黄金分割与斐波那契数列
黄金分割线的原理及应用
黄金分割线的原理及应用1. 黄金分割线的概述黄金分割线是指将一条线段划分为两部分，使得整条线段的比例等于两部分之间的比例。
这个比例被称为黄金分割比例，通常表示为1：1.618（近似值），也被称为黄金比例、黄金比例或神秘比例。
2. 黄金分割线的数学原理2.1 斐波那契数列和黄金比例黄金分割线和斐波那契数列有着密切的关系。
斐波那契数列是一系列数字，每个数字等于前两个数字之和。
例如，1，1，2，3，5，8，13，21，34等等。
如果将斐波那契数列中的相邻数字进行比值运算，将会逐渐接近黄金分割比例。
2.2 数学公式表达黄金分割比例可以用以下数学公式来表达： a / b = (a + b) / a = 1.6183.黄金分割线的应用领域黄金分割线的应用早已超出了数学的范畴，它在各个领域得到了广泛的应用。
3.1 美学和艺术黄金分割线在美学和艺术中被广泛应用，例如建筑设计、绘画和摄影。
根据黄金分割原理，可以将画面分割为多个部分，使得每个部分的比例符合黄金分割比例。
这种分割方法被认为可以创造出更加美观和和谐的作品。
3.2 设计和排版在设计和排版中，黄金分割线常被用来确定页面上元素的大小和位置关系。
通过将页面分割成黄金分割比例的部分，可以在视觉上达到更好的平衡和对称。
3.3 金融市场黄金分割线也在金融市场中被广泛应用。
金融分析师使用黄金分割线来预测股票价格走势和支持与阻力位的确定。
很多技术指标和交易工具也基于黄金分割原理。
3.4 自然科学黄金分割线在自然科学研究中也有着一定的应用。
生物学家研究植物、动物和人体各个部分之间的比例关系时，常使用黄金分割比例。
此外，在天文学和物理学领域也有相关的研究和应用。
3.5 网页设计在网页设计中，黄金分割线被应用于页面布局、图片尺寸和文字排版等方面。
通过使用黄金分割原理，可以使网页看起来更加美观和舒适。
4. 总结黄金分割线是一种既有数学原理又具有美学应用的概念。
它的比例被认为是一种对人眼极具吸引力的视觉比例，能够在艺术和设计领域起到重要的作用。
斐波那契数列和黄金分割的关系
斐波那契数列和黄金分割的关系
斐波那契数列与黄金分割密切相关。
黄金分割是将一条线段分成两个部分，使其中一部分和全长之比等于另一部分和这部分之比，即(a+b)/a=a/b。
这个比例值大约是1.618。
斐波那契数列也有类似的特征，即每个数与它前面的数的比值都趋近于黄金分割比例值。
例如，3/2≈1.5≈1.618/1；5/3≈1.666≈1.618/1.在斐波那契数列中，相邻两个数的比值已经趋近于黄金分割比例值，而随着数列的不断增长，这个比值会越来越接近黄金分割比例值。
因此，斐波那契数列与黄金分割有着紧密的关系。
斐波那契数列与黄金分割 ppt课件
F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F 3F 1F 2 1 12
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子 数
Fn Fn1Fn2
按照递推公式计算，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数 学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”，数列中的每一个数称为斐波那契数．
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被 2整除
古希腊的数学家不必说了，中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170— 1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒 (Kepler, 1571—1630)，以及当代的一些著名 科学家都对它十分关注，并投入了大量的精 力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在1202 年提出这样一个问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契数有时也称松果数，因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契（Leonardo Pisano
F ibonacci ; 1170 1250 ）
斐波那契数列与黄金分割
n n 1 1 5 1 5 an 5 2 2
向日葵的種子
綠色表示按順時針排列的種子
紅色表示按逆時針排列的種子
向日葵的種子
植物學家發現： 某種向日葵的種子是按兩組螺線排列， 其數目往往是連續的斐波那契數 。
普通大小的向日葵：34條順時針螺線 55條逆時針螺線 較大的向日葵：
