用分光计测光栅常数和光波的波长

衍射光栅是一种高分辨率的光学色散元件，它广泛应用于光谱分析．随着现代技术的发展，它在计量、无线电、天文、光通信、光信息处理等许多领域中都有重要的应用．
【实验目的】
1．观察光栅的衍射现象，研究光栅衍射的特点．
2．测定光栅常数和汞黄光的波长．
3．通过对光栅常数和波长的测量，了解光栅的分光作用，并加深对光的波动性的认识．
【实验仪器与用具】
分光计1台，光栅1个，低压汞灯1个．
【实验原理】
普通平面光栅是在一块玻璃片上用刻线机刻画出一组很密的等距的平行线构成的．光波射向光栅，刻痕部分不透光，只能从刻痕间的透明狭缝过．因此，可以把光栅看成一系列密集、均匀而又平行排列的狭缝．
图15—1光栅衍射图
光照射到光栅上，通过每个狭缝的光都发生衍射，而衍射光通过透镜后便互相干涉．因此，本实验光栅的衍射条纹应看做是衍射与干涉的总效果．
下面我们来分析平行光垂直射到光栅上的情况(图15－1)．设光波波长为λ，狭缝和刻痕的宽度分别为a和b，则通过各狭缝以角度φ衍射的光，经透镜会聚后如果是互相加强，在其焦平面上就得到明亮的干涉条纹．根据光的干涉条件，光程差等于波长的整数倍或零时形成亮条纹．由图15－1可知，衍射光的光程差为(a+b)sinφ，于是，形成亮条纹的条件为：
(a+b)sinφ= Kλ，K = 0，±1，±2，…
或d sinφ＝Kλ．（15－1）
式中，d＝a+b称为光栅常数，λ为入射光波波长，K为明条纹(光谱线)级数，φ是K级明条纹衍射角．
K＝0的亮条纹叫中央条纹或零级条纹，K＝±1为左右对称分布的一级条纹，K ＝±2为左右对称的二级条纹，以此类推．
光栅狭缝与刻痕宽度之和a+b称为光栅常数．若在光栅片上每厘米宽刻有n条刻痕，则光栅常数d＝(a+b)= cm．当a+b已知时，只要测出某级条纹所对应的衍射角φ，通过式(15－1)即可算出光波波长λ．当λ已知时，只要测出某级条纹所对应的衍射角φ，通过式(15—1)可计算出光栅常数．
图15－2 光栅的放置
在λ和a+b一定时，不同级次的条纹其衍射角不同．如a+b很小，则光栅衍射的各级亮条纹分得很开，有利于精密测量．另外，如果K和a+b一定时，则不
同波长的光对应的衍射角也不同．波长愈长衍射角也愈大，有利于把不同波长的光分开．所以光栅是一种优良的分光元件．
【实验容和步骤】
1．调整分光计
参照实验十六．调整望远镜使其能接收平行光，且其光轴与分光计的中心轴垂直；调整载物台平面水平且垂直于中心轴；调整平行光管发出平行光，且光轴与望远镜等高同轴．
2．测定光栅常数
(1)放置光栅．按图15—2所示，将光栅放在载物台上，先用目视使光栅平面与平行光管光轴大致垂直(拿光栅时不要用手触摸光栅表面，只能拿光栅的边缘)，使入射光垂直照射光栅表面．
(2)调节光栅平面与平行光管光轴垂直．接上目镜照明器的电源，从目镜中看光栅反射回来的亮十字像是否与分划板上方的十字线重合．如果不重合，则旋转游标度盘，先使其纵线重合(注意：此时狭缝的中心线与亮十字的纵线、分划板的纵线三者重合)，再调节载物台的调平螺钉2或3使横线重合(注意：绝不允许调节望远镜系统)，然后旋紧游标盘止动螺钉，定住游标盘，从而定住载物台．(3)观察干涉条纹．去掉目镜照明器上的光源，放松望远镜止动螺钉16，推动支臂旋转望远镜，从目镜观察各级干涉条纹是否都在目镜视场中心对称，否则调节
载物台下调平螺钉l，使之中心对称，直到中央明条纹两侧的衍射光谱基本上在同一水平面为止．
(4)测衍射角．
①推动支臂使望远镜和度盘一起旋转，并使分划板的十字线对准右边绿色谱线第一级明纹的左边缘(或右边缘)；旋紧望远镜止动螺钉16，旋转望远镜微调螺钉，精确对准明纹的左边缘(或右边缘，注意对以后各级明纹都要对准同一边缘)，从A、B两游标读取刻度数，记为、．同理测出左边绿色谱线第一级明纹的刻度数、，则第一级明纹的衍射角为(衍射光谱对中央明纹对称，两个位置读数之差的l／2即为衍射角φ) ，如图15—3所示，
，
．
取平均得第一级明纹衍射角的平均值：
图15—3衍射角的测定
将代入(15－1)式求得d1．
②用上述同样的方法测得绿色谱线第二级明纹的衍射角，同理求得d2 ，则所测光栅常数
3．测定待测光波的波长
转动望远镜，让十字叉丝依次对准中央条纹左、右两边K＝±l、K±2的黄线亮条纹，按上述相同的方法，测出其衍射角、．由于已知d，将其代入(15－1)式，则得出λ1、λ2，故
说明：为避免漏测数据，测量时也可将望远镜移至最左端，从－2、－l到＋1、＋2级依次测量．
【数据记录及处理】
1．测定光栅常数
由式(15－1)得d＝，绿光波长．
表15—1 测定光栅常数数据表
计算误差：= (△为衍射角的平均误差)．结果表示d ＝±△d ＝±．
2．测定黄光波长
表15—2 测定黄光波长数据表
计算误差：△= [△d／d ＋（cot ）△]= ，
结果= ±△= ±．
【注意事项】
1．光栅是精密光学器件，严禁用手触摸刻痕，以免弄脏或损坏．
2．水银灯的紫外线很强，不可直视，以免灼伤眼睛．
3．分光计各部分调节一定要细心、缓慢，如发现异常现象，要及时报告．【思考题】
1．光栅光谱和棱镜光谱有哪些不同之处?
2．用光栅观察自然光，看到什么现象?为什么紫光离中央0级条纹最近，红光离0级条纹最远?
3．光狭缝太宽或太窄时，将会出现什么现象?为什么?
4．按图15—2放置光栅有何好处?
5．用光栅测定光波波长，对分光计的调节有什么要求?
6．利用 ＝5893 的纳光垂直入射到1mm 有500条刻痕的平面透射光栅上时，最多能看到几级光谱?
1． 进一步熟悉掌握分光计的调节和使用方法；
2． 观察光线通过光栅后的衍射现象；
3． 测定衍射光栅的光栅常数、光波波长和光栅角色散。

