一元二次函数单调性习题
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
一元二次函数的图象和性质基础知识例题
a
a 1 在区间[0,1]上的最大值是 2，求实数 a 的值. 4 2
例 11、已知函数
2 上的最大值为 1，求实数 a 的值。 f ( x) ax2 (2a 1) x 3(a 0) 在区间 ，
3 2
2 22.设二次函数 f ( x) x x
. 个整数.
1 的定义域为 n, n 1 , n N ,则 f ( x ) 的值域中有 2
三、解答题 23.已知函数 f ( x) ax2 bx c(a 0, b R, c R) . （1）若函数 f ( x ) 的最小值 f (1) 0 ,且 c 1 ，
6
25.如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 B、C 两点,•与 y 轴交于 A 点. (1)根据图象确定 a、b、c 的符号,并说明理由; (2)如果点 A 的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.
7
13、已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点 P 的横坐标是 4,•图象交 x 轴于点 A(m,0)和点 B,且 m>4,那么 AB 的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 二、填空题 14.已知二次函数 f ( x) 2 x 2 4 x 1 ，则其开口向 为 标为 ，最小值为 。
2
，对称轴为
，顶点坐标 ，与 x 轴的交点坐
，单调增区间为
，单调减区间为
15.已知函数 f ( x) 2( x m) 8x 1 的对称轴为 x 1 0 ，则 m 顶点坐标为
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围；（3）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．【答案】（1）极大值；（2）；（3）.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将代入中，对求导，令，，判断函数的单调性，所以当时，函数取得极值；第二问，将题目转化为在上恒成立，再转化为在上恒成立，再转化为，利用配方法求函数的最小值，解出a的取值范围；第三问，将题目转化为当时，不等式恒成立，即，讨论a的值，在每一种情况下判断单调性，求函数最值，验证.试题解析：（1）当时，，，由解得，由解得，故当时，的单调递增；当时，单调递减，∴当时，函数取得极大值.（2），∵函数在区间上单调递减，∴在区间上恒成立，即在上恒成立，只需2a不大于在上的最小值即可． 6分而，则当时，，∴，即，故实数a的取值范围是． 8分（3）因图象上的点在所表示的平面区域内，即当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．由，（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．（ⅱ）当时，由，令，得或，①若，即时，在区间上，，函数在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．（ⅲ）当时，由，因，故，则函数在上单调递减，故成立．综上所述，实数a的取值范围是． 12分【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值.2.若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于________．【答案】1【解析】函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，∴或解得a＝1.3.已知a、b为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.【答案】【解析】设向量的夹角为，则，构造函数，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.【考点】1.向量；2.二次函数.4.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，f(x)≤.(1)求f(1)的值；(2)证明：a>0，c>0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx (x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.【答案】（1）f(1)＝1. （2）见解析（3）见解析【解析】(1)解∵对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，当x＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤＝1，∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1.(2)证明∵f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1.又∵a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立．∴，∴∴c>0，故a>0，c>0.(3)证明∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．∴f(x)＝x2＋x＋.∴g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋＝[x2＋(2－4m)x＋1]．∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，∴2m－1≤－1或2m－1≥1.∴m≤0或m≥1.5.已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意得函数为偶函数，因此当有4个零点时，在上有且仅有两个零点，所以即【考点】二次函数的图象与性质，零点问题6.已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数，．【答案】【解析】由题意是方程的另一根，因此，，．【考点】实系数二次方程的复数根．7.若x1，x2是函数f(x)＝x2＋mx－2(m∈R)的两个零点，且x1<x2，则x2－x1的最小值是________．【答案】2【解析】Δ＝m2＋8>0(m∈R)，x2－x1＝＝≥28.已知函数f(x)＝(1)若x<a时，f(x)<1恒成立，求a的取值范围；(2)若a≥－4时，函数f(x)在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．【答案】（1）a≤log2（2）a>时，函数f(x)有最小值【解析】(1)因为x<a时，f(x)＝4x－4×2x－a，所以令t＝2x，则有0<t<2a.当x<a时f(x)<1恒成立，转化为t2－4×<1，即>t－在t∈(0，2a)上恒成立．令p(t)＝t－，t∈(0，2a)，则p′(t)＝1＋>0，所以p(t)＝t－在(0，2a)上单调递增，所以≥2a－，所以2a≤，解得a≤log2.(2)当x≥a时，f(x)＝x2－ax＋1，即f(x)＝＋1－，当≤a时，即a≥0时，f(x)＝f(a)＝1；min当>a时，即－4≤a<0，f(x)＝f＝1－.min当x<a时，f(x)＝4x－4×2x－a，令t＝2x，t∈(0，2a)，则h(t)＝t2－t＝－，＝h＝－；当<2a，即a> 时，h(t)min当≥2a，即a≤时，h(t)在开区间t∈(0，2a)上单调递减，h(t)∈(4a－4，0)，无最小值．综合x≥a与x<a，所以当a> 时，1>－，函数f(x)＝－；min当0≤a≤时，4a－4<0<1，函数f(x)无最小值；当－4≤a<0时，4a－4<－3≤1－，函数f(x)无最小值．综上所述，当a>时，函数f(x)有最小值．9.设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋n∈D，且f(x ＋n)≥f(x)，则称f(x)为M上的n高调函数．如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的k高调函数，那么实数k的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】即(x＋k)2≥x2在[－1，＋∞)上恒成立，即2kx＋k2≥0在x∈[－1，＋∞)上恒成立，故实数k满足2k>0且－2k＋k2≥0，解得k≥2.10.已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ( )A．；B．；C．；D．.【答案】C【解析】二次函数的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在时取得，而当或时，，（也可考虑在是单调递增，在上单调递减），故本题中的取值范围是.【考点】二次函数的的值域.11.已知向量，，其中.函数在区间上有最大值为4,设.(1)求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1;(2) .【解析】（1）通过向量的数量积给出，利用数量积定义求出，发现它是二次函数，利用二次函数的单调性可求出；（2）由此，不等式在上恒成立，观察这个不等式，可以用换元法令，变形为在时恒成立，从而，因此我们只要求出的最小值即可．下面我们要看是什么函数，可以看作为关于的二次函数，因此问题易解．试题解析：（1）由题得又开口向上，对称轴为，在区间单调递增，最大值为4,所以，（2）由（1）的他，令,则以可化为,即恒成立,且,当,即时最小值为0,【考点】（1）二次函数的单调性与最值；（2）换元法与二次函数的最小值．12.如图，长为20m的铁丝网，一边靠墙，围成三个大小相等、紧紧相连的长方形，那么长方形长、宽、各为多少时，三个长方形的面积和最大？【答案】小长方形的长和宽分别是，2.5时，三个长方形的面积最大为25.【解析】通过假设小长方形的一边再根据周长为20m，即可表示出小长方形的另一边.因为这三个长方形是大小相等长方形，所以可以表示出三个长方形的面积和并求出面积的最大值.本小题主要是以二次函数的最值为知识点形成一个简单的应用题.试题解析：设长方形长为x m，则宽为 m，所以，总面积= =．所以，当时，总面积最大，为25，此时，长方形长为 2.5 m，宽为 m．【考点】1.二次函数的应用.2.二次最的求法.13.已知点，点在曲线:上.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1) 本小题可以通过坐标法来处理，首先根据点在第一象限内设其（），然后根据两点间距离公式，再结合点在曲线:上，联立可解得，即点的坐标为；(2) 本小题根据(1)中所得其中代入可得（），显然根据二次函数可知当时，.试题解析：设（）,（1）由已知条件得 2分将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或 4分当时，只有满足条件，所以点的坐标为 6分（2）其中 7分（） 10分当时， 12分（不指出，扣1分）【考点】1.坐标法；2.二次函数求最值14.已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（）A．24B．32C．48D．64【解析】由题意，则，两式相除，所以成等比数列，成等比数列，而，则，所以，又，所以.故选D【考点】1.二次函数根与系数的关系；2.等比数列的性质.15.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：∀x∈R恒有f(x+2)=f(x)－f(1)．且当x∈［2，3］时，(x+1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a的取值范围为f(x)=－2(x－3)2．若函数y=f(x)－loga___________.【答案】.【解析】由题意得当时，即，又函数为偶函数，则有，所以，则有，可知函数的周期为2，并且当时，，可得函数在上的图像如图所示，要使在上至少有三个零点，则，且，所以，即，则.【考点】二次函数和对数函数的图像与性质.16.设不等式的解集为M.（1）如果，求实数的取值范围；（2）如果，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】本题考查含参一元二次不等式的解法及二次函数图像的性质等基础知识，考查转化思想、分类讨论思想等数学思想方法.第一问，由于抛物线开口向上，要使不等式的解集不为，只需；第二问，一元二次不等式含参数，对应的一元二次方程是否有解取决于，所以本问讨论的三种情况，在每一种情况下，求出方程的根，写出不等式的解集，利用子集关系列出不等式，求的取值范围.试题解析：（1），，∴或. 4分（2）①当，即时，，满足题意； 6分②当时，或，时，，不合题意；时，，满足题意； 8分③当，即或时，令，要使，只需， 10分得，综上，. 12分【考点】1.二次函数的判别式；2.含参一元二次不等式的解法.17.已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是( )A．（0,2）B．（-2,2）C．[-2,2]D．【解析】由已知得，恒成立，所以，解得.【考点】二次函数的图像与性质18.椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由椭圆定义知，，且椭圆的长轴长为，焦距为，所以，令，则，令，由二次函数的性质可知，函数在处取得最大值，即，函数在或处取得最小值，由于，故，即的取值范围是，故选D.【考点】1.椭圆的定义；2.二次函数的最值19.已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 .【答案】【解析】由可知，那么，所以由，化简整理得：，所以有，，所以二次函数的解析式为：.由已知得在区间上，不等式恒成立，即恒成立，只要即可.又，对称轴是，开口向上，所以函数在区间是单调递减的，所以函数在区间上的最小值是：，所以.【考点】1.求二次函数的解析式；2.二次函数的图像与性质；3.二次函数在闭区间上的最值；4.函数与不等式的恒成立问题20.已知函数，若且对任意实数均有成立.（1）求表达式；（2）当是单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查导数的运算以及二次函数的判别式、单调性等基础知识，考查运算能力和分析问题解决问题的能力，考查数形结合思想.第一问，对求导得到解析式，因为，所以得到，又因为恒成立，所以，两式联立解出和，从而确定解析式；第二问，先利用第一问的结论，得到的解析式，再根据二次函数的单调性，确定对称轴与区间端点的大小关系解出的取值.试题解析：(1)∵,∴.∵，∴，∴，∴.∵恒成立，∴∴∴，从而，∴.(6分)(2) .∵在上是单调函数，∴或，解得，或.∴的取值范围为.(12分)【考点】1.导数的运算；2.二次函数的性质.21.设,二次函数的图象为下列之一，则的值为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】因为，故对称轴不可能为轴，由给出的图可知对称轴在轴右侧，故，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故又，所以，选D.【考点】二次函数图象和性质.22.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【答案】.【解析】由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.【考点】二次函数、函数的定义域.23.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.24.已知函数是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的表达式．【答案】（1）；（2）①当，即时，；②当时，；③当，即时，．【解析】（1）由题意先设函数的解析式，再由条件解其中的未知数，可得二次函数解析式；（2）由（1）知函数的解析式，可得函数的对称轴为，再讨论对称轴是在区间上，还是在区间外，分别得的表达式．试题解析：（1）是二次函数，且的解集是可设 2分在区间上的最大值是由已知，得 5分． 6分（2）由（1）知，开口向上，对称轴为， 8分①当，即时，在上是单调递减，所以； 10分②当时，在上是单调递减，所以； 12分③当，即时，在对称轴处取得最小值，所以． 14分【考点】1、二次函数的解析式的求法；2、二次函数的性质．25.设为实数，则___________【答案】4【解析】本题先得到x的范围，然后利用配方法将关于x的二次函数配方，进而求出最大值。
含有一元二次函数型单调性问题
