圆形磁场问题探析

圆形磁场问题探析

许多学生对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．笔者对该类问题进行归纳总结后，发现几个常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，笔者认为只要针对具体的类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．

一、最值问题的解题关键——抓弦长

1．求最长时间的问题

例1 真空中半径为R=3×10-2m 的圆形区

域内，有一磁感应强度为B=0.2T 的匀强磁场，

方向如图1所示一带正电的粒子以初速度

v 0=106m / s 的速度，从磁场边界上直径 ab 一

端 a 点处射人磁场，已知该粒子比荷为

q/m=108C / kg ，不计粒子重力，则若要使粒子

飞离磁场时偏转角最大，其人射时粒子初速度

的方向应如何？（以 v 0 与 Oa 的夹角 θ 表

示）最长运动时间多长？

解析：由题意可知，带电粒子在磁场中运动时满足r v m

qvB 2=，解得：m Bq mv

r 2105-⨯==，

由于弦（直径）越长，其对应的圆心角越大，运动时间越长．建立 △O ' ab ，作其中垂线 O ' O ，如图 2 所示．设粒子运动速度偏转角最大值为 a ，则此时初速度方向与 ab 连线夹角为037=θ，由题意可知：s T qB m

T 6104.622-⨯=⨯==πα

π

小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．

2 ．求最小面积的问题

例2 一带电质点的质量为m ，电量为q ，以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射人如图 3 所示第一象限的区域．为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 O 工轴的速度 v 射出，可在适当的地方加一个垂直于 x 汤平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求

此圆形磁场区域的最小半径，重力忽略

不计．

解析：设圆形磁场的圆心为O 2点，

半径为r ，画出做圆周运动的轨迹 MN ，

设圆周运动的圆心为O 1，则由图 4 可

知，R r 22

=，由运动规律知

R v m qvB 2

=，故Bq mv

r 22=，则222222B q v

m r S ππ==

小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的 1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．

上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．

二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径

例3 如图5所示，x 轴正方向水平向右， y 轴正方向竖直向

上．在半径为 R 的圆形区域内加一与xoy 平面垂直的匀强磁场．在

坐标原点 O 处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射

具有相同质量 m 、电荷量 q ( q > 0 ）且初速为v 0的带电粒子，不

计重力．调节坐标原点 O 处的带电微粒发射装置，使其在xoy 平

面内不断地以相同速率v 0沿不同方向将这种带电微粒射入x 轴上

方，现要求这些带电微粒最终都能平行于 x 轴正方向射出，则带电

微粒的速度必须满足什么条件？

解析：设带电粒子从 O 点以一定角度进人磁场

经偏转从磁场边缘 B 点出射，画出轨迹图如图 6 所示，其中点 A 为圆周运动的圆心，点

C 为圆形磁场的圆心，连接 OA 、 AB 、 OC 、 CB ，由于要让

粒子水平出射．则必须 AB / / OC ，又 OC = BC = R ，OA = AB ，

根据几何关系可证明四边形 OCBA 为菱形．则 AB =OC =R ，故带

电微粒在磁场中做圆周运动的半径等于 R ，根据R v m

qvB f 2==，则可解得出射速度v ，所以带电微粒的速度必须满足m BqR v =0

小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时，要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径，建立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题．

三、边界交点问题的解题关键 ― 抓轨迹方程

例 4 如图 7 所示，在 x 汤平面内 x ＞0区域中，有一半圆形匀强磁场区域，圆心为 O ，半径为 R =0.10m ，磁感应强度大小为 B=0.5T ，磁场方向垂直xoy 平面向里．有一线状粒子源放在 y 轴左侧（图中未画出），并不断沿平行于 x 轴正方向释放出电荷量为q=+1.6×10-19C ，初速度 v 0 = 1.6 ×106m / s 的粒子，

粒子的质量为 m =1.0×10-26kg ，不考虑粒子

间的相互作用及粒子重力，求：从 y 轴任意

位置（0，y ）入射的粒子离开磁场时的坐标．

解析：根据R v m qvB 2

=得 r=0.2m ，再利

用圆方程联立求解．如图 8 所示，设带电粒

子从圆形磁场边界的 p 点离开磁场，则 p 点

满足222R y x p p =+，2

22)(r y y r x p p =-++

解得222))2.0(2)2.0(03.0(1.0y y x p ++--=，)2.0(2)2.0(03.02y y y p ++-=

点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法相结合的物理模型，本题则利用圆形磁场与圆周运动轨迹方程求交点，是对初等数学的抽象运用，能较好的提高学生思维．

四、周期性问题的解题关键——寻找圆心角

1 ．粒子周期性运动的问题

例 5 如图 9 所示的空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为 R 的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为 B ．现有一质量为 m 、电荷量为 q 的带正电粒子（不计重力）从 A 点沿 aA 方向射出．求：

（1）若方向向外的磁场范围足够大，离子自 A 点射出后在两个

磁场不断地飞进飞出，最后又返回 A 点，求返回 A 点的最短时间及

对应的速度．

（2）若向外的磁场是有界的，分布在以 O 点为圆心、半径为 R 和

2R 的两半圆环之间的区域，上述粒子仍从 A 点沿 QA 方向射出且粒

子仍能返回 A 点，求其返回 A 点的最短时间．

解析（1）粒子运动的轨迹如图 10 所示，应用几何方法结合粒子

运动规律可以证明，粒子每次穿越两磁场边界即圆 O 的圆周时，

其速度方向沿圆 O 的径向，粒子在两个磁场中均做圆周运动，

其所有圆心的连线组成正多边形．粒子沿图 10 所示的轨迹（只

进人向里的磁场一次）返回 A 点所用时间最短，且最短时间

qB m

T t 311611min π==，几何关系可知R r 3=，由动力学规律得

r v m B qv 211=联立解得m qBR v 31=

（2）如图 11 所示，设粒子在磁场中运动半径为 r ，若要离子运动轨迹不超出边界，则必须满足R r R r 222≤++，解得

R r 43

≤，由图11的轨迹和正多边形性质可知n

R r πtan =，解得86.4≥n ，故当n=5时，离子返回 A 的时间最短，即

qB m

T T t 5271072/min π=+=

2．磁场发生周期性变化

例 6 如图 12 所示，在地面上方的真空室内，两块正对的平行金属板水平放置．在两

板之间有一匀强电场，场强按如图 13

所示规律变化（沿 y 轴方向为正方向）

在两板正中间有一圆形匀强磁场区

域，磁感应强度按图 14 所示规律变化，

如果建立如图 12 所示的坐标系，在