【实验原理】
图4.9-1 图4.9-2
若以单色平行光垂直照射在光栅面上（图4.9-1），则光束经光栅各缝衍射后将在透镜的焦平面上叠加，形成一系列间距不同的明条纹（称光谱线）。

根据夫琅和费衍射理论，衍射光谱中明条纹所对应的衍射角应满足下列条件：
)3,2,1,0(sin =±=k k d k λϕ （4.9-1）
式中d=a+b 称为光栅常数（a 为狭缝宽度，b 为刻痕宽度，参见图4.9-2），k 为光谱线的级数，k ϕ为k 级明条纹的衍射角，λ是入射光波长。

该式称为光栅方程。

如果入射光为复色光，则由（4.9-1）式可以看出，光的波长λ不同，其衍射角k ϕ也各不相同，于是复色光被分解，在中央k =0，k ϕ=0处，各色光仍重叠在一起，组成中央明条纹，称为零级谱线。

在零级谱线的两侧对称分布着 3,2,1=k 级谱线，且同一级谱线按不同波长，依次从短波向长波散开，即衍射角逐渐增大，形成光栅光谱。

由光栅方程可看出，若已知光栅常数d ，测出衍射明条纹的衍射角k ϕ，即可求出光波的波长λ。

反之，若已知λ，亦可求出光栅常数d 。

将光栅方程（4.9-1）式对λ微分，可得光栅的角色散为
ϕλϕcos d k d d D == （4.9-2）
角色散是光栅、棱镜等分光元件的重要参数，它表示单位波长间隔两单色谱
线之间的角距离。

由式（4.9-2）可知，如果衍射时衍射角不大，则ϕcos 近乎不变，光谱的角色散几乎与波长无关，即光谱随波长的分布比较均匀，这和棱镜的不均匀色散有明显的不同。

分辨本领是光栅的另一重要参数，它表征光栅分辨光谱线的能力。

设波长为λ和λλd +的不同光波，经光栅衍射形成的两条谱线刚刚能被分开，则光栅分辨本领R 为
λλd R = （4.9-3）
根据瑞利判据，当一条谱线强度的极大值和另一条谱线强度的第一极小值重合时，则可认为该两条谱线刚能被分辨。

由此可以推出
kN R = （4.9-4）
其中k 为光谱级数，N 是光栅刻线的总数。

【仪器和用具】
分光计，透射光栅，汞灯，钠灯等。

【实验容】
1． 分光计及光栅的调节
图4.9-3
（1）按4.4实验中所述的要求调节好分光计。

（2）调节光栅平面与分光计转轴平行，且光栅面垂直于准直管
先把望远镜叉丝对准狭缝，再将平面光栅按图4.9-3置于载物台上，转动载物台，并调节螺丝a 或b ，直到望远镜中从光栅面反射回来的绿十字像与目镜中的调整叉丝重合，至此光栅平面与分光计转轴平行，且垂直于准直管、固定载物台。

（3）调节光栅刻痕与转轴平行
转动望远镜，观察光栅光谱线，调节栽物台螺丝c ，使从望远镜中看到的叉丝交点始终处在各谱线的同一高度。

调好后，再检查光栅平面是否仍保持与转轴平行，如果有了改变，就要反复多调几次，直到两个要求都满足为止。

2． 测定光栅常数d
用望远镜观察各条谱线，然后测量相应于1±=k 级的汞灯光谱中的绿线（nm 1.546=λ）的衍射角，重复测5次后取平均值，代入式（4.9-1）求出光栅常数d 。

3． 测定光波波长
选择汞灯光谱中的蓝色和黄色的谱线进行测量，测出相应于1±=k 级谱线的衍射角，重复5次后取平均值。

将测出的光栅常数d 代入式（4.9-1），就可计算出相应的光波波长。

并与标称值进行比较。

4． 测量光栅的角色散
用汞灯为光源，测量其1级和2级光谱中双黄线的衍射角，双黄线的波长差为2.06nm ，结合测得的衍射角之差ϕ∆，用式（4.9-2）求出角色散。