四川高考数学试卷及复习资料理科

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高考四川理科数学试题及答案解析

20XX 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【20XX 年四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（）（A ）{}1|3x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x << 【答案】A【解析】∵{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =<<，{|13}AB x x ∴=-<<，故选A ．（2）【20XX 年四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-=（）（A ）i - （B ）3i - （C ）i （D ）3i 【答案】C【解析】3222ii i i 2i i i i-=--=-+=，故选C ．（3）【20XX 年四川，理3】执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（）（A ）（B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】易得当1,2,3,4k =时时执行的是否，当5k =时就执行是的步骤，所以51sin62S π==，故选D ．（4）【20XX 年四川，理4】下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）（A ）cos(2)2y x π=+ （B ）sin(2)2y x π=+ （C ）sin 2cos2y x x =+ （D ）sin cos y x x =+【答案】A 【解析】显然对于A ，cos(2)sin 22y x x π=+=-，为关于原点对称，且最小正周期是π，符合题意，故选A ．（5）【20XX 年四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（）（A （B ）（C ）6 （D ）【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y =，且右焦点(2,0)，则直线2x =与两条渐近线的交点分别为A ，B (2,-，∴||AB =D ．（6）【20XX 年四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A ）144个（B ）120个（C ）96个（D ）72个【答案】B【解析】这里大于40000的数可以分两类：①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有133472C A =种；②当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，∴有132448C A =种，综上所述：总共有72+48=120种，故选B ．（7）【20XX 年四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =．若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6【答案】C 【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过B 建立直角坐标系，可得到()0,6A ，()3,0M ，()4,2N ，∴()3,6AM =-，()1,2NM =--，∴3129AM NM ⋅=-+=，故选C ．（8）【20XX 年四川，理8】设a ，b 都是不等于1的正数，则“331a b >>”是“log 3log 3a b <”的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知条件333a b>>可得1a b >>．当1a b >>时，33log log 0a b >>．∴3311log log a b<，即l o g 3l o g 3a b <．∴“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分条件．然而取1133a b =<<=则log 30log 3a b <<，满足log 3log 3a b <，却不满足1a b >>．∴“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的不必要条件．综上“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分不必要条件，故选B ．（9）【20XX 年四川，理9】如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【解析】()()'28f x m x n =-+-，由于()f x 单调递减得：∴()0f x '≤，∴()280m x n -+-≤在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立．设()()28g x m x n =-+-，则一次函数()g x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为非正数．∴只须在两个端点处102f ⎛⎫'≤ ⎪⎝⎭和()20f '≤即可．即()()128022280m n m n ⎧-+-≤⎪⎨⎪-+-≤⎩①②，由②得：()1122m n ≤-．∴()211121218222n n mn n n +-⎛⎫≤-≤= ⎪⎝⎭．mn 当且仅当3,6m n ==时取到最大值18．经验证，3,6m n ==满足条件①和②，故选B ．（10）【20XX 年四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=> 相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()5cos ,sin M r r θθ+，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()()1212124y y y y x x +-=-，当直线l 有两条．当直线l 的斜率存在时，可得：()()1212121222sin 4sin AB y y r y y x x k x x r θθ--=-⇒==-，又∵sin 0sin 5cos 5cos MC r k r θθθθ-==+-，∴1cos sin AB MC k k θθ=-=-， ∴2cos 22sin sin cos r r θθθθ=-⇒=-> 由于M 在抛物线的内部，∴()()()2sin 45cos 204cos 204212r r r θθθ<+=+=+⨯-=，∴sin r θ<2sin 164r r r r θ==<<⇒<，因此，24r <<，故选D ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【20XX 年四川，理11】在()521x -的展开式中，含2x 的项的系数是．【答案】-40【解析】由题意可知2x 的系数为：22352(1)40C ⨯⨯-=-．（12）【20XX 年四川，理12】°°sin15sin 75+的值是．【解析】()sin15sin 75sin15cos15154560︒+︒=︒+︒=︒+︒=︒==．（13）【20XX 年四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：°C ）满足函数关系kx b y e +=（ 2.718e =为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在°0C 的保鲜时间是192小时，在°23C 的保鲜时间是48小时，则该食品在°33C 的保鲜时间是________小时．【答案】24【解析】0+192k b e ⨯=①，2248k b e ⨯+= ②，∴221142k k e e ==⇒=②①， ∴当33x =时，33k b e x +=③，∴()3331248192k k xe e x ====⇒=③①．（14）【20XX 年四川，理14】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则c o s θ的最大值为．【答案】25【解析】以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AQ 为z 轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，则()0,0,0A ，()2,1,0F，()1,0,0E ，()0,,2M m ，∴()2,1,0AF =，()1,,2EM m =-∴cos 5AF EM AF EMθ⋅==⋅令[]()0,2)f m m =∈()f m '=，[]0,2m ∈，()0f m '∴<max 2()(0)5f m f ∴==，从而max2cos 5θ=．（15）【20XX 年四川，理15】已知函数()2x f x =，()2g x x ax =+(其中a R ∈)．对于不相等的实数1x ，2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题：(1) 对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；(2) 对于任意a 的及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； (3) 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； (4) 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-．其中的真命题有_______（写出所有真命题的序号）．【答案】(1) (4)【解析】(1)设1x ，2x ,∵函数2xy =是增函数，∴1222x x >，120x x ->，则1212()()f x f x m x x -=-=12x 1222x x x -->0，所以正确；(2)设12x x >，则120x x ->，∴()()22121122121212g x g x x ax x ax n x x a x x x x -+--===++--不妨我们设121,2,3x x a =-=-=-，则60n =-<，矛盾，所以(2)错． (3)∵m n =，由(1)(2)可得：()()()()12121212f x f xg x g x m n x x x x --===--，化简得到，()()()()1212f x f x g xg x -=-，也即()()()()1122f x g x f x g x -=-，令()()()22xh x f x g x x a x=-=--，A即对于任意的a 函数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x ，2x ．则()2'2ln 2x h x x a =--，2()2ln 2x h x x a '=--，显然当a →-∞时，()'0h x >恒成立，即()h x 单调递增，最多与x 轴有一个交点，不满足题意，所以错误．(4)同理可得()()()()1122f x g x g x f x +=+，设()()()22x h x f x g x x ax =+=++，即对于任意的a 函数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x ，2x ，从而()h x 不是恒为单调函数．