“含有一个量词的命题的否定”教案

1．4．3 “含有一个量词的命题的否定”教案

阮 晓 锋

【教学目标】

一.知识与技能目标

（1）通过探究数学中一些实例，使学生总结归纳出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

二．过程与方法目标 ：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

三.情感态度价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

【教学重难点】

重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对 含有一个量词的命题进行否定．

难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．

【教学过程】

1．回顾引入

数学命题中常出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题.那么对这样含有一个量词的命题如何进行否定呢？

2．思考、分析

判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）∀x ∈R,x 2－2x ＋1≥0。

（4）有些实数的绝对值是正数；

（5）某些平行四边形是菱形；

（6）∃ x ∈R,x 2＋1＜0。

你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？（学生自己表述）

分析：前三个命题都是全称命题，即具有形式“,()x M p x ∀∈”。

其中：命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不都是平行四边形；

命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，也就是说，存在一个素数不是奇数；

命题（3）的否定“并非∀x ∈R, x 2－2x ＋1≥0”，也就是说，∃x ∈R,x 2－2x ＋1＜0；

后三个命题都是特称命题，即具有形式“,()x M p x ∃∈”。

其中：命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；

命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；

命题（6）的否定是“不存在x ∈R,x 2＋1＜0”，也就是说，∀x ∈R,x 2＋1≥0；

3．发现、归纳

从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变成了全称命题。

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P ：,()x M p x ∀∈ 它的否定￢P ：,()x M p x ∃∈

特称命题P ：,()x M p x ∃∈它的否定￢P ：∀x ∈M ，￢P(x)

全称命题的否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。

4．巩固练习

判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：

（１） p ：所有能被3整除的整数都是奇数；

（２） p ：每一个四边形的四个顶点共圆；

（３） p ：对∀x ∈Z ，x 2个位数字不等于3；

（４） p ：∃ x ∈R, x 2＋2x ＋2≤0；

（５） p ：有的三角形是等边三角形；

（６） p ：有一个素数含三个正因数。

5.辨析提升

辨析题： 写出下列命题的否定与否命题，并判断其真假性.

（1）p ：正方形的四条边相等；

（2）p:平方和为0的两个实数都为0．

解：（1）⌝ P ：存在一个四边形是正方形，但它的四条边中至少有两条边不相等；假命题. 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.假命题.

（2）⌝ P ：存在两个实数的平方和为0，但这两个实数不都为0；假命题.

否命题：若两个实数的平方和不为0，则这两个实数不都为0；真命题.

想一想：命题的否定与否命题有何不同？

(两者是完全不同的概念:①任何命题均有否定，而否命题仅针对命题“若P 则q”提出来的. ②命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假.)

6.小结与布置作业

小结：本节主要学习了含有一个量词的命题的否定！ 关键词语的否定表：

作业：P27 习题1.4 A 组 第3题：B 组 （1）（2）（3）（4） 词语

是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的

否定

不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 词语 必有一个 至少有n 个 至多有一

个 所有x 成立 所有x 不成立

词语的 否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x 不成立 存在有一个

成立