８９條順時針螺線 １４４條逆時針螺線
菠蘿的表皮
菠蘿的中心軸 ：
Z 軸
垂直於Z軸的平面： XOY
量度表皮上每一個六角形 的中心與平面XOY的距離
便會發現……
菠蘿的表皮
其中三個方向是按等差數列 排列的：
0,5,10,15,20,… 0,8,16,24,32,…
公差 5 8
0,13,26,39,52,… 三個連續的斐波那契數！
13
蜂房問題
蜂房問題
蜂房 號碼 路線 總數
1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55,89,144,233,377, 610,987,……
Ratio
比
0.5 1 2
1.5
2.5
0
T( 1) T( 2) T( 3) T( 4) T( 5) T( 6) T( 7) T( 8)
斐波那契數列連續項之比 Ratio of successive Fibonacci Terms
斐波那契数列与黄金分割
出生年: 公元1175～约公元1250 国 籍: 意大利 英文名: Leonardo Fibonacci
成长过程
公元 1175 年 , 一个小数学家李奥纳多 ‧ 斐波那 契在意大利的比萨诞生了 ! 斐波那契的父亲是 一个在北非的阿尔及利亚海关工作的海关征 税员,他虽然是一个基督教徒,但是为了做生意 的需要,他请了一位回教徒老师来教斐波那契 , 特别学习当时比罗马记数法还要先进的「印 度─阿拉伯数字记数法」以及东方的「乘除 计算法」,因此斐波那契从小的时候开始,就接 触了东方的数学。
数学文化之旅------神奇的斐波那契数列与黄金分割
神奇的斐波那契数列与黄金分割石家庄二中南校区孟柳比萨的列奥纳多，又称斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年)，中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
列奥纳多的父亲Guilielmo(威廉)，外号Bonacci.因此列奥纳多就得到了外号斐波那契(Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子)。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作,因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
于是他就学会了阿拉伯数字。
他是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
主要著作有《算盘书》《几何实践》《花朵》《平方数书》斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后就具有了繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子，如果兔子都不死，那么一年后能有多少对兔子？拿新出生的一对兔子研究：第一个月兔子没有繁殖能力，两个月后生下一对小兔总数共有两对；三个月后，老兔子生下又一对，因为上一轮的小兔没有繁殖能力，所以总数是三对；…………..1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。
在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。
2是第3个斐波那契数。
斐波那契数列还满足一下特点：1.任一项的平方数都等于与它相邻的两项乘积相差12.相邻的4个数，内积与外积相差13.前一项与后一项的比大约是0.6184.后一项比前一项大约是1.618经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
斐波那契数列与黄金分割
我们可以在鹦鹉螺的外壳发现这样的螺线
所谓黄金三角形是一个 等腰三角形其底与腰的长 度比为黄金比值。我们若 以底边为一腰作一等腰三 角形则此三角形亦为一黄 金三角形，如下图。图中 三种不同长度的线段，其 中次长的线段（蓝色）与 最长的线段（红色）比是 黄金比例，最短的线段 （绿色）与次长线段（蓝 色）也是黄金比例。
1 5 ，其正根为 x 2
5 1 x 0.6180339 0.618 2 A B
小段 大段
3．黄金矩形
定义：一个矩形，如果从中裁去 一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长 之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与 原矩形相似），则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。
Fn Fn1 Fn2 , n 2.
