柱体、锥体、台体、球体体积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9， 即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。
1.3.1柱体、锥体、台体、球体体积
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为： （S为底面面积，h为高）． V Sh
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
圆锥体积
圆锥的体积公式：
1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 ． 3
4 50 3 7.9 ( ) 517054 ( g ) 3 2
街心花园中钢球的质 量为145000g，而 145000<517054，所以钢 球是空心的．
球的表面积
例5 某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于 50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还 是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内 径（π取3.14，结果精确到1cm）． 解： 设球的内径是2xcm，那么球的质量为： 4 50 3 4 3 7.9 [ ( ) x ] 145000 3 2 3
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的
4 倍.
4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1 : 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1 :
3
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
知识小结
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
各种形状体积计算公式
各种形状体积计算公式在几何学中，体积是三维物体所占据的空间大小。
不同形状的物体有不同的体积计算公式。
下面我将介绍几种常见形状的体积计算公式。
1.立方体的体积计算公式：立方体是所有边长相等的六个平面的多面体。
其体积可通过边长的立方来计算。
公式：体积=边长^32.直方体的体积计算公式：直方体是六个面都是矩形的多面体。
其体积可通过底面积乘以高来计算。
公式：体积=底面积×高3.圆柱体的体积计算公式：圆柱体由一个圆形底面和一个平行于底面的圆形顶面连接而成。
其体积可通过底面积乘以高来计算。
公式：体积=底面积×高注意：底面积一般是指底面圆的面积。
4.圆锥体的体积计算公式：圆锥体由一个圆形底面和一个连接底面到顶点的侧面锥形组成，其体积可通过底面积乘以高再除以3来计算。
公式：体积=(底面积×高)/35.球体的体积计算公式：球体是一个完全由曲线包围的立体形状，其体积可通过四分之三乘以球的半径的立方来计算。
公式：体积=(4/3)×π×半径^36.圆环体的体积计算公式：圆环体由一个圆柱体和一个外部与之共轴的圆台形组成。
其体积可通过外圆台体积减去内圆台体积来计算。
公式：体积=(π×高×(外半径^2+内半径^2+外半径×内半径))/37.圆锥台体的体积计算公式：圆锥台体由一个圆锥体和一个与之底面平行的圆台积组成。
其体积可通过底面积乘以高再除以3来计算。
公式：体积=(π×高×(上底半径^2+下底半径^2+上底半径×下底半径))/38.带截头圆锥体的体积计算公式：带截头圆锥体由一个截头圆锥和一个与之底面平行的圆台积组成，其中截头圆锥的顶点位于圆台积上。
其体积可通过底面积乘以高再除以3来计算。
公式：体积=(π×高×(上底半径^2+上底半径×下底半径+下底半径^2))/3除了上述形状的体积计算公式，还有许多其他的形状体积公式，如多面体、棱柱、棱台、椭球等等。
《柱体锥体台体的表面积和体积》课件
如果台体的上下底面是其他形状，则需要根据具体形状计算面积，再代入公式计算 体积。
04
特殊形状的表面积和体积
球体的表面积和体积
球体的表面积计算公式
$4pi r^{2}$，其中$r$为球体的半径。
球体的体积计算公式
球体表面积和体积的应用
《柱体锥体台体的表面积和体积》 课件
• 柱体的表面积和体积 • 锥体的表面积和体积 • 台体的表面积和体积 • 特殊形状的表面积和体积 • 实际应用与问题解决
01
柱体的表面积和体积
柱体的定义和性质
定义
柱体是一个三维图形，由一个矩 形或圆形底面和垂直于底面的侧 面构成。
性质
柱体的侧面是平行且等长的多边 形或圆环，其表面积和体积的计 算方法与底面的形状有关。
柱体的表面积计算
01
02
03
公式
柱体的表面积 = 底面积 + 侧面积
底面积
矩形底面 = 长 × 宽，圆 形底面 = π × 半径^2
侧面积
矩形侧面 = 高 × 长，圆 形侧面 = 高 × 2π × 半径
柱体的体积计算
公式
柱体的体积 = 底面积 × 高
底面积
矩形底面 = 长 × 宽， 圆形底面 = π × 半径 ^2
锥体的表面积计算
侧面面积计算公式为
01
$S_{侧面} = pi r l$，其中$r$为底面半径，$l$为侧面高。
底面面积计算公式为
02
$S_{底面} = pi r^2$。
锥体的总表面积计算公式为
03
$S_{总} = S_{侧面} + S_{底面}$。
1[2].3.2_柱体、锥体、台体的体积
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S′
C′
B′
h
S
D
V = VP − ABCD − VP − A′B′C ′D′
A
1 = ( S ′ + S ′S + S )h B 3 其中S ′, S 分别为上、下底面面积, h为圆台(棱台)高.
