牛顿迭代法文献综述
牛顿迭代法.
牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程•跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较•关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学;九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代•“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法•迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法•它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值•具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制•（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败•所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量•在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）.迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：洛阳师范学院本科毕业论文X 0 牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示:牛顿 迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newto n-Rapfsonmethod)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方 法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要•方法使用函数f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f x =0的根•牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f x =0的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根. 另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程f x ]=0的牛顿(Newton)法是把非线性的方程线性化的一种近似方法•把f x 的x 点附近展开泰勒(Taylor )级' 2 f x = f x 0 f X - X 0 f x 0 ］亠 ix - X 0取其线性部分作为非线性方程f x =0的近似方程，则有:f X 。
分析论述牛顿迭代法
分析论述牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton's Iteration Method）是一种常用的数
值计算方法，它是由英国数学家牛顿发明的。
它的最大优点是收敛速度快，可以快速地求解方程的根，有效地减少计算时间，是解决方程组和非线性方程的有效方法。
牛顿迭代法是一种基于牛顿插值多项式的数值计算方法。
它把待求解函数f（x）看做一个多项式，然后按照牛顿插值
多项式的算法，从x0出发，反复求解f（x）的极值点，直至
收敛，从而找到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的具体步骤如下：（1）给定函数f（x）的初
值x0；（2）计算f（x）的极值点x1；（3）根据误差e = |x1 - x0|，选定迭代次数或者误差界限；（4）更新x0 = x
1，重复（2）（3）步骤，直至误差小于指定界限；（5）得到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的收敛速度很快，只需要几次迭代就可以求得函数f（x）的根，而且这种方法也比较简单易行，只要给出
初值，就可以用它来求解一般的非线性方程。
牛顿迭代法的主要缺点是只能求解单根问题，即一元函数的根。
另外，牛顿迭代法的初值必须比较接近函数f（x）的根，如果初值比较远，迭代收敛的速度就会变慢，甚至不收敛。
总之，牛顿迭代法是一种有效的求解一元函数的根的方法，它的收敛速度快，可以有效地减少计算时间。
但是，它只能求解单根问题，而且初值也必须比较接近函数f（x）的根，否
则它的收敛速度就会变慢。
牛顿迭代法论文
南昌工程学院课程设计姓名：专业：年级：学号：年月日牛顿迭代算法摘要: 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
牛顿迭代法是一个重要的计算方法和思想。
牛顿迭代法的主要功能：计算方程时可以比较快速方便的计算出来结果但并不影响计算出来结果的精确度，运用于多种工业设计和数学设计方面.关键字: 牛顿迭代方程根算法一 .牛顿迭代法简介1.1 牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
牛顿迭代法(Newton‘s Method)
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。
考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。
函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。
迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。
因此使用牛顿法是有问题的。
如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。
这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。
常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。
正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。
牛顿迭代法及其应用
牛顿迭代法及其应用牛顿迭代法是一种求解函数零点的迭代方法，具有快速收敛、精度高等优点，被广泛应用于计算机、数学、物理等领域。
本文将从理论和实际应用两方面介绍牛顿迭代法，并对其应用进行探讨。
一、理论基础牛顿迭代法是通过一点处的切线来逼近函数零点的方法。
设$f(x)$在$x_0$点有一个零点，且其导数$f'(x_0)$存在且不为零，那么该零点可以通过一点$(x_0,f(x_0))$处的切线与$x$轴的交点来逐步逼近。
假设切线的方程为$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$，则其中$x$轴上的交点为$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$，这是零点的一个更好的近似值。
用$x_1$代替$x_0$，再利用同样的方法得到$x_2$，不断重复这个过程，即可逐步逼近零点。
这个过程可以用下面的公式表示：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$这就是牛顿迭代法的基本公式。
从初始值$x_0$开始迭代，不断利用公式进行逼近，直到找到满足$f(x_n)=0$的解。
二、实际应用牛顿迭代法在实际应用中广泛存在，比如在计算机图形学中，通过牛顿迭代法可以精确计算出圆的周长、面积等参数，也可以实现快速的路径追踪和光线追踪。
在金融领域中，牛顿迭代法可以用来计算隐含波动率，即在期权定价模型中，寻找满足期权定价公式的波动率。
由于这个过程中往往要用到反函数，所以牛顿迭代法可以快速找到隐含波动率。
另外，在机器学习、神经网络中，多次用到牛顿迭代法进行梯度下降，智能化运用牛顿迭代法可以提高计算效率，降低误差。
三、应用探讨牛顿迭代法的应用范围较广，但在实际应用中也存在一些问题。
如何避免迭代过程中出现抖动、越界、阻尼等现象，可以通过设置收敛条件、调整步长等方式进行优化。
此外，当函数的导数存在零点或迭代公式不存在时，牛顿迭代法也会失效。
因此，在选择牛顿迭代法时，需要了解函数特性，根据情况选择适合的迭代方法。
Newton迭代法浅析
目录第一章：绪论 (2)第二章 Newton迭代原理 (3)2.1 一般迭代思想的设计 (3)2.2 Newton迭代法的原理 (3)2.3小结： (5)第三章 Newton迭代法的收敛性 (6)3.1 Newton迭代法中不收敛的情况 (6)3.2 定理证明 (7)3.3 Newton迭代法的收敛性分析 (10)3.4小结： (12)第四章两种改进的Newton迭代法 (14)4.1 改进初值x的Newton下山法 (14)4.2 一种新的Newton迭代法加速设计 (15)4.3小结： (16)第五章 Newton迭代法的应用 (17)5.1 Newton迭代法的Matlab实现 (17)5.2 数值举例 (17)5.3小结： (20)总论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)第一章绪论在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解非线性方程（组）或者线性方程（组)代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小而乘求是实验数据的曲线拟合问题，用差分或者有限元方法解常微分方程等。
关于非线性方程（组）的求解，一般有两类解法：直接法和迭代法。
我们知道，只有一次、二次和三次方程有规范的求根公式，而高于三次的方程0)xf是不存在求根公式的。
因此求根变得一异常的困难。
而科学计算却(很好解决了这一问题，其中最基本的算迭代法了，它对于解决非线性方程（组）的根变得异常方面。
就迭代法而言，Newton迭代法可算是其经典之作。
Newton迭代法又称为Newton-Raphson迭代法，它是Newton在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
牛顿迭代法是求非线性方程（组）根的重要方法之一，其迭代格式简单，且在单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
