：()0,1x ∈时,()20,1u x =∈。
外层函数:y =()0,1u ∈上单调增，内层函数:2u x =在()0,1x ∈上单调减。
高中数学函数的单调性
（一）知识内容1.函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数．②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈，那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<（1x 2,x D ∈）； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．（1x 2,x D ∈）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等（二）主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；函数的单调性⑷如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()u f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数． 注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．⑼在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数．⑽函数(0,0)by axa b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减．3．证明函数单调性的方法：⑴利用单调性定义①；⑵利用单调性定义②（三）典例分析【例1】如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【例2】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性．【例3】根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例4】证明函数()f x =【例5】证明函数3y x =在定义域上是增函数．【例6】求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+（0x >）．【例7】求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【例8】作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．【例9】讨论函数2()1xf x x =-(11)x -<<的单调性．【例10】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性．拓展：若2()23f x x px =++在(,1]-∞是减函数，在[1,)+∞上是增函数，则(1)f =______【例11】讨论函数y 的单调性．【例12】求函数212y x x =++的单调区间．【例13】设1n >，()f x 是定义在有限集合{}1,2,3,,A n =上的单调递增函数，且对任何,x y A ∈，有()()()()f x f x f y f y =．那么，（ ） A ．2n = B ．3n = C ．4n = D ．5n ≥【例14】若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为（ ）． A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【例15】函数21x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（ ）A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤x【例16】已知2()()2x x af x a a a -=⋅--（0a >且1a ≠）是R 上的增函数．则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(01)， B ．()(01)2+∞，，C ．)+∞D ．)(01)2⎡+∞⎣，，【例17】已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且当*n ∈N 时，*()f n ∈N ，[()]3f f n n =，则(1)(2)f f += ．【例18】求函数1()f x x x=+，0x >的最小值．点评 由对函数1(),0f x x x x=+>的分析，可以很快得到函数2(),0af x x a x=+>的性质：⑴函数()f x 为奇函数；⑵函数()f x 在x a <-上为增函数，在0a x -<<上为减函数，在0x a <<上为减函数，在x a >上为 增函数；⑶函数()f x 在0x >上有最小值为2a ，在0x <上有最大值为2a -．【例19】求函数y =【例20】求函数y =【例21】已知()f x 是定义在+R 上的增函数，且()()()xf f x f y y=-．⑴求证：(1)0f =，()()()f xy f x f y =+；⑵若(2)1f =，解不等式1()()23f x f x -≤-．【例22】已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时，()0f x >，试判断()f x 的单调性，并说明理由．【例23】已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．【例24】设a 是实数，2()()21xf x a x =-∈+R ， ⑴试证明对于任意a ，()f x 为增函数；⑵试确定a 值，使()f x 为奇函数．。
【高中数学考点精讲】考点一 函数的单调性的判断
考点08 函数单调性与最值1、函数单调性的判断方法（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有①为增函数，②为增函数，③为减函数，④为减函数。
