连续型随机变量及其概率密度ppt课件
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第七讲 连续型随机变量及其概率密度
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
1 2σ 2 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ ( x μ )2
的正态分布或高斯分布, 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
正态概率密度函数的几何特征
解
(1) 由
f ( x) d x 1,
x 1 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 解之得 k . 0 3 2 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6
3 4
x 0 x 3, , 6 x f ( x) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它.
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) . x0 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时)
书后列出了标准正态分布表.
对于x 0，我们可以直接查表求出( x) P( X x) 如果x 0，我们可由公式( x) 1 ( x)
例5 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P { X a } 0.
1 2σ 2 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ ( x μ )2
的正态分布或高斯分布, 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
正态概率密度函数的几何特征
解
(1) 由
f ( x) d x 1,
x 1 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 解之得 k . 0 3 2 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6
3 4
x 0 x 3, , 6 x f ( x) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它.
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) . x0 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时)
书后列出了标准正态分布表.
对于x 0，我们可以直接查表求出( x) P( X x) 如果x 0，我们可由公式( x) 1 ( x)
例5 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P { X a } 0.
概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)
连续型随机变量PPT课件
20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
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33
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
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36
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
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P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
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27
2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
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28
密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大 近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
连续型随机变量及其概率密度
问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x
连续型随机变量及其概率密度
密度函数的验证
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
a
b
⑵． f xdx f xdx f xdx f xdx
a
b
b
1
dx
a ba
由此可知，
f
x
b
1
a
0
a xb 其它
确是密度函数．
均匀分布的分布函数
则 X的分布函数为
若随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，
0
F
x
x b
1
所以 A是不可能事件 P( A) 0 反之则不成立
如何求分布函数
F(x) Pk
xk x
离散 阶梯函数
x
F(x) f(t)dt -
连续 连续函数
若概率密度f(x)为分段函数,则积分也要分段考虑.
例1 P71 18(2)
设随机变量X的密度函数为
x 0 x 1
f x 2 x 1 x 2
§4 连续型随机变量及其概率密度
概率密度及其性质 均匀分布 指数分布 正态分布
一、定义：对于随机变 量 X的分布函数 F (x),若存在非负可积函数
f(x) 使 x R , 有
F(x)
x
-
f(t)dt
则称 X为连续型随机变量 , f ( x)为X的概率密度函数或概率 密度.
二、性质 : 00 连续型随机变量的分布 函数F ( x)必为连续函数 (离散
0.1}
0.1 f(x)dx
0.1 3e 3xdx
e 3x
0.1
e 0.3
F
(
x)
0 x
0
3e3t dt
1
e3x
x0 x0
五、常见的连续型分布 （一）、均匀分布
2.2连续型随机变量及概率密度33页PPT
教学要求：
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一.连续型随机变量的密概度率 二. 几种常用的连续型分布 三.正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在
F( x)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(x)
1
x
e
,
x0
0, x 0
其 中 0 为,则 常 X 服 称 数 从 的 参 指 数 . 数
记X 为 ~E().
其分布函数为: F(x)1ex, x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f (x) 15e15x 0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一.连续型随机变量的密概度率 二. 几种常用的连续型分布 三.正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在
F( x)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(x)
1
x
e
,
x0
0, x 0
其 中 0 为,则 常 X 服 称 数 从 的 参 指 数 . 数
记X 为 ~E().
其分布函数为: F(x)1ex, x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f (x) 15e15x 0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
若连续型随机变量X的概率密度函数为精选课件
有f (x拐) 以点μ为(对称, 轴，1
2
e
);
即正(4曲态)当f 线(分fxx)(布yx→=)N以f((1∞x2x)时向轴,(e，左为2()xf2右水的(2x)2伸平密))→展渐度 0时近函+(2,2x,线数2(越x;图来23)形e)越2(的ex2贴(2特x)22近2点)2x:轴.