导数含有一元二次函数型函数的单调性问题莘县一中 田昌喜1. 已知函数).0()(≠++=x b x a x x f ，其中R b a ∈,，讨论函数)(x f 的单调性. 解: (1)21)('x ax f -=，当0≤a 时，显然)('x f >0(x ≠0),这时f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)内是增函数； 当0>a 时，令)('x f =0，解得=x a ±，当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：2. 已知函数,)(2aax x e x f x++=其中a 为实数,当)(x f 的定义域为R 时，求)(x f 的单调区间.解： )(x f 的定义域为R ,∴方程02=++a ax x 无实根，即042<-=∆a a ,解得：40<<a .又222222)())2(()()2()()(a ax x x a x e a ax x a x e a ax x e x f x x x ++-+=+++-++=', 由0)(='x f ，得0=x 或a x -=2.当02=-a 即2=a 时,0)(≥'x f ，此时当且仅当0=x 时，取等号，所以，)(x f 的增区间为),(∞+-∞;当02>-a 即42<<a 时,若),0()2,(∞+⋃--∞∈a x ，则0)(>'x f ，若)0,2(a x -∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 的增区间为),0(),2,(∞+--∞a ，减区间为)0,2(a -；当02<-a 即20<<a 时,若),2()0,(∞+-⋃-∞∈a x ，则0)(>'x f ，若)2,0(a x -∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 的增区间为),2(),0,(∞+--∞a ，减区间为)2,0(a -.3. 在实数集R 上定义运算：.)((为常数）a y a x y x -=⊗令x e x f =)(，,2)(2x e x g x +=-)()()(x g x f x F ⊗=,求函数)(x F 的单调区间. 解：12)2()(22--=--=-x x x x e x ae x e a e x F ,)42()(2a x x e x F x +--='∴,当0≤∆即2-≤a 时,0422≤+--a x x ，所以0)(≤'x F ,故)(x F 的单调减区间为),(∞+-∞;当0>∆即2->a 时,令0)(='x F ，得2242,224221a x a x ++-=+--=, 若),(21x x x ∈,则0)(>'x F ,此时，)(x F 的单调增区间为)2242,2242(a a ++-+--, 若),(),(21∞+⋃-∞∈x x x ,则0)(<'x F ,此时，)(x F 的单调减区间为),2242(,)2242,(∞+++-+---∞a a .。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.函数的递增区间是___________________ .【答案】[1,+∞)【解析】试题分析:,由一元二次函数的单调性可知，开口向上，递增区间在对称轴右侧，递增区间为[1,+∞).【考点】一元二次函数的单调性.2.设是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是【答案】【解析】∵是奇函数，且在内是减函数，∴在内是减函数，∵＝＝，∴＝，则当或时，，当或时，，则不等式等价为①或②．由①得，解得；由②得，解得，所以的解集为或或．【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3．抽象函数；4．函数图象的应用．3.已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数有意义，则解得，又因为二次函数在单调递减，在单调递增，若对于任意，当时，总有，则，在上单调递增.而单调递增，故复合函数在单调递增，故选B.【考点】本题考查复合函数的单调性.4.函数在上是增函数，则实数的范围是（）A．≥B．≥C．≤D．≤【答案】B【解析】二次函数的图象抛物线开口向下,对称轴为 ,所以函数在上单调递增；要使函数在上是增函数，必须有，解得 .故选B【考点】1、函数的单调性的概念；2、二次函数的图象和性质5.在区间上不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由初等函数的图像可知C的图像在上是单调递减函数.【考点】本题考查初等函数，通过初等函数的图像判断其单调性.6.（本小题满分12分）已知幂函数的图象经过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间上是减函数.【解析】（Ⅰ）属待定系数法求函数解析式，即设出函数方程，代入点计算待定系数（Ⅱ）利用单调性的定义证明单调性，三步：取数并规定大小，作差比较两函数大小，判断点调性试题解析：（Ⅰ）是幂函数，设（是常数）由题，所以所以，即（Ⅱ）在区间上是减函数.证明如下：设，且，则，即在区间上是减函数.【考点】函数解析式的求法，单调性的定义7.已知函数满足当时，总有．若则实数的取值范围是．【答案】或【解析】当时，总有，所以在上单调递增，因为所以为偶函数，所以在上单调递减，因为所以，即，整理的，解得或【考点】（1）函数单调性的概念以及利用单调性比较大小（2）函数奇偶性（3）绝对值不等式和一元二次不等式的解法8.下列函数中既是奇函数，又是在上为增函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，函数，在区间上是减函数，在是增函数，故A不正确；对于B，函数的定义域是，不是奇函数，故B不正确；对于C，由函数在R上是增函数，知在R上是减函数，故C不正确；对于D，可变形为，是关于x的一次函数，根据奇函数的定义和函数单调性的定义知是奇函数，在R上是增函数，故D正确.【考点】函数的单调性；函数的奇偶性9.若非零函数对任意实数均有，且当时（1）求证：；（2）求证：为R上的减函数；（3）当时，对恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）证法一：即又当时，则故对于恒有证法二：为非零函数（2）证明：令且有，又即故又故为R上的减函数（3）实数的取值范围为【解析】（1）由题意可取代入等式，得出关于的方程，因为为非零函数，故，再令代入等式，可证，从而证明当时，有；（2）着眼于减函数的定义，利用条件当时，有，根据等式，令，，可得，从而可证该函数为减函数.（3）根据，由条件可求得，将替换不等式中的，再根据函数的单调性可得，结合的范围，从而得解.试题解析：（1）证法一：即又当时，则故对于恒有 4分证法二：为非零函数（2）令且有，又即故又故为R上的减函数 8分（3）故， 10分则原不等式可变形为依题意有对恒成立或或故实数的取值范围为 14分【考点】1.函数的概念；2.函数的单调性；3.二次函数.10.下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据初等函数的图象，可得函数在区间上的单调性，从而可得结论．选项A中在上是减函数选项B中在上是增函数选项C中在上是减函数选项D中在上是增函数故选C考点:函数单调性的概念11.设，则的大小关系是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因指数相同，可由幂函数在上为增函数知；因底数相同，可由指数函数在上为减函数知，再由不等式的传递性知故选A.【考点】初等函数单调性及应用，不等式基本性质.12.已知函数（1）若，判断函数在上的单调性并用定义证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在上是增函数.（2）【解析】（1）由分离常数法判断函数的单调性，由定义法来证明在上的单调性注意通分后分解因式，判定各因式的符号.（2）设由增函数知，然后分解因式判定含有因式的符号试题解析：（1）当时，， 1分设，则3分∵∴，∴>0， 5分即，∴函数在上是增函数. 6分（2）设，由在上是增函数，有即成立， 8分∵，∴，必须 11分所以，实数的取值范围是 12分【考点】函数单调性的性质证明过程及其应用．13.定义在上的函数满足：①对任意都有：；②当时，，回答下列问题．（1）证明：函数在上的图像关于原点对称；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由．（3）证明：，.【解析】（1）利用条件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函数，其图像关于原点对称；（2）利用单调性定义进行判断，结合第（1）小题的结论进行化简和①②两个条件对结果的符号进行判断；（3）结合条件①把左边式子的第项化为，由此左边可以化为，再利用第（2）小题的结论得出，原不等式得证.试题解析：（1）令，令，则.所以，在上是奇函数． 4分（2）设，则， 6分而，， 7分即当时，．∴在上单调递减． 8分（3），，.. 13分【考点】函数的奇偶性、单调性，转化与化归思想.14.在，这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】根据题意，由于指数函数和对数函数底数大于1，因此是递增函数，而抛物线在给定区间是递增的，那么结合函数凹函数的特点可知，使恒成立的函数为两个函数，故选C.【考点】函数的单调性点评：本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．15.已知函数，（1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象；（2）写出的单调递增区间.【答案】（1）略；（2）。
高中数学一元二次函数方程和不等式经典大题例题
(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m s⁄），若a≠b，则（）A．甲先到达终点B．乙先到达终点C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点答案：B解析：设马拉松全程为x，得到甲用的时间为12(xa+xb)，乙用的时间为xa+b2=2xa+b，做差比较大小可得答案.设马拉松全程为x，所以甲用的时间为12(xa+xb)，乙用的时间为xa+b2=2xa+b，因为a≠b，所以12(xa+xb)−2xa+b=bx(a+b)+ax(a+b)−4abx2ab(a+b)=(a−b)2xab(a+b)>0，所以12(xa+xb)>2xa+b，则乙先到达终点.故选：B.小提示：比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.2、已知a,b 为正实数且a +b =2，则b a +2b 的最小值为（ ） A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可. 解：因为a,b 为正实数且a +b =2， 所以b =2−a ， 所以，ba +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立； 所以ba+2b =2−a a+2b=2a+2b−1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D3、下列命题中，是真命题的是（ ）A ．如果a >b ，那么ac >bcB ．如果a >b ，那么ac 2>bc 2C ．如果a >b ，那么ac >bc D ．如果a >b ，c <d ，那么a −c >b −d 答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误； 对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误； 对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.4、当0<x <2时，x(2−x)的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4 答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x <2，∴2−x >0，又x +(2−x)=2 ∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x =2−x ，即x =1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1 故选：B5、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（ ） A ．−2B ．0C ．1D ．2 答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案． 不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1， 则{−ba =−2+1−2a =−2×1 ，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D6、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2 答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意； 当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0 ，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2]. 故选：A.7、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x +600x−30)元（试剂的总产量为x 单位，50≤x ≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ） A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位 答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y ，然后利用基本不等式求解最值即可． 解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x−30)元，则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x=x +8100x+40≥2√x ⋅8100x+40=220，当且仅当x =8100x，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．8、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（ ） A ．3B ．32C ．2D ．23答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合 (x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0， 方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1， 即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3. 故选：A9、已知正实数a,b 满足4a+b+1b+1=1，则a +2b 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 答案：B分析：令a +2b =a +b +b +1−1，用a +b +b +1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可. 因为4a+b+1b+1=1，且a,b 为正实数所以a +b +b +1=(a +b +b +1)(4a+b +1b+1)=4+a+bb+1+4(b+1)a+b+1≥5+2√a+b b+1×4(b+1)a+b=9，当且仅当a+b b+1=4(b+1)a+b即a =b +2时等号成立.所以a +2b +1≥9,a +2b ≥8.10、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当a x=b y时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x+91−2x(0<x <12)的最小值为（ ） A ．16B ．25C ．36D ．49 答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当ax =by 时等号成立，又0<x <12，即1−2x >0， 于是得f(x)=222x+321−2x≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x=31−2x，即x =15时取“=”，所以函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为25. 