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。
由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；③数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x V x ,并是某个区间上任意二 值;X 叱）②作差；或作商：,g ） 丰0；f （叼）③ 变形/⑴叩（巧）向有利于判断差值符号的方向变形；-Si ） 乒o 向有利于判断商的值是否大于 1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是 多项式时，作差后进行因式分解； 2、通分，当原函数是 分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解； 3、配 方，当原函数是 二次函数 时，作差后考虑配方便于判定符号； 4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④ 定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论； ⑤ 下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法:解：设一1<X 1<X 2,如1 吧则 f （X 1）—f （X 2）= "+1 —冷 *1+1） ■皿（而 +1）-（升硕恐+1）Ui+i ）（j+D例1.判断函数ax7+i 在（-1,+ 8 ）上的单调性，并证明.—1<X i <X 2,X 1 — X 2<0 , X i+ 1>0 , X 2 + 1>0..•当 a>0 时，f （X 1）-f （X 2）<0 , 即f （X 1）<f （X 2）, •••函数y=f （X ）在（-1, + 8）上单调递增.当 a<0 时，f （X 1）—f （X 2）>0 , 即f （X 1）>f （X 2）, 函数y=f （X ）在（—1, + °°）上单调递减.所 W1-—<0所以砰砰 ,所以（心）二玉 -^2-—） 则 七 -因为知fE 泗对，三口所以所以砰砰所以「「一-":-解1、［ /⑴在+8）上为增函数*例2.证明函数*卜扁赌晌向上为减函数。
证明：设。
5也幅”'幻（-皿-石］屯尊\+00）在区间L ' V 」和妃％ ，/ （增两端，减中间）/ 31） — J g ）=瓦 + —-Xj-—上是增函数；在31—叱)(1-—)因为强而，所以5 〈泗e同理可得在（-咛-齐止为增函现在止为诫函氮作商法：例3.设函数y=f (x)定义在R上，对于任意实数m , n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n) 且当x> 0 时，0v f (x) v 1(1) 求证：f (0) =1 且当xv 0 时，f (x) > 1(2) 求证：f (x)在R上是减函数.证明：(1) •.,对于任意实数m, n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n),令m=1 , n=0，可得 f (1) =f (1) ?f (0),..当x> 0 时，0v f (x) v 1, . • f (1)乒0.f (0) =1 .令m=x v 0, n=-x > 0,则 f (m+n ) =f (0) =f (-x) ?f (x) =1 ,f (-x) f (x) =1 ,又.• -x > 0 时，0 V f (-x ) V 1 ,• • f(x)=1f(-x)> 1.(1)设x1 vx2,贝U x1-x2 v 0,根据(1)可知f (x1-x2 ) > 1, f (x2) > 0.. f (x1) =f[ (x1-x2 ) +x2]=f (x1-x2 ) ?f (x2) > f (x2),•••函数f (x)在R上单调递减.(二)、运算性质法.函数表达式单调区间次函数y kx b(k 0)二次函数_ 2 , - y ax bx c(a 0,a,b,c R)反比例函数指数函数对数函数ky -x(k R 且k 0)xy a(a 0,a 1)当k 0时，y在R上是增函数；当k 。
高中数学归纳《函数的单调性》
【知识要点】一、判断函数单调性的方法判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像 1、定义法用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设D x x ∈21,，且12x x <；②作差，求)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.2、复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增3、导数判断法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数()f x '，若()f x 在区间(,)a b 内，总有()0(()0)f x f x ''><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）.4、图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D ，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D 是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 二、证明函数的单调性的方法证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.三、求函数的单调区间求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.3、导数法:先求函数的定义域D ，然后求导()f x '，再解不等式()()0f x '>< ,分别和D 求交集，得函数的递增（减）区间 .4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.