C
知识小结
柱体、锥体、 柱体、锥体、台体的体积
柱体 V = Sh
S = S'
1 台体 V = (S′ + S′S + S)h 3
C
). B.2 : 3
A1
C1
C.3 : 4
D.4 : 5
B1
1 F 解 : 设S∆ABC = S , 则S∆A1B1C1 = S , A C 4 E 1 1 1 7 VA1B1C1 − ABC = ( S + S ⋅ S + S )h = Sh, B 3 4 4 12 1 1 VA1B1C1 −CEF = Sh,∴VAB1 − ABEF = VA1B1C1 − ABC − VA1B1C1 −CEF = Sh. 4 3 ∴VA1B1C1 −CEF : VAB1 − ABEF = 3 : 4.
一般棱柱体积也是： 一般棱柱体积也是：
V = Sh
其中S为底面面积， 为棱柱的高 为棱柱的高. 其中 为底面面积，h为棱柱的高. 为底面面积
祖暅原理 祖暅原理：夹在两平行平面之间的两个几何 原理：
体 ， 被平行于这连个平面的任一平面所截 ， 被平行于这连个平面的任一平面所截， 如果截面的面积都相等， 如果截面的面积都相等 ， 则两个几何体的体 积相等。 积相等。
解 : (1)如果方案一.仓库的底面直径变成16m.则仓库的体积 1 1 16 2 256 V1 = Sh = × π × ( ) × 4 = π (m3 ). 3 3 2 3 如果按方案二.仓库的高变成8m.则仓库的体积 1 1 12 2 288 V2 = Sh = × π × ( ) × 8 = π (m3 ). 3 3 2 3
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。
1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l c π==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l c π==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。
1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形'h侧面展开'hc正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形c侧面展开'h,c'h正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式： ①0S =上时即为锥体的体积公式； ②S 上＝S 下时即为柱体的体积公式。
（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：四、考点与典型例题考点一 几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A 、D ，则铁丝的最短长度为多少厘米？D CBA解：展开后使其成一线段AC 222425AB BC cm π+=+考点二 求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m ，底面的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积
专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积——小题备考微专题1 空间几何体的表面积和体积常考常用结论1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式： ①圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积 S ＝πr (r ＋l )；③圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2.2．柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.保 分 题1.[2022·山东枣庄三模]若圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为( ) A ．√6π B ．√3π C ．√63π D ．√33π2．[2022·河北保定一模]圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．2∶33．[2022·湖北武汉二模]如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为( )A ．2√23B ．43 C ．4√23D ．83提分题例1 (1)[2022·河北张家口三模]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC＝()A．13B．12C．2−√32D．√3−12(2)[2022·湖南雅礼中学二模]某圆锥高为1，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A．2 B．√3C．√2D．1听课笔记：【技法领悟】1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．巩固训练11.[2022·山东菏泽一模]如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A 1B 1C (如图2)，则容器的高h 为( )A ．3B ．4C ．4√2D ．62．[2022·福建福州三模]已知AB ，CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB ⊥CD ，O 1，O 分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD 的体积为18，则该圆柱的侧面积为( )A ．9πB ．12πC ．16πD ．18π微专题2 与球有关的切、接问题常考常用结论1．球的表面积S ＝4πR 2，体积V ＝43πR 3.2．长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径． 3．n 面体的表面积为S ，体积为V ，则内切球的半径r ＝3VS .4．直三棱柱的外接球半径：R ＝√r 2+(L2)2，其中r 为底面三角形的外接圆半径，L 为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径R ′＝L2.5．正四面体中，外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R ＝√64a (a 为正四面体的棱长)，球心到底面的距离为内切球的半径r ＝√612a ，因此R ∶r ＝3∶1.保 分 题1.[2022·广东深圳二模]已知一个球的表面积在数值上是它的体积的√3倍，则这个球的半径是( )A ．2B ．√2C ．3D ．√32．已知正四棱锥P ABCD 中，AB ＝√6，P A ＝2√3，则该棱锥外接球的体积为( )A．4π B．32π3C．16π D．16π33．[2022·天津红桥一模]一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、√2、3，则此球的体积为________．提分题例2 (1)[2022·江苏苏州三模]《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”(注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体)，若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为()立方尺A．