()'2ln 22x h x x a =++，()()2''2ln220x h x =+>恒成立，∴()'h x 单调递增，又∵x →-∞时，()'0h -∞<，x →+∞时，()'0h +∞>．所以()h x 为先减后增的函数，满足要求，所以正确．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【20XX 年四川，理16】（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．解：（Ⅰ）当2n ≥时有，11112(2)n n n n n a S S a a a a --=-=---，则12n n a a -=(2)n ≥，12n n aa -=()2n ³，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公比的等比数列．又由题意得21322a a a +=+，1112224a a a ∴⋅+=+，∴12a =，∴2n n a =*()n N ∈（Ⅱ）由题意得112n n a =，∴111[1()]11221()12212n nn n i i T =-===--∑，则2111-=()22n nT -=（），又1091111,210242512==，即11110241000512<<111000n T ∴-<成立时，n 的最小值为10n =．（17）【20XX 年四川，理17】（本小题满分12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设事件A 表示“A 中学至少有1名学生入选代表队”，可以采用反面求解：33343366199()11100100C C P A C C =-⋅=-=（Ⅱ）由题意，知1,2,3X =，3133461(1)5C C P X C ===；2233463(2)5C C P X C ===；1333461(3)5C C P X C === 因此期望为：131()1232555E X =⋅+⋅+⋅=．（18）【20XX 年四川，理18】（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ．（Ⅰ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（Ⅱ）证明：直线//MN 平面BDH ；（Ⅲ）求二面角A EG M --的余弦值．解：（Ⅰ）如下图所示：CEE ACCAE（Ⅱ）如答图所示，连接BD ，AC 相交于点O ，连接MO∵M 、O 分别为线段BC 、BD 的中点，∴////MO CD GH 且1122MO CD GH NH ===∴四边形QMNH 为平行四边形，∴//OH MN ，又∵OH ⊂平面BDH ，∴//MN 平面BDH（Ⅲ）连接EG ，过点M 作MP AC ⊥于点P ，过点P 作PQ EG ⊥于点Q ，连接MQ ，由三垂线定理可得EG MQ ⊥，∴PQM ∠为二面角A EG M --的平面角，设正方体棱长为4a ，则4PQ BC a ==，∴2MC a =，∵45MCP ∠=︒，MP=，所以tanMP PQM PQ ∠===，所以cos PQM ∠=，所以cos cosA EG M MLK <-->=∠=（19）【20XX 年四川，理19】（本小题满分12分）如图，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角．（Ⅰ）证明：1cos tan2sin A AA-=；（Ⅱ）若180o A C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tantan tan tan 2222A B C D+++．解：（Ⅰ）证明：2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A-===⋅．（Ⅱ）∵180o A C +=，∴()()cos cos 180cos ,sin sin 180sin C A A C A A =︒-=-=︒-=，∴1cos 1cos 1cos 1cos 2tantan 22sin sin sin sin sin A C A C A A A C A A A---++=+=+=，∵180o A C +=，∴180o B D += 同理可得2tan tan 22sin B D B +=，∴11tan tan tan tan 22222sin sin A B C D A B ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭连接BD ，设BD x =，在ABD ∆和CBD ∆中分别利用余弦定理及180o A C +=可得：cos cos A C =-，即22222265342234x x +-+-=-⋅⋅，解得22477x =，从而得3cos 7A=，sin A =．同理可得，1cos 19B =， sin B =11tan tan tan tan 2()2222sin sin A B C D A B +++=+==（20）【20XX 年四川，理20】（本小题满分13分）如图，椭圆2222:1x yE a b+=，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（Ⅰ）球椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题知椭圆过点)．因此可得：22222211c e a a b a b c⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪=+⎩，解得：2a =，b c =∴椭圆E 的方程为：22142x y +=．（Ⅱ）假设存在满足题意的定点Q ．当直线l 平行于x 轴时，则1QA PAQB PB==，,A B 两点关于y 轴对称，∴Q 点在y 轴上．不妨设()0,Q a ，当直线l 垂直于x轴时，((,0,A B ，QA PA QBPB==，解得2a =或1a =（舍去，否则Q 点就是P 点），∴P 点的坐标为()0,2．下面我们证明对于一般的直线:1l y kx =+，()0,2Q 也满足题意． ∵QA PA QBPB=，∴由角平分线定理可知，y 轴为AQB ∠的角平分线．所以QA QB k k =-．设()11,A x y ，()22,B x y ，则111y kx =+，221y kx =+，联立：22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 可得，()2212420k x kx ++-=，由韦达定理可得，122412k x x k +=-+，122212x x k -=+， ∴11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x --===-，两式相加得， 121212112+2220QA QB x xk k k k k k x x x x ⎛⎫++=-=-=-= ⎪⎝⎭，即QA QB k k =-，从而，假设成立，即存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立．（21）【20XX 年四川，理21】（本题满分14分）已知函数()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >．（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在()0,1a ∈，使得()0f x ≥在区间()1,+∞内恒成立，且()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解．解：（Ⅰ）∵()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，∴求导可得，()2'2ln 222af x x x a x=---+-，即()()22ln 2220,0ag x x x a a x x==---+->>∴()()()222222'20,0x x a a g x a x x x x -+-=++=>>，对于多项式2x x a -+，（1）当140a ∆=-≤，即14a ≥时，20x x a -+≥恒成立．此时，()'0g x ≥恒成立，所以()g x 恒单调递增．（2）当104a <<时，一元二次方程20x x a -+=有两个实数根，设为12,x x ．那么求根可得：110,2x ⎛⎫=⎪⎝⎭，21,12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭①令()'0g x >，即()200x x a x -+<>，解得：10x x <<，2x x >．所以()g x 在()10,x ，()2,x +∞，时单调递增．②令()'0g x <，即()200x x a x -+<>，解得：12x x x <<，所以()g x 在()12,x x ，时单调递减．综上所述：当14a ≥时，()g x 在()0,+∞上单调递增．当104a <<时，()g x在)+∞上单调递减．（Ⅱ）∵()0,1a ∈，∴由（Ⅰ）可知()()'f x g x =在()1,+∞内单调递增．又1x +→时，()()1lim ''1222240x f x f a a a +→==--+-=-<，当x →+∞时，显然()()lim ''0x f x f →+∞=+∞>．而()'f x 在()1,+∞是单调递增的，因此在()1,+∞内必定存在唯一的0x 使得()00002'2ln 2220af x x x a x =---+-= ……………．． ① ∴当01x x <<时，()'0f x <，当0x x >时，()'0f x >，∴()f x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，∴()()0min f x f x =．由已知条件()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解，∴必有()()0min 0f x f x ==．即()()22000002ln 220f x x a x x ax a a =-++--+= ………………………． ② 由①式得到000ln 2a x x a x =+-+带入②式化简得：()()2232000025220a x x a x x +---=，即()()200220xx a x a -+-=，注意这里的a 比较容易解出，因此我们可以用0x 表示a ，解得：2x a =，2002a x x =- (1)当01(,1)22x a =∈时，带入①式可得，22ln 230a a --=…………………．． ③即讨③是否有解．令()22ln 23h a a a =--，()()212'20a h a a a-=-=<∴()h a 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．又∵()11302h a h ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，∴③式无解．(2)当2002a x x =-时，∵01a <<，∴012x <<，把2002a x x =-带入①式可得，20022ln 60x x --= ………………．．④即讨论④是否有解．又设2000()22ln 6h x x x =--，()()2000002212'4x h x x x x -=-=，∵()01,2x ∈， ∴()0'0h x >恒成立，∴0()h x 在()1,2上单调递增．∴()(1)4h x h >=-，()()222ln 20h x h <=->． ∴()h x 与x 轴有交点，从而20022ln 60x x --=在()1,2上有解．从而命题得证！。