四、一些重要的有用的结论1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数xy 1=、x y =和3x y =；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数2x y =.2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数⨯增函数不一定是增函数，函数x y =和函数3x y =都是增函数，但是它们的乘积函数4x y =不是增函数. 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数()y f x =的增区间为(1,2),(3,5).不要写成(1,2)(3,5).【方法讲评】【例1】证明函数()(0)f x x a x=+>在区间)+∞是增函数.【点评】（1）本题就是利用定义判断函数单调性的典型例题，其中关键是第三步变形，多利用因式分解等知识,但是一定要变形到最后能判断它的符号为止.（2）有些同学在判断)()(21x f x f -的符号时，没有利用到D x x ∈21,，且12x x <，一般情况下是有问题的，必须利用这些条件你才能确定)()(21x f x f -符号. 学.科.网【反馈检测1】讨论函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性.【例2】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<. 【解析】12(1)1(1)(1)(1)(1)0x x f f f f ==∴=+∴=令121[(1)(1)](1)(1)02(1)(1)0x x f f f f f ==-∴-⨯-=-+-∴=-∴-=令121[(1)]()(1)()()()x xx f x f x f f x f x f x ==-∴⨯-=+-∴-=∴令是偶函数111212222222(2)0()()()()()()()x xx x f x f x f x f x f x f f x x x >>∴-=-=+-设 1111212222()011()0()0()()0x x x f x x x f x f f x f x x x x =>>∴>>>∴>∴->时，0+∴∞函数在（，）上是增函数【点评】（1）本题是对抽象函数的单调性的判断和证明，其实和具体的函数的单调性的判断和证明的 方法本质上是一样的.区别在于一个有解析式，一个没有.所以在变形和判断)()(21x f x f -的符号时，难度要大一些，主要是充分利用已知条件进行变形.(2)本题第2问的关键是对1()f x 的变形，要充分利用已知条件“1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >”，所以可以这样拆，1122()()x f x f x x =122()()x f x f x =+.（3）对于抽象函数的问题，常用赋值法解答，即根据解题的需要，给已知条件中的等式的变量赋恰当的值.【反馈检测2】已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1],0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n +>+.（1）解不等式1()(1)2f x f x +<-（2）若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围.方法二 导数法使用情景 一般使用于结构较复杂的函数.解题步骤先求函数的定义域，再求导()f x '，再判断()f x '的符号，最后下结论.【例3】已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围.（2）不妨假设12x x ≥，而a ＜-1，由（1）知在（0，+∞）单调减少，从而12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥-等价于 12,(0,)x x ∀∈+∞，2211()4()4f x x f x x +≥+ ①令()()4g x f x x =+，则1'()24a g x ax x+=++ ①等价于()g x 在（0，+∞）单调减少，即1240a ax x+++≤.从而22222241(21)42(21)2212121x x x x a x x x ------≤==-+++ 故a 的取值范围为(,2]-∞-.【点评】（1）函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导数求函数的定义域也必须先考虑函数的定义域.（2）对于参数的问题注意分类讨论和分离参数,第1问利用了分类讨论的数学思想，第2问利用了分离参数的方法. 分类讨论和分离参数是处理参数问题很常用的两种重要方法. 【反馈检测3】已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (1)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.【例4】 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值.【点评】对于三角函数，也可以利用求导的方法求函数的单调区间和极值，它们的方法是一样的. 【反馈检测4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点,A B 及CD 的中点P 处，已知20AB km =,10CB km = ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且,A B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,,AO BO OP ，设排污管道的总长为y km ． （1）按下列要求写出函数关系式：①设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km ) ，将y 表示成x 的函数关系式．