关于Newton迭代法，许多学者为之做了相当多的研究，并且留下了很多经典的文献([2-6])。
Newton迭代法在解决Banach空间中非线性方程或方程组的应用更为重要，如梯形Newton迭代法。
牛顿迭代法文献综述
“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。
牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。
从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。
湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。
浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。
牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。
应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。
因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。
然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。
与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。
南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。
牛顿法和拟牛顿法的文献
牛顿法和拟牛顿法的文献牛顿法和拟牛顿法是数值计算中常用的一类优化算法，它们在求解非线性方程、最优化问题等数学模型中具有重要的应用价值。
牛顿法是由英国科学家牛顿于17世纪提出的，而拟牛顿法则是在牛顿法的基础上提出的一种改进算法。
本文将对牛顿法和拟牛顿法进行详细介绍，并从算法原理、优缺点等多个方面进行讨论。
首先，我们来了解一下牛顿法。
牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近函数的零点来求解方程。
它的基本思想是利用函数的一阶导数和二阶导数来近似表示函数的局部特征，并通过迭代的方式不断逼近零点。
具体而言，牛顿法通过构造一个切线来逼近函数的零点，并利用切线与坐标轴的交点作为新的近似解，从而实现求解方程的目的。
牛顿法收敛速度快，但对初值的选取较为敏感。
接下来，我们介绍一下拟牛顿法。
拟牛顿法是由牛顿法改进而来的一种优化算法，它通过近似构造目标函数的海森矩阵来代替牛顿法中的二阶导数。
在拟牛顿法中，通过不断修正海森矩阵的估计值，来逐步逼近最优解。
拟牛顿法在迭代过程中不需要计算二阶导数，相比于牛顿法具有更低的计算成本。
同时，拟牛顿法还可以克服牛顿法中对初始点选取的敏感性。
牛顿法和拟牛顿法在求解非线性方程和最优化问题时都具有一定的优势和局限性。
牛顿法的收敛速度较快，但对初值选取敏感，可能会出现发散的情况。
而拟牛顿法虽然克服了牛顿法的一些缺点，但由于要对海森矩阵进行估计，所以在高维问题中计算量较大。
此外，牛顿法和拟牛顿法都对目标函数的可导性要求较高，不适用于无导数或高度非线性的问题。
综上所述，牛顿法和拟牛顿法是常用的数值优化算法，它们在求解非线性方程和最优化问题中发挥着重要作用。
牛顿法通过构造切线逼近零点，具有较快的收敛速度；而拟牛顿法通过近似构造海森矩阵来代替牛顿法中的二阶导数，克服了牛顿法的一些缺点。
然而，牛顿法和拟牛顿法都有自己的优缺点，选择适合的方法需要考虑问题的特点和求解需求。
在实际应用中，应根据具体情况选择合适的算法以获得更好的结果。
牛顿迭代法
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种思维方式，我们要善于运用这个方法，也可称之为逆向思考。
当你仔细地分析事物，只看到局部时，往往会得出错误结论。
反过来，如果你把全局各个部分都放在一起进行研究，又容易抓住问题实质。
通俗点讲就是“拨开云雾见青山”，这样我们才能真正获得成功！让我们从这个故事中寻找答案吧！西汉的董仲舒相信“天人感应”之说：他认为大自然有其内在节奏和规律，人间事也同样有其规则，圣明的君主统治下，人民自然也会顺着上天之意来办事。
而帝王身边人的想法也是随机性的变化，对于某些事件一知半解便导致他听信谗言将好人杀害。
刘邦刚入关，四处掠夺金银珠宝、奇珍异宝。
每次烧完一座城池，便去抢劫另外一座，因此遭百姓咒骂并在心底愤恨、憎恶他……。
后经韩信建议封赏有功之臣。
一封没来由的罪状将其逮捕。
面对死亡的威胁，他镇定地指挥了三场战斗，还巧妙击退匈奴。
原本必死无疑，最终皇位也如愿以偿给他带来了荣华富贵。
历史总是充满戏剧性，阴差阳错的结局令世人目瞪口呆、唏嘘不已。
千百年过去了，但关于秦朝始皇的残暴形象仍影响深远，至今众所周知的依旧是“焚书坑儒”事件。
很多学者提出推翻暴政、一扫胡尘的声音，然后呼吁统治者恢复初衷。
然而当朝皇帝继续毁掉历史，甚至传承先辈辉煌。
大部分作家大师开始沉默观望，很少人站出来追求公平与正义。
东汉末年，宦官专权，在压迫下很多老百姓造反逃离，陈胜吴广揭竿而起；曹操被逼撤回马甲为汉献帝衣食的阶段等等。
它证明了秦末农民军早晚会失败的预言。
太多悲壮的历史画卷值得我们读，越多对比会让我们越清晰，重温历史，一点就透！伽利略在伽利略理论发表以前也不敢妄加断言，许多科学界名流皆持反对态度或怀疑态度，甚至怀疑他并非物理学领域的专业精英。
牛顿迭代法告诉我们，做任何一件事情之前，要多角度、立体的审视事物。
再来谈谈现在比较火热的乐视网股票事件：董事长贾跃亭高调宣布减持套现，为改善生活竟动员老婆出国工作。
贾氏夫妇携资产几十亿空降美国三番五次催促对方付款，不料却打水漂；海归博士王佳伟受贾氏邀请担任乐视网首席科学家负责整个芯片设计；一条条新闻层出不穷、环环相扣.。
牛顿迭代法的实验报告
牛顿迭代法的实验报告牛顿迭代法是一种寻找函数零点的方法，它通过通过使用函数的导数来逼近实际零点。
在本实验中，我们使用了牛顿迭代法来求解一元高次方程的根。
实验目的：通过使用牛顿迭代法来求解一元高次方程的根，掌握牛顿迭代法的原理与应用。
实验器材与条件：- 电脑- MATLAB 软件实验原理：设函数 f(x) 在零点 x0 处有一阶导数f’（x0）不等于0，则 f(x)在点 x0 的切线方程为y = f’(x0) (x - x0) + f(x0)。
切线与 x 轴的交点为x1，有：f’(x0)(x1 - x0) + f(x0) = 0由于我们的目标是解方程 f(x) = 0，所以我们需要将上式改写成其中 x1 为由切线得到的下一个逼近值。
通过不断逼近 x1 直到误差满足一定要求，我们就可以以一个很高的精确度求解出方程的根。
实验步骤：本实验的目标是求解方程 x^3 - 2x -2 = 0 的根。
第一步，我们先定义该方程及其导数函数：syms x;f = x^3 - 2*x - 2;df = diff(f);其中 diff() 函数是 MATLAB 默认的求导函数。
第二步，我们设定初始值 x0，设定逼近误差 limit，然后进行牛顿迭代，直到误差小于 limit：x0 = 1;limit = 1e-6;diff_value = inf;while abs(diff_value) > limitx1 = x0 - subs(f, x0) / subs(df, x0);diff_value = subs(f, x1);x0 = x1;endx0通过运行上面的代码，我们可以得到方程的一个根，为 1.7693。
实验结果与分析：本实验顺利完成，我们使用牛顿迭代法成功求出了 x^3 - 2x - 2 = 0 的根，为 1.7693。
此结果与理论值非常接近，表明我们使用牛顿迭代法正确地找到了方程的根。
牛顿迭代法论文
南昌工程学院课程设计姓名：专业：年级：学号：年月日牛顿迭代算法摘要: 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
牛顿迭代法是一个重要的计算方法和思想。
牛顿迭代法的主要功能：计算方程时可以比较快速方便的计算出来结果但并不影响计算出来结果的精确度，运用于多种工业设计和数学设计方面.关键字: 牛顿迭代方程根算法一 .牛顿迭代法简介1.1 牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
Newton迭代法浅析
目录第一章：绪论 (2)第二章 Newton迭代原理 (3)2.1 一般迭代思想的设计 (3)2.2 Newton迭代法的原理 (3)2.3小结： (5)第三章 Newton迭代法的收敛性 (6)3.1 Newton迭代法中不收敛的情况 (6)3.2 定理证明 (7)3.3 Newton迭代法的收敛性分析 (10)3.4小结： (12)第四章两种改进的Newton迭代法 (14)4.1 改进初值x的Newton下山法 (14)4.2 一种新的Newton迭代法加速设计 (15)4.3小结： (16)第五章 Newton迭代法的应用 (17)5.1 Newton迭代法的Matlab实现 (17)5.2 数值举例 (17)5.3小结： (20)总论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)第一章绪论在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解非线性方程（组）或者线性方程（组)代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小而乘求是实验数据的曲线拟合问题，用差分或者有限元方法解常微分方程等。
关于非线性方程（组）的求解，一般有两类解法：直接法和迭代法。
我们知道，只有一次、二次和三次方程有规范的求根公式，而高于三次的方程0)xf是不存在求根公式的。
因此求根变得一异常的困难。
而科学计算却(很好解决了这一问题，其中最基本的算迭代法了，它对于解决非线性方程（组）的根变得异常方面。
就迭代法而言，Newton迭代法可算是其经典之作。
Newton迭代法又称为Newton-Raphson迭代法，它是Newton在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
牛顿迭代法是求非线性方程（组）根的重要方法之一，其迭代格式简单，且在单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
关于Newton迭代法，许多学者为之做了相当多的研究，并且留下了很多经典的文献([2-6])。
Newton迭代法在解决Banach空间中非线性方程或方程组的应用更为重要，如梯形Newton迭代法。
牛顿迭代法.
牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较.关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学；九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0 引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法.迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：(1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制.(2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败.所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量.2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：牛顿迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Rapfson method )，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要.方法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根.牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根.另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程()0f x =的牛顿(Newton )法是把非线性的方程线性化的一种近似方法.把()f x 的0x 点附近展开泰勒(Taylor ）级()()()()()()''20'00002!f x f x f x f x x fx x x =+-+-+；取其线性部分作为非线性方程()0f x =的近似方程，则有：()()()'0000f x f x x x +-=；设()'00f x ≠，则其解为：()()0'100f x x x f x =-；再把()f x 在1x 附近展开泰勒(Taylor )级数，也取其现行部分作为()0f x =的近似方程.若()'10f x ≠，则得：()()1'211f x x x f x =-；这样，得到牛顿(Newton )法的一个迭代序列：()()'1n n n n f x x x fx +=-；牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示：当选取初值0x 以后，过()()00,x f x 做()f x 的切线，其切线方程为：()()()'000y f x f x x x -=-；求此切线方程和x 轴的交点，即得：()()'1000x x f x f x =-；牛顿法正因为有这一明显的几何意义，所以也叫切线法. 例：用牛顿法求下面方程的根()32210200f x x x x =++-=； 解：因()'23410f x x x =++，所以迭代公式为：()()3221210203410n n x x x x x x x +=-++-++；选取01x =计算结果列表：从结果可以看出，牛顿法的收敛是很快的，5x 误差1510-.但用牛顿法计算工作量比较大，因每次计算迭代除了计算函数值外还要计算微商值.为此我们提出了简化牛顿法：其公式为()()'10n n n x x f x f x +=-；用上面的公式计算，不再需要每步重新计算微商值，所以计算量小一些，但收敛也要慢一些.为了避免计算导数还可以采用差商代导数的方案：()()()()111n n n n n n n f x x x x x f x f x +--=---；关于牛顿迭代的收敛有下面结果：如果()f x 在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是()f x 的一重零点，且初始0x 充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，且有()()()2'''1/2n n x f f x ξξξξ+-≈•-；这表明牛顿法是二阶收敛的（平方收敛的）.最后考虑()f x 是多项式的特殊情况，此时()f x ，()'f x 在某个x 值，比如x c =时的计算可用综合除法.设 ()111n n n n f x ax a x a x a +-=+++，除以x c -，得商()q x ，余r ：()()()f x q x x c r =-+； （1） 其中：()120121n n n n q x b x b x b x b ----=++++；()n r b f c ==；比较(1)式两边k x 的系数便知这些k b 可以按下表进行：这一过程其实就是秦九韶算法，计算多项式值的嵌套算法：()()()()121n n f c aa c a c c a c a -=+++++；每个括号的值就是这里的0n b b .至于导数的计算，注意到(1)式可得：()()()()''f x q x q x x c =+-；于是：()()'f c q c =；因此再对0n b b 进行上述过程，或者再用一次秦九韶算法即可.2一种修正的牛顿迭代法：给出了牛顿迭代法的一种修正形式，并证明了当1/2r ≠时修正的牛顿迭代法是二阶收敛的，当参数1/2r =时是三阶收敛的，数值实验表明，与经典牛顿迭代法相比，该修正牛顿迭代法具有一定的优势.众所周知，数值求解非线性方程()0f x =的根的方法很多.经典的牛顿迭代法是非线性方程组求根的一个基本方法，它二次收敛到单根，线性收敛到重根.牛顿法因收敛速度快而得到广泛应用，也倍受学者的重视，近年来很多文献中提出各种改进的牛顿方法.文献［8］中利用Newton 迭代法和微分中值定理“中值点”的渐进性，提出了一种多点迭代法.设()f x 满足下述条件：()[]2,f x c a b ∈，()()0f a f b <； ()'0f x ≠， ()''f x 在[,]a b 上保号. (A)根据微分中值定理，存在(,)a b ξ∈，使得：()()()'f b f a f b a ξ-=-，而1lim 2b a a b a ξ→-=-.因此，当b 与a 的距离无限接近时有：()12a b a ξ≈+-.也就是说，在区间(,)a b 不甚大时，中值点ξ一定在其渐近位置 ()12a b a ξ≈+-附近，并随区间变小而趋于其渐近位置.图所示迭代法构造图本方案基于上述考虑，给出一种通过迭代点选取另一个点，利用两个点进行迭代求近似根的新方法.这种方法虽然在迭代中又只利用了一个其它点，但其计算精度却相当高，它的某一种特殊情形恰是通常的Newton 迭代法.为了更加直观起见，我们通过几何直观图来构造这种迭代法.设()f x 满足条件(A )，当选定初值0x(仅要求()()"00f x f x ⋅>)，如图所示，作交点的切线交x 轴于B ()()00'0,0f x x f x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AQ 线段的斜率为：()()()()()000'0000'0f x f x f x f x f x x x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由微分中值定理知，存在()()000'0,f x x x f x ξ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭使得：()()()()()()000'0'0000'0f x f x f x f x f x f x x x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭；而()()()()0000''0012f x f x x x f x f x ξ⎛⎫≈-+- ⎪ ⎪⎝⎭，因此，我们取数1,12r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，在点()()()()()()0000''001,1f x f x P x r f x r f x f x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作切线PC ，图中AD 平行于PC .即用点P 的导数()()()0'0'01f x f x r f x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代替点A 的导数，而仍用点A 的迭代格式得到点D 的坐标()()()()00'00'0,01f x D x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；重复上述过程，得到多点迭代公式()()()()1''1k k k k k k f x x x f x f x r f x +=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (2)其中[,]k x a b ∈，1,2,3,k =.下面我们对上述事实，从理论上加以严格证明.定理 设()f x 满足条件(A )，则由多点迭代公式(1)产生的序列{n x }必收敛于[,]a b 上的唯一a ，这里[],n x a b ∈，()0f a =.证明 函数()f x 在上连续，由连续函数根的存在定理，从()()0f a f b <知道()f x 在[],a b 上根存在，又由条件()'0f x ≠及()''f x 保号知道，()'f x 在[],a b 上不变号，故()f x 在[],a b 上是单调函数，因此()f x 在[],a b 上根a 存在且唯一.由定理条件曲线()y f x =可有如下四种不同情况：(1) ()()()"0,0,0f a f b f x <>>，则()'f x 单调上升，()()''0f a f b >； (2) ()()()"0,0,0f a f b f x <>>，则()'f x 单调下降，()()''0f a f b >；(3) ()()()"0,0,0f a f b f x ><>，则()'f x 单调上升， ()()''0f a f b <； (4) ()()()"0,0,0f a f b f x ><<，则()'f x 单调下降，()()''0f a f b <. 