故选：B 填空题11、正实数x,y 满足：2x +y =1，则2x +1y 的最小值为_____. 答案：9解析：根据题意，可得2x +1y =(2x +1y )(2x +y )=5+2y x+2x y，然后再利用基本不等式，即可求解.2x+1y =(2x +1y )(2x +y )=5+2y x+2x y≥5+2√2yx ⋅2x y≥5+2√4=9，当且仅当x =y =13 时取等号．所以答案是：9．小提示：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．12、已知三个不等式：①ab >0，②ca >db ，③bc >ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得{ab>0ca>db⇒{ab>0bc−adab>0⇒bc>ad；{ab>0bc>ad⇒ca>db；{ca>dbbc>ad⇒{bc−adab>0bc>ad⇒ab>0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.13、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|3<x<4}，则c2+5a+b的取值范围为________________．答案：[4√5,+∞)分析：由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把b,c用a表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．由不等式解集知a<0，由根与系数的关系知{−ba=3+4=7, ca=3×4=12,∴b=−7a,c=12a，则c2+5a+b =144a2+5−6a=−24a+5−6a≥2√(−24a)×5−6a=4√5，当且仅当−24a=5−6a ，即a=−√512时取等号．所以答案是：[4√5,+∞)．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14、已知x，y为正数，且12+x +4y=1，则x+y的最小值为________.答案：7解析：由题设等式有x+y+2=5+y2+x +4(x+2)y，利用基本不等式可求x+y+2的最小值，从而可得x+y的最小值.x+y+2=[(x+2)+y]×(1x+2+4y)=5+y2+x+4(x+2)y，由基本不等式有y2+x +4(x+2)y≥4，当且仅当x=1,y=6时等号成立，故x+y+2的最小值为9即x+y的最小值为7.所以答案是：7.小提示：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.15、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______.答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x +y 的最小值为2. 所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16、设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式：①a 2＋1＞a ； ②(a +1a )(b +1b )≥4； ③(a ＋b )(1a +1b )≥4； ④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号). 答案：①②③分析：利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论.由于a 2＋1－a ＝(a −12)2+34>0，故①恒成立；由于(a +1a )(b +1b )＝ab +1ab ＋ba ＋ab ≥2√ab ⋅1ab ＋2√ba ⋅ab＝4，当且仅当{ab =1ab b a=a b即a ＝b ＝1时等号成立，故②恒成立； 由于(a ＋b )(1a +1b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2√b a ×a b ＝4.当且仅当a b ＝ba ， 那么a ＝b ＝1时等号成立，故③恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③.所以答案是：①②③.小提示：本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题.17、 设x ∈R ，使不等式3x 2+x −2<0成立的x 的取值范围为__________. 答案：(−1,23)分析：通过因式分解，解不等式． 3x 2+x −2<0， 即(x +1)(3x −2)<0，即−1<x <23，故x 的取值范围是(−1,23)．小提示：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 18、不等式2x−7x−1≤1的解集是________. 答案：(1,6]分析：把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，根据分式不等式解法，然后转化为两个一元一次不等式组，注意分母不为0的要求，求出不等式组的解集即为原不等式的解集． 不等式2x−7x−1≤1得x−6x−1≤0 ，故{(x −1)(x −6)≤0x −1≠0⇒1<x ≤6 ，所以答案是：(1,6].19、已知a ∈Z 关于x 的一元二次不等式x 2−8x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是________(写出任何一个满足条件的值即可）.答案：13，14，15(写出任何一个值即可）分析：根据题意，先表示出关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集，再结合数轴分析即可得到a的值. 因为关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以Δ=64−4a>0，即a<16，由x2−8x+a=0，解得x=4±√16−a，故关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集为[4−√16−a,4+√16−a]，因关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以1≤√16−a<2，即12<x≤15，又因a∈Z，所以a=13，14或15都满足.所以答案是：13，14，15(写出任何一个值即可）.>0的解集为______________．20、不等式x+3x−1答案：{x|x<−3或x>1}分析：由题可得(x−1)(x+3)>0，进而即得.>0，得(x−1)(x+3)>0，由x+3x−1所以x<−3或x>1，故不等式得解集为{x|x<−3或x>1}．所以答案是：{x|x<−3或x>1}．解答题<0，k≠021、已知关于x的不等式2kx2+kx−38（1）若k =18，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．答案：（1）(−32,1)；（2）(−3,0) 分析：（1）将k =18代入不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解.（2）根据关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0的解集为R ．又因为k ≠0 ，利用判别式法求解. （1）将k =18代入不等式，可得14x 2+18x −38<0，即2x 2+x −3<0 所以−32和1是方程2x 2+x −3=0的两个实数根， 所以不等式的解集为{x |−32 <x <1}即不等式的解集为(−32,1)． （2）因为关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0的解集为R ．因为k ≠0所以{2k <0,Δ=k 2+3k <0，解得−3<k <0， 故k 的取值范围为(−3,0)．22、（1）已知a >b,c <d ，求证：a −c >b −d ；（2）已知a >b,ab >0，求证：1a <1b ；（3）已知a >b >0,0<c <d ，求证：a c >b d . 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.分析：（1）根据c <d 不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到 −c >−d , 再用同向可加性法则即可得出结果.（2）根据正数的倒数大于0可得1ab>0,再用同向同正可乘性得出结果.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1c >1d>0,再用同向同正可乘性得出结果.证明：（1）因为a>b,c<d，所以a>b,−c>−d. 则a−c>b−d.（2）因为ab>0，所以1ab>0.又因为a>b，所以a⋅1ab >b⋅1ab，即1b >1a，因此1a<1b.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1 c >1d>0.又因为a>b>0，则a⋅1c >b⋅1d，即ac >bd.小提示：本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.。
函数的单调性与最值练习题
函数的单调性与最值练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题4分）1．函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 2．已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）A.(1,)+∞B.(2,)+∞C.(,0)-∞D.(,1)-∞ 3．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（ ）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加4．若在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A. [1，2)B. [1，2]C. [1,+∞)D. [2，+∞)5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是( )A.（12，23）B.［13，23）C. （13，23）D.［12，23）7．已知(x)=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，31） C.［71，31） D.［71，1）8．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 9．已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（ ） （A ）（∞-，23） （B ）［13，23） （C ）（12，∞+） （D ）［12，23） 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2xy = B ．1y x= C ．2y x = D ．tan y x = 11．已知函数(a 为常数)．若在区间[-1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()()1f x f x =-，且当12x ≥时， ()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-的最大值与最小值之差为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题（每小题4分）13．已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是14．设函数()f x =⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 ．15．2()24f x x x =-+的单调减区间是 . 16．已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总有)(0)()(b a ba b f a f ≠>--，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是_______________．17．函数2()(1)2f x x =--的递增区间是___________________ . 18．已知函数()[]5,1,4∈+=x xx x f ，则函数()x f 的值域为 ． 19．函数2(),,.f x x ax b a b R =-+∈若()f x 在区间(,1)-∞上单调递减，则a 的取值范围 ．20．已知函数2()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围是 . 21．已知函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为_________．22．已知y=f(x)是定义在（－2，2）上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)，则实数m 的取值范围为 .23．若函,1,()(4)2, 1.2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．24．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________． 25．已知函数f(x)3ax- (a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．参考答案1．B 【解析】试题分析：画出2()log f x x =在定义域}{0>x x 内的图像，如下图所示，由图像可知2()log f x x =在区间[1,2]上为增函数，所以当1=x 时2()log f x x =取得最小值，即最小值为2(1)log 10f ==。
函数单调性经典题目含解析及答案
答案： (3,)或[3,)
3、已知 f (x) x2 2x 3, g(x) f (5 x2 ) ，试求 g(x) 的单调区间
解析：复合函数的单调性，当复合函数内外层单调区间不同时，以外
层函数为界限。
答案：单调减区间为 (,2), (0,2) ，单调增区间 (2,0), (2,) 4、函数 y 2 在区间[2,4] 上的最大值和最小值
答案：[0, 1]
5
8、已知 f (x) | x a |在 (,1) 上是单调函数，则 a 的取值范围 解析： f (x) | x |是偶函数，可以画图像利用图像平移的特点来判断 答案： (,1] 9、若 y (2k 1)x b 是 R 上的减函数，则 K 的取值范围。 解析：利用一元一次函数的图像 答案： (, 1)
x2 2x 1, x [0,)
解析：利用函数图像法求单调区间及最小值
答案：函数的单调增区间为 (,0), (0,) ，最小值为 f (0) 1
7、函数 f (x) ax2 2(a 1)x 2 在区间 (,4] 为减函数，则 a 的取值范围
解析：利用一元两次函数的开口方向及对称轴或一元一次函数
x
解析：利用函数单调性
答案：20。 20、函数 f (x) 2x2 mx 1在区间[1,4]上是单调函数，则实数 m 的取值
范围
解析：二次函数对称轴与区间关系
答案： m 4或m 16
21、若 f (x) x2 bx c ， f (1) 0, f (3) 0
（1）求 b,c 的值