（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【反馈检测5】函数()f x 的导函数'()f x ，对x R ∀∈，都有'()()f x f x >成立，若(ln 2)2f =，则满足不等式()xf x e >的x 的范围是（ ）CBPOADA ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x >D ．0ln 2x <<【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<方法三 复合函数分析法 使用情景 较简单的复合函数.解题步骤先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.【例5】【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞【点评】（1）函数的问题，不管是具体函数，还是抽象的函数，都要注意“定义域优先”的原则.所以求函数的单调区间，首先必须求函数的定义域. （2）分解函数时，要把函数分解成一些初等函数,才能比较熟练地写出这些内层函数的单调性.【反馈检测7】 已知函数22()sin 3sin sin()2cos 2f x wx wx wx wx π=+++ (0)x R w ∈>，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π. (1)求w ；(2)若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及单调递减区间． 方法四图像法使用情景 函数的图像比较容易画出.解题步骤一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.【例6】求函数2()||f x x x =-+的单调区间.【点评】函数的同种单调区间之间一般不用“”连接，一般用“，”隔开.【反馈检测8】 已知函数),1()(0)(-=≥x x x f x R x f 时上的偶函数，当是定义在 （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)(x f =2，求x 的值； （3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第06讲： 函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法参考答案【反馈检测1答案】当12a >时，原函数是增函数；当12a <时，原函数是减函数.【反馈检测2答案】（1）104x ≤≤；（2）022t t t =≥≤-或或 【反馈检测2详细解析】212121212121()()(1)1,()()()()()()f x f x x x f x f x f x f x x x x x +->>-∴-=+-=--设1>212121212121()()()()()00()()f x f x f x f x x x x x x x x x +-+-=->->+-+-由已知得21111211()()0()(1)111024112x f x f x f x f x x x x x⎧-≤+≤⎪⎪∴->∴+<-∴-≤-≤∴≤<⎨⎪⎪+<-⎩函数在定义域内单调递增。
函数的单调性与极值点的判定
函数的单调性与极值点的判定一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。
通过对函数的导数进行研究可以判断函数的单调性。
1.1 函数递增与递减的定义（1）递增函数：若对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f(x)在定义域上递增。
（2）递减函数：若对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在定义域上递减。
1.2 寻找函数的单调区间函数的单调区间是指函数在这个区间上具有递增或递减的性质。
寻找函数的单调区间可以通过该函数的导数符号来确定。
（1）当函数的导数大于0时，函数在该区间上递增。
（2）当函数的导数小于0时，函数在该区间上递减。
通过求解函数的导数并进行符号判断，可以找到函数的单调区间。
二、函数的极值点的判定函数的极值点是指函数在该点处取得的最大值或最小值。
2.1 临界点的求解临界点是指函数在该点处的导数等于0或者导数不存在。
通过求解函数的导数，可以找到函数的临界点。
2.2 极值点的判定（1）当函数在临界点处的导数由负数变为正数时，该点为极小值点。
（2）当函数在临界点处的导数由正数变为负数时，该点为极大值点。
（3）当函数在临界点处的导数符号不变时，该点不是极值点。
通过求解函数的导数并研究导数的符号变化，可以判断函数的极值点。
综上所述，函数的单调性和极值点的判定是通过对函数的导数进行研究来完成的。
通过求解导数，并通过导数符号的变化来判断函数的单调性和极值点的性质。
在实际问题中，掌握函数的单调性和极值点的判定方法，可以帮助我们更好地理解函数的性质，进而解决相关的数学问题。
高中数学必修一-函数的单调性
函数的单调性知识集结知识元利用定义判断函数单调性知识讲解1.定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．2.单调区间若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．3.定义变式设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．例题精讲利用定义判断函数单调性例1.如果函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，＋∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣12，12）例2.函数f（x）＝（k＋1）x＋b在实数集上是增函数，则有（）A．k＞1B．k＞﹣1C．b＞0D．b＜0例3.函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有（填序号）．例4.