完整word版四川省高考数学试卷理科答案与解析

2021年四川省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕〔2021?四川〕〔1+x〕7的展开式中x2的系数是〔〕A．42B．35C．28D ．21考点：二项式定理．专题：计算题．分析：由题设，二项式〔1+x〕7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是，计算出答案即可得出正确选项解答：解：由题意，二项式〔1+x〕7的展开式通项是Tr+1=xr故展开式中x2的系数是=21应选D点评：此题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键2．〔5分〕〔2021?四川〕复数=〔〕A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项解答：解：由题意得，应选B点评：此题考查复合代数形式的混合运算，解题的关键是根据复数的运算规那么化简分子3．〔5分〕〔2021?四川〕函数在x=3处的极限是〔〕A．不存在B．等于6 C．等于3 D．等于0考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案．1解答：解：∵=x+3；∴f〔x〕=〔〕=6；而f〔x〕=[ln〔x﹣2〕]=0．即左右都有极限，但极限值不相等．故函数在x=3处的极限不存在．应选：A．点评：此题主要考察函数的极限及其运算．分段函数在分界点处极限存在的条件是：两段的极限都存在，且相等．4．〔5分〕〔2021?四川〕如图，正方形ABCD的边长为 1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED那么sin∠CED=〔〕A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．解答：解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．应选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．应选B．2点评：此题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于根底题，题后要注意总结做题的规律．5．〔5分〕〔2021?四川〕函数 y=a x﹣〔a ＞0，a ≠1〕的图象可能是〔〕A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：讨论a 与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．解答：解：函数y=a x ﹣ 〔a ＞0，a ≠1〕的图象可以看成把函数 y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a ＞1时，函数 y=a x ﹣ 在R 上是增函数，且图象过点〔﹣ 1，0〕，故排除 A ，B ．B 当1＞a ＞0时，函数 y=a x﹣ 在R 上是减函数，且图象过点〔﹣ 1，0〕，故排除 C ，应选D ．点评：此题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，表达了分类讨论的数学思想，属于根底题．6．〔5分〕〔2021?四川〕以下命题正确的选项是〔〕．假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行．假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行C ．假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D ．假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除 A ；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除 B ；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断 C 正确；利用面面垂直的性质可排除 D ．解答：解：A 、假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行、相交或异面，故A 错误；、假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行或相交，故错误；3C 、设平面α∩β=a ，l ∥α，l ∥β，由线面平行的性质定理，在平面 α内存在直线 b ∥l ，在平面β内存在直线 c ∥l ，所以由平行公理知 b ∥c ，从而由线面平行的判定定理可证明b ∥β，进而由线面平行的性质定理证明得 b ∥a ，从而l ∥a ，故C 正确；D ，假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行或相交，排除 D ．应选C ．点评：此题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属根底题．7．〔5分〕〔2021?四川〕设、都是非零向量，以下四个条件中，使成立的充分条件是〔〕A ．B ．C ．D ．且考点：充分条件．专题：简易逻辑．分析：利用向量共线的充要条件，求等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件解答：解： ? ? 与共线且同向? 且λ＞0，应选C ．点评：此题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属根底题．8．〔5分〕〔2021?四川〕抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点M〔2，y 0〕．假设点M 到该抛物线焦点的距离为 3，那么|OM|=〔〕A ．B ．C ．4D ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：关键点M 〔2，y 0〕到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点 M 的坐标，由此可求|OM|．y 2=2px 〔p ＞0〕解答：解：由题意，抛物线关于x 轴对称，开口向右，设方程为∵点M 〔2，y 0〕到该抛物线焦点的距离为3，2+=3 p=2 抛物线方程为y 2=4x M 〔2，y 0〕 ∴∴ |OM|=4应选B．点评：此题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．9．〔5分〕〔2021?四川〕某公司生产甲、乙两种桶装产品．生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产方案，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是〔〕A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元考点：简单线性规划．专题：应用题．分析：根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．解答：解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元那么根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如下图作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800点评：此题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件10．〔5分〕〔2021?四川〕如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，那么A、P两点间的球面距离为〔〕5A ．B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用；球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：由题意求出 AP 的距离，然后求出 ∠AOP ，即可求解 A 、P 两点间的球面距离．解答：解：半径为R 的半球O 的底面圆 O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，所以CD ⊥平面AOB ，因为∠BOP=60°，所以△OPB 为正三角形，P 到BO 的距离为PE= ，E 为BQ 的中点，AE== ，AP= =，AP 2=OP 2+OA 2﹣2OP?OAcos ∠AOP ，，cos ∠AOP=，∠AOP=arccos ，A 、P 两点间的球面距离为，应选A ．点评：此题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．11．〔5分〕〔2021?四川〕方程 ay=b 2x 2+c 中的a ，b ，c ∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a ，b ， c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有〔〕 A ．60条 B ．62条 C ．71条 D ．80条考点：排列、组合及简单计数问题．专题：综合题；压轴题．分析：方程变形得，假设表示抛物线，那么 a ≠0，b ≠0，所以分 b=﹣3，﹣2，1，2，6五种情况，利用列举法可解．解答：解：方程变形得，假设表示抛物线，那么 a ≠0，b ≠0，所以分 b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：1〕当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0， 1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；2〕当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2， 0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；以上两种情况下有 9条重复，故共有 16+7=23条； 3〕同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；4〕当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条．综上，共有 23+23+16=62种应选B ．点评：此题难度很大，假设采用排列组合公式计算，很容易无视重复的 9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的方法．要能熟练运用12．〔5分〕〔2021?四川〕设函数 f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，{a n }是公差为的等差数列，f 〔a 1〕+f 〔a 2〕+ +f 〔a 5〕=5π，那么 =〔〕A ．0B ．C ．D ．考数列与三角函数的综合．点：专计算题；综合题；压轴题．题：分由f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，又{a n}是公差为的等差数列，可求得125〕析f 〔a〕+f 〔a 〕++f 〔a：=10a ﹣cosa 〔1+ +〕，由题意可求得a=，从而可求得答案．333解解：∵f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，答 ∴f 〔a 〕+f 〔a 〕++f 〔a 〕=2〔a+a++a 〕﹣〔cosa+cosa++cosa 〕，1 251 2 5 12 5：∵{a n }是公差为的等差数列，∴a 1+a 2+ +a 5=5a 3，由和差化积公式可得， cosa 1+cosa 2+ +cosa 5=〔cosa 1+cosa 5〕+〔cosa 2+cosa 4〕+cosa 3=[cos 〔a 3﹣ ×2〕+cos 〔a 3+ ×2〕]+[cos 〔a 3﹣〕+cos 〔a 3+ 〕]+cosa 37=2cos cos+2coscos+cosa3=2cosa3?+2cosa3?cos〔﹣〕+cosa3=cosa3〔1++〕，f〔a1〕+f〔a2〕++f〔a5〕=5π，∴10a33〕=5π，+cosa〔1++cosa3=0，10a3=5π，故a3=，∴2=π﹣〔﹣〕?=π2﹣．应选D．点此题考查数列与三角函数的综合，求得cosa3=0，继而求得a3=是关键，也是难点，考评：查分析，推理与计算能力，属于难题．二、填空题〔本大题共4个小题，每题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．〕13．〔4分〕〔2021?四川〕设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，那么〔?U A〕∪〔?B〕={a，c，d}．U考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，可先求出两集合A，B 的补集，再由并的运算求出〔?U A〕∪〔?U B〕解答：解：集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，所以?U A={c，d}，?U B={a}，所以〔?U A〕∪〔?U B〕={a，c，d}故答案为{a，c，d}点评：此题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规那么14．〔4分〕〔2021?四川〕如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，那么异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．8考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系．设棱长为2，那么D〔0，0，0〕，N〔0，2，1〕，M〔0，1，0〕，A1〔2，0，2〕，=〔0，2，1〕，=〔﹣2，1，﹣2〕?=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点评：此题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否那么容易由于计算失误而出错．15．〔4分〕〔2021?