通过对自变量的变号或对函数的变号可将四种情况归结为一种情况，所以我们只需对情况(一)证明迭代过程(1)收敛就可以了.若初值[]0,,,n x a b x a ∈>所以()00f x >，故有()()()()0100'00'01f x x x x f x f x r f x =-<⎛⎫-- ⎪⎝⎭；()()()()()()()()()()()()()()()''0001000'''000000'''000111f x f a f x a f x a x x x x f x f x f x f x r f x r f x r f x f x f x ξξ+--=-=-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；一方面，()0.a x ξ∈，且()()'00f x f x a =-.下证()()()()0''0'01f x f x f x r f x ⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭.若()()()()0''0'01f x f x f x r f x ⎛⎫>-- ⎪ ⎪⎝⎭，由()'f x 的单调性有，x ，()()()00'01f x x r f x ξ--<，又因为()()()()()0000''001f x f x x r x f x f x -->-，因此有()()()0''0'0f x f x f f x ξ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭，与Newton 迭代法的收敛性矛盾.由(一)的假设及()()()()0''0'01f x f f x r f x ξ⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭可得： ()()()()()()'01000'00'01f x a x x x x a a f x f x r f x ξ-=->-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭；一般地，若n x a =，同样可以证明由式(2)得到的1n x +满足1n n a x x +<<.所以由式(1)产生的迭代序列{n x }单调下降且有下界.依极限理论必有极限.对式(2)两边取极限，由极限理论可以求得()'0f a =.再由()'0f x ≠，[],n x a b ∈，可知函数方程()0f x =在[],a b 上的根是唯一的，因此有'a a =.当1r =时，式(2)即为Newton 迭代公式.本文给出的这种多点迭代方法不仅可以被广泛应用于方程的近似求根，更重要的是它为人们提供了一种新的迭代思想，拓宽人们在方程近似求根方面的思路.例 计算()3250f x x x =--=在(2,3)区间内的一个实根.我们已知()0f x =有一个精确到十二位有效数字的实根 2.09455148154a =. 取03x =，以Newton 迭代法计算(记作1n x )，取03x =， 12r =以式(1)计算(记作2n x )，其结果列表如表1.行三次迭代就已得满足精度要求的值了，而Newton 迭代法需迭代5次才可得到满足精度要求的值.式(2)可以被广泛应用，特别是编成数学软件后，用计算机求解方程近似根效果会更加显著.3另外一种牛顿迭代法的修正：Newton 迭代法是方程求根的一种简单而直观的近似方法，但在实际运用中，我们常常觉察到，这种方法仅仅是利用了迭代点及该点的导数值，而没有充分利用其他点及其导数值.是否存在可利用的点，这些点我们应怎样确定.文[1]给出了一种方法，但这种方法求根的关键在适当地选取0x 和r 或n r .选取不适当，就会出现某次迭代的值不是迭代序列中的值.因此，我们会问这些值特别是0x 能否不依靠人为选取，而通过迭代点来选取，本文将利用Newton 迭代法和微分中值定理“中值点”的渐近性，来寻找除迭代点以外的可利用点，给出一种多点迭代方法.设()f x 满足下述条件：()[]()()2,,0f x c a b f a f b ∈<；()()'''0,f x f x ≠在[],a b 上保号. (A)根据微分中值定理，存在(),a b ξ∈，使得()()()'f b f a f b a ξ-=-而1lim 2b a a b a ξ→-=-.因此，当b 与a 的距离无限接近时有：()12a b a ξ≈+-.也就是说，在区间(),a b 不甚大时，中值点ξ一定在其渐近位置()12a b a ξ≈+-附近，并随区间变小而趋于其渐近位置.本方案基于上述考虑，给出一种通过迭代点选取另一个点，利用两个点进行迭代求近似根的新方法.设()f x 满足下列条件(A)：(1) ()f x 在区间在区间[],a b 上存在二阶导数； (2) ()'f x 在[],a b 上不等于零； (3) ()''f x 在[],a b 上不变号； (4) ()()0f a f b <；为了更为直观，我们通过几何直观图来构造多点迭代法.设()f x 满足条件(A)，当选定初值0x （仅要求()()''00f x f x >），如图所示：做A 点的切线交X 轴于B ()()00'0,0f x x f x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AQ 线段的斜率为：()()()()()000'0000'0f x f x f x f x f x x x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭；由微分中值定理知，存在()()000'0,f x x x f x ξ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭使得： ()()()()()()000'0'0000'0f x f x f x f x f x f x x x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭；而()()()()0000''0012f x f x x x f x f x ξ⎛⎫≈-+- ⎪ ⎪⎝⎭，因此，我们取数1,12r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，在点()()()()()()0000''001,1f x f x P x r f x r f x f x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作切线PC ，图中AD 平行于PC .即用点P 的导数()()()0'0'01f x f x r f x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代替点A 的导数，而仍用点A 的迭代格式得到点D 的坐标()()()()00'0',01k k f x D x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (3)主要对(3)式的分子()k f x 用()k f x 与()()()()''1k k k k k f x f x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的和代替，这样就得到新的迭代公式：()()()()()()()()''1''11k k k k k k k k k k k f x f x f x f x f x r f x x x f x f x r f x +⎛⎫ ⎪⎪+-⎪⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (4) 如果令 ()()()()'1k k f x u x x r f x =--；()()()1'k k k kf x x w x x f u +==-；则： ()()111'k k k f x x x f u x -+-++⎛⎫⎪⎝⎭=-； 从而可知(4)式中迭代函数为：()()()()()()'f w x x w x f w x Φ=-；引理1[5] 对于迭代公式()1k k x x +=Φ，如果p Φ在所求的根*x 的邻近连续并且：()()()()1'*''**0p x x k x +Φ=Φ==Φ=，()()*0px Φ≠，则该公式在*x 的邻近是p 阶收敛的.定理1 设方程()f x 的根为*x ，函数()f x 在*x 的的邻域内有至少四阶连续导数，且()'0f x ≠，则迭代公式(4)在的*x 邻近至少是三阶收敛的.证明 迭代公式(4)的迭代函数为：()()()()()()'f w x x w x f w x Φ=-，其中()()()'k k k f x w x x f u =-，由于方程()f x 的根为*x 所以()*0f x =，从而可知()**w x x =，()'*0w x =；()()()()()()'*'*''*3''*f x u x w x f u x =对()x Φ求导数得：()()()()()()()()()()()()()()()'''''"''''*2''0f w x w x f u x f w x f u x u x x w x x f u x -Φ=-⇒Φ=； 同理可得：()()()()()()'"'"*''*''*0x x x w x w x Φ=Φ⇒Φ=-=.由引理知迭代公式(4)在*x 邻近至少是三阶收敛的.引理2（[4]） 假设函数()f x 在区间[],a b 上存在二阶导数，且满足下列条件(1) ()'f x 在[],a b 上不等于零；(2) ()''f x 在[],a b 上不变号；(3) ()()0f a f b <；(4) 设[],x a b ∈，且满足条件()()"0f x f x >；则由Newton 迭代法()()'10n n n x x f x f x +=-得到的序列{}n x 收敛于()0f x =的惟一根*x .定理2 假设函数()f x 在区间[],a b 上存在二阶导数，且满足下列条件(1) ()'f x 在[],a b 上不等于零；(2) ()''f x 在[],a b 上不变号；(3) ()()0f a f b <；(4) 设[],x a b ∈，且满足条件()()"0f x f x >.则由多点迭代公式(4)得到的序列{}n x 收敛于()0f x =的惟一根*x .证明 函数()f x 在[],a b 上连续，由连续函数根的存在定理，从()()0f a f b <知道()f x 在[],a b 上根存在，又由条件()'0f x ≠及()"f x 的保号性知道，()'f x 在[],a b 上不变号，故()f x 在[],a b 上是单调函数，因此()f x 在[],a b 上的根*x 存在且惟一. 