立体几何三视图经典练习及答案详解
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
34
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
OD＝ 63×30＝5 3(cm)， 所以棱台的高 h＝O′O
＝ D′D2－OD－O′D′2
＝
13
3
32－5
3－103
32＝4
3(cm)，
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
V＝h3(S 上＋S 下＋ S上S下)
35
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
8
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
5.[2017·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三 棱锥的体积为( )
A．60 B．30 C．20 D．10
9
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图画出如图所示的三棱锥 P－ACD，过点 P 作 PB⊥平面 ACD 于点 B，连接 BA，BD，BC，根据三视 图可知底面 ABCD 是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以 V 三棱锥 P－ACD＝13×12×3×5×4＝10.故选 D.
15
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
8．[2017·江苏高考]如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O， 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体 积为 V1，球 O 的体积为 V2，则VV12的值是____32____．
16
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 设球 O 的半径为 R， ∵球 O 与圆柱 O1O2 的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱 O1O2 的高为 2R，圆柱 O1O2 的底面半径为 R. ∴VV12＝π43Rπ2·R23R＝32.
10
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
6.[2018·遵义模拟]一个几何体的三视图如图所示，其中 俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )
A. 3＋ 6 B. 3＋ 5 C. 2＋ 6 D. 2＋ 5
11
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有 OA＝OB＝1，AB＝ 2.
则 V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．
30
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
由题知三棱柱 ABC－NDM 的体积为 V1＝12×8×6×3＝ 72.
四棱锥 D－MNEF 的体积为： V2＝31×S 梯形 MNEF×DN ＝13×12×(1＋2)×6×8＝24， 则几何体的体积为：V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
3
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
2.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 331寸，容纳米 2000 斛(1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸，斛为 容积单位，1 斛≈1.62 立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长 约为( )
A.1 丈 3 尺 B．5 丈 4 尺 C.9 丈 2 尺 D．48 丈 6 尺
4．正三棱柱的底面边长为 3，侧棱长为 2，且三棱柱 的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.4π B．8π C．12π D．16π 解析 由正弦定理得sin630°＝2r(其中 r 为正三棱柱底面 三角形外接圆的半径)，∴r＝1，∴外接球的半径 R＝ 12＋12 ＝ 2，∴外接球的表面积 S＝4πR2＝8π.故选 B.
17
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，侧视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表 面积是____2_(_π_＋___3_)___．
18
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底 面积即俯视图的面积为 2 3；侧面积为一个完整的圆锥的侧 面积，且圆锥的母线长为 2，底面半径为 1，所以侧面积为 2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为 2(π＋ 3).
19
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
10.[2018·云南昆明联考]已知某几何体的三视图如图所 160
示，则该几何体的体积等于____3____．
20
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一 个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为12×4×4×8－13 ×12×4×4×4＝64－332＝1360.
31
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱， 使 AA′＝BB′＝CC′＝8，所以 V 几何体＝12V 三棱柱＝12× S△ABC×AA′＝12×24×8＝96.
32
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
5.[2018·杭州模拟]已知一个三棱台的上、下底面分别是 边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形， 且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．
28
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
4.如图，△ABC 中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平 面 ABC，且 AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几 何体的体积．
29
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解 解法一：如图，取 CM＝AN＝BD，连接 DM，MN， DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个 四棱锥．
解析 如图，连接 OA，OB.
由 SA＝AC，SB＝BC，SC 为球 O 的直径，知 OA⊥SC， OB⊥SC.
27
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
由平面 SCA⊥平面 SCB，平面 SCA∩平面 SCB＝SC， OA⊥SC，知 OA⊥平面 SCB.
设球 O 的半径为 r，则 OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱锥 S－ABC 的体积 V＝13×12SC·OB·OA＝r33， 即r33＝9，∴r＝3，∴S 球表＝4πr2＝36π.
＝4
3
3×325
3＋ 43×20×30
＝1900(cm3)．
故棱台的体积为 1900 cm3.
36
4
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 设圆柱底面圆半径为 r 尺，高为 h 尺，依题意， 圆柱体积为 V＝πr2h＝2000×1.62≈3×r2×13.33，所以 r2≈81，即 r≈9，所以圆柱底面圆周长为 2πr≈54,54 尺＝5 丈 4 尺，则圆柱底面圆周长约为 5 丈 4 尺．故选 B.
解 如图所示，在三棱台 ABC－A′B′C′中，O′， O 分别为上、下底面的中心，D，D′分别是 BC，B′C′ 的中点，则 DD′是等腰梯形 BCC′B′的高，
33
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm， 所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. S 上＋S 下＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)． 由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3 cm， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)，
25
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
3.[2017·全国卷Ⅰ]已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在 球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB， SA＝AC，SB＝BC，三棱锥 S－ABC 的体积为 9，则球 O 的 表面积为___3_6_π___．
26
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
5
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()
1121 A.6 B.2 C.3 D.3
6
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行 四边形的四棱锥，∴V＝13×1×1×1＝13.故选 D.