四川〕椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+〔2a﹣AE〕+〔2a﹣BE〕=4a+AB9AE﹣BE；AE+BE≥AB；AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：此题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决此题的关键在于利用定义求出周长的表达式．16．〔4分〕〔2021?四川〕记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，，现有以下命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x}都存在正整数k，当n≥k时总有x=x；n nk③当n≥1时，；④对某个正整数k，假设x k+1≥x k，那么．其中的真命题有①③④．〔写出所有真命题的编号〕考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题；压轴题；新定义．分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需10举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误．解答：解：①当a=5时，x1=5，，，∴①正确．②当a=8时，x1=8，∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2为摆动数列，故②错误；③当n=1时，x1=a，∵a﹣〔〕=＞0，∴x1=a＞成立，假设n=k时，，那么n=k+1时，，∵≥≥=〔当且仅当x k=时等号成立〕，∴＞，∴对任意正整数 n，当n≥1时，；③正确；④≥x k，由数列①②规律可知一定成立11故正确答案为①③④点评：此题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力三、解答题〔本大题共6个小题，共74分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．〕17．〔12分〕〔2021?四川〕某居民小区有两个相互独立的平安防范系统〔简称系统〕A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．〔Ⅰ〕假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；〔Ⅱ〕设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕求出“至少有一个系统不发生故障〞的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；〔Ⅱ〕ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：〔Ⅰ〕设“至少有一个系统不发生故障〞为事件C，那么∴；〔Ⅱ〕ξ的可能取值为0，1，2，3P〔ξ=0〕=；P〔ξ=1〕=；P〔ξ=2〕==；P〔ξ=3〕=；∴ξ的分布列为ξ0123P数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=点评：此题考查概率知识的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．18．〔12分〕〔2021?四川〕函数f〔x〕=6cos 2sinωx﹣3〔ω＞0〕在一个周期内的图象如下图，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．〔Ⅰ〕求ω的值及函数f〔x〕的值域；12〔Ⅱ〕假设f 〔x 0〕=0 ∈〔﹣ 0〕的值．，且x 〕，求f 〔x+1考点：由y=Asin 〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；综合题．分析：〔Ⅰ〕将f 〔x 〕化简为f 〔x 〕=2 sin 〔ωx+〕，利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f 〔x 〕的值域；〔Ⅱ〕由，知x 0+∈〔﹣，〕，由，可求得即sin 〔 x 0+ 〕=，利用两角和的正弦公式即可求得f 〔x 0+1〕．解答：解：〔Ⅰ〕由可得，f 〔x 〕=3cos ωx+ sin ωx=2sin 〔ωx+〕，又正三角形 ABC 的高为2 ，从而BC=4，∴函数f 〔x 〕的周期T=4×2=8，即 =8，ω= ，∴函数f 〔x 〕的值域为[﹣2 ，2]．〔Ⅱ〕∵f 〔x 0〕= ，由〔Ⅰ〕有f 〔x 0〕=2 sin 〔 x 0+〕= ，即sin 〔x 0+〕=，由，知x 0+ ∈〔﹣，〕，∴cos 〔 x 0+ 〕==．∴f 〔x +1〕=2sin 〔x++〕=2sin[〔 x+〕+]=2[sin 〔x+〕cos+cos 〔 x 0+ 〕sin ]=2 〔 ×+× 〕．点评：此题考查由y=Asin 〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．1319．〔12分〕〔2021?四川〕如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．〔Ⅰ〕求直线PC与平面ABC所成角的大小；〔Ⅱ〕求二面角B﹣AP﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角．分析：解法一〔Ⅰ〕设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．可以证出∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．不妨设PA=2，那么OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．〔Ⅱ〕以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量求解．解法二〔Ⅰ〕设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．〔Ⅱ〕分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．解答：解法一〔Ⅰ〕设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD．PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设PA=2，那么OD=1，OP=，AB=4．所以CD=2，OC===在RT△OCP中，tan∠OCP===．故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．〔Ⅱ〕过D作DE⊥AP于E，连接CE．由，可得CD⊥平面PAB．根据三垂线定理知，CE⊥PA．所以∠CED为二面角B﹣AP﹣C的平面角．由〔Ⅰ〕知，DE=，在RT△CDE中，tan∠CED===2，故二面角B﹣AP﹣C的大小为arctan2．解法二：〔Ⅰ〕设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，那么EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．14如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2，所以O〔0，0，0〕，A〔﹣1，0，0〕，C〔1，2，0〕，P〔0，0，〕，所以=〔﹣1，﹣2，〕=〔0，0，〕为平面ABC的一个法向量．设α为直线PC与平面ABC所成的角，那么sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，=〔1，0，〕，=〔2，2，0〕．设平面APC的一个法向量为=〔x，y，z〕，那么由得出即，取x=﹣，那么y=1，z=1，所以=〔﹣，1，1〕．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为=〔0，1，0〕，那么cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．15点评：此题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等根底知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．20．〔12分〕〔2021?四川〕数列{a}的前n项和为S，且aa=S+S对一切正整数n都n n2n2n成立．〔Ⅰ〕求a1，a2的值；〔Ⅱ〕设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕由题意，n=2时，由可得，a221222≠0，〔a﹣a〕=a，分类讨论：由a=0，及a分别可求a1，a2〔Ⅱ〕由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解：〔Ⅰ〕当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②﹣①得，a2〔a2﹣a1〕=a2③假设a2=0，那么由①知a1=0，假设a2≠0，那么a2﹣a1=1④①④联立可得或综上可得，a1=0，a2=0或或〔Ⅱ〕当a1＞0，由〔Ⅰ〕可得当n≥2时，，∴∴〔n≥2〕∴=令16由〔Ⅰ〕可知= ={b n }是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2b 1＞b 2＞＞b 7=当n ≥8时，∴数列的前7项和最大， = =7﹣点评：此题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．21．〔12分〕〔2021?四川〕如图，动点M 到两定点A 〔﹣1，0〕、B 〔2，0〕构成△MAB ，且∠MBA=2∠MAB ，设动点M 的轨迹为C ．〔Ⅰ〕求轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕设直线y=﹣2x+m 与y 轴交于点 P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题．分析：〔Ⅰ〕设出点M 〔x ，y 〕，分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB ，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点 M 的轨迹方程；〔Ⅱ〕直线y=﹣2x+m 与3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕联立，消元可得x 2﹣4mx+m 2+3=0①，利用①有两根且均在〔1，+∞〕内可知，m ＞1，m ≠2设Q ，R 的坐标，求出x R ，x Q ，利用，即可确定的取值范围．解答：解：〔Ⅰ〕设M 的坐标为〔x ，y 〕，显然有x ＞0，且y ≠0当∠MBA=90°时，点M 的坐标为〔2，±3〕当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA=2∠MAB 有tan ∠MBA=，化简可得3x 2﹣y 2﹣3=0而点〔2，±3〕在曲线3x 2﹣y 2﹣3=0上17综上可知，轨迹 C 的方程为 3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕；〔Ⅱ〕直线y=﹣2x+m 与3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕联立，消元可得x 2﹣4mx+m 2+3=0①∴①有两根且均在〔1，+∞〕内设f 〔x 〕=x 2﹣4mx+m 2+3，∴ ，∴m ＞1，m ≠2设Q ，R 的坐标分别为〔 x Q ，y Q 〕，〔x R ，y R 〕， ∵|PQ|＜|PR|，∴x R =2m+ ，x Q =2m ﹣ ，∴= =m ＞1，且m ≠2∴，且∴，且∴的取值范围是〔 1，7〕∪〔7，7+4〕点评：此题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围．22．〔14分〕〔2021?四川〕 a 为正实数，n 为自然数，抛物线与x 轴正半轴相交于点 A ，设f 〔n 〕为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距．〔Ⅰ〕用a 和n 表示f 〔n 〕；〔Ⅱ〕求对所有 n 都有成立的a 的最小值；〔Ⅲ〕当0＜a ＜1时，比拟与的大小，并说明理由．考圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中点：的应用．专综合题；压轴题．题：18分析：〔Ⅰ〕根据抛物线与x 轴正半轴相交于点A ，可得A 〔〕，进一步可求抛物线在点A 处的切线方程，从而可得f 〔n 〕；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知f 〔n 〕=a n，那么成立的充要条件是a n ≥2n 3+1，即n3n4 nn3知，a ≥2n+1对所有n 成立，当a= ，n ≥3时，a ＞ =〔1+3〕＞2n+1，当n=0，1，2时，，由此可得a 的最小值；〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知f 〔k 〕=a k，证明当0＜x ＜1时，，即可证明：．解答：解：〔Ⅰ〕∵抛物线与x 轴正半轴相交于点A ，∴A 〔〕对求导得y ′=﹣2x∴抛物线在点A 处的切线方程为，∴∵f 〔n 〕为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距，∴f 〔n 〕=a n；n成立的充要条件是n3〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知f 〔n 〕=a ，那么a ≥2n+1即知，a n ≥2n 3+1对所有n 成立，特别的，取n=2得到a ≥当a=，n ≥3时，a n ＞4n=〔1+3〕n≥1+=1+2n 3+＞2n 3+1当n=0，1，2时，∴a= 时，对所有n 都有成立∴a 的最小值为；〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知〔fk 〕=a k，下面证明：首先证明：当 0＜x ＜1时，19设函数g 〔x 〕= x 〔x 2﹣x 〕+1，0＜x ＜1，那么g ′〔x 〕= x 〔x ﹣〕当0＜x ＜时，g ′〔x 〕＜0；当时，g ′〔x 〕＞0故函数g 〔x 〕在区间〔0，1〕上的最小值 g 〔x 〕min =g 〔〕=0∴当0＜x ＜1时，g 〔x 〕≥0，∴由0＜a ＜1知0＜a k＜1，因此，从而=≥ =＞=点此题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属评：于中档题．20。