由定理条件，曲线()y f x =可有如下四种不同情况：(a) ()()()"0,0,0f a f b f x <>>，则()'f x 单调上升，()()''0f b f a ≥>；(b) ()()()"0,0,0f a f b f x <><，则()'f x 单调下降，()()''0f a f b ≥>；(c) ()()()"0,0,0f a f b f x ><>，则()'f x 单调上升，()()''0f a f b ≥<；(d) ()()()"0,0,0f a f b f x ><<，则()'f x 单调下降，()()''0f b f a ≥<.通过对自变量的变号或对函数的变号可以将四种情况归结为一种情况，所以我们只需对其中一种情况证明迭代过程(4)是收敛的就可以了.下面仅就情况(a)证明定理2，其余情况的证明类似.对情况(a)来说此时()0f x =在[],a b 上的根存在且惟一，且()f x 在[],a b 上单调递增.首先证明，对任何初始近似()*,x x b ∈，由迭代公式(4)求出的逐次近似k x 都属于()*,x b ，并且单调递减. 事实上，由引理2的证明我们可知，只要()()()()()*'1,k k k k f x u x x r x b f x =--∈，就有()*1,k x x b -+∈，即()1k k k x u x x -+<<，再由(3)式得11k k x x -++<，另一方面(3)式可化为： ()()()()()()()()()*''1*****11111'''1k k k k k k k k k f x f x f f x x x x x x x x x x f u x f u x f u x ξξ-+----+++++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 其中()()**11,,k k x x x u x ξ-+⎛⎫∈⊂ ⎪⎝⎭.由()'f x 单调递增且()'0f x >知()()()''1k f f u x ξ<，故*10k x x -+->因而由(4)式产生的序列{}n x 单调递减并有下界，故lim n n x →∞存在.设lim n n x x -→∞=，(4)式两边当k →∞时求极限得： ()()_____'_'____'_'101f x f x f x f x f x r f x x x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()_____'_'__'_'11f x f x f x f x f x r f x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 可知 ()_____'_'01f x f x f x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+-= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()()___*__'_',,1f x x x x b f x f x r f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-∈⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 在[],a b 上单调递增，且()*0f x =所以：()_____'_'0,01f x f x f x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪=-= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；因此得：*x x -=. 本方法代方法比Newton 和文[4]的迭代法的收敛速度明显要快，而且对于1,12r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，r 越大效果越差！对于例1，用MATLAB 程序运算格式(4)，当12r <时，在*0k x x →=之前迭代格式会产生负值.所以，格式(4)的收敛速度和r 的选取有关. 对于定理2中的四个条件，在MATLAB 中通过简单的程序即可验证.4 中国古代算法盈不足术与牛顿迭代算法的比较：首先介绍 盈不足术 九章算术中的第七章是盈不足术，这是求解方程的一种最古老的方法.为了说明该方法的基本思想，我们考虑该章的第一个例子：今有共买物，人出8，盈3；人出7，不足4，问人数、物价各几何？其求解过程为(见图1)：(1) 把出率(8)和(7)放在第一行；(2) 把盈数(3)和不足数(4)放置在出率下面；(3) 计算维积(交差积)得(32)和(21)，得和为(53)；(4) 盈减去不足数为431-=；(5) 从而得物价为53531=； 用现代数学的观点，盈不足术可表示为：设1x 和2x 为两个近似物价，1R 和2R 分别表示为盈或不足数，则物价为：211212x R x R x R R -=-;人数为1212R R y x x +=-；正如白尚恕[7]指出的那样，在隋唐(581～618年AD )盈不足术在中东被广泛流传，最早的阿拉伯算术书是由al-Khowarizmi 在公元825年写的，英文中的算术一词(algorithm)来自他的名字，他应该对九章算术和其他古代中国巨著很了解，并把盈不足术称为中国方法.Khitai 指China ，类似的写法有Khatai ，Chatayn ，Chataain 等等.普遍认为中国算法是通过古代著名的意大利数学家Leonardo Fibonacci(1170?～1250?年)传给西方的，据记载Fibonacci 随他父亲周游了埃及、西西里、希腊和叙利亚，这次周游使他接触了东方和阿拉伯的计算方法.在1202年，即他回家后不久他就出版了著名的《算经Liber Abaci 》.该书也介绍了盈不足术，并把这种方法称为中国规则，这个名字来自中东，在那里中国算法称为Hisabl-Chatin ，里Chation 指China 该书中的一些例子和算法和中国古代数学巨著完全一样.如在4世纪的孙子算经：今有物不知其数，三三数之胜二，五五数之胜三，七七数之胜二，问物几何？该问题的解题方法就是数论中的中国余数定理：在Fibonacci 的《算经》中阿拉伯语DeRegulisel-Chatavn 被译成拉丁文DuarumFalsdrumPosicionumRegula 所以在西方这种方法被称作双假定方法，这实际上是九章算术中的盈不足术，即中国算法，它起源于中国是毫无疑问的，这正如钱宝琮[8]指出的那样可惜的是很多西方人认为这种方法起源于印度，并被阿拉伯人所掌握所以本作者强烈建议把双假设法改称为中国算法或中国方法.中国算法与牛顿迭代算法考虑方程()'0f x =设12,x x 为方程的两个近似解，于是我们得残量()1f x 和()2f x 应用中国算法，我们可得()()()()2112312x f x x f x x f x f x -=-； （5） 在九章算术中给出了在下列情况下的一些不等式：(1)双盈，即()10f x >和()20f x >(2)双亏，即()10f x <和()20f x <；(3)一盈一亏，即()()120f x f x ⋅<；上述算法可以根据不等式的性质确定更合适的两个数()12,x x 或()23,x x ，再进行计算定更精确的近似解，为了与牛顿迭代算法比较，我们把(5)写成如下形式：()()()()()()()()2112112311212x f x x f x f x x x x x f x f x f x f x --==---； 如果引入导数()'1f x ，它定义为()()()12'112f x f x f x x x -=-；那么我们马上可得：()()11'1f x x x f x =-； 这就是著名的牛顿迭代法，当两个近似值1x 和2x 位于真解的两侧时，即()()120f x f x ⋅<，中国算法比牛顿迭代算法具有很大的优势，牛顿迭代算法可以更进一步的优化发展，可参考文献[10，11].中国算法的改进：中国算法可以看成是通过两个近似解的线性近似方法，见图2为了提高中国算法的精度，我们用三点()123,,x x x ，而不用两点()12,x x ，用抛物线拟合该曲线，我们得近似解为：()()()()()()123213321121321233231x f f x f f x f f x f f f f f f f f f f f f =++------； 式中()i i f f x =；综合概述：迭代算法是一种用途非常广泛的方法，本文不仅介绍了这个方法很好的诠释这个方法， 而且做了牛顿迭代法的两种修正，更做了牛顿迭和与中国古代算法的比较，不仅试读者更好理解了这个方法，更开阔了读者的视野，使读者更能留下研究的空间.参考文献：[1] 徐萃薇，孙绳武.计算方法引论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.[2] 龙爱芳.避免二阶导数计算的迭代法[J].浙江工业大学学报，2005， 33(5):602～604.[3] 李庆扬，王能超.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，1986.[4] 张新东，王秋华.避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进[J].山东大学学报，2007，42（7）：72～76.[5] 何吉欢.盈不足术与牛顿迭代算法的比较[J].应用数学和力学，2002，23（12）：1256～1259.[6] 王晓峰.一种修正的牛顿迭代法[J]，2010，33（1）长春理工大学学报，178～179.[7] 白尚恕.九章算术注释[M].北京：科学出版社，1983.[8] 钱宝琮.中国数学史[M].北京：科学出版社，1992.[9] 陈新一.一种多点迭代方法[J].甘肃教育学报（自然科学版），2001，15（1）：13～16.[10]HeJi-huan.Improvement of Newton interation menthod [J].International Journal of Nonlinear Science and Numerical Simulation 2000，1(3):239～240.