时间序列(中级计量经济学总结(四川大学,杨可扬)

OLS 的无偏性
TS.6 ut : N (0,s 2 ) 且独立同分布
BLUE
t test & F test
TS.2 零条件均值即，
这是一个非常强的条件。
它意味着自变量严格的外生性，即扰动项同自变量的所有期的值都不相关。当自
变量中包括因变量的滞后值的时候这一假设很容易被破坏。
TS.1’系数线性性、弱相依、平稳性 TS.2’ 零条件均值 TS.3’ 无完全的共线性 TS.4’ 同方差 TS.5’ 无自相关
择。EVIEWS 的默认值都是整个样本。我们在习题中犯了好几处这样的错误。
六、VAR & Granger causality
(18.50)
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如果 zt-1, zt-2...... 是联合显著的,则认为 z Grangers causes y。
对于 Granger causality 需要注意两点： （1） 它不能代表 y 与 z 之间的当期关系。
l 预测区间。这与构建置信区间十分相似。EVIEWS 会自动计算预测的标
准误。常见的预测区间如： fˆn ±1.96 * se(eˆn+1) ，其中 eˆn+1 = yn+1 - fˆn
l 预测的评价：我们常用所谓的“out­of­sample criteria”.wooldridge 介绍 了两种：
Zt = XT ~ I(d­b)
其中，b>0， X=(X1t ,X2t ,....,Xkt )T ，则认为序列 (X1t ,X2t ,....,Xkt ) 是(d,b)阶协整，
记为 Xt~CI(d,b)，a 为协整向量（cointegrated vector）。（d,d）阶协整是一类非 常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波 动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的 比例关系。Wooldridge 所举的六月期债券利息和三月期债权利息的例子十分恰 当：由于套利的存在两者差距不可能无限扩大，两者之间必存在长期的均衡关系。
行。例如 wooldridge 例 10.4 中，我们进行一个 c(2)+c(3)+c(4)=0 检验 便可得到 LRP 的标准误。 l 转换指数的基期：
l 对数的差分来表示增长率。 对于
因此，
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那么 b1 大约就是 yt 平均每期的增长率。 l 本章习题当中尤其要注意“百分点”的概念。例如，wooldridge 习题10.13
和 QLB 。如果 QLB 指示显著则需要重新估计模型。
（4） 预测 在 EVIEWS 当中专门设置有预测的功能。
l 静态预测和动态预测。静态预测使用滞后因变量的真实值来预测，也就 是 WOOLDRIDGE 书中所说的 mutiple­step­ahead forecasting。动态预 测使用滞后因变量的前一个时期的预测值对预测区间（样本范围的第一 期除外）的各期来进行预测，也就是 wooldridge 所谓的 one­step­ahead forecasting。如果没有特殊理由，我们使用静态预测。
者直觉来决定。如果我们不要
那么，这就成了 DF 检验。 DY 的
滞后期数，我们可以通过一般的 F 检验或者 t 检验来判断。
三， 协整
(1)积整与谬误回归 如果一个时间序列经过 d 次差分后变成平稳序列，则称原序列是 d 阶单整 （integrated of d）序列，记为 I(d)。 (2)协整 如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是 d 阶单整，存在向量 a=(a1,a2,…,ak)，使得
中， gˆc = 0.0081+ 0.5708gy 表示“This equation implies that if income
growth increases by one percentage point, consumption growth increases by .571 percentage points.”本章的习题当中还有所谓“事件研 究”的习题，如10.11 & 10.17。通常的方法就是把某一时间发生后时间用 一个虚拟变量为1，之前则为0。 （2） Wooldridge 第11章 该章还讲了许多宏观计量经济学的模型，包括：预期假说模型、有效市场模型、 phillips curve、存货投资加速模型、恒长收入假说。
来估计，对于 回归所得的残差是
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否是平稳的。但是需要注意的是这里的判决值又与一般 ADF 检验的判决值不同 了。
四， 误差修正模型
该模型的前提是 yt 和 xt 协整。如果我们首先估计出协整系数再将其代入的话，这 就被称为 Engle­Granger two­step procedure. 误差修正模型通常代表短期情 形，并可以用来预测。
在该区间之外则自相关系数显著不为零。
l
，这个统计量又被称为 QLB 统计量，
用来检验 r1, r2....rk 是否同时为零。EVIEWS 当中计算了该检验的 P 值。
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（4）平稳性的检验——单位根检验
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这就是 ADF 检验的最为完整的形式。我们可以选择不要截距或者时间趋势。注 意：选择是否要截距和时间趋势不能够依据 t 检验的显著性，其联合显著性需要 专门查表。Wooldridge 认为我们一般应该包括截距，而时间趋势应该借助图或
前三期滞后项都存在双向的因果关系。4－5 期滞后策只有投资是销售的 Granger cause.六期以上则没有一个变量是另一个变量的 Granger cause。 至于 VAR 模型，其实它的使用是需要很多前提条件的，如平稳性。但两本书在 这个问题上都讲得不深，这里干脆略去。
