线性规划总结

线性规划总结

Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

线性规划题型总结

知识点

（1）在坐标系中画不等式Ax＋By＋C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线．

（2）简单线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解．

（3）．确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x0，y0），把它代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域，当C≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”．

（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内

的点且平行于ax ＋by ＝0的直线中，找出对应于t 最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解．

题型一：给出具体的变量,x y 满足约束条件，求线性目标函数的最值。常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。

例1、已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪

+≥⎨⎪-≤⎩

，则3z x y =+的最大值为( )

【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53

(2,2),(3,2),(,)22

A B C

则3[8,11]z x y =+∈

例2、若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_____

【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]-

约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3

(0,3),(0,),(1,1)2

A B C

则[3,0]t x y =-∈-

练习题：

1、设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪

≤≤⎨⎪≤≤⎩

，则2+3x y 的最大值为（D ）.

A ．20

B ．35

C ．45

D ．55

2、若,x y 满足约束条件10

30330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪

+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为 。

答案：1-

3、【2012高考山东理5】已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪

+≤⎨⎪-≥-⎩

，则目标函数

3z x y =-的取值范围是

（A ）3[,6]2- （B ）3

[,1]2

--

（C ）[1,6]- （D ）3

[6,]2

-

【答案】A

4、已知变量x 、y 满足约束条件2

11y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩

,则3z x y =+的最大值为

（ ）

A ．12

B ．11

C ．3

D ．1-

5、（2012年高考（课标文））已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点

(x ,y )在△ABC 内部,则z x y =-+的取值范围是 （ ）

A ．(1-3,2)

B ．(0,2)

C ．(3-1,2)

D ．(0,1+3)

6、设函数ln ,0

()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成

的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为_____2______. 非线性目标函数的的求法：

（1）距离型目标函数：目标函数形式为“22z x y =+

，z =，22()()z x a y b =-+-”。

例1、已知点 P （x ，y ）的坐标满足条件4,1,x y y x y +≤⎧⎪

≥⎨⎪≥⎩

点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于

________,最大值等于________.

例2、已知⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤+≥0,2-y -2x 0,1y -x 1,x 则x 2+y 2的最小值是__________________.

解析:⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤+≥0,2-y -2x 0,1y -x 1,x 画出可行域,得交点A(1,2),B(3,4),则x 2+y 2

的最小值是5.

答案:5

练习题：1、设x 、y 满足条件3

10x y y x y +⎧⎪-⎨

⎪⎩

≤≤≥，则22

(1)z x y =++的最小值 ． 2.设D 是不等式组21023041x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪

⎨≤≤⎪⎪≥⎩表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值_.

3、若,M N 是11106

x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪

⎨-+≥⎪⎪+≤⎩表示的区域内的不同．．

两点，则||MN 的最大值是 。 4、如果点P 在平面区域⎪⎩⎪

⎨⎧≥-≤-+≥+-012020

22y y x y x 上，点Q 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x =++最小值为

5、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪

-+≤⎨⎪--≤⎩

则22x y +的最小值是 .

（2）斜率型目标函数:目标函数为1

1

,y y y x x x --型的，几何意义是可行域内的点与定点（0，

0）,(11,x y )连线的斜率

例4.设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0

320420

2⎪⎩

⎪

⎨⎧≤->-+≤-- .

练习题：1、 设,x y 满足约束条件0

4312

x y x

x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则23

1x y x +++取值范围是