数列中的常见错误

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数列中的易错问题分析

11,1

12,22n

n S n n n S S n k b -=⎧==≥⎨-≥⎩=+n n n n n+1n n n+1

n n

n+1n n

一、数列基础知识上的常见错误在数列概念考察上常见题型有:

(1)已知a 与S 的关系,求通项a ,a 注意分清与两种情况的讨论。

()形如a -a =f(n)的递推数列可用迭代法或累加法,求通项a a 形如

=f(n)的递推数列可用累乘法,求通项a a 形如a a 的递推数列可构造等差或等比数列求通项a (一) 概念理解错误 例题1:两个数列

{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ,且

:(513):(45)n n S T n n =++,则1010:a b =( )

易错警示:(513),(45)n n S n k T n k =+=+则

115,4n n n n n n a S S k b T T k --=-==-=

所以1010:a b =4:3,故选C ,

从:(513):(45)n n S T n n =++可知,比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数

n 的变化而变化,不能设为常数k ,这里忽略了项数n 的可变性而致错。

解析:设(513),(45)n n S n nk T n nk =+=+,则

1(108)n n n a S S n k -=-=+

1(81)n n n b T T n k -=-=+,其中2n ≥

:n n a b ∴=(108):(81)n n ++

所以1010:a b =4:3,故选D 。

例题2:已知等差数列{}n a 的前m 项,前2m 项,前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ,

若230,90m m S S ==,求3m S 。

易错警示:由{}n a 为等差数列,得出23,,m m m S S S 为等差数列的结论是错误的。 解析:设数列的公差为d ,则

123......m m S a a a a =++++

212312...........m m m m S a a a a a a +=+++++++

31232213...........m m m m S a a a a a a +=+++++++

11

()2

m m S a m -=+

2131

()2m m m S S a m --=+

32151

()2m m m S S a m --=+

所以232,,m m m m m S S S S S --是公差为2m d 的等差数列, 所以()2322m m m m m S S S S S -=+- 即32(9030)3090m S ⨯-=+-

3180m S ∴=

(二) 公式应用错误

例题3:已知数列{}n a ,111,2n n n a a a +=-=,求数列{}n a 的通项公式。

易错警示:错因一:知识残缺,忽视n=1时的检验。

错因二:未明确规律,累加时误认为是n 个式子相加而导致求和错误。 解析:由12n n n a a +-=得

1212323431

1222.......2n n n a a a a a a a a ---=-=-=-=

将这n-1个式子相加,得

2311222.......2n n a a --=++++ 21n n a ∴=-,

当n=1时,此式子仍旧成立。 所以通项公式为21n n a ∴=-。

例题4:已知数列{}n a 的前项和为n S ,32n n S =-求数列{}n a 的通项公式。 易错警示:在利用公式1n n n a S S -=-解题时一定要注意只有2n ≥时才能成立,当n=1要单独验证,这一点易被忽视,从而得出123n n a -=错误结论。

解析:当n=1,111a S ==

当2n ≥时1n n n a S S -=-132(32)n n -=---123n -=,

由于11a =不适合上式,因此数列{}n a 的通项公式为11,(1)

23(2)n n n a n -=⎧=⎨≥⎩

(三) 审题不细

例题5:在等差数列{}n a 中,331n a n =-,记||n n b a =,求数列{}n b 的前30项和。 易错警示:这里易错点是{}n b 也为等差数列,而解题的关键是绝对值号内的n a 的正负号进行讨论,当10n ≤时,0,11n a n <≥时,0n a >。 解析:3012330||||||......||S a a a a =++++

1231011121330(......)(......)a a a a a a a a =-+++++++++

110113010()20()

22

a a a a ++=-

+

=755 (四) 用特殊代一般 例题5:求数列2311,3,5,7,......(21),.....(0)n a a a n a a --≠的前n 项和。 易错警示:由于1(21)n n a n a -=-(*)n N ∈,

23211357......(23)(21)n n n S a a a n a n a --=+++++-+-

n aS = 2341357......(23)(21)n n a a a a n a n a -+++++-+-

两式相减得

231(1)1222.....2(21)n n n a S a a a a n a --=+++--

=12

(21)11n

n a n a a ----- 2

1(21)1

2(1)1n n n a n a S a a

--+∴=--- 解析:上述解法只适合的情形,事实上,当1a =时

1357......(23)(21)n S n n =+++++-+-

2(121)

2

n n n +-=

=

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