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知lgx＋lgy＝2 lg(2x－3y)，求的值．【答案】2【解析】解：依题意可得：lg(xy)＝lg(2x－3y)2，即xy＝(2x－3y)2，整理得：4()2－13()＋9＝0，解得：＝1或＝，∵x>0，y>0,2x－3y>0，∴＝，∴＝2.2.设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6,2]，则m＋n的取值所组成的集合为()A．[0,3]B．[0,4]C．[－1,3]D．[1,4]【答案】B【解析】由题意可得，函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，故当x＝1时，函数取得最大值2.因为函数的值域是[－6,2]，令－2x2＋4x＝－6，可得x＝－1或x＝3.所以－1≤m≤1,1≤n≤3，所以0≤m＋n≤4.故选B.3.已知a∈(0，＋∞)，函数f(x)＝ax2＋2ax＋1，若f(m)<0，比较大小：f(m＋2)________1(用“<”“＝”或“>”连接)．【答案】>【解析】由f(x)＝ax2＋2ax＋1(a>0)知f(x)过定点(0,1)．又f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2－a＋1(a>0)，设f(x)＝0的两个实数根为x1，x2，且x1<x2，如图所示．所以x1＋x2＝－2，x1x2＝，由Δ>0得a>1，所以x2－x1＝＝∈(0,2)．又因为对称轴为直线x＝－1，f(0)＝1，所以x2∈(－1,0)．由f(m)<0，得x1<m<x2，所以m＋2>0，所以f(m＋2)>1.4.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，a≠0)的图像过点C(t,2)，且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则实数a的值为________．【答案】－【解析】设点A(x1,0)，B(x2,0)，则＝(x1－t，－2)，＝(x2－t，－2)，所以·＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋4＝0.又x1x2＝，x1＋x2＝－，所以t2＋＋＋4＝0.又点C(t,2)在抛物线上，所以at2＋bt＋c＝2，所以t2＋＋＝，即－4＝，解得a＝－.5.“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件．【答案】充分不必要【解析】函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－＝2a≤2，即a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．6.（2013•重庆）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a…①，x1•x2=﹣8a2…②，又x2﹣x1=15…③，①2﹣4×②可得（x2﹣x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a==，因为a＞0，所以a=．故选A．7.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，f(x)≤.(1)求f(1)的值；(2)证明：a>0，c>0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx (x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.【答案】（1）f(1)＝1. （2）见解析（3）见解析【解析】(1)解∵对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，当x＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤＝1，∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1.(2)证明∵f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1.又∵a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立．∴，∴∴c>0，故a>0，c>0.(3)证明∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．∴f(x)＝x2＋x＋.∴g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋＝[x2＋(2－4m)x＋1]．∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，∴2m－1≤－1或2m－1≥1.∴m≤0或m≥1.8.若关于的不等式的解集中有且仅有4个整数解，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，不等式的解集中有无数个整数解，因此设因为假若a＞1，则f（1）=1-a＜0，4个整数解应为1，0，-1，-2，而f（-2）=4a-2-2a=2a-2＞0，矛盾，所以假设错误，故0＜a≤1所以4个整数解应为0，-1，-2，-3．所以实数的取值范围是.【考点】一元二次不等式的整数解9.设为坐标原点，给定一个定点，而点在正半轴上移动，表示的长，则中两边长的比值的最大值为．【答案】【解析】由题意得：当时，取最大值，为.【考点】二次函数最值10.若a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数为.【解析】由于b2=ac>0,∴Δ=b2-4ac=ac-4ac=-3ac<0,故函数f(x)的图象与x轴交点个数为0.11.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则x的取值范围是.【答案】(-2,0)【解析】【思路点拨】由题意知二次函数的图象开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.解：由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远,函数值越大, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,即|2x2+1|<|x2-2x+1|,∴2x2+1<x2-2x+1,∴-2<x<0.12.已知向量，，其中.函数在区间上有最大值为4,设.(1)求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1;(2) .【解析】（1）通过向量的数量积给出，利用数量积定义求出，发现它是二次函数，利用二次函数的单调性可求出；（2）由此，不等式在上恒成立，观察这个不等式，可以用换元法令，变形为在时恒成立，从而，因此我们只要求出的最小值即可．下面我们要看是什么函数，可以看作为关于的二次函数，因此问题易解．试题解析：（1）由题得又开口向上，对称轴为，在区间单调递增，最大值为4,所以，（2）由（1）的他，令,则以可化为,即恒成立,且,当,即时最小值为0,【考点】（1）二次函数的单调性与最值；（2）换元法与二次函数的最小值．13.“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴元；２、每月处理量为400吨时，平均成本最低.【解析】（1）该项目利润等于能利用的生物柴油价值与月处理成本的差，当时，，故，故该项目不会获利，而且当时，获利最大为，故政府每月至少不要补贴元；（2）每吨的平均处理成本为，为分段函数，分别求每段的最小值，再比较各段最小值的大小，取较小的那个值，为平均成本的最小值．试题解析：(1)当时，设该项目获利为，则，所以当时，.因此，该项目不会获利.当时，取得最大值，∴政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损.(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：①当时，，∴当时，取得最小值240；②当时，.当且仅当，即时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【考点】1、分段函数；2、二次函数的值域；3、基本不等式.14.如图，长为20m的铁丝网，一边靠墙，围成三个大小相等、紧紧相连的长方形，那么长方形长、宽、各为多少时，三个长方形的面积和最大？【答案】小长方形的长和宽分别是，2.5时，三个长方形的面积最大为25.【解析】通过假设小长方形的一边再根据周长为20m，即可表示出小长方形的另一边.因为这三个长方形是大小相等长方形，所以可以表示出三个长方形的面积和并求出面积的最大值.本小题主要是以二次函数的最值为知识点形成一个简单的应用题.试题解析：设长方形长为x m，则宽为 m，所以，总面积= =．所以，当时，总面积最大，为25，此时，长方形长为 2.5 m，宽为 m．【考点】1.二次函数的应用.2.二次最的求法.15.若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】不等式在区间内有解等价于，令，，所以，所以.【考点】1.二次函数求最值；2.含参一元二次不等式的解法.16.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的定义域是R，则有恒成立.设，当时，恒成立；当时，要使得恒成立，则有，解得.所以实数的取值范围是，选B.【考点】1.对数函数的定义域；2.二次函数的图像与性质17.函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于函数在区间上是增函数，所以实数a应满足：或.由此得，所以选D.【考点】1、二次函数的单调性；2、解不等式.18.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【答案】.【解析】由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.【考点】二次函数、函数的定义域.19.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.20.（本小题满分12分）定义域为的函数满足,当∈时，(1）当∈时，求的解析式；(2）当x∈时，≥恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知条件可求出f（x+4）=9f（x），设x∈[-4，-2]，则4+x∈[0，2],由已知可得f（x+4）的解析式，即可得解.（2）首先求出，x∈时的值域，由已知可得，解不等式即可.试题解析：（1）由f（x+2）=3f（x）,得f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）,设x∈[-4，-2]，则4+x∈[0，2],∴f（x+4）=（x+4）2-2（x+4）=x2+6x+8,因为f（x+4）=9f（x）.（2）因为x∈时，≥恒成立，所以x∈时，恒成立.而x∈时，，所以，即，解得【考点】1.分段函数；2.二次函数的性质；3.分式不等式的解法.21.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由二次函数在区间上为减函数，则，即．【考点】二次函数的性质．22.已知函数是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的表达式．【答案】（1）；（2）①当，即时，；②当时，；③当，即时，．【解析】（1）由题意先设函数的解析式，再由条件解其中的未知数，可得二次函数解析式；（2）由（1）知函数的解析式，可得函数的对称轴为，再讨论对称轴是在区间上，还是在区间外，分别得的表达式．试题解析：（1）是二次函数，且的解集是可设 2分在区间上的最大值是由已知，得 5分． 6分（2）由（1）知，开口向上，对称轴为， 8分①当，即时，在上是单调递减，所以； 10分②当时，在上是单调递减，所以； 12分③当，即时，在对称轴处取得最小值，所以． 14分【考点】1、二次函数的解析式的求法；2、二次函数的性质．23.若f(x)的定义域为[a,b]，值域为[a,b]（a<b），则称函数f(x)是[a,b]上的“四维光军”函数.①设g(x)＝x2－x+是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值;②问是否存在常数a，b（a>－2），使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a,b的值，否则，请说明理由.【答案】①; ②不存在，详见解析【解析】①根据信息找到b所满足的等式即可求出b的值，一定要先判断函数在闭区间上的单调性；②先假设存在题目要求的常数，根据“四维光军”函数的特性去找到此常数能得到的结论，推出矛盾即可说明这样的常数是不存在的，这是一种逆向思维的题目，首先假设存在，由存在得出矛盾，则可知存在不成立.试题解析：①由已知得，其对称轴为，区间在对称轴的右边,所以函数在区间上是单调递增的, 3分由“四维光军”函数的定义可知,，即，又因为，解得； 6分②假如函数在区间上是“四维光军”函数, 7分因为在区间是单调递减函数，则有, 10分即，解得，这与已知矛盾. 12分【考点】函数单调性的应用，函数的图形和性质的应用.24.为常数，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】①当时符合条件, ②当时,,所以,综上 .【考点】分类讨论,二次函数的性质.25.分解因式的结果是．【答案】【解析】根据完全平方公式可得【考点】本小题主要考查因式分解.点评：解决因式分解问题，主要是根据完全平方公式、平方和和平方差公式等.26.已知函数的两个零点分别在区间和区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，∴，∴即实数的取值范围是，故选A【考点】本题考查了一元二次方程根的分布点评：熟练掌握常见的一元二次方程根的分布规律是解决此类问题的关键，属基础题27.已知二次函数且关于的方程在上有两个不相等的实数根.⑴求的解析式.⑵若总有成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）当总有成立，。
高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确.令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()(24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系.【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件.故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得((02b f f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02b f >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <，则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以((02bf f >，所以必要性成立；反之，设(02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<，此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1<a ≤2.【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果.【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21a a >⎧⎨⎩…，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞-【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R恒成立，∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴20440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可.【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+.故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________．【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值.【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++当232x =时，12max134x x -=．故答案为：134.10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k=，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0ff x …恒成立，则实数m 的范围是（ ）A．3,3⎡--+⎣B．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1-D．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+，（2）1m =-恒成立，符合题意；（3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--.