2024年四川高考数学(理)试题(含答案)

2024年四川高考数学(理)试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（）A 10iB. 2iC. 10D. 2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A. {}1,4,9B. {}3,4,9 C. {}1,2,3 D. {}2,3,5【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A. 5 B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：.由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A. 2- B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值.【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()2e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选：A.7. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.8. 已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+⎪-α⎝⎭，故选：B.9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A. “3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D. “1x =-”是“//a b”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac+=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A. 2 B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．【答案】5【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==-甲，)12h r r ==-乙，所以V h V h ====甲甲乙乙.15. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤，故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤，故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=.故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p=，根据题意计算p+.【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64 150=，用频率估计概率可得0.64p=，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a -=⋅- （2）(21)31n n T n =-⋅+【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式．（2）利用错位相减法可求n T .【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，为所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅，则sin ,m n =，故二面角F BM E --20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k=-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值0，无极大值. （2）12a ≤-【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.小问1详解】当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数，为【故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x+-=-+'+-=-+->++，设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+，当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<，故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a ≤-.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．为[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+ （2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。

四川高考数学试题理科含答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷)数学(理工类)本试卷分第一局部(选择题)和第二局部(非选择题)。

第一局部 1至2页，第二局部 3至4 页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，总分值150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式P(A+B)=P(A)+P(B)s4R 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么v4R 23在n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P n (k)C n k p k (1p)nk(k 0,1,2,...n)第一局部〔选择题共60分〕考前须知：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

2.本局部共12 小题，每题 5分，共 60分。

一、选择题：本大题共 12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

〔11四川理 1〕有一个容量为 66的样本，数据的分组及各组的频数如下：，15.5) 2 [15.5,19.5)4 ，23．5)9[23.5,27.5)18，31.5) 1l ，35.5)12 ．39.5)7[39.5,43.5)3 根据样本的频率分布估计，数据落在，43.5)的概率约是 (A) 1 (B) 1 (C) 1〔D 〕2631 23〔11四川理 2〕复数ii =〔B 〕1(A) 2i 〔〕〔〕2iC 0Di2〔11四川理 3〕l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，那么以下命题正确的选项是(A) l 1 l 2，l 2l 3 l 1 l 3〔B 〕l 1l 2，l 2l 3l 1 l 3 [ 来源:](C) l 2 l 3 l 3l 1，l 2，l 3共面〔D 〕l 1，l 2，l 3共点 l 1，l 2，l 3共面〔11四川理 4〕如图，正六边形 ABCDEF 中，BACDEF=(A)0(B)BE(C)AD(D)CF〔11四川理5〕函数，f(x)在点x x0处有定义是f(x)在点x x0处连续的(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件〔11四川理6〕在ABC中．sin2sin2B sin2C sinBsinC.那么A的取值范围是(A)(0，](B)[，)(c)(0，](D)[，)66331〔11四川理7〕f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)()x 1，那么f(x)的反2函数的图像大致是〔11四川理8〕数列a n的首项为3，b n为等差数列且b n a n1a n(nN*).假设那么b32，b1012，那么a8〔A〕0〔B〕3〔C〕8〔D〕11〔11四川理9〕某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理方案党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润〔A〕4650元〔B〕4700元〔C〕4900元〔D〕5000元〔11四川理10〕在抛物线y x2ax5(a0)上取横坐标为x14，x22的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆2236相切，那么抛5x5y物线顶点的坐标为〔A〕(2,9)〔B〕(0,5)〔C〕(2,9)〔D〕(1,6)〔11四川理11〕定义在0,上的函数f(x)满足f(x)3f(x2)，当x0,2时，f(x)x22x.设f(x)在2n2,2n上的最大值为a n(n N*)，且a n的前n项和为S n，那么limS nn〔A〕3〔B〕5〔C〕2〔D〕322〔11四川理12〕在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 n ，其中面积不超过 4的平行四边形的个数为 m ，那么m〔A 〕4〔B 〕1〔C 〕2〔D 〕2n153 53二、填空题：本大题共 4小题，每题4分，共 16分.13〕计算(lg11〔11四川理 lg25)1002=.4〔11四川理 x 2 y 2 4，那么点P 到左14〕双曲线=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是64 36准线的距离是.〔11四川理 15〕如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的外表积与改圆柱的侧面积之差是 . 〔11四川理 16〕函数f(x)的定义域为A ，假设x 1,x 2A 且f(x 1)f(x 2)时总有x 1x 2，那么称f(x)为单函数，例如，函数f(x) 2x 1(xR)是单函数.以下命题：①函数f(x)x 2(xR)是单函数；②假设f(x)为单函数，x 1,x 2A 且x 1x 2，那么f(x 1) f(x 2)；③假设f ：A B 为单函数，那么对于任意 bB ，它至多有一个原象；〔11四川理18〕本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

四川理科数学高考试卷

四川理科数学高考试卷四川理科数学高考试卷【一、选择题】1. 设函数 f(x) = x^2 - 2x + 1，若其图像与 x 轴交于一个点，则 x 的取值范围是：A. (-∞, 0)B. (0, 1)C. (1, +∞)D. (0, 1]2. 已知矩形 ABCD 中，AB = 4，BC = 3，点 E 是 AD 边上一点，且 AE = 1。

角 BEC 的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 在坐标平面上，抛物线 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）与 x 轴相交于两点P 和 Q。

若 P 的坐标为 (3, 0)，Q 的坐标为 (9, 0)，则抛物线的方程是：A. y = 2x^2 - 18x + 36B. y = -2x^2 + 18x - 36C. y = -2x^2 + 18x + 36D. y = 2x^2 - 18x - 36【二、填空题】1. 已知等差数列 {a_n} 的通项公式为 a_n = n^2 + 3n，若 a_m + a_n = 120，其中 m 和 n 为正整数，且 m < n，则 m 的最小值是________。