√41πB．41π3D．3√41πC．41√41π6(2)[2022·山东泰安三模]如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1＝4，点D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动，则三棱锥D ABC 的外接球表面积的最大值为()π B．24πA．814C．243π D．8√6π16听课笔记：【技法领悟】1．确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．2．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．3．补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．巩固训练21.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为()A．√22π B．√2πC．2π D．2√2π2．[2022·广东潮州二模]已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P ABC全部顶点都在表面积为16π的球O的球面上，则三棱锥P ABC的体积的最大值为()A．√3B．3√32C．9√34D．√32专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积微专题1 空间几何体的表面积和体积保分题1．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则πr ×2＝2π，可得r ＝1，则h ＝√22−r 2＝√3，因此，该圆锥的体积为V ＝13πr 2h ＝13π×12×√3＝√33π. 答案：D2．解析：设球的半径为r ，依题意圆柱的底面半径也是r ，高是2r ， 圆柱的侧面积＝2πr ·2r ＝4πr 2 ，球的表面积为4πr 2 ， 其比例为1∶1. 答案：A3．解析：该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为√2的正方形，棱锥的高为1，所以该正八面体的体积为2×13×√2×√2×1＝43.答案：B提分题[例1] 解析：(1)由题可知平面A 1B 1ED 与棱柱上、下底面分别交于A 1B 1，ED ， 则A 1B 1∥ED ，ED ∥AB ， 显然CDE - C 1A 1B 1是三棱台，设△ABC 的面积为1，△CDE 的面积为S ，三棱柱的高为h ， ∴12·1·h ＝13h (1＋S ＋√S )， 解得√S ＝√3−12，由△CDE ∽△CAB ，可得CD AC ＝√S√1＝√3−12. (2)如图，截面为△P AB ，设C 为AB 中点，设OC ＝x ，x ∈[0，√3)，则AB ＝2√3−x 2，PC ＝√x 2+1，则截面面积S ＝12×2√3−x 2×√x 2+1＝√−(x 2−1)2+4，则当x 2＝1时，截面面积取得最大值为2. 答案：(1)D (2)A[巩固训练1]1．解析：在图1中V 水＝12×2×2×2＝4，在图2中，V 水＝V ABC − A 1B 1C 1− V C − A 1B 1C 1＝12×2×2×h －13×12×2×2×h ＝43h ， ∴43h ＝4，∴h ＝3.答案：A2．解析：分别过A ，B 作圆柱的母线AE ，BF ，连接CE ，DE ，CF ，DF ，设圆柱的底面半径为r ，则三棱锥A - BCD 的体积为两个全等四棱锥C - ABFE 减去两个全等三棱锥A - CDE ， 即2×13×r ×2r ×r －2×13×r ×12×2r ×r ＝23r 3＝18，则r ＝3，圆柱的侧面积为2πr ×r ＝18π答案：D微专题2 与球有关的切、接问题保分题1．解析：设球的半径为R ，则根据球的表面积公式和体积公式， 可得，4πR 2＝43πR 3×√3，化简得R ＝√3. 答案：D2．解析：正方形ABCD 的对角线长√6+6＝2√3，正四棱锥的高为 √(2√3)2−(2√32)2＝3，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋(2√32)2＝R 2⇒R ＝2， 所以外接球的体积为4π3×23＝32π3.答案：B3．解析：长方体外接球的直径为√12+(√2)2+32＝2√3，所以外接球半径为√3，所以球的体积为4π3×(√3)3＝4√3π.答案：4√3π提分题[例2] 解析：(1)作出图象如图所示：由已知得球心在几何体的外部， 设球心到几何体下底面的距离为x ， 则R 2＝x 2＋(52)2＝(x ＋1)2＋(√52)2，解得x ＝2，∴R 2＝414， ∴该球体的体积V ＝4π3×(√412)3＝41√41π6.(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝2，所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1, 且AO 1＝√2，连接O 1与A 1B 1的中点E ，则O 1E ∥AA 1，所以O 1E ⊥平面ABC ， 设球的球心为O ，由球的截面性质可得O 在O 1E 上， 设OO 1＝x ，DE ＝t (0≤t ≤√2)，半径为R ， 因为OA ＝OD ＝R ，所以√2+x 2＝√(4−x )2+t 2， 所以t 2＝8x －14，又0≤t ≤√2， 所以74≤x ≤2，因为R 2＝2＋x 2，所以8116≤R 2≤6，所以三棱锥D －ABC 的外接球表面积的最大值为24π. 答案：(1)C (2)B [巩固训练2]1．解析：设外接球的半径为R ，圆柱底面圆的半径为r ，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高h ＝2r ，由球O 的表面积S ＝4πR 2＝8π，得R ＝√2，又R ＝ √(h2)2+r 2＝√2r ，得r ＝1，所以圆柱的体积V ＝πr 2·2r ＝2πr 3＝2π.答案：C2．解析：球O 的半径为R ，则4πR 2＝16π，解得：R ＝2，由已知可得：S △ABC ＝√34×32＝9√34，其中AE ＝23AD ＝√3，球心O 到平面ABC 的距离为√R 2−(√3)2＝1， 故三棱锥P - ABC 的高的最大值为3， 体积最大值为13S △ABC ·3＝9√34.答案：C。