下列四个命题：（1）f（x）＝1是偶函数；（2）g（x）＝x3，x∈（﹣1，1]是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）•g（x）一定是奇函数；（4）函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4例5.已知y＝f（x）（x∈R）为奇函数，则在f（x）上的点是（）A．（a，f（﹣a））B．（﹣a，f（a））C．（﹣a，﹣f（a））D．（a，﹣f（a）例6.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）C．y＝x2＋f（x）D．y＝x2f（x）通过图象平移得到新函数图象得到单调区间知识讲解1.图象的平移：左加右减（x的变化），上加下减（函数值y的变化）2.图象的对称性：奇偶性3.图象的翻折：含有绝对值的函数图象的画法例题精讲通过图象平移得到新函数图象得到单调区间例1.函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是．例2.函数y＝|x|的单调递增区间为．例3.函数y＝|x|﹣1的减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，＋∞）D．（﹣1，＋∞）例4.函数y＝|x﹣1|的递增区间是．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数单调性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=e x+e-xC．f（x）=x3+x D．f（x）=xlnx例2.函数y=（2m-1）x+b在R上是减函数．则（）A．m>B．m<C．m>-D．m<-例3.函数f（x）=-x2+x-1的单调递增区间为（）A．B．C．D．例4.已知函数f（x）=-3x+2sin x，若a=f（3），b=-f（-2），c=f（log27），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a例5.定义在R的函数f（x）=-x3+m与函数g（x）=f（x）+x3+x2-kx在[-1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（-∞，-2]B．[2，+∞）C．[-2，2]D．（-∞，-2]∪[2，+∞）例6.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=lnxC．y=sin x D．y=2-x例7.下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2+2x B．y=2x+1C．y=x3+1D．y=（x-1）|x|例8.函数f（x）=x|x-2|的递减区间为（）A．（-∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）利用定义法证明单调性知识讲解1.利用定义证明单调性的步骤（1）取值：设，是所研究的区间内的任意两个值，且（2）作差：（3）变形：将通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式.（4）判断符号（5）结论2函数单调性的常见结论（1）函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（2）函数f(x)与函数f（x）＋c（c为常数）具有相同的单调性；（3）当c＞0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当c＜0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（4）若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性；（5）若，函数与具有相同的单调性；（6）若,具有相同的单调性，则与,具有相同的单调性；（7）若,具有相反的单调性，则与具有相同（与具有相反）的单调性。
高数课件12单调性的判定
单调增函数的应用：在解决实际问题时，可以利用单调增函数的性质来简化计算或证 明结论
单调减函数的定义
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单调减函数：对于定义域内的任意x1,x2， 如果x1>x2，则f(x1)<f(x2)
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单调减函数的图像：在定义域内，函数图 像是向下倾斜的
单调性在数学分析、高等数学等课程中具有重要地位，是学习数学的重要基础
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单调减函数的性质：如果函数f(x)在区间 [a,b]上是单调减函数，那么f(x)在区间 [a,b]上的最大值是f(a)，最小值是f(b)
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单调减函数的应用：在解决实际问题时， 可以利用单调减函数的性质来简化计算或 证明结论。
单调性的判定方法
定义法
单调性的定义：函数在某点处的导数大于0，则函数在该点处单调递增；函数在某点处的导数小 于0，则函数在该点处单调递减。
单调性的判定方法：通过计算函数在某点处的导数，判断其符号，从而确定函数的单调性。
导数的计算方法：使用导数公式或导数表进行计算。
单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用单调性进行求解，如求极值、最值等。
导数法
导数定义：函数在某一点的切线斜率 导数性质：导数是函数在某一点的切线斜率 导数判定：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减 导数应用：判断函数单调性，求极值、最值等
单调性在解题中的应用技巧
注意函的定义域和值域
利用单调性判断函数的极 值和拐点
利用单调性求解不等式
利用单调性求解方程的根
单调性在数学中的地位和作用
单调性是函数性质的重要方面，决定了函数的变化趋势和性质 单调性是函数极限、导数、积分等重要概念的基础 单调性在解决实际问题中具有重要作用，如优化问题、微分方程等