[11]HeJi-huan.Newton-like iteration menthod for solving algebraice quations[J]. Communication NumSimulation，1998，3(2):106～109Newton iterationLI Bao YangMathematical Sciences Information and Computing Science NO：060424067Instructor :SU MenglongSummary：In the 17th century，Newton introduced a method of solve equations approximately in real number domain and complex domain，that is Newton Iteration，a process of recursion new value constantly with the old value of variable. Correspond with the Iterative Method is A Direct Method or as A Solution，that is a one-time problem solving. Iteration is divided into exact iterative and approximate iterative. "Newton Iterative Method" is belong to approximate iterative methods. This article mainly focuses on the Newton Iteration. The main contents of this article include the discovery，evolution and amendment process of this methods; an improve of avoiding calculating Newton Iteration with second-order derivative; the comparison of the Chinese ancient algorithm---Yingbuzu Method and Newton Iterative Algorithms. Keywords: Newton Iterative Algorithm; approximate solution; order of convergence; numerical experimentation; Arithmetic in Nine Section ; Duffing Equation; Nonlinear equations; Convergence rate; Progressive。
牛顿迭代法论文
盐城师范学院课程考察论文课程名称：《计算方法》学院：数学科学学院专业：数学与应用数学班级：数学09（4）姓名：陈玉婷学号：09211428论文题目：浅析牛顿迭代法及其延伸成绩浅析牛顿迭代法及其延伸数学学科中，代数方程求根问题是一个古老的问题，早在十六世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。
但是直到十九世纪才证明n＞=5次的一般代数方程式不能用代数公式求解。
因此，需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程式的近似解。
在工程和科学技术中许多问题常常归结为求解非线性方程式问题。
现主要被运用的是二分法，迭代法，牛顿法，后经过一系列的改进，又产生了正割法和抛物线法等更加实用的方法。
内容摘要：本篇文章浅析牛顿迭代法。
对牛顿迭代法以及其基本原理进行基本阐述，介绍几个牛顿法变形，对其局部收敛性质进行分析。
并列举相关例题进行解答，包括过程图以及编程代码。
关键字：迭代法牛顿迭代法问题背景:牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-雷扶生法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
基本阐述：方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f(x)在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f(x)的近似表达式。
由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程f(x) = 0中的f(x)求得近似解x 1。
即将方程f(x) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f(x) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。
牛顿迭代法传奇（下）：意犹未尽，柳暗花明
牛顿迭代法传奇（下）：意犹未尽，柳暗花明一项科学发现常常只能被幸运地发现一次。
而牛顿法则一次次被重新推广和修正，每次新发现的结果是，我们原来知道的牛顿法不过是新版的特例而已。
其发展和演变历史，正是数学学人不断探索新领域解决新问题过程的写照。
牛顿法的奇妙还在于，从诞生以来的一次次发展、推广和创新都是实质性的，而不仅仅是修边角式的改善。
撰文 | 曾钟钢（美国东北伊利诺伊大学数学系讲座教授）、丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）在《牛顿迭代法传奇（上）：张冠李戴的命名》中我们说到，科学计算和工程计算上最基本最重要的通用算法“牛顿法”的发明史，是一部诸多大数学家前仆后继的传奇史，从巴比伦-赫伦，到韦达，到牛顿，到拉夫森，到辛普森等等，许多数学家将看似简单的牛顿法不断赋予新的内涵。
直至今天，这个传奇仍旧没有结束，本文将剖析牛顿法的基本思想和深层含义，并介绍牛顿法的最新进展。
牛顿法的思想在谈论牛顿法扑朔迷离的历史后，我们再次写下本文上篇给出的由辛普森发明的单变量方程牛顿迭代法：(1)我们可以用现在成熟的微积分观点来探讨牛顿法的深层含义。
把一个最一般的非线性方程组写成算子方程f(x) = 0 并假定变元x是个n 维向量，而f(x) 的值是个m维向量。
如果这个方程组是正方形，也就是方程个数m等于变量个数n，那么当今教科书中的牛顿法就是辛普森的版本：(2)其中J(x k) 是f(x) 在x k点的雅可比 (Carl Jacobi，1804-1851) 矩阵，而( )-1表示方矩阵求逆。
读者可以发现，如果是单个方程单个变量，这个牛顿法的辛普森公式就回到单变元情形（1）。
关于牛顿法的大部头专著汗牛充栋，其实就像众多伟大发现一样，它背后的道理非常简单易懂。
算法（2）的核心思想来自牛顿-莱布尼茨微积分理论中最基本的发现：如果函数f在x0 点二次连续可微分，那么，算子 f在x0点附近可以用线性算子二阶近似：（3）这里表示这个近似的误差在渐进意义下是x到x0之间距离的平方。
线性方程组的迭代法应用及牛顿迭代法的改进
线性方程组的迭代法应用及牛顿迭代法的改进摘要: 迭代解法就是通过逐次迭代逼近来得到近似解的方法。
由于从不同的问题而导出的线性代数方程组的系数矩阵不同，因此对于大型稀疏矩阵所对应线性代数方程组，用迭代法求解。
本文论述了Jacobi 法，Gauss-Seidel 法，逐次超松弛法这三种迭代法，并在此基础上对牛顿型的方法进行了改进，从而使算法更为精确方便。
关键词:线性方程组，牛顿迭代法，Jacobi 法，Gauss-Seidel 法，逐次超松弛法1.线性方程组迭代法1.1线性方程组的迭代解法的基本思想迭代法求解基本思想:从某一初始向量X （0）=[x 1(0) ,x 2(0) ,……………x n (0) ]出发，按某种迭代规则，不断地对前一次近似值进行修改，形成近似解的向量{X (k)}。
当近似解X (k) =[x 1(k) ,x 2(k) ,……………x n (k) ]收敛于方程组的精确解向量X* =[x 1*,x 2*,……………x n *]时，满足给定精度要求的近似解向量X (k)可作为X*的数值解。
1.2 线性方程组的迭代法主要研究的三个问题(1) 如何构造迭代公式 (2) 向量数列{X (k)}的收敛条件 (3) 迭代的结束和误差估计解线性方程组的迭代解法主要有简单迭代法、 Gauss-Seidel 法和SOR 法。
简单迭代法又称同时代换法或Jacobi 法，是最简单的解线性方程组的迭代解法也是其他解法的基础。
1.3Jacobi 迭代法设方程组点系数矩阵n n j A ai R ⨯⎡⎤=∈⎣⎦满足条件0ii a ≠，i=0,1,2, …n 。
把A 分解为A=D+L+U1112,nn a a D a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121,100,0n n n a l a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1211,000n n n a a U a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦在迭代法一般形式中，取N=D, P=-(L+U)形成以下迭代公式(1)1()1(),k k x D l U x D b +--=-++ k=0，1，… （2-1）其中(0)n x R ∈任取。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用_柳辉
f
c( xk) ( x -
xk ) +
f
d( N) 2!
(
x
-
xk ) 2= 0 ( N介于x 与x k 之间)
为了简化问 题用 直线代 替曲线, 得 f ( x ) U
f ( x k) + f c( xk) ( x - xk) = 0, 若 f c( x k) X 0, 则 x =
xk -
f (xk) f c( xk)
96
重庆工学院学报
法. 解析法又称为公式法, 得到的解是精确解. 解
析法用于求解函数的精确 解, 其中自变量与因变 量的关系是连续的、精确的对应关系.
数值法是通过数值计算 获得近似解的方法. 由于是近似解, 因此有精度和误差的要求, 而且数 值解是离散的解.
2 牛顿迭代法的实际应用举例: 徒手开方
x 2<
N<
b.
如此继续上 述过程可得确定的点列{ x n} . 显
然{
xn}
严格递增且有上界,
故可设 lim ny]
x
n
=
c.
由于
f
和f
c连续,
对
xn =
x n- 1-
f
f ( xnc( xn-
1) 11)
取极限,
得
c=
c-
f
f
( c) c( c)
.
因而有
f
(
c
)
=
0. 由 f
严格单调, 可
知方程 f ( x ) = 0 的解唯一, 从而 c= N.