若两固f 头定( x低)，决,中改定22变间1了1高图的e3,形[值左(x2e中，右2)(2峰x[2对2的)2称2陡(的xf(峭(x“)程2峰)2,度])”2反=e0之状(，x亦22然)2 ]，
的正态分布，写出 X 的概率密度，并求该地区明年 8 月份降雨量
超过250mm的概率. 解 ∵ X～N (185 , 282)，
f (x)
1
e
(
x 185 )2 2282
28 2
,
x
所求概率为
P(X
> 250) =
1-
P(X
250)
1(
250 185 ) 28
= 1-(2. 32) = 1- 0. 9898 = 0. 0102 .
类似可得 (u/2 )= 1- /2 ，
可查表得值
若 X～N( , 2)时，要求满足 P(X >x0 )= 的 x0 ：
(u )= 1- u
x0
u
x0 u
§4 随机变量函数的分布
已知圆轴截面直径 d 的分布，
求截面面积 A= d 2 的分布.
4
再如, 已知t =t 0 时刻噪声电压V 的分布, V
x
x
( x)
！
例7(P64.例20) 设 X～N(0, 1)，求 P(X < 0. 5), P(X > 2. 5)及
第二章第四节 连续型随机变量及其密度函数 概率论课件
ba
当x b时，
x
a
b
x
F(x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0 xa
F(x)P(Xx)bx1aa
axb xb
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点 后某一位小数引入的误差，例如对小数点后 第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差 服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。
P(aXb) P(aXb)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P (X R a ) f(x )d P x (X a ) 1 而 {X=a} 并非不可能事件 {XR{a}}并非必然事件
可见，由P(A)=0, 不能推出 A
由P(B)=1, 不能推出 B=S
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
解：以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
f(x) 310, 0 x30 0, 其它
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到 达车站.
f(x)x在连续型r.v理论中所起的作用与 P(Xxk)pk 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似.
4. 连续型r.v取区间值的概率.
对一个连续型随机变量X，若已知其密度 函数为f(x),则根据定义，可求得其分布函 数F(x)，同时，还可以求得X的取值落在 任意区间(a,b]上的概率：
b
P(aXb)F(b)F(a)f(x)d.x
高等数学第三节连续型随机变量及其概率密度函数
▲ P() 0 (不可能的事件的概率为0),但概率
为零的事不一定是不可能事件.
概率统计
2. 概率密度函数的性质
性质1 f ( x) 0
性质2
f ( x)dx 1
f (x)
这两条性质是判定 一个函数 f(x) 是否 为某随机变量 X 的 概率密度函数的充 要条件.
面积为1
o
x
概率统计
性质3
F ( x0 x) F ( x0 )
x0x f (t)dt x0
当 x 0时， 两边取极限：
0
P(X
x0 )
lim
x0
x0x f (t)dt
x0
0
P( X x0 ) 0
概率统计
注 ▲ 这个结论的意义:
(1). P( X x0 ) 0 从积分的几何意义上说，当 底边缩为一点时,曲边梯形面积退化为零。
(2).由此可知连续型随机量X 在某区间上取值的 概率只与区间长度有关，而与区间是闭、开、 半开半闭无关，即有:
P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 )
P( x1 X x2 )
x2 x1
f ( x)dx
F ( x2 ) F ( x1 )
概率统计
注 P( x X x x) F( x x) F(x)
不计高阶 无穷小
x x
x f (t) dt
f ( x)x
b
(相当于积分中值定理 f ( x)dx f ( x)(b a) ) a
这表示落在区间 ( x, x x] 上的概率近似等 于 f ( x)x ，称 f ( x)x 为概率微分。
P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
概率论课件之连续型随机变量及其概率密度PPT课件
如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时 间、等待时间等.
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
连续型随机变量及其概率密度函数.87页PPT
连续型随机变量及其概率密度 函数.