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。
高中数学函数的单调性解题技巧
高中数学函数的单调性解题技巧在高中数学中，函数的单调性是一个重要的概念，它描述了函数在定义域上的增减情况。
掌握函数的单调性解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还能够提高我们的解题效率。
本文将从题目的角度出发，结合具体的例题，介绍一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握函数的单调性。
一、常见的函数类型在解题过程中，我们会遇到各种不同类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
不同类型的函数具有不同的性质和特点，因此我们需要根据具体的函数类型来确定解题的方法。
例如，对于线性函数y=kx+b，其中k和b为常数，我们可以通过求导或者观察系数k的正负来确定函数的单调性。
如果k>0，那么函数是递增的；如果k<0，那么函数是递减的。
这个规律可以帮助我们快速判断线性函数的单调性。
二、函数图像的分析函数的图像是我们解题的重要工具之一，通过观察函数的图像，我们可以获得很多关于函数单调性的信息。
例如，对于二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以通过函数的开口方向来判断函数的单调性。
如果a>0，那么函数的图像开口向上，函数是递增的；如果a<0，那么函数的图像开口向下，函数是递减的。
此外，我们还可以通过函数的极值点来判断函数的单调性。
对于二次函数来说，极值点就是顶点，如果顶点是最小值，那么函数是递增的；如果顶点是最大值，那么函数是递减的。
三、函数的导数分析函数的导数是描述函数变化率的重要工具，通过求导数，我们可以得到函数的增减情况。
对于单调递增的函数来说，导数始终大于等于0；对于单调递减的函数来说，导数始终小于等于0。
例如，对于指数函数y=a^x，其中a>0且a≠1，我们可以通过求导数来判断函数的单调性。
求导后得到的导数为ln(a)*a^x，由于ln(a)是一个常数，所以导数的正负取决于a^x的正负。
如果a>1，那么函数是递增的；如果0<a<1，那么函数是递减的。
高中数学函数单调性的几种常见题型总结
高中数学函数单调性的几种常见题型总结在高中数学学习中，函数是非常重要的一部分内容。
其中，函数的基本性质——单调性更是重中之重。
在对函数问题的考查中，函数的单调性占很大的比重。
因此，需要对函数单调性的常见题型进行系统的归纳总结。
本文将从以下四方面结合具体的例子来分析总结涉及到函数单调性的几种常见题型。
一、分段函数单调性问题目前，高中数学教材必修一中这样定义函数单调性：一般地，设函数定义域为 :如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数。
根据定义，我们可以得到，若函数在上单调递增，则满足两个条件：（1）在上单调递增，在上单调递增；（2）；同理，若函数在上单调递减，则满足两个条件：（1）在上单调递减，在上单调递减；（2） .例题:已知函数在上是减函数，则的取值范围是.这道题考查的是分段函数的单调性问题。
根据题意，时，是二次函数，在对称轴左侧单调递减；时，是对数函数，在时单调递减；再利用端点处的函数值大小关系即可得出满足条件的的取值范围。
解答：当时，为二次函数，对称轴为，在对称轴左侧单调递减，所以，解得；当时，，当时单调递减。
所以可得到，需满足，解得 .所以答案为.这里需要注意的是端点处函数值的大小关系是学生容易忽略或出错的地方，我们在教学中需要加以解释与强调。
利用函数单调性参数取值范围在这一类问题中，我们重点分析以下这种与对数函数相关的复合函数类型的题目，这是学生们的易错点，我们在上课时需要引起重视。
例题：若在区间上递减，则的取值范围为（）.这道题考查与对数函数相关的复合函数的单调性，我们知道复合函数单调性遵从“同增异减”的原则。
解答：令，则，由题意，在区间上，的取值需令真数，且函数在区间上单调递减。
配方得，故对称轴为，如图所示：由图像可知，当对称轴时，在区间上单调递减，又真数，二次函数在上单调递减，故只需当时，，则时，真数恒成立，代入解得，所以得取值范围是 .故选 .在教学过程中，我发现“真数大于0”这一条件在解题过程中很容易被忽略，或者有的学生对“真数大于0”这一条件该如何列不等式计算模棱两可，所以这一类型的题目在学生们中出现了“屡教不改”的现象。
高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
函数单调性的判定方法及其在高考题中的应用探究
所 谓 函数 的单调性 是 指一般 地 ，设 函数 ｆ（ｘ）的定 义域 为
填空题 、解答 题 中都 出现 过 ，有容 易、中等 、较难 不 同的难 度层 ，，如 果对 于定义 域 内某个 区 间 Ｄ 上 的任 意两个 自变 量 的值
次 ，所 占比分也 跟着 它的难度不 同，有高低 之分。本文 将对 函数 。，Ｘ：，当 ＜ ：时 ，都 有 ｆ（ｘ ） （ ：）（或 ｆ（ｘ。） （ ２）），那
单 调性 在高考中的考查进 行分 析，从而探讨 函数单调性 的判定方 么就说 函数 ｆ（ｘ）在区间 Ｄ 上是增 函数 （或减 函数 ）。我们在 判
法 及其 应用 。目的在于使学生对高 中函数单调 性这部分 内容有更 断函数单调性 时，可 以从两个 方面进行分 析：
深 刻的理解和更全面 的把握 ，为将来 的进 一步学习打好 基础 。
【关键词】函数单调性 增函数 减函数 判定方法
解决 问题 。当然 ，判断一个 函数是增函数 还是 减函数 ，也可 以利用
【中图分类号】Ｇ 【文献标识码】Ａ 【文章编号 】０４５０－９８８９（２０１８）０１Ｂ一０１５６—０３
其定 义来判定 ，所以选择 哪种方法就得看题设所 给出的条件。 二 、浅析 函数单调性 的判定及 函数 单调 性在考题 中的应 用 （一 ）函数单调性 的判定 。函数 的单调 性 ，揭示 的是 绝 对上
１．简单 函数 的判定 。对于 简单 函数 的判 定有三种 方法 。
一 、 函数单调性 在高考 中考查 的分析
第 一种 方法 是 定义法 。根 据 函数单调 性 的定义 ，我们可 以