每月大兔对数 Fn 排成数列为： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
•••
4
定义：若一个数列,前两项均等于1,而从 第三项起每一项是其前两项之和,则称该数列
为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
（1）人体各部分的比Fra bibliotek肚 脐：
印堂穴：
（头—脚）
（口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
（2）著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137米）与底边长 （227米）之比为0.629
雅典的帕德侬神庙 (Parthenon at Athens) 庄严、宏伟，被认为 是古希腊最伟大的建筑之一。有 人认为它之所以显得那么和谐， 是因为这个建筑符合黄金比。
Field daisies have 34 petals
斐波那契数列与黄金比例
斐波那契数列与黄金比例斐波那契数列是一个非常有趣且神奇的数列，它以意大利数学家斐波那契的名字命名而来。
斐波那契数列的定义非常简单，它由0和1开始，后面的每一项都是前两项的和。
所以，数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、21…以此类推。
这个看似简单的数列却有着令人惊叹的特性，它与黄金比例密切相关。
黄金比例，也被称为黄金分割或黄金比值，是一个数学常数，近似等于1.6180339887。
它是通过将一条线段分为两个部分，使其中一部分与全长的比值等于整个线段与另一部分的比值得到的。
这个比例在艺术、建筑、金融等领域中都被广泛应用，并被认为具有美学上的完美性。
斐波那契数列与黄金比例之间的关系体现在数列中的相邻项之间的比值。
当我们计算斐波那契数列中相邻两项的比值时，我们会发现，随着数列的增长，这个比值越来越接近黄金比例。
比如，当数列的项数很大时，比如取前1000项进行计算，相邻两项的比值已经非常接近1.6180339887。
这个神奇的性质可以用递推公式来证明。
假设前一项为F(n-1)，当前项为F(n)，通过斐波那契数列的定义，我们可以得到F(n) =F(n-1) + F(n-2)。
那么我们可以计算相邻两项的比值，即F(n)/F(n-1) = (F(n-1) + F(n-2))/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1)。
当n趋向无穷大时，这个比值也会趋向黄金比例。
斐波那契数列与黄金比例之间的关联可以在自然界中找到很多例子。
例如，植物的生长规律往往符合斐波那契数列，其中植物的枝干与叶子的排列方式就遵循着黄金角度的分布。
黄金角度是黄金比例的倒数，约为137.5度。
这种排列方式在自然界中非常普遍，从花朵的花瓣排列到松果的排列，都呈现出黄金角度的分布。
斐波那契数列和黄金比例在艺术和建筑领域也起到重要的作用。
许多古代建筑物的比例和结构都基于黄金比例，这种比例被认为具有美学上的完美性和和谐感。
著名的希腊神殿帕特农神殿和埃及金字塔等都应用了黄金比例的原则。
斐波那契数列与黄金分割
称这样的分数为“连分数”。
24
上述连分数可以看作是 x 1
1 x
中，把 x
的表达式反复代入等号右端得到的；例如，
第一次代入得到的是
x 1 11 1 x
反复迭代，就得到Βιβλιοθήκη 述连分数。25x1
1
1 1
1
1
1
1
上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。
26
通常，求连分数的值，如同求无理数的 值一样，我们常常需要求它的近似值。
5 1 2
1 2
1 1 2( 5 1) 5 1
5 1 51
2
1
1 5 1 1
1 1
2
1 5 1
2
1 5 1 2
2
33
反复迭代，得
5 1 2
1
1
1 1
1
1
1
1
34
它竟然与我们在上段中研究的连分数
一样！因此，黄金比的近似值写成分数表
达的数列，也是，1, 1 , 2 , 3 , 5 ,
12 3 58
解答
11
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
12
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
13
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
14
解答
可以将结果以列表形式给出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
1，则大段= x ，小段= 1 x 。
故有 x 1 x ， x2 x 1 0
1x
解得 x 1 5 ，其正根为
斐波那契与黄金分割
斐波那契比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
目录1人物背景2数列3质数4重要作品1人物背景家庭列奥纳多的父亲Guilielmo（威廉），外号Bonacci（意即「好、自然」或「简单」）。
因此列奥纳多就得到了外号斐波那契 (Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子）。
威廉是商人，在北非一带工作（今阿尔及利亚Bejaia），当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作。
于是他就学会了阿拉伯数字。
学习有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，列奥纳多前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。
1202年，27岁的他将其所学写进计算之书（Liber Abaci）。
这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。
这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。
（例子：1482年，Ptolemaeus世界地图，Lienhart Holle在Ulm印制）成就列奥纳多曾成为热爱数学和科学的腓特烈二世 (神圣罗马帝国）的坐上客。
欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。
这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。
对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。
文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。
意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。
欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契（约1175～1240），其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多（Leonardo of Pisa），早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》（Liber Abac·1202，亦译作《算盘书》）。
