数列中的常见错误
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数列中的易错问题分析
11,1
12,22n
n S n n n S S n k b -=⎧==≥⎨-≥⎩=+n n n n n+1n n n+1
n n
n+1n n
一、数列基础知识上的常见错误在数列概念考察上常见题型有:
(1)已知a 与S 的关系,求通项a ,a 注意分清与两种情况的讨论。
()形如a -a =f(n)的递推数列可用迭代法或累加法,求通项a a 形如
=f(n)的递推数列可用累乘法,求通项a a 形如a a 的递推数列可构造等差或等比数列求通项a (一) 概念理解错误 例题1:两个数列
{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ,且
:(513):(45)n n S T n n =++,则1010:a b =( )
易错警示:(513),(45)n n S n k T n k =+=+则
115,4n n n n n n a S S k b T T k --=-==-=
所以1010:a b =4:3,故选C ,
从:(513):(45)n n S T n n =++可知,比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数
n 的变化而变化,不能设为常数k ,这里忽略了项数n 的可变性而致错。
解析:设(513),(45)n n S n nk T n nk =+=+,则
1(108)n n n a S S n k -=-=+
1(81)n n n b T T n k -=-=+,其中2n ≥
:n n a b ∴=(108):(81)n n ++
所以1010:a b =4:3,故选D 。
例题2:已知等差数列{}n a 的前m 项,前2m 项,前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ,
若230,90m m S S ==,求3m S 。
易错警示:由{}n a 为等差数列,得出23,,m m m S S S 为等差数列的结论是错误的。 解析:设数列的公差为d ,则
123......m m S a a a a =++++
212312...........m m m m S a a a a a a +=+++++++
31232213...........m m m m S a a a a a a +=+++++++
11
()2
m m S a m -=+
2131
()2m m m S S a m --=+
32151
()2m m m S S a m --=+
所以232,,m m m m m S S S S S --是公差为2m d 的等差数列, 所以()2322m m m m m S S S S S -=+- 即32(9030)3090m S ⨯-=+-
3180m S ∴=
(二) 公式应用错误
例题3:已知数列{}n a ,111,2n n n a a a +=-=,求数列{}n a 的通项公式。
易错警示:错因一:知识残缺,忽视n=1时的检验。
错因二:未明确规律,累加时误认为是n 个式子相加而导致求和错误。 解析:由12n n n a a +-=得
1212323431
1222.......2n n n a a a a a a a a ---=-=-=-=
将这n-1个式子相加,得
2311222.......2n n a a --=++++ 21n n a ∴=-,
当n=1时,此式子仍旧成立。 所以通项公式为21n n a ∴=-。
例题4:已知数列{}n a 的前项和为n S ,32n n S =-求数列{}n a 的通项公式。 易错警示:在利用公式1n n n a S S -=-解题时一定要注意只有2n ≥时才能成立,当n=1要单独验证,这一点易被忽视,从而得出123n n a -=错误结论。
解析:当n=1,111a S ==
当2n ≥时1n n n a S S -=-132(32)n n -=---123n -=,
由于11a =不适合上式,因此数列{}n a 的通项公式为11,(1)
23(2)n n n a n -=⎧=⎨≥⎩
(三) 审题不细
例题5:在等差数列{}n a 中,331n a n =-,记||n n b a =,求数列{}n b 的前30项和。 易错警示:这里易错点是{}n b 也为等差数列,而解题的关键是绝对值号内的n a 的正负号进行讨论,当10n ≤时,0,11n a n <≥时,0n a >。 解析:3012330||||||......||S a a a a =++++
1231011121330(......)(......)a a a a a a a a =-+++++++++
110113010()20()
22
a a a a ++=-
+
=755 (四) 用特殊代一般 例题5:求数列2311,3,5,7,......(21),.....(0)n a a a n a a --≠的前n 项和。 易错警示:由于1(21)n n a n a -=-(*)n N ∈,
23211357......(23)(21)n n n S a a a n a n a --=+++++-+-
n aS = 2341357......(23)(21)n n a a a a n a n a -+++++-+-
两式相减得
231(1)1222.....2(21)n n n a S a a a a n a --=+++--
=12
(21)11n
n a n a a ----- 2
1(21)1
2(1)1n n n a n a S a a
--+∴=--- 解析:上述解法只适合的情形,事实上,当1a =时
1357......(23)(21)n S n n =+++++-+-
2(121)
2
n n n +-=
=