第1章 7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧．知识点一 柱、锥、台体的体积公式知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .1．锥体的体积等于底面面积与高之积．( × ) 2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ )类型一 多面体的体积例1 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值． (1)证明 由题知四边形PDAQ 为直角梯形． 因为QA ⊥平面ABCD ，QA 平面PDAQ ， 所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ， 则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D ，DC ，QD 平面DCQ ， 所以PQ ⊥平面DCQ .(2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高． 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1. 反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练1 如图，在三棱柱111ABC A B C －中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成体积为l 2V V ，的两部分，那么12:V V ＝________.答案 7∶5解析 设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh . 因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以AEFS ＝14S ， 1V ＝13h ⎝⎛⎭⎫S ＋14S ＋S ·S 4＝712Sh ， 2V ＝Sh －1V ＝512Sh ，故12:7:5V V ＝.类型二 旋转体的体积例2 体积为52 cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，求截得这个圆台的圆锥的体积．解 由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27. 截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26， ∴小圆锥的体积为2 cm 3， 故原来圆锥的体积为54 cm 3.反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答． (1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．跟踪训练2 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA 1与底面直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．考点 题点答案 21π解析 设上，下底面半径，母线长分别为r ，R ，l .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3，∠A 1AB ＝60°， 又∠BA 1A ＝90°， ∴∠BA 1D ＝60°， ∴AD ＝A 1Dtan 60°＝3， ∴R －r ＝ 3.BD ＝A 1D ·tan 60°＝33，∴R ＋r ＝3 3.∴ R ＝23，r ＝3，而h ＝3.∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.∴圆台的体积为21π. 类型三 几何体体积的求法 命题角度1 等体积法例3 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 为AA 1的中点，F 为CC 1上一点，求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．考点 柱体、锥体、台体的体积 题点 锥体的体积解 1111A D EF F A D E V V －－＝，锥锥三棱三棱由1121111124A D E S EA A D a ∆⋅＝＝， 又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ，11231113412F A D E V a a a ∴⨯⨯－＝＝，锥三棱 1131.12A D EF V a ∴－＝三棱锥反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理． (2)利用等体积法可求点到面的距离．跟踪训练3 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在三棱锥A 1－ABD 中，求A 到平面A 1BD 的距离d .考点 题点解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1是三棱锥A 1－ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝1，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝ 2.∵13×12×12×1＝13×12×2×32×2×d ， ∴d ＝33. 命题角度2 割补法例4 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 与平面AC 的距离为3，求该多面体的体积．考点 题点解 如图，连接EB ，EC ，AC .四棱锥E －ABCD 的体积V E －ABCD ＝13×42×3＝16.因为AB ＝2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB ＝2S △BEF .所以V F －EBC ＝V C －EFB ＝12V C －ABE ＝12V E －ABC＝12×12V E －ABCD ＝4. 所以该多面体的体积V ＝V E －ABCD ＋V F －EBC ＝16＋4＝20.反思与感悟 通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择．跟踪训练4 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．考点 题点解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.1.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34考点 柱体、锥体、台体的体积 题点 锥体的体积答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.128π3 B.64π3 C ．64π D ．1282π考点 柱体、锥体、台体的体积 题点 锥体的体积 答案 B解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意知2r ＝l 2＋l 2，即l ＝2r ，∴S 侧＝πrl ＝2πr 2＝162π， 解得r ＝4.∴l ＝42，圆锥的高h ＝l 2－r 2＝4，∴圆锥的体积为V ＝13Sh ＝13π×42×4＝64π3.3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是( ) A ．18＋6 2 B ．6＋2 2 C ．24 D ．18考点 题点 答案 B解析 V ＝13(2＋4＋2×4)×3＝6＋2 2.4．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________． 考点题点 台体的体积 答案73π3解析 设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π.∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π.∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝73π3.5．如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm.考点 题点 答案 0.6解析 将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积． 