2. 若向量 u = (2, 1, 3) 和 v = (1, 1, -1)，则向量 u 在 v 方向上的投影长度是________。

3. 设 A = {x | x^2 - 4x - 5 ≤ 0}，则 A 的解集是________。

【三、解答题】1. 函数 f(x) = (3^x - 1) / (3^x + 1) 的图像关于直线 y = x 对称吗？请说明理由。

2. 已知三角形 ABC，其中∠A = 60°，D 是 BC 上一点，且 AD ⊥ BC。

若 BD = 6，CD = 12，则三角形 ABD 的面积是多少？3. 有一堆石头共 n 块，其中一块较重。

有一把天平可用来比较石头的重量。

2023年四川高考理科数学试题

2023年四川高考理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}21A x x =-<，{}13B x x =-<，则A B ⋂=（）A ．{}21x x -<<B ．{}4x x <C ．{}14x x <<D ．{}2x x >-2．已知复数i R z a b a b =+∈（,），且i12i 1iz =++，则ab =（）A ．-9B ．9C ．-3D ．33．若0.3log 0.4a =，031.2b =．，2.1log 0.9c =，则（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>4，已知向量()12a = ,，()23b =- ,，若()a kab ⊥+ ，则k=（）A ．45B ．45-C ．14D ．14-5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4854a a a +=+，则13S =（）A ．26B ．32C ．52D ．646．执行如图所示的程序框图，若输出的81S =，则判断框内可填入的条件是（）A ．9n ≤?B ．9n ≥?C ．9n <?D ．9n >?7．已知函数()f x 满足()()15f x f x -=+，且()1f x +是偶函数，当13x ≤≤时，()324x f x =+，则()36f log =2（）A ．32B ．3C ．398D ．3948．如图，在正三棱柱111ABC A B C -，中，12AA AB ==，D 在1A C 上，E 是1A B 的中点，则()2AD DE +的最小值是（）A ．67B ．27C ．37D ．579．某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（）A ．360种B ．420种C ．480种D ．540种10．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>:的左焦点为()0F c -,，点M 在双曲线C 的右支上，()0,A b ，若△AMF 周长的最少值是24c a +，则双曲线C 的离心率是（）A ．312B ．31C ．52D ．511．已知正三棱锥P —ABC 的底面边长为36，则三棱锥P —ABC 的内切球的表面积为（）A ．32πB ．3πC ．6πD ．12π12．已知函数()323,0,31,0x x f x x x x ->⎧⎨-+≤⎩，函数()()()g x ff x m =-恰有5个零点，则m 的取值范围是（）A ．()3,1-B ．()0,1C [)1,1-D ．()1,3二，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，则这组数据的中位数是______14．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l y x m =+:与抛物线C 交于A ，B 两点，若18AF BF +=，则m =______15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”．已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”，且13n nb =，则n a 的最小值是______16．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，()()124f x f x -=，且12x x -的最小值是2π．若关于x 的方程()1f x =在[](),m n m n <上有2023个零点，则n m -的最小值是______三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin b B c C a -=．（1）证明：2B C π-=（2）若3A π=，a =，求△ABC 的面积．18．（12分）某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位专家进行初审．若两位专家的初审都通过，则予以录用；若两位专家的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位专家的初审，则再由另外的两位专家进行复审，若两位专家的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位专家初审的概率均为13，复审的稿件能通过各位专家复审的概率均为12，且每位专家的评审结果相互独立．（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（2）记X 表示投到该杂志的3篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．19．（12分）如图，在三棱柱111BC A B C -中，所有棱长均为2，且1B C =160ABB ∠=︒，13BB BD =．（1）证明：平面ABC ⊥11ABB A ．（2）求平面ACD 与平面111A B C 夹角的余弦值．20．（12分）椭圆E 的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，点(在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程．（2）过点()1,0-的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点（异于点A ，B ），记直线AP 与直线BQ 交于点M ，试问点M 是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()32x f x e mx nx x =+--（其中e 为自然对数的底数），且曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x =-．（1）求实数m ，n 的值；（2）证明：对任意的R x ∈，()32351f x x x ≥-+恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 120ρθρθ+-=．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:04l πθρ=≥与曲线C 交于点A ，与直线1交于点B ，求AB 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知0a >，0b >，且2a b +=．（1）求22a b +的最小值；（2≤．2023年四川高考理科数学试题参考答案1．C 由题意可得{}1A x x =>，{}24B x x =-<<，则{}14A B x x ⋂=<<．2．D 由题意可得()()()i i 12i 1i a b +=++，则i 13i b a -+=-+，从而3a =，1b =，故3ab =．3．D 由题意可知01a <<，1b >，0c <，则b a c >＞．4．B 由题意可得()223ka b k k +=-+,，则()22230k k -++=，解得45k =-.5．C 由等差数列的性质可得485754a a a a a +=+=+．则74a =．故1371352S a ==．6．D 由程序框图可知21352181S n n =+++⋅⋅⋅+-==（），解得9n =．7．B因为()1f x +是偶函数，所以()()2f x f x -=+．因为()()15f x f x -=+，所以()()6f x f x -=+，所以()()26f x f x +=+，即()()4f x f x =+．因为2225log 32log 36log 646=<<=．所以()()222993log 36log 364log 3444f f f ⎛⎫=-==+= ⎪⎝⎭．8．C如图，将平面1A BC 与平面1A AC 翻折到同一平面上，连接AE ，记1AE AC F ⋂=．由题意可知12A A AC BC ===，11A C A B ==，则145AAC ∠=︒，13cos4BAC ∠==，从而17sin 4BA C ∠=，故1113214cos cos 8AA B AA C BA C -∠=∠+∠=（）．因为E 是1A B 的中点，所以1A E =23214422238AE =+-⨯=+D 在1A C 上，所以AD DE AE +≥，则()23AD DE +≥+．9．D 如图，先在区域A 布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E 布置花卉，有4种不同的布置方案，再在区域D 布置花卉，有3种不同的布置方案．若区域B 与区域E 布置同一种花卉，则区域C 有3种不同的布置方案；若区域B 与区域E 布置不同的花卉，则区域B 有2种不同的布置方案，区域C 有3种不同的布置方案．故不同的布置方案有()543323540⨯⨯⨯+⨯=种．10．B 如图，设双曲线C 的右焦点为F '，连接AF '，线段AF '交双曲线C 于点M '，则AM MF AF ''+≥．由双曲线的定义可得2MF MF a '-=，则22AM MF AM MF a AF a ''+=++≥+．因为()0,A b ，所以AF AF '==224a c a =+，整理得22220c ac a --=，即2220e e --=，解得1e =．11．A 如图，取棱AB 的中点D ，连接CD ，作PH ⊥平面ABC ，垂足为H ，则PH =．由正三棱锥的性质可知H 在CD 上，且2CH DH =．因为3AB =，所以332CD =，则CH =．因为PH =，所以3PC ==，则三棱锥P —ABC 的表面积3944S =⨯=，设三棱锥P —ABC 的内切球的半径为r ，则1319343P ABC V -=⨯⨯=⨯．解得64r =，从而三棱锥P —ABC 的内切球的表面积为2342r ππ=.12．C 当0x ≤时，()233f x x '=-．由()0f x '>，得1x <-，由()0f x '<，得10x -<≤，则()f x 在(]1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，故()f x 的大致图象如图所示。

2023四川高考理科数学试卷

2023四川高考理科数学试卷全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2023年四川高考理科数学试卷第一部分选择题1. 下列哪一个是长度为3的等腰直角三角形的边长组合？A) 1，1，2B) 2，2，2C) 3，4，5D) 5，12，132. 若集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B等于A) {1,2}B) {3,4}C) {5,6}D) {1,2,3,4,5,6}3. 若a^3 + b^3 = 4，ab=-1，则a+b的值为A) 2B) -1C) -2D) 15. 一条铁路上共有12个车站，其中AB站之间有3个车站，共有多少种选择方式？A) 220B) 330C) 440D) 5506. 已知直线y=2x-1与y=3x+5的交点横坐标为______。

8. 若log₃x+log₃(y^2)=4，则xy的值为______。

9. 计算lim(x→0) (3x^2+2x+1)/(x^2+x)的极限。

10. 已知两个集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，求A∩B与A∪B的结果。

11. 若函数f(x) = x^2+3x+2，求f(-1)的值并画出其对应的函数图像。

12. 解方程组2x-y=33x+2y=813. 计算∫(sinx+cosx)dx的不定积分。

以上就是2023年四川高考理科数学试卷的内容，祝各位同学取得优异的成绩！第二篇示例：2023年的四川高考理科数学试卷是全省高中学生以及备考学生所关注的焦点。

高考作为学生们人生中重要的一环，数学作为其中一门必考科目，备受广大学子们关注和重视。

本文将对这份试卷进行详细解析，帮助学生们更好地备考，取得优异的成绩。

我们来看这份数学试卷的整体布局和题目设置。

根据往年的高考经验及趋势，2023年四川高考理科数学试卷一般是分为选择题和解答题两部分。

其中选择题通常包括单选题、多选题和判断题，考察学生的基础知识运用能力；而解答题则是考察学生的解题思维和逻辑能力。

高考真题——数学理(四川卷)

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB（）A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3} B.【答案】A 【解析】试题分析：{|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<<，选A.考点：集合的基本运算. 2.设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) A.-i B.-3i C.i. D.3i 【答案】C考点：复数的基本运算.3.执行如下图的程序框图，输出S 的值是( ) A.32 B.32C.-12D.12【答案】D 【解析】试题分析：这是一个循环结构，每次循环的结果依次为：2;3;4;5k k k k ====，大于4，所以输出的51sin 62S π==，选D. 考点：程序框图.4.以下函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）.cos(2)2A y x π=+ .sin(2)2B y x π=+ .sin 2cos 2C y x x =+.sin cos D y x x =+【答案】A 【解析】试题分析：对于选项A ，因为2sin 2,2y x T ππ=-==，且图象关于原点对称，应选A. 考点：三角函数的性质.5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（）（A ）433（B ）23 （C ）6 （D ）43 【答案】D考点：双曲线.6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A ）144个（B ）120个（C ）96个（D ）72个【答案】B 【解析】试题分析：据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.考点：排列组合.7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】试题分析：311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以 221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=，选C.考点：平面向量.8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B考点：命题与逻辑. 9.假如函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B 【解析】试题分析：2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..考点：函数与不等式的综合应用.10.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）（A ）()13，（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24， xy–12123456789–1–2–3–4–5–6123456ABCFOM【答案】D考点：直线与圆锥曲线，不等式.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是（用数字作答）. 【答案】40-.【解析】试题分析：55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-. 考点：二项式定理.12.=+ 75sin 15sin . 【答案】62. 【解析】试题分析：6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=. 考点：三角函数.13.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系bkx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