综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取练提升()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =-- ，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解,取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=，其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4.故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________.【答案】2a <或3a >.【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->V 且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a <【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <.故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________.【答案】12-【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解.【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为()1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-；当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤，所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=，因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1-【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值.【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin 4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭，∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增；11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1.故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2．【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.【详解】解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()minM h x h x - (2)(),2xh x x R x =∈+当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令2()g x x x=+，当0,()x g x >…，当x =取等号，当0,()x g x <≤-当x =取等号，()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞()(0)h x x ⎡⎫⎛∈⋃≠⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝综上，()h x ⎡∈⎢⎣M ⎛∴= ⎝…min M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈．（1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值．【答案】（1）[)1,+∞；（2）45.【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+--⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求.【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =.①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+；②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()0f b = ，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b +=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭，设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =.所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45.9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2．当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9；当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1；故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54．令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52．10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞．【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式；（2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可.【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==，∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈，∴222221814(44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值练真题（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=x ―4,x ≥λx 2―4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得x ≥2x ―4<0 或x <2x 2―4x +3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f (x )=x ―4>0，此时f (x )=x 2―4x +3=0,x =1,3，即在(―∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )=x ―4=0,x =4，由f (x )=x 2―4x +3在(―∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b =+时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++.当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+，所以293b -≤≤-.当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202tt--≤<+和2302t tt--≤<+，所以30b-≤<.综上可知，b的取值范围是[3,9--.。
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (13)-200708(解析版)
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (13)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 定义运算：∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc.若不等式∣∣∣2k kx +3−1x 2∣∣∣<0的解集是空集，则实数k 的取值范围是( )A. {0}∪[24,+∞)B. [0,24]C. (0,24]D. (−∞,0]∪[24,+∞)2. 已知三个互不相等的负数a ，b ，c 满足2b =a +c ，设M =1a +1c ，N =2b ，则( )A. M >NB. M ≥NC. M <ND. M ≤N3. 已知函数f(x)={x +1(x <0)−x −1(x ≥0)，则不等式(x +1)⋅f(x −1)≤3−x 的解集是( )A. [−3,+∞)B. [1,+∞)C. [−3,1]D. (−∞,−3]∪[1,+∞)4. 若函数f(x)=x 2+x +ax 在(12,+∞)上是增函数，则a 的取值范围( )A. (−∞,12)B. (12,+∞)C. [12,+∞)D. (−∞,12]5. 若函数f(x)=(k −3)x 2+2kx +1在(−∞,0]上为增函数，则k 的取值范围是( )A. [0,3)B. [0,3]C. (0,3]D. [3,+∞) 6. 已知a =log 52，b =log 0.50.2，c =ln(ln2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b7. 已知p ：函数f(x)=x 2+mx +1有两个零点，q ：∀x ∈R ，4x 2+4(m −2)x +1>0.若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则实数m 的取值范围为( ) A. (−∞,−2)∪[3，+∞) B. (−∞,−2)∪(1,2]∪[3,+∞) C. (1,2]∪[3,+∞) D. (−∞,−2)∪(1,2] 8. 若a <0，则关于x 的不等式x 2−4ax −5a 2>0的解是( )A. x >5a 或x <−aB. x >−a 或x <5aC. 5a <x <−aD. −a <x <5a 二、填空题（本大题共8小题，共40.0分） 9. 不等式−x 2−x +6≥0的解集为______． 10. 函数y =−x 2的单调递增区间为______．11. 若函数f(x)={1x ,x >03x ,x ≤0，则不等式f(x)≥13的解集为______．12. 若函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上的最大值为1，最小值为m ，且函数g(x)=(m +1)x 2在区间[0,+∞)上是增函数，则a =______．13. 若不等式ax 2+2ax −1<0解集为R ，则a 的范围是______．14. 对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立，则x 的取值范围是______． 15. 不等式3x 2−7x ≤10的解集为______． 16. 函数y =√6−x −x 2的定义域是______． 三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.解关于x的不等式：x2+2x−3−x2+x+6<0．18.已知f(x)=x2+6x+9x+1(x>−1)．(1)解不等式f(x)≥9；(2)求f(x)的最小值．19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈[1,3)时，有f(x)≤18(x+2)2成立．(1)证明：f(2)=2；(2)若f(−2)=0，求f(x)的表达式；(3)在题(2)的条件下设g(x)=f(x)−mx2，x∈[0,+∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y=14的上方，求实数m的取值范围．20.已知不等式ax2−3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)已知m∈R，解关于x的不等式(x−m)(ax−b)<0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意得，不等式2kx 2+kx +3<0的解集为空集， ①k =0时，3<0，满足题意；②k ≠0时，{k >0△=k 2−24k ≤0，解得0<k ≤24， ∴综上得，实数k 的取值范围是[0,24]． 故选：B ．根据题意即可得出不等式2kx 2+kx +3<0的解集是空集，从而讨论k ：k =0时，显然满足题意；k ≠0时，{k >0△=k 2−24k ≤0，从而可得出k 的取值范围．本题考查了分类讨论的思想，一元二次不等式解的情况，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：A解析：解：由三个互不相等的负数a ，b ，c 满足2b =a +c ， 且M =1a +1c =c+a ac=2bac =2ac b，N =2b ， 所以ac b −b =ac−b 2b=ac−(a+c 2)2b=−(a−c)24b<0，即ac b <b <0， 所以2ac b>2b ，即M >N ． 故选：A ． 化简M =2ac b，利用作差法比较acb <b ，从而得出M 与N 的大小．本题考查了不等式大小比较问题，也考查了转化思想，是基础题． 3.答案：A解析：解：∵函数f(x)={x +1(x <0)−x −1(x ≥0)，则对于不等式(x +1)⋅f(x −1)≤3−x ，当x −1<0即x <1时，f(x −1)=x −1+1=x ，则(x +1)⋅x ≤3−x ，解得−3≤x ≤1，∴−3≤x <1．当x −1≥0时，即x ≥1，f(x −1)=1−x −1=−x ，则(x +1)(−x)≤3−x ，即x 2≥−3，∴x ≥1． ∴原不等式的解集为{x|−3≤x <1，或x ≥1}={x|x ≥−3}， 故选：A ．分别考虑x −1<0即x <1时；x −1≥0时，即x ≥1时，原不等式的解集，最后求并集． 本题考查分段函数的应用，考查分段函数值应考虑自变量对应的情况，属于中档题． 4.答案：D解析：解：根据题意，函数f(x)=x 2+x +ax ，其导数f′(x)=2x +1−a x 2=2x 3+x 2−ax 2，若函数f(x)=x 2+x +ax 在(12,+∞)上是增函数，则f′(x)=2x3+x 2−ax 2≥0在(12,+∞)上恒成立，设g(x)=2x 3+x 2−a ，则有g(x)=2x 3+x 2−a ≥0在(12,+∞)上恒成立，而g′(x)=6x 2+2x ，在(12,+∞)上，有g′(x)>0恒成立，即函数g(x)在(12,+∞)上为增函数， 若g(x)=2x 3+x 2−a ≥0在(12,+∞)上恒成立，必有g(12)≥0，即2×(12)3+(12)2−a =12−a ≥0恒成立，则a ≤12，即a 的取值范围为(−∞,12]； 故选：D ．根据题意，求出函数f(x)的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得：若函数f(x)在(12,+∞)上是增函数，必有f′(x)=2x 3+x 2−ax 2≥0在(12,+∞)上恒成立，进而设g(x)=2x 3+x 2−a ，求出g(x)的导数，分析可得g(x)在(12,+∞)上为增函数，据此可得g(12)≥0，即2×(12)3+(12)2−a =12−a ≥0恒成立，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查利用导数分析函数单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题． 5.答案：B解析：解：若函数f(x)=(k −3)x 2+2kx +1在(−∞,0]上为增函数， ①当k =3时，f(x)=6x +1，显然f(x)在(−∞,0]上为增函数，②当k ≠3时，由f(x)在(−∞,0]上为增函数，有{k −3<0−2k 2(k−3)≥0，∴{k <30≤k <3，∴0≤k <3，∴k 的取值范围为[0,3]． 故选：B ．利用函数图象与单调性的关系，结合二次函数的图象分析开口方向即可． 本题考查函数的图象与性质的应用，一元二次函数单调性问题一定要结合图象，考虑图象开口方向，体现数形结合和分类讨论的思想． 6.答案：D解析：解：∵0=log 51<log 52<log 55=1，log 0.50.2>log 0.50.5=1，0<ln2<1，ln(ln2)<0， ∴c <a <b ． 故选：D ．