七、其它
其实时间序列的内容非常多，两本书在这个问题上讲得内容也很杂。Wooldridge 的第 18 章应该说是全书内容最多、最难的部分。下面就把不便纳入上文体系的 内容罗列一下。 （1） wooldridge 第 10 章。该章还讲到了：
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（主要参考 woodridge 第 10、11、18 章和 gujarati 第 21、22 章）
一， 时间序列中 OLS 的性质
（1） 在经典假设下 OLS 的小样本性质
TS.1 系数线性性 TS.2 零条件均值 TS.3 无完全的共线性 TS.4 同方差 TS.5 无自相关
å ( ) rk = t=1
n
Xt - X 2
l 样本自相关函数:
t =1
易知，随着 k 的增加，样本自
相关函数下降且趋于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得 多。对所有的 k>0，样本自相关系数近似地服从以 0 为均值，1/n 为方差的
正态分布，其中 n 为样本数。据此，EVIEWS 构造了区间 (­ 2 ,+ 2 ) ，落 nn
Root mean squared error (RMSE):
mean absolute error (MAE) ,
显然这两个指标的值越低表明预测的效果越 好。EVIEWS 当中都会自动计算。 l 差分形式和对数形 式。例如，我们 把因变 量写作 d(profit), log(profit),
d(log(profit))。EVIEWS 都会自动提示是否是对 profit 进行预测。 l 另外千万要注意估计方程时样本范围的选择，和预测时候的预测样本的选
（2） (18.50)中可以包括除 y，z 之外的其它变量，如 w，如果此时 zt-1, zt-2...... 仍
然显著，则可以说 z Granger causes y conditional on w （3） Granger test 对于滞后的期数十分敏感。例如 Gujarati 习题 17。26 当中：
OLS 的一致性
0LS 的渐近 正态性 t test & F test
Wooldridge 十分强调弱相依，认为它是使用中心极限定理的前提。但其它教材 对此似乎强调很少。我们大致可以把弱相依理解成为渐近不相关，即 corr(xt , xt+h ) ® 0, as h ® ¥ .当然这是不准确的。
至于 TS.2’零条件均值 E(ut | Xt ) = 0 ，也即只要求同期外生。
二， 平稳性及其检验
（1）（协方差）平稳： l 均值 E(Xt)=m 是与时间 t 无关的常数； l 方差 Var(Xt)= s 2 是与时间 t 无关的常数； l 协方差 Cov(Xt,Xt+h)只与时期间隔 h 有关，与时间 t 无关；
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(2)一组基本概念 l 白噪声 xt = ut , E(ut ) = 0, var(ut ) = s 2 ut 独立同分布。显然白噪声过程是平稳
的。又被称为纯随机过程。
l AR(1)
可 以 证 明 当 r1 < 1 的 时 候 ，
AR(1)是平稳的。实际上 AR(P)平稳的充分条件是 r1 + r2 + .... + rp < 1
l 当 r1 ＝ 1 的 时 候 我 们 就 得 到 了 无 漂 移 的 随 机 游 走
var(
yt
)
=
s
2 e
稳的（trend stationary）。相似地，如果求差分之后是平稳的，我们就说 原序 列是 差分平稳 的 （difference stationary ）。 我们还 可以直 接用
y = b0 + b1t 这样的模型进行预测。
l 季节性。就是通过包括虚拟变量来考虑季节因素。 l LRP 标准误的计算利用 EVIEWS 系数检验中的 wald test 可以方便地进
l 时间趋势。时间趋势不一定必须是线性的。对于例如 y = b0 + b1x + b2t ，
我们要去时间趋势，只需用上述方程的残差对 x 回归就可以了。要计算
y = b0 + b1x + b2t 的 R2 ,应该用该回归的残差对 x 和 t 回归之后得到的
R2 。如果原序列在去时间趋势之后是平稳的，我们就说该序列是趋势平
t
，
E(yt )=E(y0 ) 显然是不平稳的，但是一阶积整的。
l 有漂移的随机游走
，
，
var(
yt
)
=
s
2 e
t
l MA(q): xt = et + a1et-1 + a2et-2 + .... + aqet-q 其中 et 是个白噪声。
有限阶移动平均模型总是平稳的。
（3）平稳性的检验——图示法
å ( )( ) n-k X t - X X t+k - X
（2） 协整系数的估计
我们既可以通过
利用 OLS 来直接估计协整系数 b 。
这样估计的问题在于扰动项可能存在自相关。 解 决 的 办 法 是 leads and lags estimator, 也 就 是 通 过
此处的自相关可以通过 CO 估计来解决。 （3） 协整检验 对于最简单的情形，我们就是检验
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（2） 模型的估计 这在 EVIEWS 当中是相当简单的事情。如 GUJARATI 第 22.13 题，直接输入 d(profits) c ar(8) ma(1) ma(8)就可以了。
（3） 诊断性检验 我们就是要看 ARIMA 回归后的残差是否是白噪声。主要还是借助 ACF,PACF
五， ARIMA
（1） 模型的识别 AR(p): ACF 拖尾；PACF 在 P 以后截尾 MA(q): ACF 在 q 以后截尾；PACF 拖尾 MA 的 ACF 在 q 以后截尾其实很好理解。如 MA(1)就在滞后 1 期后截尾，因为 当间隔期数大于 1 滞后就不再相关了。
偏自相关系数其实就是上式当中的fk ，也就是排除了Yt Y -1, t Y -2.... t-k +1 的影响之后，Yt 与Yt-k 之间的相关性。注意往往模型并不唯一。