第07讲 一元一次方程与分式方程

1.判断一个数是否为方程的解的方法.把要检验的数分
知 别代入方程的左、右两边，若左边=右边，则该数是方 识 程的解；若左边≠右边，则该数不是方程的解. 点 2.把一元一次方程ax=b(a≠0)的系数化为1时,要先确定 睛 符号,再在弄清谁除以谁的前提下,确定绝对值.
特 别 提 醒
1.解方程去分母时，要注意不要漏乘不含分母的项. 2.牢记“移项变号”．注意：没有移动的项，符号不 要改变；另外等号同一边的项互相调换位置，这些项 的符号不改变．
【例1】(2011·滨州中考)依据下列解方程
0.3x 0.5 2x 1 0.2 3
的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填
写变形依据．
3x 5 2x 1 .(______________) 解：原方程可变形为 2 3
去分母，得3(3x+5)=2(2x－1)．(________________) 去括号，得9x+15=4x－2．(_____________________) (______)，得9x－4x=－15－2．(________________) 合并，得5x=－17．(___________________________) (______)，得x= 17 ．(________________________)
最简公分母 ③检验:把求得的x的值代入___________中，看是否等于0,使 最简公分母 增根 舍去 ___________为0的根是原方程的_____,必须_____.
【即时应用】
1.下列方程：①x
3 1 x 5 x 1 5; ②x 2; ③ 1 ; ④ 2 2y x 2 3 x7
2 x 1 过程 x 1 1 x
【解析】选D.方程两边同乘最简公分母(x-1)得2-x=x-1.
【归纳整合】分式方程的增根
1.增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把
分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩 大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的根，即增根. 2.验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须 验根.
去括号、移项、合并同类项等变形，如果能化为ax=b或 ax+b=0(a，b为常数且a≠0)的形式，则为一元一次方程，否则 不是. 2.解方程去分母时，最简公分母要乘方程的每一项，包括不含 有分母的项. 3.解方程去括号时要注意两点：一是注意括号前面的符号，二 是注意括号外面的数要乘括号里的每一项.
4.移项时一般把未知项移到等号一边，已知项移到等号另一边，
3.列：根据等量关系,列出方程;
4.解：解方程,得未知数的值; 5.检：若是分式方程要检验; 6.答：写出答案.
特
别 提 醒
1.设未知数时有单位的要带上单位.
2.列方程时单位要统一. 3.分式方程检验时,首先看是否有解,再看是否符合题 意.
【例3】(2012·聊城中考)儿童节期间，文具商店搞促销活动，
我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计
划花 费20 000元.设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5 000元用 于 购物和品尝台湾美食，根据题意，列出方程为________. 【解析】由每人向旅行社缴纳x元费用，根据题意得出： 20 000-3x=5 000. 答案：20 000-3x=5 000
一定要注意，移项要变号.
5.解分式方程一定要检验. 6.解分式方程产生增根的原因：去分母时，在方程的两边同时 乘以含有未知数的代数式，即最简公分母，如果x的取值使最 简公分母为零，相当于在方程的两边同时乘以零.此时所得方 程与原来的方程就不是同解方程，因此产生增根.
一元一次方程及其解法 ◆中考指数:★★★★☆
【解析】去分母，方程的两边同乘2(x+4)，
得2(x-2)=x+4， 去括号，得2x-4=x+4， 移项，得2x-x=4+4， 合并同类项，得x=8， 检验，把x=8代入2(x+4)=24≠0， ∴原方程的解为x=8． 答案：x=8
x4
2
7.(2012·泰州中考)当x为何值时，分式
的值大3?
【解析】根据题意得，
每通话1分钟付话费0.15元；乙种方式需交18元月租费，每通
话 1分钟付话费0.10元；在一个月内通话________分钟时两种方 式 的费用相同. 【解析】设在一个月内通话x分钟时两种方式的费用相同，根 据题意，得：0.15x=18+0.10x,解得x=360. 答案：360
11.(2012·湘潭中考)湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人.
找相等关系 列方程 解方程
写答案
【对点训练】
8.(2012·本溪中考)随着生活水平的提高，小林家购置了私家
车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用 了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘
公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，
根据题意可列方程为( (A) 8 15 8
【例2】(2012·梅州中考)解方程： 24 x 2 1. 【教你解题】 去分母
x 1 1 x
4-(x+1)(x+2)=1-x2 4-x2-3x-2=1-x2,
解方程
检验 结果
∴x
1 3 1 是原方程的解 3
经检验知： x
所以原方程的解为 x 1
3
【对点训练】
4.(2012·永州中考)下面是四位同学解方程 中去分母的一步，其中正确的是( (A)2+x=x-1 (C)2+x=1-x (B)2-x=1 (D)2-x=x-1 )
①② 是分式方程的是_____(填序号). 2.方程
2 5 的解是____. x=5 x 1 2x 2 3.若方程 x a 有增根，则a=__. x2 x2
四、列方程解应用题 等量关系 关键:找_________. 步骤: (1)审题； (2)设未知数;
等量关系 (3)找_________;
(2)解一元一次方程的一般步骤
去分母 去括号 移项 ①_______;②_______;③_____;④合并同类项;⑤系数化为1.
【即时应用】
6 1.若方程 3x m 5 2 0 是关于x的一元一次方程，则m=__.
2 y 2.若3x=2y，则x=_____. 3
-3 3.若代数式3x+7的值为-2，则x= ___. -2 4.2(x-1)=3x的解为x= ___.