（一 ）高考题 中有关函数单调 性的考查 形式。函数单调 性作 得出用定义法证 明函数 单调 性的一般 步骤 ：首先设元 ，任 取 ｘ ，
§12 单调性的判定
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(2)3m2-m+1与2m2+m-3; 3 2
数法
定义法
二、具体函数——作差比较法
1、证等式（不等式）常用的方法
①比较法 ②综合法 ③分析法 ④归纳法 ⑤反证法
2、作差比较法简介
作差变形三判断 不是化简是变形 变到显然与O比 因式分解及配方 x1 ·2·x3 ··· n x x A-B=…= x21+x22 + „ +x2n
例1
O
3、作差比较法证具体函数的单调性
一、判定方法总述
二、具体函数——作差比较法
三、抽象函数——配凑法
一、单调性判定方法总述：
背诵法 形法
①基本函数②复合函数：同增异减 ③原函数与反函数的单调性相同 ④奇同偶反⑤和差函数：同加不变异减看前
从左到右持续升（降） 导数法 增大减小○驻点 含参反用必须等
这么多方法，说明了： 没有一个好方法 具体函数比较法 现阶段以定义法为主 抽象函数配凑法 高考要以导数法为重点
一设二差三ห้องสมุดไป่ตู้论
例2 （1）资料P:31 例2①
（2）课本P:29 例2 （3）资料P:111 Ex20 ③
用作差比较法证具体函数的单调性时， “一设二差三结论”中的第一步“设”，要 注意： ①“问谁设谁” ，即要注意x1 ，x2的取值范围 ②尽量设成连不等式的形式
三、抽象函数——配凑法
先设后证硬配凑 奇同偶反是典例
§12 单调性的判定
一、判定方法总述
二、具体函数——作差比较法
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函数单调性的判定方法学生： 日期; 课时： 教师：1.判断具体函数单调性的方法定义法一般地，设f 为定义在D 上的函数。
若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有(1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数；(2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。
利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；.（2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。
例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。
证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=-由于043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。
~例2.用定义证明函数xkx x f +=)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。
证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则)()()()(221121x k x x k x x f x f +-+=-)()(2121x k x k x x -+-= )()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((212121x x k x x x x --=， 又210x x << 所以021<-x x ，021>x x ，当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。
*综上函数xkx x f +=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。
此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。
用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。
在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。
函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。
函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。
对于一些常见的简单函数的单调性如下表：函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数>)0(≠+=k b kx y当0>k 时，y 在R 上是增函数； 当0<k 时，y 在R 上是减函数。
二次函数cbx ax y ++=2),,,0(R c b a a ∈≠ *当0>a 时，abx 2-<时y 单调减, abx 2->时y 单调增； 当0<a 时，abx 2-<时y 单调增，abx 2->时y 单调减。
反比例函数xk y =R k ∈(且0≠k )当0>k 时,y 在0<x 时单调减，在0>x 时单调减；当0<k 时,y 在0<x 时单调增，在0>x 时单调增。
|指数函数x a y =)1,0(≠>a a当1>a 时，y 在R 上是增函数；当10<<a ，时y 在R 上是减函数。
对数函数]xy a log =)1,0(≠>a a当1>a 时，y 在),0(+∞上是增函数； 当10<<a 时，y 在),0(+∞上是减函数。
一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ⑴．)(x f 与)(x f +C 单调性相同。
（C 为常数）⑵．当0>k 时，)(x f 与)(x kf 具有相同的单调性；当0<k 时， )(x f 与)(x kf 具有相反的单调性。
⑶．当)(x f 恒不等于零时，)(x f 与)(1x f 具有相反的单调性。
⑷．当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数时，则)(x f ＋)(x g 在D 上是增（减）函数。