波浪理论数学结构——斐波那契数列与黄金分割率
波浪理论数学结构——斐波那契数列与黄金分割率斐波那契数列(Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3，n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。
这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。
1、波浪理论的推动浪，浪形为5(1、2、3、4、5)，调整浪的浪型为3(a\b\c)，合起来为8。
若把波浪细化，大的推动浪又可分为1、3、5浪为推动，2、4为调整。
a、c为推动，b为调整。
这样大的推动浪为5+3+5+3+5=21，调整浪为5+3+5=13，合起来为34。
若再进行更详细的浪形划分，大的推动浪为21+13+21+13+21=89，调整浪为21+13+21=55，合起来为144。
所以，波浪理论怎么细分，都精确在这个数列上：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、2332、这个数列就是斐波那契数列。
它满足如下特性：每两个相连数字相加等于其后第一个数字;前一个数字大约是后一个数字的0.618倍;前一个数字约是其后第二个数字的0.382倍;后一个数字约是前一个数字的1.618倍;后一个数字约是前面第二个数字的2.618倍;3、由此计算出常见的黄金分割率为(0.5和1.5外)：0.191、0.236、0.382、0.618、0.809、1.236、1.382、1.618、1.764、1.809 4、黄金分割比率对于股票市场运行的时间周期和价格幅度模型具有重要启示及应用价值。
漫谈斐波那契数列与黄金分割比
漫谈斐波那契数列与黄金分割比（一）奇妙的斐波那契数列：斐波那契数列的由来是“兔子问题”。
从中总结的规律就是：（1）每个月小兔子数 = 上个月的大兔子数；（2）每个月的大兔子数 = 上个月的大兔子数 + 上个月的小兔子数；（3）每个月的大兔子数 = 上个月的大兔子数 + 上上个月的大兔子数。
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55，89，,144......即前两项是1， 1，后面的每一项是前面两项的和，这就是斐波那契数列。
提到数列，作为大学生，学过高等数学，很自然想到求极限。
所以，这里斐波那契数列后一项与前一项比值的极限就是二分之根号五减一，约等于0.618.这就是后面要说的黄金分割比。
递推公式为：发现斐波纳契数&&寻找斐波那契数列：1.自然中的斐波那契数：花基数（花瓣的数目），树杈的生长，菜花，松子，向日葵：顺时针方向的对数螺线，逆时针方向的对数螺线都是斐波纳契数。
更为惊人的是，顺时针方向的对数螺线和逆时针方向的对数螺线是两个相继斐波纳契数。
还曾经发现过一个更大的向日葵，顺时针对数螺线144条，逆时针对数螺线233条。
如下图：叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。
向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
这就是神秘的大自然！这些现象是植物生长动力学特性造成的。
相邻器官原基之间的夹角是一个特殊角，这使种子的堆积效率达到最高。
2.斐波那契数列的推广：首先，思考一下，斐波那契数列的前两项是1， 1，那可不可以是1，2呢？如果是1,2 的话，这就成了缺少第一项的斐波那契数列，即1， 2，3 ，5， 8，......,这不算是本质的推广。
斐波那契数列与黄金分割
斐波那契数列斐波那契数列斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
定义斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多〃斐波那契（Leonardo Fibonacci），自然中的斐波那契数列生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
通项公式递推公式斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。
那么这句话可以写成如下形式：F(1) = 1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)，显然这是一个线性递推数列。
通项公式斐波那契数列通项公式（见上图）（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。
奇妙的裴波那契数列和黄金分割
奇妙的裴波那契数列和黄金分割“斐波那契数列〞的创造者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契〔Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨〕。
他被人称作“比萨的列昂纳多〞。
1202年，他撰写了?珠算原理?(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯教师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21这个数列从第三项开场，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}〔又叫“比内公式〞，是用无理数表示有理数的一个范例。
〕【5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】比方：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887还有一项性质，从第二项开场，每个奇数项的平方都比前后两项之积少〔请自己验证后自己确定〕1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多〔请自己验证后自己确定〕1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比方5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的开展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
黄金分割探索数学与美的完美结合
黄金分割探索数学与美的完美结合黄金分割是一种数学比例关系，通常以希腊字母φ（phi）来表示。
这个比例是1:1.618，也被称为黄金比例。
它是数学中一个独特而美丽的现象，而它的存在也被广泛应用于艺术、建筑、自然科学等领域。
在本文中，我们将探索黄金分割如何与数学和美学相结合，以及它在不同领域中的应用。
一、黄金分割与数学的完美结合黄金分割的定义可以通过一个简单的比例公式来表示：a/b = (a+b)/a = φ，其中a为较长的线段，b为较短的线段。
这个比例符合一种奇特的对称性，它被广泛认为是最美丽的比例关系之一。
黄金分割的美学特性在很大程度上源自它的数学特性。
黄金分割与斐波那契数列有着密切的关系。
斐波那契数列是一系列数字，每个数字都是前两个数字的和。