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
87
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
87
《连续型随机变量》课件
02
对于连续型随机变量的最大值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λxtext{F}(x) = 1 - e^{-lambda x}F(x)=1−e−λx，其中λlambdaλ是随机变量的密度函数。
03
对于连续型随机变量的最小值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λ(−x)text{F}(x) = 1 - e^{-lambda (-x)}F(x)=1−e−λ(−x)。
THANKS
感谢观看
最大值和最小值在决策分析中的应用
01
在风险管理中，连续型随机变量的最大值和最小值具有重要的应用价 值。
02
通过分析最大值和最小值的概率分布、数学期望和方差，可以帮助决 策者更好地理解潜在的风险和机会，从而做出更明智的决策。
03
在金融领域，连续型随机变量的最大值和最小值可用于评估投资组合 的风险和回报，以及制定风险管理策略。
连续型随机变量的最小值的数学期望 E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)text{E}(X_{min}) = infty sum_{x=0} x P(X < x)E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)。
连续型随机变量的最小值的方差 Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)−E2(Xmin)]text{ Var}(X_{min}) = -infty sum_{x=0} [x^2 P(X < x) E^2(X_{min})]Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)− E2(Xmin)]。
03
连续型随机变量的期望和方差
期望的定义和计算
定义
连续型随机变量的期望值是所有可能取值的加权和，其中每个取值的权重等于该 取值出现的概率。
概率第一章第4节连续型随机变量及其概率密度讲解
7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
例1 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求 (1) 概率 P{0.3 X 0.7};
(2) X 的密度函数.
解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有
(1) P{0.3 X 0.7} F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4;
P{X
st
|
X
s}
P{( X
st)(X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t} s}
1 F(s t) 1 F(s)
e(st ) e s
e t
P{ X
t }.
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件
数，简称为概率密度或密度函数.
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
y f (x)
(2)
f ( x)dx 1.
A1
Ox
x
注：上述性质有明显的几何意义.
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
例1 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求 (1) 概率 P{0.3 X 0.7};
(2) X 的密度函数.
解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有
(1) P{0.3 X 0.7} F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4;
P{X
st
|
X
s}
P{( X
st)(X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t} s}
1 F(s t) 1 F(s)
e(st ) e s
e t
P{ X
t }.
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件
数，简称为概率密度或密度函数.
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
y f (x)
(2)
f ( x)dx 1.
A1
Ox
x
注：上述性质有明显的几何意义.
[数学]-3、连续型随机变量ppt课件
![[数学]-3、连续型随机变量ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/ab11feaf4b73f242336c5ff1.png)
9 2
9 3
30
例 7 设随机变量 X 与 Y 独立，且 X~Г(2,1)，Y 有密度
fY
( y)
ye
y2
2
0
y0 其它
求概率 P(X≥Y2)
分析 :由独立性知两边缘密度之积等于
F(x, y)
x
du
sinu 1 dv 1 cos x
0 02
2
iii) 当(x,y)∈IV
F(x, y)
y
dv
arcsinv 1 du 1 y y arcsin y
1 y2 1
0
2 arcsin v
2
iv) 当(x,y)∈V
F(x, y)
du
sin u 1 dv 1
0 02
1
2 dx
9 1 (y5)(1y)
(x5)(1y)
9
即
fY
(
y)
2
( y 5)(1 y )
9
0
5 y 1 其它
∵ f (x, y) fX (x) fY (y) , ∴ X 与 Y 不独立。
28
2)当-2<x<4 时，在 X=x 下 Y 的条件密度
fY|X ( y | x)
f (x, y) f X (x)
f (x, y) f X |Y ( x | y ) fY ( y )
如果 X 与 Y 独立，则
fX|Y (x| y) fX (x), fY|X (y | x) fY (y)
22
条件概率 P( X G | Y y) G f X|Y (x | y)dx
P(X G |Y y) P(X G,Y y) P(Y y)
f (u,v)dudv
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0
| x | 1 | x | 1
试求 (1)系数A；(2) 随机变量X的分布函数；
（3） 随机变量落在区间（- 1 ，1 ). 2 2 10
例1 设随机变量X具有概率密度
kx,
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x3 3 x4 其它
（1）确定常数k;（2）求X的分布函数F ( x)；
（3） 求P 1
X
c l
Pc X c l
1 dx
l
c ba ba
如果随机变量 X 服从
区间 a， b上的均匀分布，
X
X
则随机变量 X 在区间 a， b a l 0 l
上的任意一个子区间上取值的概率与该子区间
的长度成正比，而与该子区间的位置无关．
bx
17
2 . X的 分 布 函 数 为 ：
0,
xa
F(x)
G
7
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
8
若不计高阶无穷小，有：
P{x X x x} f (x)x
它表示随机变量 X 取值于( x, x x] 的 概率近似等于 f ( x)x.