⑸．当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，)(x f )(x g 在D 上是增（减）函数；当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，)(x f )(x g 在D 上是减（增）函数。
>⑹．设)(x f y =,D x ∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1-f ，且1-f在其定义域)(D f 上也是严格增（减）函数。
例3.判断5)1(2log )(21323+++++=+x x x x x f x 的单调性。
解:函数)(x f 的定义域为),0(+∞，由简单函数的单调性知在此定义域内323log ,,x x x 均为增函数，因为021>+x ,012>+x 由性质⑸可得)1(221++x x 也是增函数；由单调函数的性质⑷知x x x 23log ++为增函数，再由性质⑴知函数)1(2log )(21323++++=+x x x x x f x +5在),0(+∞为单调递增函数。
例4.设函数)0()(>>++=b a b x ax x f ，判断)(x f 在其定义域上的单调性。
解:函数bx ax x f ++=)(的定义域为),(),(+∞-⋃--∞b b .先判断)(x f 在),(+∞-b 内的单调性，由题可把bx ax x f ++=)(转化为b x b a x f +-+=1)(，又0>>b a 故0>-b a 由性质⑶可得b x +1为减函数；由性质⑵可得b x b a +-为减函数；再由性质⑴可得bx ba x f +-+=1)(在),(+∞-b 内是减函数。
同理可判断)(x f 在),(b --∞内也是减函数。
故函数bx ax x f ++=)(在),(),(+∞-⋃--∞b b 内是减函数。
函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。
图像法用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。
根据单调函数的图像特征，若函数)(x f 的图像在区间I 上从左往右逐渐上升则函数)(x f 在区间I 上是增函数；若函数)(x f 图像在区间I 上从左往右逐渐下降则函数)(x f 在区间I 上是减函数。
、{例5. 如图1-1是定义在闭区间[-5,5]上的函数)(x f y =的图像，试判断其单调性。
解：由图像可知：函数)(x f y =的单调区间有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）.其中函数)(x f y =在区间[-5,-2），[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数)(x f y =在区间[-5,-2），[1,3）为减函数；函数)(x f y =在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的，则函数)(x f y =在区间[-2,1），[3,5]上是增函数。
例6.利用函数图像判断函数1)(+=x x f ；x x g 2)(=；12)(++=x x h x 在[-3,3]上的单调性。
分析：观察三个函数，易见)()()(x g x f x h +=，作图一般步骤为列表、描点、作图。
首先作出1)(+=x x f 和x x g 2)(=的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出12)(++=x x h x的图像，最后利用图像判断函数12)(++=x x h x的单调性。
解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数1)(+=x x f 在闭区间[-3,3]上是单调增函数；x x g 2)(=在闭区间[-3,3]上是单调增函数；利用物理上波的叠加可以直接大致作出12)(++=x x h x 在闭区间[-3,3]上图像，即12)(++=x x h x 在闭区间[-3,3]上是单调增函数。
事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。
用函数图像法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。
对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。
而对于不易作图的函数就不太适用了。
但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的。
复合函数单调性判断法定理1：若函数)(u f y =在U 内单调，)g(x u =在X 内单调，且集合{u ︳)g(x u =，X x ∈}U ⊂ （1）若)(u f y =是增函数，)g(x u =是增（减）函数，则)]([x g f y =是增（减）函数。
（2）若)(u f y =是减函数，)g(x u =是增（减）函数，则)]([x g f y =是减（增）函数。
归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减） 复合函数单调性的四种情形可列表如下：情形函数 单调性第①种情形第②种情形第③种情形第④种情形显然对于大于2次的复合函数此法也成立。
推论：若函数)(x f y =是K(K ≥2),N K ∈)个单调函数复合而成其中有K m ≤个减函数： ① 是减函数时，则当)(12x f y k m =+=； ② 是增函数时，则当)(2x f y k m ==。
判断复合函数)]([x g f y =的单调性的一般步骤： ⑴合理地分解成两个基本初等函数)(),(x g u u f y ==； ⑵分别解出两个基本初等函数的定义域； ⑶分别确定单调区间；⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则)]([x g f y =为增函数，若为一增一减，则)]([x g f y =为减函数（同增异减）；⑸求出相应区间的交集，既是复合函数)]([x g f y =的单调区间。