设水面下降的高度为x cm ，则π×⎝⎛⎭⎫2022x ＝13π×⎝⎛⎭⎫622×20， 得x ＝0.6 cm.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．一、选择题1.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34考点 题点 答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′，∴V C －AA ′B ′B ＝23V ABC －A ′B ′C ′＝23.2.如图，已知正三棱锥S －ABC ，D ，E 分别为底面边AB ，AC 的中点，则四棱锥S －BCED 与三棱锥S －ABC 的体积之比为( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．4∶3答案 C解析 两锥体高相等，因此V 四棱锥S －BCED ∶V 三棱锥S －ABC ＝S 四边形BCED ∶S △ABC ＝3∶4. 3．已知圆锥的母线长为8，底面圆的周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955 C ．355π D ．355 考点 题点 答案 C解析 设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. ∴h ＝64－32＝55，∴V ＝13π·r 2·h ＝355π.4.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.53πB.43πC.23π D ．2π 考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积 答案 A解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为( ) A ．2 B ．2 2 C. 2 D. 3 考点 题点 答案 A解析 如图所示，设等边三角形ABC 为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC 的边长，且S △ABC ＝34AB 2，∴3＝34AB 2，∴AB ＝2.6．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1－ACD 的体积是( )A.16B.13C.12D ．1答案 A 解析 三棱锥D 1－ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16. 7．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．2318 cmD ．3312 cm 考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 B解析 设圆锥中水的底面半径为r cm ，由题意知13πr 2×3r ＝π22×6， 得r ＝23，∴水面的高度是3×23＝6 cm.8．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．1 B.32 C ．3 D.32考点题点答案 A解析 在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝32AB ＝3，11DB C S ＝12×2×3＝ 3. 又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊥BC ，AD 平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1底面上的高．∴1111DB C A B DC V S 三棱－＝锥·AD ＝13×3×3＝1. 二、填空题9．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________． 考点题点答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 10.如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.则此几何体的体积为________．考点题点答案 96解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.11.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2的值为______．考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题答案 124解析 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，∴三棱锥F －ADE 的高为h 2， ∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ， ∵V 1＝13S △ADE ·h 2，V 2＝S △ABC ·h ， ∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 三、解答题12．在四边形ABCD 中，A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)，D (0,3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解 如图为所得旋转体，由一个圆锥和一个圆台组成．∵C (2,1)，D (0,3)，∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2.∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2 ＝83π.∵B (1,0)，C (2,1)， ∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1.∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′) ＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.13.如图所示是一个边长为5＋2的正方形，剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图，求该圆锥的体积．考点题点解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则依题意有14·2πl ＝2πr ， ∴l ＝4r .又∵AC ＝OC ＋OA ＝2r ＋r ＋l ＝(2＋5)r ，且AC ＝2×(2＋5)，∴(2＋5)r ＝(2＋5)×2，∴r ＝2，∴l ＝42，∴h ＝l 2－r 2＝30，∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π(2)2×30＝2303π.故该圆锥的体积为2303π. 四、探究与拓展14．若正三棱台A 1B 1C 1－ABC 的两底面边长分别为2,8，侧棱长等于6，则此三棱台的体积V ＝________.答案 42 2解析 如图，设D 1，D 分别为A 1B 1，AB 的中点，O 1，O 为上、下两底面的中心，则O 1O 为棱台的高h ，O 1C 1＝233，OC ＝833，作C 1H ⊥OC 于点H ，则C 1H ＝h ，且CH ＝23，故h ＝C 1H ＝36－12＝2 6. ∵111A B C S ＝3，S △ABC ＝163，∴V ＝(3＋43＋163)×263＝42 2. 15.在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1－ABC ，B －A 1B 1C ，C －A 1B 1C 1的体积之比是多少？考点题点解 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则1114.A B C S S ∆＝ ∴1A ABC V －＝13S △ABC ·h ＝13Sh ， 1111114·.3C ABC A B C V S h Sh ∆－＝＝又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ， ∴11B A B C V －＝V 台－1111A ABC C ABC V V －－－＝73Sh －13Sh －43Sh ＝23Sh . ∴1A ABC V －∶11B A B C V －∶111C A B C V －＝1∶2∶4.。