斐波那契数列的比值在逐渐接近黄金分割，这使得黄金分割成为了斐波那契数列的极限比例。
二、黄金分割在艺术中的应用黄金分割在艺术中的应用可以追溯到古代希腊。
许多古老的希腊建筑物和雕塑都采用了黄金分割的比例。
比如著名的帕特农神殿，它的长宽比例非常接近黄金分割比例。
这使得它看起来非常和谐和美丽。
除了建筑，黄金分割也在绘画中得到了广泛的应用。
许多画家使用黄金分割来确定他们作品中的构图。
通过将画布分为不同的比例区域，艺术家可以创造出更加平衡和美观的画面。
著名的画家列奥纳多·达·芬奇在他的作品中就运用了黄金分割的原则。
三、黄金分割在建筑中的应用黄金分割在建筑中的应用是为了创建更加和谐和宜人的空间。
建筑师可以使用黄金分割来决定建筑物的尺寸和比例。
这使得建筑物看起来更加平衡和优雅。
许多现代建筑师也将黄金分割作为设计的灵感和指导。
他们通过将建筑物的长度、宽度、高度等尺寸按照黄金比例来设计，以达到视觉上的和谐。
这种设计方法被认为可以给人以舒适和愉悦的感觉。
四、黄金分割在自然界中的应用黄金分割不仅存在于人类创造的艺术和建筑中，也可以在自然界中找到。
许多自然界中的事物，如花朵、螺旋壳、植物的分支等，都具有黄金分割的比例。
黄金分割比——斐波那契数列
黄金分割比——斐波那契数列WElcome趣味小课堂斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列。
斐波那契(Leonardo Fibonacci)是13世纪意大利著名的数学家，因父亲在北非的阿尔及利亚经商，所以较早地接触了东方数学，特别学习了当时较流行的罗马记数法、先进的“印度一阿拉伯数字记数法”以及东方的乘除计算法。
1202年斐波那契针对东方数学写了{Liber Abaci>(算经)，在书里他第一个介绍了印度一阿拉伯记数法。
之后，他又完成了《几何实习》(1220年)和《四艺经》(1225年)两部著作。
当时，欧洲虽然知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅局限于修道院内，一般人还是用罗马数学记数法而且尽量避免使用“零”。
斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，在欧洲大陆产生了极大的影响，改变了当时数学的面貌，被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作。
1．2 斐波那契数列在《算经》中，斐波那契提出一个有趣的问题：假定有一雄一雌一对刚出生的小兔，一个月后它们就能长大成大兔，并开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。
每只雌兔在开始繁殖时每月都产下-x~兔子，假定没有兔子死亡，问一对刚出生的小兔，一年内能繁殖成多少对兔子?一月底，最初的一对兔子刚开始交配，所以只有1对兔子；二月底，雌兔产下一对兔子，共2对；三月底，最老的雌兔产下第-x~兔子，共3对；四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共5对，⋯⋯，如此这般计算，兔子对数分别是：1，2，3，5，8，l3，21，34，55，89，144，233。
这就是著名的斐波那契数列，数列中的每一项，称为“斐波那契数”。
第l3位的斐波那契数，即为一对刚出生的小兔一年内所能繁殖成的兔子的对数，即233。
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第八讲 黄金分割与斐波那契数列一、 黄金分割1. 黄金分割的概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字。
德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。
其实有关“黄金分割”，中国也有记载。
虽然没有古希腊的早，但它是中国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。
经考证，欧洲的比例算法是源于中国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
2. 黄金分割的尺规作图设线段为AB 。
作BD ⊥AB ，且 ，连AD 。
以D 为圆心，DB 为半径作圆弧，交AB BD 21AD 于E 。
再以A 为圆心，AE 为半径作圆弧，交AB 于C ，则。
故C 即为AB 的黄金分割点，如图8-1所示。
图8-1 黄金分割点3. 黄金三角形与正五边形所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰的与底的长度比为黄金比。
我们若以底边为一腰作一个等腰三角形，则此三角形亦为一黄金三角形，如图8-2。
图中三种不同长度的线段，其中最长的线段a 与次长的线段b 比是黄金分割，次长的线段b 与最短的线段c 也是黄金比例。
古希腊时代有个毕达哥拉斯为首的哲学家与数学家组织， 图8-2 黄金比例他们以一个在外面围上正五边形的五角星作为他们毕氏学派的标志。
五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星。
不难发现五角星内部又隐藏着一个正五边形，画出这个五边形的对角线，就产生一个小的倒五角星形，其内部也包含一个更小的五边形，再画出它的每条对角线又可得到一个小小的五角星形……这个过程可以不断地进行下去。
但最令毕氏学派对五角星形着迷的并不是它能够自我复制的特性，而是隐藏在它线条之内的“黄金比例”：所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
图8-3中任两条交叉的对角线，都被对方切成两段不等长的线段，而整段对角线与长段的比值，恰好就是长段与短段的比值。
这个比值正是黄金比值φ。
而图中的两条同顶点的对角线将另一条和他们相交的对角线黄金分割于两交点。
图8-3 五角星再仔细观察一下，不难发现在这五边星形中充满了大大小小的黄金三角形。
其实正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金三角形。
a bc215-=AB AC黄金三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形。
4. 黄金矩形黄金矩形（Golden Rectangle ）是长宽之比为黄金分割率的矩形。
黄金矩形（ABCD ）可以被分为一个正方形及一个小的黄金矩形(FDCE )如图8-4所示。
这个小的黄金矩形又可 以再分成一个正方形和一个更小的黄金矩形。
图8-4 黄金矩形5. 黄金分割在各领域中的应用黄金分割在建筑、文艺、工农业生产和科学实验等领域都有着广泛而重要的应用。
※ 建筑艺术黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。
建筑师们对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。
还有，日常生活中我们看到的大多数门窗的宽长之比也是0.618。
如图8-5：巴黎圣母院的正立面的宽度和高度之比为0.618。
※ 绘画及雕塑作品艺术家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例，塑造出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。
黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。
在很多艺术品中都能 找到它。
达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形；《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形；《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。
※ 人体美学人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的D F A BE C 图8-5 巴林圣母院图8-6 维纳斯女神辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。
0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。
据研究，从猿到人的进化过程中，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。
人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美；于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）。
分析（1）黄金点：①髋骨：头顶－足底之分割点②咽喉：头顶－肚脐之分割点③膝关节：肚脐－足底之分割点④肘关节：肩关节－中指尖之分割点图8-7 黄金比例⑤乳头：躯干—乳头纵轴上之分割点⑥眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点⑦鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；⑾唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点⑧颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点⑨左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点⑩右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。
面部黄金分割律面部三庭五眼（2）黄金矩形：①躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长②面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长③鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长④唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长⑤、⑥手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长⑦、⑧、⑨、⑩、⑾、⑿上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。
※ 舞台表演舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧。
因为站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
又如芭蕾舞演员在表演时不时地掂起脚尖。
这是因为虽然芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了，给人以更为优美的艺术形象。
这也是为什么许多姑娘都愿意穿高跟鞋的秘密所在。
※ 音乐音乐家发现，二胡演奏中，“千金“分弦的比符合0.618∶1时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。
又如：小提琴柄和琴身符合黃金比例(如图8-8）；等等。
※ 植物界有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137°28'，这恰好是把圆周分成 1:0.618的两条半径的夹角。
据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。
植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。
尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排列顺序（称为叶序），却是极有规律的。
有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。
你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角。
如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度。
植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。
叶子的排布，多么精巧！叶子间的137.5°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360°，360°-137.5°=222.5°，而137.5∶222.5≈0.618。
瞧，这就是“密码”！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618的比例。
并且叶子中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比也约为0.618。
※ 动物界图8-8 小提琴图8-10 叶子在动物界，形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割；又如蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。
※ 医学医学与0.618也有着千丝万缕的联系，它可解释人为什么在环境22至24℃时感觉最舒适。
因为人的体温为37℃与0.618的乘积为22.8℃，而且这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。
科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服．现代医学研究还表明，0.618与养生之道息息相关，动与静是一个0.618的比例关系，大致四分动六分静，才是最佳的养生之道。
医学分析还发现，饭吃六七成饱的几乎不生胃病。
※ 科学实验——优选法优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它作出重要贡献。
优选法中有一种0.618法应用了黄金分割法。
例如，在一种试验中，温度的变化范围是0℃~10℃，我们要寻找在哪个温度时实验效果最佳。
为此，可以先找出温度变化范围的黄金分割点，考察10×0.618=6.18（℃）时的试验效果，再考察10×（1-0.618）=3.82（℃）时的试验效果，比较两者，选优去劣。