二、一元一次方程的概念和算法 1.一元一次方程的概念 一个 1 只含有_____未知数，并且未知数的次数是__,这样的方程叫做 一元一次方程. 2.一元一次方程的算法 (1)等式的基本性质 ± ①等式性质1：如果a=b,那么a±c=b___c;
b bc ②等式性质2：如果a=b,那么ac=___, a _____(d≠0). d d
第七讲 一元一次方程与分式方程
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1.了解:一元一次方程的概念、分式方程的概念、方程解的概 念. 2.理解:解方程、分式方程的概念. 3.掌握:一元一次方程的解法、分式方程的解法、分式方程的 验根方法. 4.能:熟练地解一元一次方程、解分式方程. 5.会:运用一元一次方程、分式方程解实际应用题.
8 8 1 . x 2.5x 4
9.爸爸为晓华存了一个3年期的教育储蓄(设3年期的年利率为
5%)，3年后能取5 750元，爸爸开始存入了_____元.
【解析】设爸爸开始存入了x元，根据题意,得:x+x×5%×3= 5 750,解得x=5 000. 答案：5 000
10.某通讯公司推出两种手机付费方式：甲种方式不交月租费，
5
【思路点拨】解方程的主要依据是等式的基本性质和去括号法
则.
【自主解答】原方程可变形为 (分式的基本性质)
3x 5 2x 1 . 2 3
去分母，得3(3x+5)=2(2x－1)．(等式性质2) 去括号，得9x+15=4x－2．(去括号法则或乘法分配律) (移项)，得9x－4x=－15－2．(等式性质1) 合并，得5x=－17．(合并同类项) (系数化为1)，得x= 17 ． (等式性质2)
(4)列方程; (5)解方程; (6)检验;
(7)写答案.
【即时应用】
某种西装因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔
25元；而按定价的九折出售将赚20元，若设这种西装的定价为
0.75x+25=0.9x-20. x元，则列方程为_________________
【核心点拨】
1.判断一个方程是否为一元一次方程，先将方程经过去分母、
x 2.5x
) (B)
8 8 15 x 2.5x 8 8 1 x 2.5x 4
(C)
8 1 8 x 4 2.5x
(D)
【解析】选D.因乘公交车平均每小时走x千米，则私家车的平
均速度为2.5x千米/小时,根据等量关系：公交车行驶8千米所
用的时间=私家车行驶8千米所用的时间+少用的时间，列分式 方程
5.(2012·邵阳中考)分式方程
2 x 1 2 的解是( x x
)
(A)-1
(B)1
x x
(C)-2
(D)2
【解析】选B. 2 x 1 2, 方程两边都乘以x得2+(x-1)=2x,解得 x=1.检验：当x=1时，最简公分母为x≠0,所以，x=1是原分式方 程的解.
6.(2012·宁波中考)分式方程 x 2 1 的解是______.
同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省
13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和 文具盒的标价各是多少元？
【教你解题】 设文具盒标价为x元，则书包标价为 设未知数 (3x-6)元， 打折后文具盒省的钱+书包省的钱=13.2 (1-0.8)x+(1-0.8)(3x-6)=13.2 x=18,∴3x-6=48. 答：书包和文具盒的标价分别是48元和18元.
5
【对点训练】
1.(2012·重庆中考)已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a 的值为( (A)2 ) (B)3 (C)4 (D)5
【解析】选D.根据方程的解的定义，把x=2代入方程2x+a-9=0 得，2×2+a-9=0，解得a=5.
2.(2012·郴州中考)一元一次方程3x-6=0的解是______.
一、方程的有关概念 未知数 1.方程的定义：含有_______的等式叫做方程.
相等 2.方程的解：能使方程左右两边的值_____的未知数的值叫做方
程的解.
【即时应用】
1.下列式子：①3a+2a，②2+1=3，③x+y=5，④2x-1=3x+1是方 ③④ 程的是_____(填序号). 1 2.若x=2是关于x的方程ax+4=6的解，则a=__.
三、分式方程的概念及解法 未知数 1.分式方程的概念：分母里含有_______的方程Fra Baidu bibliotek做分式方程. 2.分式方程的解法 (1)基本思路：分式方程 方程两边同乘以最简公分母 约去分母 整式方程 _________.
(2)步骤： 最简公分母 ①方程两边都乘以各个分式的___________,约去分母，化成整 式方程； ②解这个整式方程;
3 x 1 3. 2x x 2
3 x 的值比分式 1 2x x2
解这个方程，得x=1.经检验，x=1是原方程的根.
1 3 x 所以当x=1时，分式 的值比分式 的值大3. x2 2x
一元一次方程与分式方程的应用 ◆中考指数:★★★★★ 列方程解应用题的六步法 知 识 点 睛 1.审：审题——找等量关系; 2.设：设未知数——直接设法与间接设法；
点
睛
(2)解整式方程；
(3)检验.
知 识 点 睛 特 别 提 醒
2.分式方程验根的两种方法
(1)将所求得的根代入原方程进行检验； (2)将所求得的根代入最简公分母进行检验，看其值是 否为零.
1.解分式方程一定要严格按照解题步骤进行，特别要
注意“检验”的步骤不能忘却. 2.理解增根的意义，正确验根.
【解析】移项得3x=6,系数化为1，得x=2.
答案：x=2
3.(2011·湛江中考)若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解，则m
的值为______．
【解析】将x=2代入方程，得到2×2+3m-1=0，解得m=-1. 答案：-1
分式方程的解法 ◆中考指数:★★★★★ 知 识 1.解分式方程的三个步骤 (1)去分母，化为整式方程；