求体积的万能公式
求体积的万能公式一、我们学过的柱体、锥体、台体(狭义)、球体、球缺、球台、楔体(横三棱锥)、拟棱台，有统一通用的万能体积公式：1、中截式： V=(H/6)(S1+4S0+S2) ··· ··· ··· ··· ①其中：H为上下底面间的高度，S1、S2为上下底面面积，S0为中截面面积。
2、双截式： V=(H/8)(S1+3S01+3S02+S2) ··· ··· ··· ··· ②其中：H为上下底面间的高度，S1、S2为上下底面面积，S01为与S1相距(H/3)的平截面面积，S02为与S2相距(H/3)的平截面面积。
二、实际上，椭球体、椭球缺、椭球台的体积也能用万能体积公式①②计算；还有，抛物体、抛物台、单叶台、双叶体、双叶台的体积也可用万能体积公式①②计算。
三、从广义上讲，台体(狭义)、球台、椭球台、抛物台、单叶台、双叶台，应当同属于广义台体的范畴。
狭义上的台体应该叫锥台；拟棱台应该叫广义棱台；狭义上的棱台应该叫棱锥台。
四、凡是能用万能体积公式①②计算体积的广义台体，叫拟式台体。
按平截面面积关于平截高度的多项式次数，拟式台体分为以下四大类：1、零次截面台体：S1=S0=S2, 柱体属于此类；2、一次截面台体：2S0=S1+S2, 横三棱柱(刀体)、横梯形棱柱(刀台)、抛物体、抛物台属于此类；3、二次截面台体：锥体、锥台、楔体、拟棱台、球体、球缺、球台、椭球体、椭球缺、椭球台、单叶台、双叶体、双叶台属于此类；4、三次截面台体：平截面面积是平截高度的三次函数。
从李氏条件方程：6/(n+1)=1+22-n+0n（规定：00=1）8/(n+1)=1+31-n(1+2n)+0n中可以看出，李氏条件方程只有n=0、1、2、3四个解。
柱,锥,台的体积及球的表面积和体积
[例2] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
求证：(1) 球的
体积等于圆柱体积
的 2;
O
3
(2) 球] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
***补例*** 1. 若圆台的高是3，一个底面半径
是另一个底面半径的2倍，母线与下底 面所成的角是45°，求这个圆台的侧 面积.
***补例***
2. 如图，一块正方形薄铁片的边长
为22cm，以它的一 个顶点为圆心，一
22cm
边长为半径画弧.沿
弧剪下一扇形，围
成一锥筒.求它的侧面积和体积.
1
V锥 3 sh V台 3 h(s s' ss')
1 V锥 3 sh
s'=0
1 V台体 3 h(s s' ss')
V柱 sh
s'=s
V圆锥
1 3
R2h
r=0
V圆台
1 3
h(r 2
R
R2
)
V圆柱 R2h
r=R
三、 球的表面积、体积公式
S球表 4R2
V球
4 R3
3
典型例题 [例1] 有一堆规格相同的铁制六角
1、多面体的表面积公式是什么？
S多面体表 底面面积 侧面面积
2、圆柱体的表面积公式是什么？
S圆柱表 2 r(r l)
3、圆锥体的表面积公式是什么？
S圆锥表 r(r l)
4、圆台的表面积公式是什么？
S圆台表(r'2 r2 r'l rl)
1.3 柱体、椎体、台体、球的表面积与体积
当堂自测
1．棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A )
A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3
当堂自测
2．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩
几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为( C )
A．9
B．10
C．11
D.223
直
8
观
侧面展开图
图
1
12
直观图2
V柱
( 12 2
)2
8
36 8 288
V柱
( 8 2
)2
12
16 12 192
例 2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A )
A.
1＋π 3
B.23＋π
C.13＋2π
D.23＋2π
(2)如图所示，已知三棱柱 ABC -A1B1C1 的所有棱长均为 1，
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.3.2球的体积和表面积
一、柱体、锥体、台体、球的表面积
h
侧面展开
h' h'
侧面展开
h' h'
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧 面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面 积和底面面积之和．
h
S
S
h
S
祖恒原理
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的 任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几 何体的体积相等。
空间几何体的表面积与体积公式大全
外接球的半径
4
（3）规律：
:u 正四而体
=3 品 兀:2
① 正四面体的内切球与外接球的球心为同一点；
② 正四面体的内切球与外接球的球心在高线上；
③ 正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高；
④ 正四面体的内切球与外接球的半径之比等于 1： 3
⑤ 正四面体内切球与外接球体积之比为：1： 27
(2)外接球
正方体与其体内最大的正四而体有相同的外接球。(理由：过不共面的
四点确定一个球。)正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所 以它们共球。
回顾：①两点定线②三点定面③三点定圆④四点定球
如图：
(a) 正方体的体对角线=球直径 (b) 正四面体的外接球半径二？高
4
(C)正四面体的棱长=正方体棱长 X 72 (d) 正方体体积：正四面体体积=3： 1 (e) 正方体外接球半径与
1
方法 1：展平分析：（最重要的方法） 如图：取立体图形中的关键平面图形进行分析！
/ Ft''、、 /』）''、、、
连接 DO 并延长交平面 ABC 于点 G,连接 GO, /
X：；盖］
连接 DO,并延长交 BC 于点 E,则 A、G、E B 笔共线＜ J A —c 在平面 AED 中，由相似
知识可得：
成正方体进行分析。如图:
1 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编借.