可以得出0<log 52<1，log 0.50.2>1，ln(ln2)<0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数的运算，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假 ∴p ，q 中一个真命题一个假命题，由p ：函数f(x)=x 2+mx +1有两个零点， 得△=m 2−4>0，解得m >2或m <−2． 由q ：∀x ∈R ，4x 2+4(m −2)x +1>0 得△=16(m −2)2−16<0， 解得1<m <3， 当p 真q 假时，有{m >2或m <−2m ≥3或m ≤1即m ≥3或m <−2 当p 假q 真，有{−2≤m ≤21<m <3即1<m ≤2∴实数m 的取值范围为(−∞,−2)∪(1,2]∪[3,+∞)． 故选：B ．由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p ，q 有一个真命题一个假命题，由p 得△=m 2−4>0，解得m >2或m <−2.由q ，得△=16(m −2)2−16<0，解得1<m <3，分两种情况求出实数m 的取值范围． 本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用． 8.答案：B解析：解：∵x 2−4ax −5a 2>0 ∴(x +a)(x −5a)>0，等价于{x +a >0x −5a >0或{x +a <0x −5a <0又∵a <0∴x <5a 或x >−a 故选：B ．写出等价不等式组，根据a <0，解不等式组即可本题考查一元二次不等式的解法，注意等价关系．属简单题 9.答案：[−3,2]解析：解：不等式−x 2−x +6≥0可化为x 2+x −6≤0， 即(x +3)(x −2)≤0，解得−3≤x ≤2， 所以不等式的解集为[−3,2]． 故答案为：[−3,2]．把不等式化为一般形式，再求解即可．本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 10.答案：(−∞,0]解析：解：画出函数函数y =−x 2的草图；如图所示； 易知，函数y =−x 2的单调递增区间为(−∞,0]， 故答案为(−∞,0]画出函数y =−x 2的图象，由图象容易得到解答． 本题考查了一元二次函数的图象和性质． 11.答案：{x|−1≤x ≤3}解析：解：函数f(x)={1x,x >03x,x ≤0，则不等式f(x)≥13，即{x >01x ≥13①，或 {x ≤03x ≥13②，解①求得0<x ≤3；解②求得−1≤x ≤0，故原不等式的解集为{x|−1≤x ≤3}， 故答案为：{x|−1≤x ≤3}．由题意原不等式即{x >01x ≥13①，或 {x ≤03x ≥13②，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，指数不等式、分式不等式的应用，属于基础题．12.答案：14解析：解：∵函数g(x)=(m +1)x 2在区间[0,+∞)上是增函数，∴m +1>0，解得m >−1．①当a >1时，函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上单调递增，由已知可得{log a 2=1log a 14=m，解得{a =2m =−2，与m >−1矛盾，故应舍去；②当0<a <1时，函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上单调递减，由已知可得{log a 14=1log a 2=m，解得{a =14m =−12，满足m >−1，故a =14．故答案为14．利用二次函数的单调性、对数函数的单调性、分类讨论即可得出．熟练掌握二次函数的单调性、对数函数的单调性、分类讨论的方法是解题的关键． 13.答案：−1<a ≤0解析：解：a =0时，不等式ax 2+2ax −1<0化为−1<0，解集为R ； a ≠0时，不等式ax 2+2ax −1<0解集为R 时， 应满足{a <0△=4a 2−4a ×(−1)<0，解得−1<a <0；所以实数a 的取值范围是−1<a ≤0． 故答案为：−1<a ≤0．讨论a =0和a ≠0时，求出不等式ax 2+2ax −1<0解集为R 时a 的取值范围． 本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 14.答案：x >3或x <−1解析：解：若不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立 则m(x −1)+x 2−4x +3>0在0≤m ≤4时恒成立．令f(m)=m(x −1)+x 2−4x +3．则{f(0)>0f(4)>0⇒{x 2−4x +3>0x 2−1>0⇒{x <1或x >3x <−1或x >1.∴x <−1或x >3．故答案为：x >3或x <−1由对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立，可变形为m(x −1)+x 2−4x +3>0在0≤m ≤4时恒成立．由于该函数为关于m 的一次函数估可转化为{f(0)>0f(4)>0,即{x 2−4x +3>0x 2−1>0，解不等式组，即可得到结论．解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解．15.答案：[−1,103]解析：解：不等式3x 2−7x ≤10可化为3x 2−7x −10≤0， 即(x +1)(3x −10)≤0，解得−1≤x ≤103；所以不等式的解集为[−1,103]. 故答案为：[−1,103].不等式化为3x 2−7x −10≤0，求出不等式的解集即可． 本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 16.答案：(−3,2)解析：解：∵函数y =√6−x −x 2， ∴6−x −x 2≥0， 即x 2+x −6≤0； ∴(x +3)(x −2)≤0， 解得−3≤x ≤2，∴函数y 的定义域是(−3,2)． 故答案为：(−3,2)．根据函数的解析式，二次根式的被开方数大于或等于0，列出不等式，求出解集即可．本题考查了求函数定义域的问题，解题时应化为求一元二次不等式的解集的问题，是基础题．17.答案：解；不等式x 2+2x−3−x 2+x+6<0可化为x 2+2x−3x 2−x−6>0，即(x+3)(x−1)(x+2)(x−3)>0，各因式对应的一次方程的实数根为−3，−2，1和3，如图，由图可知，该不等式的解集为(−∞,−3)∪(−2,1)∪(3,+∞)．解析：把不等式化为几个一次因式的积(或商)的形式，求出各因式对应方程的实数根，然后利用数轴标根法求出不等式的解集．本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．18.答案：解：(1)由x>−1可得x+1>0，故x2+6x+9x+1≥9可得，x2+6x+9≥9x+9，解可得，−1<x≤0或x≥3，故原不等式的解集(−1,0]∪[3,+∞)，(2)由x>−1可得x+1>0，由基本不等式可得，f(x)=x2+6x+9x+1=(x+3)2x+1=[(x+1)+2]2x+1=x+1+4x+1+4，≥2√(x+1)⋅4x+1+4=8，当且仅当x+1=4x+1集集x=1时取等号，因此函数f(x)取得最小值8．解析：(1)由已知把分式不等式可转化为二次不等式，即可进行求解；(2)由f(x)=x2+6x+9x+1=(x+3)2x+1=[(x+1)+2]2x+1=x+1+4x+1+4然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了不等式的求解及利用基本不等式求解最值，属于基础试题．19.答案：解：(1)证明：由题意可得f(2)≥2，且f(2)≤18(2+2)2=2，即有f(2)=2；(2)由f(−2)=0，可得4a−2b+c=0，f(2)=2，即为4a+2b+c=2，两式相减可得，b=12，4a+c=1即c=1−4a，f(x)=ax2+12x+1−4a，对任意实数x，都有f(x)≥x，即为ax2−12x+1−4a≥0恒成立，即有a>0，△=14−4a(1−4a)≤0，即有(8a−1)2≤0，即有a=18，c=12，则f(x)=18x2+12x+12；(3)g(x)=f(x)−mx2=18(x+2)2−mx2，当x=0时，g(0)=12>14成立；当x>0时，18(x+2)2−mx2>14，即有4m<x2+4x+2x =x+2x+4，由x +2x ≥2√x ⋅2x =2√2，当且仅当x =√2时，取得最小值．即有4m <2√2+4， 解得m <1+√22．综上可得，m 的范围是(−∞,1+√22).解析：(1)令x =2，求得f(2)≥2，且f(2)≤2，即可得证；(2)由f(−2)=0，f(2)=2，求得b =12，4a +c =1即c =1−4a ，再由二次不等式恒成立的条件为a >0，判别式非正，即可得到a ，c ，进而得到解析式； (3)g(x)=f(x)−mx 2=18(x +2)2−mx 2，讨论x =0，x >0，不等式恒成立，注意运用参数分离和基本不等式求得最小值，即可得到m 的范围．本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用二次不等式恒成立的条件，同时考查不等式恒成立的解法，注意运用参数分离和基本不等式，属于中档题．20.答案：解：(1)由不等式ax 2−3x +6>4的解集为{x|x <1或x >b}知， 1和b 是方程ax 2−3x +6=4的两个实数根，且a >0，b >1， 又方程可化为ax 2−3x +2=0，所以由根与系的关系得{1+b =3a1×b =2a ，解得a =1，b =2；(2)由(1)，知a =1且b =2，则不等式(x −m)(ax −b)<0可化为(x −m)(x −2)<0； ①当m >2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为{x|2<x <m}； ②当m <2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为{x|m <x <2}； ③当m =2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为⌀．解析：(1)由不等式ax 2−3x +6>4的解集得出对应方程的根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值； (2)将a =1且b =2代入不等式(x −m)(ax −b)<0中，可得(x −m)(x −2)<0，然后讨论m 的取值，求出对应不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了运算与转化能力，是基础题．。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2<b 2，故B 错误；C ，若a >b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C2、若a,b,c ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ） A ．若√a >√b ，则a >b B ．若a >b ，则ac >bc C ．若b >a >0，则1a >1b D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案. 解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a>1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确. 故选：B.3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9， 当且仅当3x −5=2时，等号成立， 故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ） A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8) 答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8 故选：B5、已知a,b >0，a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4 答案：B分析：由题可得4a +1b =1，根据a +b =(a +b )(4a +1b )展开利用基本不等式可求.∵a,b >0，a +4b =ab ，∴4a +1b =1， ∴a +b =(a +b )(4a +1b )=4b a +a b +5≥2√4b a ⋅ab +5=9，当且仅当4ba =ab 时等号成立，故a +b 的最小值为9. 故选：B.23,21<<-<<-a b6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9x y+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（ ） A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4 答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案. ∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根， ∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0， 解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β， ∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去). 故选：A.8、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2 答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C. 多选题9、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ） A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0 C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A 是一元一次不等式，故错误；选项B ，D ，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a =0时，选项C 是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD.10、已知a >0，b >0，且a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ≥1B ．a +b ≤2 C ．lga +lgb ≤0D ．1a +1b ≤2 答案：BC分析：对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 解：对于A ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则ab =√22×√62=√32<1，所以A 错误，对于B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =2+2ab ≤2+a 2+b 2=4，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =1时取等号，所以B 正确，对于C ，因为lga +lgb =lgab ≤lg a 2+b 22=lg1=0，当且仅当a =b =1时取等号，所以C 正确，对于D ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则1a +1b =√2+√63≈1.414+0.8165>2，所以D 错误，故选：BC11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2 答案：ABD分析：根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12， 当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD小提示：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、下列选项中正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立B ．存在实数a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b 为正实数，则ba +ab ≥2D ．