柳辉
( 兰州交通大学 数理与软件工程学院, 兰州 730070)
摘要: 牛顿迭代法也称为牛顿切线法, 是解非线 性方程 的一种 方法, 通过实 例对该 方法进 行了介
拟牛顿法的研究现状文献综述
设 F ：R → R 是连续可微映射．考虑下面的非线性方程组：拟牛顿法的研究现状文献综述姓名:孟媛媛学号：112111215 指导老师：肖伟前言求解非线性方程组F (x ) = 0的方法有很多，最速下降法具有结构简单，计算量小的优点，但是它的收敛速度 较慢；牛顿法及其改进牛顿法，虽然收敛速度快，但在迭代过程中的每一步构造 搜索方向时，首先要计算目标函数的 Hessian 矩阵，然后需要解一个线性方程组， 计算工作量很大，这就抵消了牛顿法收敛速度快的优点。
为了克服牛顿法的缺点， 人们提出了拟牛顿法，拟牛顿法在构造搜索方向时，只需要利用目标函数及其一 阶导数的信息，避免了 Hessian 矩阵的计算，减少了计算量，并且具有超线性收 敛的优点，经理论证明和实践检验，拟牛顿法已经成为一类公认的比较有效的算 法.拟牛顿法一、求解非线性方程组的拟牛顿法n nF (x ) = 0牛顿法是求解方程组 (1.1) 的经典的方法之一，其迭代格式为：(1.1)x k +1 = x k + d k ， d k = -F '( x k )-1F ( x k ) ，其中 F '( x k ) 是 F 在 x k 处的 Jacobian 阵.牛顿法的一个显著优点就是具有局部的 超线性甚至二阶收敛速度，由于牛顿法这一优点，使其成为颇受欢迎的算法之一，然而，当 Jacobian 矩阵 F '( x k ) 奇异时，牛顿方向可能不存在．克服牛顿法的这一缺陷的一个主要途径就是采用拟牛顿法，其基本思想是利用某个矩阵 B k 作为 F '( x k ) 的近似取代 F '( x k ) .拟牛顿法的一般格式为：(y-B k s k)y+y(y-B s) k k k ky sk (y s)2k(y-B k s k)s k+s k(y-B k s k)Ts s(s k s k)2s s=B-B s s Bs B sy yy sky s x k+1=x k+αk d k，(1.2)d k=-B k-1F(x k)，(1.3)其中αk是步长，通常由某种线性搜索确定.B k是F'(x k)的近似，它满足下面的拟牛顿方程：B k+1s k=(y k)，(1.4)其中y k=F(x k+1)-F(x k),s k=x k+1-x k.注意到y k≈F'(x k+1)s k，因此，B k+1与F'(x k+1)沿方向s k很接近.拟牛顿矩阵B k+1的不同的校正公式导致不同的拟牛顿法.著名的拟牛顿校正公式有Broyden秩一校正公式，对称秩一校正公式，DFP校正公式，BFGS校正公式，PSB校正公式等，它们分别由下面这些公式定义：B DFP k+1=B k+TTkk kT-(y k-B k s k)TTks k yk yTk;B PSB k+1=B k+k k TTk k-(y k-B k s k)TTs kk kT;B BFGS k+1B R1k+1=B k+(y k-B k s k)(y k-B k s k)T(y k-B k s k)T s k.容易看到，DFP，PSB，BFGS，SR1校正公式都是对称的，他们适合求解对称问题，而Broyden R1校正公式是不对称的，因此它常被用来求非对称问题.如果Tk k>0，则DFP和BFGS公式保持迭代矩阵B k的对称正定性，而其它几种方法不具有这种性质.PSB校正公式在非线性最小二乘问题中经常被采用.BFGS 公式是颇受欢迎的拟牛顿公式，它具有DFP校正所具有的各种性质.此外，当采用Wolfe线性搜索时，BFGS算法对凸极小化问题具有全局收敛性质，这个性质对于DFP方法是否成立尚不清楚.大量的数据结果表明，BFGS方法的数值效果优于其它的拟牛顿方法.拟牛顿法不需要明显计算Jacobian阵，同时保持牛顿法的快速收敛速度.自20世纪60年代Broyden第一次提出求解非线性方程组的拟牛顿法后，因其深邃丰富的理论知识和实际计算中的有效性，很快受到最优化工作者和计算数学家的特别青睐.特别是拟牛顿法的局部收敛性得到了广泛的研究.此外，人们对拟牛其中σ1>0是常数，∑η<∞;在适当条件下，文献[3]证明了求解非线性方程组k=0B s s B s B s y y y sk顿法求解无约束问题的全局收敛性分析进行了相当的努力并且取得了巨大进展．尽管拟牛顿法的局部收敛性结果十分丰富，但是其求解非线性方程组的全局收敛性结果却很少．全局化方法x k+1=x k+αk d k需要采用某种搜索计算步αk，但是此时拟牛顿方向一般不再是某个度量函数的下降方向，从而使得线性搜索难以实现或考说缺少一种有效的线性搜索.Griewank在1986年研究了解非线性方程组的Broyden秩一方法的全局收敛性，并在文献[2]中提出了一种无导数的线性搜索，同时证明了Broyden方法在该搜索下的全局收敛性．Li和Fukushima在文献[3]中构造了一个反例表明Griewank在文献[2]中的线性搜索在计算中可能会产生某些困难，即该搜索不是适定的.为克服此缺陷，Li和Fukushima提出了一种非单调搜索技术：求步长αk使得F(x k+αk d k)≤F(x k)-σ1αk d k2+ηk F(x k)∞k的Broyden方法的全局收敛性.关于BFGS方法求解非线性方程组的第一个全局收敛性结果属于Li和Fukushima，1999年，他们在文献[4]中提出了一种新的近似范数下降的BFGS方法，称之为Gauss—Newton型BFGS方法，其拟牛顿方向由下面的方程决定：B k d+q k=0，其中q k=正：F(x k+λk-1F(x k))-F(x k)λk-1≈F'(x k)F(x k),B k由下面的BFGS公式校B k+1=B k-kkkTk k kTk+k kTTk,其中s k=x k+1-x k,y k=F(x k+y k)-F(x k),yk=F(x k+1)-F(x k).这种Gauss-Newton型BFGS公式不同于标准的BFGS公式，尽管它仍满足拟牛顿方程B k+1s k=yk.注意到y k≈F'(x k+1)2s k，因此B k+1≈F'(x k+1)2，相应的方法称之为Gauss-Newton型BFGS方法.2003年，GU等人引入了一种范数下降的线性搜索，并利用Li和Fukushima求解无约束优化问题的CBFGS和MBFGS方法的思想,提出了求解对称非线性方程组的范数下降的保守的和修正的Gauss—Newton型BFGS方α 》0g ( x k+α kd k) ≥σ d k{ }α= max ρ , j = 0,1,2,满足法，并且证明了这两种方法全局收敛.尽管牛顿法和拟牛顿法都是非常有效的算法，但是它们都需要计算和存储矩 阵，这难以用于求解大型问题．最近，Cruz 和 Raydan 在文献[5]提出了一种求解 一般的非线性方程组的非单调的谱梯度方法并证明了其全局收敛性．Zhang 和 Zhou 在文献[6]提出了一种求解单调非线性方程组的谱梯度投影方浃法建立了全 局收敛性结果.这两种谱梯度方法都适合求大规模问题，察实上，这两种谱梯度方 法是求解无约束优化问题的谱梯度方法在非线性方程组中的推广．前面讨论的都是拟牛顿法求解光滑非线性方程组的已有结果。
数值分析论文 (8)
牛顿迭代法及其应用[摘要]本文研究应用泰勒展开式构造出牛顿迭代法，论证了它的局部收敛性和收敛阶。
分别讨论了单根情形和重根情形，给出了实例应用。
最后给出了离散牛顿法的具体做法。
[关键词] 关键词：泰勒展开式，牛顿迭代法及其收敛性，重根，离散牛顿法。
1.牛顿法及其收敛性求方程f（x）=0的根，如果已知它的一个近似,可利用Taylor展开式求出f(x)在附近的线性近似，即，ξ在x与之间忽略余项，则得方程的近似右端为x的线性方程，若，则解,记作,它可作为的解的新近似，即(2.4.1)称为解方程的牛顿法.在几何上求方程的解，即求曲线y=f(x)与x轴交点.若已知的一个近似,通过点(，f())作曲线y=f(x)的切线，它与x轴交点为,作为的新近似，如图1所示图1关于牛顿法收敛性有以下的局部收敛定理.定理1设是f(x)=0的一个根，f(x)在附近二阶导数连续，且，则牛顿法(2.4.1)具有二阶收敛，且(2.4.2)证明由式(2.4.1)知迭代函数,，,而，由定理可知，牛顿迭代(2.4.1)具有二阶收敛，由式可得到式(2.4.2).证毕.定理表明牛顿法收敛很快，但在附近时才能保证迭代序列收敛.有关牛顿法半局部收敛性与全局收敛定理.此处不再讨论.例1用牛顿法求方程的根.,牛顿迭代为取即为根的近似，它表明牛顿法收敛很快.例2设＞0，求平方根的过程可化为解方程.若用牛顿法求解，由式(2.4.1)得(2.4.3)这是在计算机上作开方运算的一个实际有效的方法，它每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即可，计算量少，又收敛很快，对牛顿法我们已证明了它的局部收敛性，对式(2.4.3)可证明对任何迭代法都是收敛的，因为当时有即,而对任意，也可验证,即从k=1开始，且所以｛｝从k=1起是一个单调递减有下界的序列，｛｝有极限.在式(2.4.3)中令k→∞可得，这就说明了只要，迭代(2.4.3)总收敛到,且是二阶收敛.在例2.4的迭代法(3)中，用式(2.4.3)求只迭代3次就得到=1.732 051,具有7位有效数字.求非线性方程f(x)=0的根x*,几何上就是求曲线y=f(x)与x轴交点x*，若已知曲线上一点过此点作它的切线。
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“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。
牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。
从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。
湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。
浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。
牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。
应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。
因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。
然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。
与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。
南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。
本文利用文献[4]所建立的迭代格式xn+1=xn-αf(xfn)(x+n)f′(xn),对迭代格式中的参数α的讨论,实现了牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式。
O5年江南大学理学院张荣和他的伙伴薛国民发表了一篇名为修正的三次收敛的牛顿迭代法的论文，给出了牛顿迭代法的两种修正形式,证明了它们都是三阶收敛的,给出的相互比较的数值例子有力地说明了这一点。
哈尔滨工程大学水声工程学院的王大成和雷亚辉一块和丁士圻在07年做了一篇题名基于牛顿迭代法的频不变响应阵设计的文献，为了避免空间指向性随频率变化造成发射或接收信号失真,目标检测与分类用主动声呐常采用频不变响应阵。
频域加权矢量的计算是设计频不变响应阵的关键技术。
首先根据基阵对空间信号的接收模型给出频不变响应阵的定义,接着从描述基阵实际空间响应和预成空间响应之间差异的数学表达式出发,提出了频不变指数的概念,进而结合所研究问题的目标函数特性给出了利用牛顿迭代法获得实现频不变响应阵所需频域加权矢量的新算法。
针对均匀线阵和圆弧阵所作的计算机仿真结果表明,新算法不但收敛速度快、计算精度高,而且不受基阵类型和阵元指向性的限制。
张子贤河北工程技术高等专科学校在93年发表一篇题名牛顿迭代法在内部回收率推求中的应用主要内容是<正> 在水利工程经济分析和财务分析中,内部回收率是《水利经济计算规范》中规定的方法之一。
所谓内部回收率是指工程内在的回收投资的能力或内在的取得报酬的能力。
也就是要计算出什么利率下,该工程在整个经济计算期内的效益现值与该工程的全部投资、年运行费用现值相等。
湖南师范大学的吴专保，徐大为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效，发表了堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法。
85年浙江大学电机系的林悠扬发表题名牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制，在文献中讨论了求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。
牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。
应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。
因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。
然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。
与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。
08年奥运会中北京化工大学数学系的余明明和吴开谡，张妍发表牛顿迭代法与几种改进格式的效率指数，主要研究牛顿迭代、牛顿弦截法以及它们的六种改进格式的计算效率,计算了它们的效率指数,得到牛顿迭代、改进牛顿法、弦截法和改进弦截法(即所谓牛顿迭代的P.C格式)、二次插值迭代格式、推广的牛顿迭代法、调和平均牛顿法和中点牛顿法的效率指数分别为0.347/n、0.3662/n、0.4812/n、0.4812/n、0.347/n、0.3662/n、0.3662/n、0.3662/n.我们的结果显示,利用抛物插值多项式推出的迭代格式和改进弦截法并没有真正提高迭代的计算效率。
他们还改进弦截法与牛顿弦截法等价。
牛顿迭代法在日常生活中应用非常广泛，许多论文介绍了这种方法，利用这种方法解决了很多实际问题，多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
为此我们在学习中要体会这种方法的重要性。
牛顿迭代法是以微分为基础的，微分就是用直线来代替曲线，由于曲线不规则，那么我们来研究直线代替曲线后，剩下的差值是不是高阶无穷小，如果是高阶无穷小，那么这个差值就可以扔到不管了，只用直线就可以了，这就是微分的意义。
牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
罗佑新，李晓峰，罗烈雷，廖德岗组成小组在07年发表一篇题名混沌映射牛顿迭代法与平面并联机构正解研究，主要研究了自然科学与工程中的许多问题都可以转化为非线性方程组的求解问题,牛顿迭代法是重要的一维及多维的迭代技术,其迭代本身对初始点非常敏感。
运用混沌映射xn+1=cos(2/xn)产生初始点,首次提出了基于混沌映射的牛顿迭代法求解非线性方程组的新方法。
对3-RPR平面并联机构正解问题进行了研究,给出了算例。
该方法简单、实用,为实际机构的设计提供了多种选择方案,为机构学设计提供了全新的方法。
北京联合大学应用文理学院的廖章钜写了牛顿迭代法与剖分相结合的一种多项式求根算法，主要解决了牛顿迭代法是多项式求根的一种效率很高的算法，但是它有两个缺点：第一每次只能求出一个ε－根，求其它根时若采用降次处理又会产生精度降低的问题。
第二有时会遇到由于初始点选择不当而使算法失效。
如果将牛顿迭代法与剖分相结合，可以产生一个新的多项式求根算法。
经过对１１０个１０次到２０次多项式的求根检验发现：１）一次求根率（求出根数与应有根数之比）达到８８％以上；２）已经求出的每一个根的平均迭代次数Ｋ（ｄ）＝ｃ（ｄ）·ｄ，其中ｄ为多项式的次数，ｃ（ｄ）＜１４；３）在复数域内求一个根的计算量为Ｏ（ｄ３）次实数乘法。
中国科学院地理信息产业发展中心的张立立发表对牛顿迭代法进行普通多圆锥投影的逆变换算法的改进，研究普通多圆锥投影坐标逆变换可以使用牛顿迭代法来求解超越方程。
但是使用杨启和设计的牛顿迭代法只能对多圆锥投影坐标的部分区域内的数据进行逆变换,不能求解全球范围内的经纬度。
本文对杨启和设计的牛顿迭代法的初值确定进行了改进,可以对全球范围内的数据进行逆变换,利于程序设计和实现。
周新年,罗仙仙,罗桂生,郑丽凤,官印生从悬链线的标准线形出发 ,推导悬索无荷线形及拉力的计算式 ;通过建立状态协调方程 ,导出有荷水平拉力与有荷挠度的关系 ,运用牛顿迭代的数值解法求解悬索有荷线形与拉力。
题名为牛顿迭代法悬索线形与拉力的研究。
廖章钜发表题名与剖分相结合的牛顿迭代法使牛顿迭代法与剖分相结合所产生的新算法显示出: l.几乎可以求出一元复n次多项式的所有根。
2.可以求出二元n次多项式的等位线。
南京师范大学李贤成发表题名3000m障碍跑场地设计的一种新方案——牛顿迭代法在场地设计中的应用，本文用牛顿迭代法求得3000m障碍跑第二弯道所需设计线应对圆心角的弧度和圆的半径,给障碍跑场地的设计和测画提供了理论依据。
兰州工业高等专科学校机械工程系,兰石总厂石化公司的罗文翠,王玉虎写了一篇基于牛顿迭代法计算圆弧齿轮传动公法线长度的文献，这篇文献主要讲述了以圆弧齿轮传动及其测量尺寸公法线长度的计算原理和公式为依据 ,以 6 7型单圆弧齿轮为例 ,提出利用牛顿迭代法计算圆弧齿轮公法线的原理、求解方程流程图、迭代方程及编程 ,比手工计算大大降低了工作量 ,而且精度也得到了很好保证。
宁波高等专科学校电子系洪立给出了牛顿迭代的广义收敛条件，并在Ｂａｎａｃｈ空间中建立了相应的收敛定理．用自己题名为牛顿迭代的收敛条件的文章说明了此收敛条件比ＳｍａｌｅＳ在１９８６年的结果更佳。
武汉化工学院自动化系杨帆,郭德文用题名为“牛顿迭代法”构造高阶 M -J分形图阐述了用“牛顿迭代法”构造高阶 M J分形图的原理、方法及分形图特征 ;并用 VB编制了分形演示程序软件包 ;用计算机模拟了大量分形图。
沈阳化工学院邵国万,刘玉芹发表基于牛顿迭代法的移动机器人编队算法，该文借鉴滚动规划的思想,探究了全局环境未知,障碍物分散条件下移动机器人系统的编队问题。
文中提出的基于牛顿迭代法的移动机器人编队算法,将机器人系统的编队问题分解为各个机器人自主移向预定目标的过程,利用实时探得的局部环境信息,不断修整预定目标而完成编队。
该算法计算量小,实时性强,不受编队形状所限。
仿真结果表明了该算法的有效性。
兰州工业高等专科学校机械系,兰州兰石国民油井工程公司,兰州工业高等专科学校机械系,电源车辆研究所的罗文翠,王玉虎,刘哲,于海滨共同发表题名利用牛顿迭代法计算双圆弧齿轮传动公法线长度，以双圆弧齿轮传动及其测量尺寸公法线长度的计算原理和公式为依据,以 81型双圆弧齿轮为例,提出利用牛顿迭代法计算双圆弧齿轮公法线长度的原理、流程及迭代方程,与手工计算相比大大降低了工作量,而且精度也得到了很好的保证。