文档收集于互联网，已重新整理排版 word 版本可编辑•欢迎下载支持. 此时，正四面体与正方体有共同的外接球。
正四面体的棱长为“，则正方体棱长
正方体的外接球直径为其体对角线 D 亠嗨号
•••正四面体的外接球半径为: 2=也
柱体锥体台体的公式大全
柱体锥体台体的公式大全
一、柱体：
柱体是一个由两个平行的、相等的圆形底面和连接两个底面的侧面组成的几何体。
柱体的体积和表面积的公式如下：
1.柱体的体积公式：
V=πr²h
2.柱体的表面积公式：
S=2πr²+2πrh
其中，S代表柱体的表面积，r代表柱体的底面半径，h代表柱体的高度。
二、锥体：
锥体是一个由一个圆形底面和连接底面和顶点的侧面组成的几何体。
锥体的体积和表面积的公式如下：
1.锥体的体积公式：
V=(1/3)πr²h
2.锥体的表面积公式：
S=πr(r+l)
其中，S代表锥体的表面积，r代表锥体的底面半径，l代表锥体的斜高（从顶点到底边的距离）。
三、台体：
台体是一个由两个平行、相等的圆形底面和连接两个底面的侧面以及一个横截面为矩形的侧面组成的几何体。
1.台体的体积公式：
V=(1/3)π(r₁²+r₂²+r₁r₂)h
2.台体的表面积公式：
S=π(r₁+r₂)l+πr₁²+πr₂²
其中，S代表台体的表面积，r₁和r₂分别代表台体的上底半径和下底半径，l代表侧面的斜高。
需要注意的是，以上公式的单位应保持一致，如使用米，则体积的单位为立方米，表面积的单位为平方米。
柱体、锥体、台体体积计算
柱体、锥体、台体体积计算1. 引言在几何学中，我们经常遇到需要计算不同几何体的体积的情况。
柱体、锥体和台体都是常见的几何体，其体积的计算可以通过简单的公式得出。
本文将介绍柱体、锥体和台体的定义以及如何计算它们的体积。
2. 柱体的体积计算柱体是由两个平行的并且具有相同形状的底面所包围的几何体。
其体积可以通过以下公式计算：V = 底面积 × 高度其中，V表示柱体的体积，底面积指的是底面的面积，高度指的是柱体的高度。
通过测量底面的长度和宽度，我们可以得到底面积，并通过测量柱体的高度，我们也可以得到柱体的体积。
3. 锥体的体积计算锥体是由一个面为底面的三角形和以该面上的所有点为顶点的直线所围成的几何体。
其体积可以通过以下公式计算：V = (底面积 × 高度) / 3其中，V表示锥体的体积，底面积指的是底面的面积，高度指的是锥体的高度。
与柱体类似，我们可以通过测量底面的长度和宽度得到底面积，并通过测量锥体的高度得到锥体的体积。
4. 台体的体积计算台体是由两个平行并且具有相同形状的底面以及连接两个底面的面组成的几何体。
其体积可以通过以下公式计算：V = (上底面积 + 下底面积 + 根号(上底面积 × 下底面积)) × 高度 / 3其中，V表示台体的体积，上底面积指的是上底面的面积，下底面积指的是下底面的面积，高度指的是台体的高度。
与柱体和锥体类似，我们可以通过测量底面的长度和宽度得到底面积，并通过测量台体的高度得到台体的体积。
5. 示例假设我们有一个柱体，其底面的长度为4cm，宽度为2cm，高度为6cm。
根据柱体的体积计算公式，我们可以计算出柱体的体积：V = 4cm × 2cm × 6cm = 48cm^3同样地，如果我们有一个锥体，其底面的长度为4cm，宽度为2cm，高度为6cm，根据锥体的体积计算公式，我们可以计算出锥体的体积：V = (4cm × 2cm × 6cm) / 3 = 16cm^3最后，如果我们有一个台体，其上底面的长度为4cm，宽度为2cm，下底面的长度为6cm，宽度为3cm，高度为8cm，根据台体的体积计算公式，我们可以计算出台体的体积：V = (4cm × 2cm + 6cm × 3cm + √(4cm × 2cm × 6cm × 3cm)) × 8cm / 3 = 64cm^36. 结论通过本文我们了解了柱体、锥体和台体的定义，并掌握了计算它们体积的公式。
高中立体几何体积公式大全
高中立体几何体积公式大全一、柱体的体积公式。
1. 棱柱（以直棱柱为例）- 设棱柱的底面积为S，高为h，则直棱柱的体积V = Sh。
- 对于三棱柱，如果底面三角形的底边长为a，这条边上的高为h_1，棱柱的高为h，那么底面三角形面积S=(1)/(2)ah_1，体积V=(1)/(2)ah_1h。
- 对于正方体（特殊的棱柱），设棱长为a，因为正方体底面正方形面积S = a^2，高h=a，所以正方体体积V=a^3。
2. 圆柱。
- 设圆柱底面半径为r，高为h，圆柱的底面积S=π r^2，则圆柱体积V = πr^2h。
二、锥体的体积公式。
1. 棱锥（以三棱锥为例）- 设三棱锥的底面积为S，高为h，则三棱锥的体积V=(1)/(3)Sh。
- 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为a，b，c，那么可以把其中两条侧棱构成的面看作底面，例如以a，b为直角边的直角三角形为底面，c为高，则底面面积S=(1)/(2)ab，体积V=(1)/(6)abc。
2. 圆锥。
- 设圆锥底面半径为r，高为h，圆锥的底面积S = π r^2，则圆锥体积V=(1)/(3)π r^2h。
三、台体的体积公式。
1. 棱台（以三棱台为例）- 设棱台的上底面面积为S_1，下底面面积为S_2，高为h，则棱台的体积V=(1)/(3)h(S_1+S_2+√(S_1)S_{2})。
2. 圆台。
- 设圆台的上底面半径为r_1，下底面半径为r_2，高为h，圆台的上底面面积S_1=π r_1^2，下底面面积S_2=π r_2^2，则圆台体积V=(1)/(3)πh(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)。
四、球体的体积公式。
设球的半径为R，球的体积V=(4)/(3)π R^3。
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柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为： （S为底面面积，h为高）． V Sh
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