4 若f (x)在点x处连续，则有F '(x) f (x)
4
请注意:
(1) 连续型r.v.取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
PX a 0 .
这是因为
0 PX a Pa x X a F a F a x
当 x 0 时, 得到 PX a 0 .
由P(A)=0, 不能推出 A 由P(B)=1, 不能推出 B=S
若 已 知 连 续 型 随 机 变 量X 的 密 度 函 数 为f x，
则 X 在 任 意 区 间G（G可 以 是 开 区 间,也 可 以 是 闭 区 间 ， 或 半 开 半 闭 区间 ； 可 以 是 有 限 区 间 ， 也 可 以 是 无 穷 区 间 ） 上取 值 的 概 率 为 ，
PX G f xdx (此公式非常重要)
15
三、三种重要的连续型随机变量
1. 均匀分布
若 r .v X的概率密度为：
f
(
x
)
b
1
a
,
a xb
0, 其它
f (x)
ab
则称X在区间( a, b)上服从均匀分布，记作
X ～ U(a, b) 16
若X ~ U (a, b),
与c无关
1.对于长度l为的区间(c, c l), a c c l b,有
x2 f (x)dx
x1
3
若x是 f(x)的连续点，则：
xx
lim P( x X x x) lim x
f (t)dt
x0
x
x0
x
=f(x)
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x]上的概率与区间长度 x
之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
解 以7:00为起点0，以分为单位 依题意， X ～ U ( 0, 30 )
5
注：由(3)可知: p{X x0} 0.{X x0} ,故一个事件 的概率为0,只表示这事件发生的可能性很小,但这事件 并不一定是不可能事件。
对连续型 r.v. X,有
P(a X b) P(a X b)
P(a X b)
P(a X b)
6
说 明:
由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们 关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
7
2
11
kx,
解
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x3 3 x4 其它
(1) 由
f ( x)dx
1得k
1
6
x
0
34
12
F
x
x
f
t
dt
,
x
(2) 分布函数
0,
x0
xx dx,
0 6
0 x3
F ( x)
3x dx
x 2 x dx,
3 x4
06
3 2
1,
x4
x0
x
x
3 x4x
13
即分布函数
0,
x0
x2
,
0 x3
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x4
1,
x4
（3）P 1
X
7
F
7
F 1
41
2 2
48 14
例3 设连续型随机变量 X 的分布函数为
F x 1 1 arctgx x
2
试求 X 的密度函数．
解： 设 X 的密度函数为f x，则
f
F
x
1
1
1 x
2
x
PX
x
x
b
a a
,
a xb
1
xb
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差；
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
18
例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班 车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此 站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的 均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.
第四节 连续型随机变量及其概率密度
教学重点
1 连续型随机变量的概率密度 2 正态分布
要求：
1、连续型随机变量的密度函数的定义和性质，
2、均匀分布、指数分布的定义及性质；
4、正态分布的定义、性质、密度函数及几何性质；
5、一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系；
6、会利用正态分布密度函数的性质求积分
1
2 概率密度的性质
1 非负性 f (x) 0
2 规范性
f (x)dx 1
利用概率密度可确 面积为1
定随机点落在某个
范围内的概率
这两个性质是判 断一个函数是否 为一个连续型 r.v.X的概率密度 的充要条件
f (x)
分布曲 线
o
x
3
对x1, x2, p(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1)
f ( x)x 在连续型r.v理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似.
9
例题选讲
例题1 设随机变量X具有随机密度函数
试求 (1) c
f
(
x)
1
c x2
(2) X的分布函数；(3)P{0 X 1}
例题2 设随机变量X的概率密度为
A
f
(x)
1 x2
一 连续型随机变量 1 定义
设随机变量X的分布函数为F x，若存在 一个非负函数f x , 使对于任意x，恒有
x
F (x) f (t)dt
成立，则称X为连续型随机变量，F x 称为X的分布函数，f x 称为X的概率
密度函数，简称密度函数 2
由定义知道：连续型随机变量的分布函数是连续函数