高考数学理(四川卷)WORD版有答案

数学（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共50 分．在每题给出的四个选项中，只有一个是切合题目要求的．1．设会合A { x | x 2 0} ，会合 B { x | x2 4 0}，则AI B（）（A ）{ 2} （ B）{2} （C）{ 2,2} （ D）x2 A z z C表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（） A．如图，在复平面内，点（A）A （B）B （C）C （D）D O y 3．一个几何体的三视图如下图，则该几何体的直观图能够是（）B D 4．设x Z ，会合 A 是奇数集，会合 B 是偶数集．若命题p : x A,2 x B ，则（）（A ）（C）p : xp : xA,2 xA,2 xBB（ B）（ D）p :p :xxA,2 xA,2 xBB5．函数f ( x) 2sin( x ),(0, ) 的部分图象如下图，2 2则 , 的值分别是（）（A）2, （B）2, （C）4, （D）4,33 6 66．抛物线y2 4x 的焦点到双曲线x2y 2 1的渐近线的距离是（）3（A）1（ B） 3 （C）1 （D）3 2 2x 2）7．函数y 的图象大概是（3x 18．从1,3,5,7,9这五个数中，每次拿出两个不一样的数分别为a, b，共可获得 lg a lg b 的不同值的个数是（）（A ）9（B）10（C）18（D）209．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4 秒内任一时辰等可能发生，而后每串彩灯在内 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时辰相差不超出 2 秒的概率是（）（A）1（B）1（C）3（D）7 424810．设函数 f ( x)e x x a （ a R ，e为自然对数的底数）．若曲线y sin x 上存在( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) y0，则 a 的取值范围是（）（A ）[1,e]（B）[e1,1]（C）[1,1e]（D）[e1,e1] 二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分．11．二项式( x y) 5的睁开式中，含x2 y3的项的系数是_________．（用数字作答）uuur uuur uuur 12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB AD AO ，则_________．13．设sin 2sin，( , ) ，则tan2的值是_________．214．已知 f ( x) 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时， f ( x) x24x ，那么，不等式f ( x 2) 5 的解集是________．15．设P,P ,L ,P为平面12n的距离之和最小，则称点内的n 个点，在平面内的全部点中，若点 P 到P1, P2,L , P n点1 2n AB上的随意P 为P , P ,L , P点的一个“中位点”．比如，线段点都是端点A, B 的中位点．则有以下命题：①若 A, B, C 三个点共线， C 在线段上，则 C 是A, B,C的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个极点的中位点；③若四个点 A, B, C , D 共线，则它们的中位点存在且独一；④梯形对角线的交点是该梯形四个极点的独一中位点．此中的真命题是____________．（写出全部真命题的序号数学社区）三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16． (本小题满分12 分)在等差数列{ a n }中，a 2a 18 ，且a 4 为 a 2 和 a 3 的等比中项，求数列{ a n }的首项、公差及前n 项和．17． (本小题满分12分) 在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ，且2cos 2A Bcos B sin( A B)sin B cos( A C )3 ．25（Ⅰ）求 cosA 的值；35uuur uuur（Ⅱ）若 a 4 2 ， b5 ，求向量 BA 在 BC 方向上的投影．2218．(本小题满分 12 分 )某算法的程序框图如下图，其中输入的变量 x 在 1,2,3, ,24 这 24 个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运转时输出 y 的值为 i 的概率 P i (i 1,2,3) ；（Ⅱ）甲、乙两同学依照自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运转n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i 1,2,3) 的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）运转输出 y 的值输出 y 的值输出 y 的值运转输出 y 的值输出 y 的值输出 y 的值次数 n为 1的频数为 2的频数为 3的频数次数n为 1的频数为2的频数为 3的频数3014 6103012 11721001027376 697 21001051696353当 n 2100 时，依据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为 i (i 1,2,3)的频次（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序切合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运转 3 次，求输出 y 的值为 2 的次数的散布列及数学期望．19． ( 本小题满分12 分 ) 如图，在三棱柱ABC A1B1C 中，侧棱AA1底面ABC，AB AC 2 AA1，BAC 120o， D , D1分别是线段B C , B1C1的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面A1BC平行的直线 l ，说明原因，并证明直线 l 平面 ADD1 A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，求二面角 A A1M N 的余弦值．CDA PBC1D 1A1B120．(本小题满分13 分) 已知椭圆Cx2 y 21,( a b 0) 的两个焦点分别为：b2a2F1 ( 1,0), F2 (1,0) ，且椭圆C经过点 P(4,1)．3 3（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）设过点A(0, 2) 的直线l与椭圆C交于M、N两点，点 Q 是线段MN上的点，且2 1 1，求点 Q 的轨迹方程．|AQ|2 |AM |2 |AN|221．(本小题满分14 分 )已知函数f ( x) x2 2x a, x 0，此中 a 是实数．设 A(x1, f ( x1)) ，ln x, x 0 B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点，且x1 x2．（Ⅰ）指出函数 f ( x) 的单一区间；（Ⅱ）若函数 f ( x) （Ⅲ）若函数 f ( x) 的图象在点A, B 处的切线相互垂直，且x2 0 ，求 x2 x1的最小值；的图象在点A, B 处的切线重合，求 a 的取值范围．。

2022四川高考真题—数学(理)解析版

2022四川高考真题—数学（理）解析版数学（供理科考生使用）参考公式：假如事件互斥，那么球的表面积公式 ()()()P AB P A P B 24SR假如事件相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B 球的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么343VR 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p kn …第一部分（选择题共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（）A 、42B 、35C 、28D 、21 [答案]D[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T=k k x C 7，令k=2，则2273xC T 、= 21C x 272=∴的系数为[点评]：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，第一需要熟练把握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的运算能力. 2、复数2(1)2i i-=（）A 、1B 、1-C 、iD 、i - [答案]B. [解析]2(1)2i i-=12212-=-+iiiDCAEB[点评]突出考查知识点12-=i ，不需采纳分母实数化等常规方法，分子直截了当展开就能够. 3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是（）A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于0 [答案]A[解析]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限. [点评]关于分段函数，把握好定义域的范畴是关键。

4、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）A 、31010 B 、1010 C 、510 D 、515[答案]B1010cos 1sin 10103EC ED 2CD -EC ED CED cos 1CD 5CB AB EA EC 2AD AE ED 11AE ][22222222=∠-=∠=•+=∠∴==++==+=∴=CED CED ，）（，正方形的边长也为解析[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用，需要用α的的范畴决定其正余弦值的正负情形. 5、函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（）[答案]C[解析]采纳排除法. 函数(0,1)x y a a a a =->≠恒过（1,0），选项只有C 符合，故选C.[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中专门值验证、排除法比较常用，且简单易用. 6、下列命题正确的是（）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 [答案]C[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，因此A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面能够平行，也能够垂直；故D 错；故选项C 正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练把握课本基础知识的定义、定理及公式.7、设a 、b 差不多上非零向量，下列四个条件中，使||||a b a b =成立的充分条件是（）A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b =[答案]D [解析]若使||||a ba b =成立，则方向相同，与b a 选项中只有D 能保证，故选D.[点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，同时通过点0(2,)M y 。