圆锥体积
圆锥的体积公式：
1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 ． 3
1 V Sh 3
（其中S为底面面积，h为高）
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
1 的 ．即棱锥的体积： 3
1 V Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于 1 底面面积乘高的 ． 3
台体体积
4 50 3 4 3 7.9 [ ( ) x ] 145000 3 2 3
x 3 11239 .42
x 22 .4
2 x 44.8
答：钢球是空心的．其内径约为45cm．
球的表面积
例6 如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面 是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个 半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装 饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1)？
知识小结
柱体 V Sh
S S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ( S S S S )h 3
S' 0
1 锥体V Sh 3
球的体积
4 3 V R 3
2
球的表面积 S 4R
作业
P29 习题1.3A组 3，4 B组 1
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即: 3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 2956 (mm3 )
4 50 3 7.9 ( ) 517054 ( g ) 3 2
街心花园中钢球的质 量为145000g，而 145000<517054，所以钢 球是空心的．
球的表面积
例5 某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于 50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还 是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内 径（π 取3.14，结果精确到1cm）． 解： 设球的内径是2xcm，那么球的质量为：
解：圆柱形物体的侧面面积
S1 3.11 3 9.3(m2 )
半球形物体的表面积为 1 2 S 2 2 3.1 ( ) 1.6(m 2 ) 2
S1 S2 10.9(m2 )
10.9 150 1635 (朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
随堂练习
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差．得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略)．
A
P
D
S
B
C
h
A
D
V VP ABCD VP ABCD
1 ( S S S S )h 3
S
C
B
台体体积
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
台体体积柱体、锥体、Fra bibliotek体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S
S为底面面积， h为锥体高
S 0 1 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3 S为底面面积， S分别为上、下底面 h为柱体高 面积，h 为台体高
2.956(cm3 )
所以螺帽的个数为 5.8 1000 (7.8 2.956) 252 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且 涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？ 为什么？
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则 哪一个球充入的气体较多？为什么？
球的体积
4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3
球的表面积
定理：半径是R的球的表面积为：S 4R 2
例4：圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：
2 （1）球的体积等于圆柱体积的 . 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
球的体积
例5 某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于 50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还 是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内 径（π取3.14，结果精确到1cm）． 解：由于外径为50cm 的钢球的质量为：
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1 :
4 倍.
4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1 : 2 2 .
3
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
2.有三个球,一球切于正方体的各面,一球 切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面