若正实数x ，y 满足，则2x +1y ≥821x y +=答案：BCD分析：根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 解：对于A选项，当a<0,b<0时不成立，故错误；对于B选项，当a<0时，a+1a =−[(−a)+(−1a)]≤2，当且仅当a=−1等号成立，故正确；对于C选项，若a，b为正实数，则ba >0,ab>0，所以ba+ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，故正确.故选：BCD13、已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+a，若对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是（）A．(−∞,0]B．[0,3]C．[−1,2]D．[3,+∞)答案：AD解析：对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，分析即f(x)在区间[−1,2]上单调，利用二次函数的单调区间判断.二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+a图象的对称轴为直线x=a−1，∵任意x1,x2∈[−1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[−1,2]上是单调函数，∴a−1≤−1或a−1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(−∞,0]∪[3,+∞).故选：AD小提示：（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．填空题14、已知三个不等式：①ab>0，②ca >db，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题． 答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ；{ca>d bbc >ad⇒{bc−adab>0bc >ad⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.15、命题p:∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x ∈R ，要使得x 2+ax +a ≥0，则Δ=a 2−4a ≤0，解得0≤a ≤4. 若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为[0,4]. 所以答案是：[0,4]. 16、a >b >c ，n ∈N ∗，且1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，则n 的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a −c =a −b +b −c ，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值． 解：由于1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，且a >c即恒成立 只要的最小值即可∵a −c a −b +a −c b −c =a −b +b −c a −b +a −b +b −cb −c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >ca c a cn a b b c --≤+--a c a cn a b b c --≤+--∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4． 解答题17、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值． 答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可， （2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9， 当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ． （1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34. 解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；1cos 2A（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； （1）∵2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ΔABC 的周长为：5+8+7=20； （3）∵bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴2b ⋅√32⋅b a+2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.1cos 2A =b c =。
高三数学一次函数与二次函数试题
高三数学一次函数与二次函数试题1.函数f(x)＝ax2＋ax－1在R上恒满足f(x)<0，则a的取值范围是()A．a≤0B．a<－4C．－4<a<0D．－4<a≤0【答案】D【解析】当a＝0时，f(x)＝－1在R上恒有f(x)<0；当a≠0时，∵f(x)在R上恒有f(x)<0，∴，∴－4<a<0.综上可知：－4<a≤0.2.函数f(x)=-对任意实数有成立，若当时恒成立，则的取值范围是_________.【答案】【解析】这题涉及到函数的一个性质：函数满足，则其图象关于直线对称，因此本题函数图象关于直线对称，而它又是二次函数，因此可得，从而在区间上单调递增，那么由题设条件得，解得或．【考点】函数图象的对称性，二次函数的单调性．3.已知函数，h（x）=2alnx，.（1）当a∈R时，讨论函数的单调性；（2）是否存在实数a，对任意的，且，都有恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）不存在.【解析】(1)讨论函数的单调性，在定义域内研究其导函数的符号即可.先求导函数，因为定义域为，故只需讨论分子符号，可结合二次函数的图象判断，此时①需讨论交点的大小，②注意根与定义域比较，所以需和-2和0比较大小；（2）由对称性，不妨设，去分母得，构造函数，则其在定义域内单调递减，故在恒成立，而，分子二次函数开口向上，不可能永远小于0，故不存在.试题解析：(1)，∴, 的定义域为.①当时，在上是减函数，在在上是增函数；②当时，在上是增函数；在是是减函数；在上是增函数；③当时，在上是增函数；④当时，在上是增函数；在上是减函数；在上是增函数.（2）假设存在实数，对任意的，且，都有恒成立，不妨设，要使，即.令，只要在为减函数.又，由题意在上恒成立，得不存在.【考点】1、导数在单调性上的应用；2、二次函数的图象；3、函数思想的应用.4.已知二次函数的值域为，则的最小值为 .【答案】3【解析】由题意得：.【考点】二次函数及重要不等式.5.已知一元二次不等式的解集为{，则的解集为 .【答案】{|<－1，或>1}【解析】由不等式的解集为{.所以的解集为.所以要符合或.解得x<-1或x>1.及不等式的解集为{| <－1，或>1}.故填{|<－1，或>1}.本小题以二次函数为背景考查了含指数函数的不等式.【考点】1.二次函数的解法.2.指数函数的解法.6.已知实数a,b,c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值范围是．【答案】[1,5]【解析】依题意，，代入得；整理得在实数范围内有解，即，解得 .【考点】1.构造一元二次方程；2.一元二次方程根的分布.7.已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，当时取最小值2，又.作出其图象如图所示：结合图形可知：的取值范围是.【考点】二次函数的最值.8.（本小题12分）已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设，(1）求、的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）先求出函数g(x)的对称轴x=1，则，解之即可.（2）首先求出的解析式，则，再由二次函数的性质求出即可解得k的取值范围.试题解析：（1），因为，对称轴为，所以在区间上是先减后增，故，解得．（2）由（1）可得，所以在上有解，可化为在上有解。
高一数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高一数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．⑴若方程有两个相等实数根，求的解析式．⑵若的最大值为正数，求实数的取值范围．【答案】（1）,（2）．【解析】（1）求二次函数解析式，一般用待定系数法，如何设二次函数解析式是解题关键.本题设零点式比较到位. ∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且∴,由方程得，∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而,（2）由∴解得或.解：⑴∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且 2分∴由方程得， 4分∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而 6分⑵由∴ 8分∴解得或 11分∴实数的取值范围是． 12分【考点】二次函数解析式2.已知，是R上的增函数，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题题意：有解得故选A.【考点】1.分段函数的单调性；2.对数函数、一次函数的单调性.3.若函数在上单调递减，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】（1）当时，函数变为，由一次函数的性质知，在R上是减函数，符合题意；（2）当时，，对称轴为，根据在上单调递减，可判断出函数开口向上，解得：；综上：，故选：C.【考点】二次函数的图像与性质4.已知二次函数的图像顶点为，且图像在轴截得的线段长为6.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若在区间上单调，求的范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
【解析】（Ⅰ）由题意可设函数的顶点式为，结合图像在轴截得的线段长为6可知，点即为函数图像与轴的交点，将点代入可求得的解析式；（Ⅱ）函数在上单调，可能有递增和单调递减两种情况，若在上单调增，则左端点；若在上单调减，则右端点.试题解析：（Ⅰ）由题意，过点，5分7分（Ⅱ）①在区间上单调增，则 10分②在区间上单调减，则，即 13分综上：时，在区间上是单调的. 14分【考点】二次函数的表达式，二次函数的图像及其单调性.5.把长为10cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，求这两个正方形面积之和的最小值。
一元二次函数的图像和性质及练习题目
一元二次函数的图象和性质一、【课程要求】1．掌握二次函数的图像和性质，结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．通过三个“二次”掌握函数、方程、不等式之间的关系二、【重点难点】①二次函数的图象和性质，②一元二次方程根的存在性及根的个数，函数最值问题。
三、【命题规律】从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
本节在高考中，重点考察数形结合与等价转化数学思想，通过三个“二次”之间的相互转化，考查函数的方程思想，对于二次函数的区间最值，尤其是含有参数的区间最值问题，要求选择合理的标准分类讨论，。
四、【知识回顾】(一) 二次函数基本知识1.二次函数的定义：形如2(0,,)y ax bx c a a b c =++≠且为常数的函数叫关于x 的二次函数。
2.二次函数的解析式的三种形式（1）一般式（三点式）：2(0)y ax bx c a =++≠，配方后为 。
其中顶点坐标为 ，对称轴为 。
（2）顶点式（配方式）：20()()y a x h k a ≠=-+，其中顶点坐标为 ，对称轴为 。
（3）两根式（零点式）：120()()()y a x x x x a ≠=--，其中12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，同时也是二次函数的图像与x 轴交点()()12,00x x ，，的横坐标。
求函数解析式时，一般采用 待定系数法3.二次函数的图像和性质（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像是一条 ，其对称轴为 ，顶点坐标为 ，开口方向由 决定。
（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的单调性以对称轴为分界。
当0a >时，函数图像开口向 ，当x ∈ 时，()f x 单调递增，当x ∈ 时，()f x 单调递减，当x = 时，()f x 有最小值。
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x x x x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题
(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、已知a >0，b >0且ab ＝1，不等式12a +12b +ma+b ≥4恒成立，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥2B ．m ≥4C ．m ≥6D ．m ≥8 答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a +b 的范围，化简不等式可得m ≥4(a +b )−(a+b )22，利用二次函数性质求4(a +b )−(a+b )22的最大值，由此可求m 的取值范围. 不等式12a+12b+m a+b≥4可化为a+b 2ab+m a+b≥4，又a >0，b >0，ab ＝1，所以m ≥4(a +b )−(a+b )22，令a +b =t ，则m ≥4t −t 22，因为a >0，b >0，ab ＝1，所以t =a +b ≥2√ab =2，当且仅当a =b =1时等号成立， 又已知m ≥4t −t 22在[2,+∞)上恒成立，所以m ≥(4t −t 22)max因为4t −t 22=12(8t −t 2)=−12(t −4)2+8≤8，当且仅当t =4时等号成立，所以m ≥8，当且仅当a =2−√3，b =2+√3或a =2−√3，b =2+√3时等号成立， 所以m 的取值范围是[8,+∞)， 故选：D.2、若对任意x >0,a ≥2xx 2+x+1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−1,+∞)B ．[3,+∞)C ．[23,+∞)D ．(−∞,1]答案：C分析：依题意a ≥(2xx 2+x+1)max，利用基本不等式求出2xx 2+x+1的最大值，即可得解；解：因为x >0，所以2x x 2+x+1=2x+1x+1≤2√x⋅1x+1=23，当且仅当x =1x即x =1时取等号，因为a ≥2x x 2+x+1恒成立，所以a ≥23，即a ∈[23,+∞)；故选：C3、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x (x ≥1)，所以x +4x ≥2√x ×4x =4，当且仅当x =4x 即x =2时等号成立. 所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4.故选：C.4、若不等式组{x −1>a 2x −4<2a的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−1,3)B ．(−∞,−1)∪(3,+∞) C ．(−3,1)D ．(−∞,−3)∪(1,+∞) 答案：A分析：分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解．由题意{x >a 2+1x <2a +4，∴a 2+1<2a +4，即a 2−2a −3<0，解得−1<a <3．故选：A ．小提示：本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题． 5、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A．