2023年四川高考数学(理)试题及答案

A．214．向量||||1,|a b ==- A．15-5．已知正项等比数列{A．76．有60人报名足球俱乐部，60若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（A．0.87．“22sin sin αβ+=A．充分条件但不是必要条件C．充要条件(1)求证：1AC A C =；(2)若直线1AA 与1BB 距离为2，求19．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，加药物）和实验组（加药物）．(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为(2)测得40只小鼠体重如下（单位：g）对照组：17.318.420.120.425.426.126.326.4628.3实验组：5.4 6.6 6.810.411.214.417.319.2226.0（i）求40只小鼠体重的中位数m<m≥对照组实验组1．A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z ZZ ，U Z =，所以，(){}|3,U A B x x k k ==∈Z ð．故选：A．2．C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.3．B【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当1n =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112n =+=；当2n =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213n =+=；当3n =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314n =+=；当4n =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.4．D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c === ,由题知,1,OA OB OC ==AB 边上的高2,2OD AD =所以2CD CO OD =+=1tan ,cos 3AD ACD CD ∠==∠cos ,cos a c b c ACB 〈--〉=∠23421510⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭.故选:D.22考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即x 系，当3π4x =-时，3π3πsin 42f ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，y 当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为故选：C.11．C【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得得到PA PB =，再在PAC △中利用余弦定理求得中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；因为底面ABCD 为正方形，AB =又3PC PD ==，PO OP =，所以又3PC PD ==，42AC BD ==，所以在PAC △中，3,42,PC AC ==则由余弦定理可得22PA AC PC =+故17PA =，则17PB =，故在PBC 中，7,3,1P PB C ==所以22cos 2PC BC PB PCB PC BC +-∠=⋅又0πPCB <∠<，所以sin PCB ∠所以PBC 的面积为12S PC BC =⋅法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则因为底面ABCD 为正方形，AB =在PAC △中，3,45PC PCA =∠=则由余弦定理可得22PA AC PC =+17PA =，所以22cos 2PA PC AC APC PA PC +-∠=⋅cos 17PA PC PA PC APC ⋅=∠= 不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()(1122PO PA PC PB =+=+ 即2222PA PC PA PC PB PD ++⋅=+ 则()217923923m ++⨯-=++⨯⨯又在PBD △中，22BD PB PD =+26cos 230m m θ--=②，两式相加得22340m -=，故PB 故在PBC 中，7,3,1P PB C ==所以22cos 2PC BC PB PCB PC BC +-∠=⋅又0πPCB <∠<，所以sin PCB ∠所以PBC 的面积为12S PC BC =⋅故选：C.由图可知，当目标函数322z y x =-+过点A 时，z 有最大值，由题意可知，O 为球心，在正方体中，EF =即2R =，则球心O 到1BB 的距离为22OM ON MN =+=所以球O 与棱1BB 相切，球面与棱1BB 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为故答案为：1216．2【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222b +-⨯⨯0，解得：13b =+，ABD ACD S S =+ 可得，11sin 602sin 3022AD AD ⨯=⨯⨯⨯+⨯ ()2313323312b AD b +===++．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222b +-⨯⨯由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==，解得：362>>，所以45C = ，180B =30=o ，所以75ADB ∠= ，即AD 故答案为：2．本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．1n a n =-()1222nn ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1AC ⊥ 底面ABC ，BC ⊂面ABC 1AC BC ∴⊥，又BC AC ⊥，AC BC ∴⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于O ，又平面1AO ∴⊥平面11BCC B 1A 到平面11BCC B 的距离为1，在11Rt A CC △中，111,AC AC CC ⊥设CO x =，则12C O x =-，11111,,AOC AOC ACC △△△为直角三角形，且22211CO A O A C +=，2211A O OC +2211(2)4x x ∴+++-=，解得x 1112AC AC AC ∴===，1AC AC ∴=（2）111,,AC AC BC AC BC =⊥ 1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△1BA BA ∴=，过B 作1BD AA ⊥，交1AA 于D ，则224【点睛】。

四川高考理科数学卷

四川高考理科数学卷
四川高考理科数学卷指的是在四川地区的高考中，针对理科考生所使用的数学科目的试卷。

这份试卷由四川省教育考试院组织专家进行命题，并按照四川省高考数学科目的要求进行设计。

具体的题目示例包括：
选择题1：下列函数中，最小值为4的是（）
A. y = x^2 + 4/x
B. y = sin x + 4/sin x
C. y = e^x + 4/e^x
D. y = log_2 x + 4/log_2 x
选择题2：已知各项均为正数的等比数列 {an} 中，a_1 × a_3 = 4，则 a_2 的值等于（）
A. 2
B. -2
C. ±2
D. 以上都不正确
判断题3：如果复数 z 满足 z(1 - i) = 2i，则 z = -i。

（）
判断题4：已知 f(x) 是定义在 R 上的函数，若对于任意实数 m，都有 f(m) > 0 和 f'(m) > 0，则函数 f(x) 在区间 [a, b] 上是增函数。

（）
计算题5：设 m ∈ Z，复数 z = (m^2 - 1) + (m + 1)i，当 m 取什么值时，z 为纯虚数？
计算题6：已知 f(x) = (x - a)/(x + a) 的导数为 f'(x)，求 f'(x) 的表达式。

总结：四川高考理科数学卷指的是在四川地区的高考中，针对理科考生所使用的数学科目的试卷。

这份试卷旨在测试学生的数学知识和应用能力，通过选择题、判断题和计算题等多种题型进行考查。

考生需要通过系统的学习和复习，掌握基础知识和应试技巧，以提高自己的数学水平，应对这份试卷的挑战。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的．
1．设集合{|20}
A x x
=+=，集合2
{|40}
B x x
=-=，则A B=（）
（A）{2}
-（B）{2}（C）{2,2}
-（D）∅
2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）
（A）A（B）B（C）C（D）D
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（
）
4．设x Z
∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2
p x A x B
∀∈∈，则（）（A）:,2
p x A x B
⌝∃∈∉（B）:,2
p x A x B
⌝∀∉∉
（C）:,2
p x A x B
⌝∃∉∈（D）:,2
p x A x B
⌝∃∈∈
5．函数()2sin(),(0,)
22
f x x
ππ
ωϕωϕ
=+>-<<的部分图象如图所示，
则,ωϕ的值分别是（）
（A）2,
3
π
-（B）2,
6
π
-（C）4,
6
π
-（D）4,
3
π
6．抛物线24
y x
=的焦点到双曲线
2
21
3
y
x-=的渐近线的距离是（）
（A）
1
2
（B）
3
2
（C）1（D3
7．函数
2
31
x
x
y=
-
的图象大致是（）
y
x
D
B
A
O
C
8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）
（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20
9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）（A ）
14 （B ）12 （C ）34 （D ）78
10．设函数()x f x e x a =+-a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在
00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（）
（A ）[1,]e （B ）1[,1]e - （C ）[1,1]e + （D ）1
[,1]e e -+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．二项式5
()x y +的展开式中，含2
3
x y 的项的系数是_________．（用数字作答） 12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则
λ=_________．
13．设sin 2sin αα=-，(
,)2
π
απ∈，则tan 2α的值是_________．
14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2
()4f x x x =-，那么，不等式
(2)5f x +<的解集是________ ．
15．设12,,
,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点
的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意
点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：
①若,,A B C 三个点共线，C 在线段上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号数学社区）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，218a a -=，且4a 为2a 和3a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．
17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
2
3
2cos cos sin()sin cos()25
A B B A B B A C ---++=-．（Ⅰ）求cos A 的值；3
5-
（Ⅱ）若42a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．
22
18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为
(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部
分数据．
甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）
当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
运行次数n 输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2100 1027 376 697
运行
次数n 输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值
为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2100
1051 696 353
19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，
12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的
中点．
（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．
20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22
221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为
12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41
(,)33
P ．
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222
211
||||||
AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．
21．(本小题满分14分)已知函数22,0
()ln ,0
x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，
22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．
（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值；（Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．
1
C。