7B．4√3C．9D．2√3答案：C分析：利用基本不等式即可求解.解：∵x>53，∴3x−5>0，则3x+43x−5=(3x−5)+43x−5+5≥2√(3x−5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x−5=2时，等号成立，故3x+43x−5的最小值为9，故选：C．6、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，则下列说法正确的是（）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+ bx+c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B7、设m，n为正数，且m+n=2，则4m+1+1n+1的最小值为（）A ．134B ．94C ．74D ．95答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1 =(4m+1+1n+1)(m+14+n+14) =n+1m+1+m+14(n+1)+54≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54 =94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即 m =53，n =13时等号成立. 故选：B .8、某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a 匀速跑，后半程以速度b 匀速跑；选手乙前一半时间以速度a 匀速跑，后一半时间以速度b 匀速跑（注：速度单位m s ⁄），若a ≠b ，则（ ） A ．甲先到达终点B ．乙先到达终点C ．甲乙同时到达终点D ．无法确定谁先到达终点 答案：B解析：设马拉松全程为x ，得到甲用的时间为12(x a +x b )，乙用的时间为x a+b 2=2xa+b ，做差比较大小可得答案.设马拉松全程为x ，所以甲用的时间为12(x a +x b )，乙用的时间为x a+b 2=2xa+b ，因为a ≠b ， 所以12(xa +xb )−2xa+b =bx (a+b )+ax (a+b )−4abx2ab (a+b )=(a−b )2xab (a+b )>0，所以12(xa +xb )>2xa+b ，则乙先到达终点. 故选：B.小提示：比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小； （3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.9、若正数x ，y 满足3x +1y =5，则3x +4y 的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．25答案：C分析：由3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果. ∵3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(13+3x y+12y x)≥15(13+2√3x y ⋅12y x)=5（当且仅当3x y =12y x，即x =2y =1时取等号）， ∴3x +4y 的最小值为5. 故选：C.10、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0 或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{b a =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可.解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a，即{ba=−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+c a −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3． 故选：A11、不等式x (2x +7)≥−3的解集为（ ） A ．(−∞,−3]∪[−12,+∞)B ．[−3,−12]C ．(−∞,−2]∪[−13,+∞)D ．[−2,−13]答案：A分析：解一元二次不等式即可.x (2x +7)≥−3可变形为2x 2+7x +3≥0， 令2x 2+7x +3=0，得x 1=−3，x 2=−12，所以x ≤−3或x ≥−12，即不等式的解集为(−∞,−3]∪[−12,+∞). 故选：A.12、关于x 的方程x 2+(m −2)x +2m −1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12,32]B ．(12,23]C ．[12,2)D ．(12,23]∪{6−2√7} 答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x 2+(m -2)x +2m -1=0对应的二次函数设为：f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1 因为方程x 2+(m -2)x +2m -1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足： ①f (0)⋅f (1)<0，(2m -1)(3m -2)<0，解得：12<m <23；②函数f (x )刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)， 把点(0,0)代入f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1，解得：m =12，此时方程为x 2-32x =0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去 把点(1,0)代入f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1，解得：m =23，此时方程为3x 2-4x +1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，Δ=(m -2)2-8m +4=0，解得m =6±2√7， 经检验，当m =6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内; 综上：实数m 的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D 填空题13、若正数a 、b 满足a +b =1，则13a+2+13b+2的最小值为________.答案：47分析：由a +b =1可得(3a +2)+(3b +2)=7，将代数式(3a+2)+(3b+2)7与13a+2+13b+2相乘，展开后利用基本不等式可求得13a+2+13b+2的最小值.已知正数a 、b 满足a +b =1，则(3a +2)+(3b +2)=7，所以，13a+2+13b+2=(3a+2)+(3b+2)7⋅(13a+2+13b+2) =17(3b+23a+2+3a+23b+2+2)≥17(2√3b+23a+2⋅3a+23b+2+2)=47， 当且仅当a =b =12时，等号成立.因此，13a+2+13b+2的最小值为47. 所以答案是：47.小提示：本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查了1的妙用，考查计算能力，属于基础题. 14、已知正数a,b 满足a +3b +3a +4b =18，则a +3b 的最大值是___________. 答案：9+3√6分析：设t =a +3b ，表达出t (18−t )，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可. 设t =a +3b ，则3a +4b =18−t ， 所以t (18−t )=(a +3b )(3a +4b )=15+9b a+4a b≥15+2√9b a ⋅4a b=27，当且仅当2a =3b 时取等号.所以t 2−18t +27⩽0，解得9−3√6⩽t ⩽9+3√6，即a +3b 的最大值9+3√6，当且仅当2a =3b ，即a =3+√6，b =2+2√63时取等号. 所以答案是：9+3√615、已知正数x,y 满足x 2+4y 2+2xy =1，则xyx+2y 的最大值为____. 答案：√312分析：先根据条件x 2+4y 2+2xy =1结合基本不等式求解出0<x +2y ≤2√33，然后利用基本不等式可求xyx+2y的最大值.因为x 2+4y 2+2xy =1，所以(x +2y )2−2xy =1，即(x +2y )2−1=2xy ；因为2xy ≤(x+2y 2)2，所以(x +2y )2−1≤(x+2y 2)2，当且仅当x =2y 时，等号成立，解得0<x +2y ≤2√33； 所以xyx+2y=2xy 2(x+2y)≤x+2y 8≤√312，当且仅当x =2y 时，即x =√33,y =√36时， xy x+2y取到最大值.所以答案是：√312. 16、函数f(x)=4x 2+1x(x >0)取得最小值时x 的取值为__________．答案：12分析：将函数化为f (x )=4x +1x ，根据“一正，二定，三相等”的原则即可得到答案.x >0,f (x )=4x +1x≥2√4x ⋅1x=4，当且仅当4x =1x⇒x =12时取“=”.所以答案是：12.17、用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m ． 答案：32##1.5分析：首先设框架的宽为x ，再表示框架的面积，利用基本不等式求最值，即可求框架的宽. 设框架的宽为x ，则其高为6−2x ，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S 最大，S =x (6−2x )=2x (3−x )≤2×[x+(3−x )2]2=92，当且仅当x =3−x ，即x =32时等号成立，故框架的宽为32m ．所以答案是：32解答题18、已知1≤a +b ≤4，-1≤a -b ≤2，求4a -2b 的取值范围. 答案：[−2,10]分析：令4a -2b =x (a +b )+y (a -b )，利用待定系数法求得x ，y ，再利用不等式的基本性质求解. 令4a -2b =x (a +b )+y (a -b )， 所以4a -2b =(x +y )a +(x -y )b .所以{x +y =4，x -y =−2，解得{x =1，y =3.因为1≤a +b ≤4，-1≤a -b ≤2， 所以-3≤3(a −b )≤6 所以-2≤4a -2b ≤10.19、已知命题p ：∀x ∈R,x 2+2mx +3>0，命题q ：∃x ∈R,x 2−2mx +m +2<0. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；（3）若命题p 、q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围.答案：（1）−√3<m <√3；（2）m <−1或m >2；（3）m <√3或m >2. 解析：（1）p 为真命题，可得判别式Δ<0； （2）q 为真命题，可得判别式Δ>0；（3）m的范围为（1）和（2）中m的并集.（1）若命题p：∀x∈R,x2+2mx+3>0为真命题，则Δ=(2m)2−12<0，解得−√3<m<√3.（2）若命题q：∃x∈R,x2−2mx+m+2<0为真命题，则Δ=4m2−4(m+2)>0，解得m<−1或m>2.（3）若命题p、q至少有一个为真命题，则−√3<m<√3，或m<−1，或m>2，∴m<√3或m>2.20、已知不等式ax2−3x+b>4的解集为(−∞,1)∪(2,+∞)(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2−(ac+2)x+2c<0.答案：(1)a=1，b=6(2)答案见解析分析：（1）依题意可得x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得原不等式可化为(x−c)(x−2)<0，再对参数c分类讨论，即可得解；（1）解：因为不等式ax2−3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}，所以x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，根据韦达定理{3a=1+2b−4 a =1×2，解得a=1，b=6（2）解：由（1）可知不等式化为x2−(c+2)x+2c<0，即(x−c)(x−2)<0当c>2时，不等式的解集为{x|2<x<c}，当c=2时，不等式的解集为∅，当c<2时，不等式的解集为{x|c<x<2}。
本题考点研究函数的单调性与导数一元二次不等式及其解法
已知函数()()ln f x a x x a x
=++-（1a >），则()f x 在区间(0,1)上的单调性是（ ） A ．在()10，
上单调递增 B ．在()10，
上单调递减 C ．在1(0,
)a 上单调递减，在1(,1)a 上单调递增 D ．在1(0,)a 上单调递增，在1(,1)a
上单调递减 解题分析：
思路分析：
想要确定函数()f x 在区间(0,1)上的单调性，可首先求出导函数()x f '，然后通过解不等式求出函数()f x 的单调区间，最后与区间(0,1)取交集，得到()f x 在区间(0,1)上的单调性． 解答过程：
解：由题意知，0x >，2222111()1()()1()1a x a x x a x a a a f x x x x x +
-++--'=
--=-=-． 令()0f x '=，得11x a =
，2x a =， 因为1a >，所以101a <
<，且1a a >． 所以在区间1(0,)a 上，()0f x '<；在区间1(,1)a 上，()0f x '>． 故()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,1)a
上单调递增，应选C ． 答案：C
拓展提升：
本题主要考查函数的单调性与导数之间的关系，解题的难点在于函数解析式中含有参数a ，要注意首先根据条件判定1a a
与的大小，才能正确求出函数的单调区间．当一个函数单调增区间或减区间有多个时，在书写是不可用“或”连接，而应用“和”连接，或者用逗号“，”隔开．。
一次函数及二次函数
一次函数及二次函数绝密★启用前2021-2021学年度一次，二次函数考卷基本初等函数（1）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第i卷（选择题）请点击修改第i卷的文字说明一、选择题1．如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减少的，那么实数a的取值范围是（）a．a≤-3b．a≥-3c．a≤5d．a≥52．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（）a.f(2)上的减至函数，则存有abd4．已知函数f(x)在r上可导，且f(x)=x2f'(2)-3x，则f(-1)与f(1)的大小关系就是()a．f(-1)=f(1)b．f(-1)>f(1)c．f(-1)ab．2c．3d．2mx-mx-1，不等式则实数m的值域范围就是（）a．(-4,0)b．(-4,0]c．[-4,0]d．[-4,0)8．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈r)，满足用户：对任一实数x，都存有f(x)≥x，且当x∈(1,3)a．1bf(-2)=0，则b为（）2d．09．未知定义在r上的函数f(x)满足用户f(2)=1，且f(x)的导函数f'(x)>x-1,则左右）10．若f(x)=x2-2x-4lnx，则f'(x)>0的解集为()a.(0,+∞)b.（-1，0）⋃（，2+∞）c.(2,+∞)d.(-1,0)11．已知函数f(x)=x2+bx+c,且f(-3)=f(1).则（）a.f(1)c>f(-1)c.f(1)f(-1)>c12．若方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰存有一求解，则a的值域范围就是a.a1c.-1第ii卷（非选择题）二、填空题lg(x2-2x+3)13．设a>0,a≠1，函数f(x)=a2有最大值，则不等式loga(x-5x+7)>0的解集为14．一次函数f(x)就是减至函数，且满足用户f[f(x)]＝4x－1，则f(x)＝__________.2215．关于x的方程x+mx+m-3=0的两个实根中，一个比1小，另一个比1大，则实数m的取值范围是_______________.16．未知函数f(x)=ax2-2x+3在区间(1,2)上就是减至函数，则a的值域范围就是．173，则a=_____18y=3-sinx-2cos2x的最小值就是_______，最大值就是________。