7
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
A．1∶1 C.2∶3
2
B．2∶1 D．3∶2
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 根据题意，三棱锥 P－BCD 的正视图是三角形， 且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图 是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的 高．故三棱锥 P－BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶ 1.故选 A.
23பைடு நூலகம்
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
2.[2018·北京模拟]某三棱锥的三视图如图所示，则该三 棱锥的表面积是( )
A.2＋ 5 C.2＋2 5
24
B．4＋ 5 D．5
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角 形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA⊥平面 ABC)，如 图，由三视图中的数据可计算得 S△ABC＝21×2×2＝2，S△SAC ＝12× 5×1＝ 25，S△SAB＝21× 5×1＝ 25，S△SBC＝21×2× 5 ＝ 5，所以 S 表面积＝2＋2 5.故选 C.
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
板块四 模拟演练·提能增分
1
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
[A 级 基础达标] 1.[2018·南昌模拟]如图，在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点，则三棱锥 P－BCD 的正 视图与侧视图的面积之比为( )
21
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
[B 级 知能提升] 1.[2018·上海模拟]如图是某几何体的三视图，则此几何 体的体积是( )
11 8 16 22 A. 3 B.3 C. 3 D. 3
22
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 根据三视图知此几何体是边长为 2 的正方体截 去一个三棱锥 P－ABC 剩下的部分(如图所示)，所以此几何 体的体积为 2×2×2－13×12×1×2×2＝232.故选 D.
12
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
又 PB⊥平面 ABCD， ∴PB⊥BD，PB⊥AB， ∴PD＝ 22＋1＝ 5，PA＝ 2＋12＝ 3， 从而有 PA2＋DA2＝PD2，∴PA⊥DA， ∴该几何体的侧面积 S＝2×12× 2×1＋2×12× 2 × 3＝ 2＋ 6.故选 C.
13
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
7.某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )
A．207 C.216－36π
B．216－92π D．216－18π
14
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由已知三视图知该几何体为一个棱长为 6 的正 方体，切去一个底面半径为 3，高为 6 的14圆锥．其体积 V ＝63－31×41×π×32×6＝216－92π.故选 B.
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
OD＝ 63×30＝5 3(cm)， 所以棱台的高 h＝O′O
＝ D′D2－OD－O′D′2
＝
13
3
32－5
3－103
32＝4
3(cm)，
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
V＝h3(S 上＋S 下＋ S上S下)
35
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
8
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
5.[2017·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三 棱锥的体积为( )
A．60 B．30 C．20 D．10
9
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图画出如图所示的三棱锥 P－ACD，过点 P 作 PB⊥平面 ACD 于点 B，连接 BA，BD，BC，根据三视 图可知底面 ABCD 是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以 V 三棱锥 P－ACD＝13×12×3×5×4＝10.故选 D.
15
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
8．[2017·江苏高考]如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O， 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体 积为 V1，球 O 的体积为 V2，则VV12的值是____32____．
16
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 设球 O 的半径为 R， ∵球 O 与圆柱 O1O2 的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱 O1O2 的高为 2R，圆柱 O1O2 的底面半径为 R. ∴VV12＝π43Rπ2·R23R＝32.
10
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
6.[2018·遵义模拟]一个几何体的三视图如图所示，其中 俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )
A. 3＋ 6 B. 3＋ 5 C. 2＋ 6 D. 2＋ 5
11
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有 OA＝OB＝1，AB＝ 2.
则 V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．
30
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
由题知三棱柱 ABC－NDM 的体积为 V1＝12×8×6×3＝ 72.
四棱锥 D－MNEF 的体积为： V2＝31×S 梯形 MNEF×DN ＝13×12×(1＋2)×6×8＝24， 则几何体的体积为：V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
3
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
2.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 331寸，容纳米 2000 斛(1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸，斛为 容积单位，1 斛≈1.62 立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长 约为( )
A.1 丈 3 尺 B．5 丈 4 尺 C.9 丈 2 尺 D．48 丈 6 尺
4．正三棱柱的底面边长为 3，侧棱长为 2，且三棱柱 的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.4π B．8π C．12π D．16π 解析 由正弦定理得sin630°＝2r(其中 r 为正三棱柱底面 三角形外接圆的半径)，∴r＝1，∴外接球的半径 R＝ 12＋12 ＝ 2，∴外接球的表面积 S＝4πR2＝8π.故选 B.
17
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，侧视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表 面积是____2_(_π_＋___3_)___．
18
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底 面积即俯视图的面积为 2 3；侧面积为一个完整的圆锥的侧 面积，且圆锥的母线长为 2，底面半径为 1，所以侧面积为 2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为 2(π＋ 3).
19
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
10.[2018·云南昆明联考]已知某几何体的三视图如图所 160
示，则该几何体的体积等于____3____．
20
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一 个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为12×4×4×8－13 ×12×4×4×4＝64－332＝1360.
31
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱， 使 AA′＝BB′＝CC′＝8，所以 V 几何体＝12V 三棱柱＝12× S△ABC×AA′＝12×24×8＝96.
32
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
5.[2018·杭州模拟]已知一个三棱台的上、下底面分别是 边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形， 且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．
28
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
4.如图，△ABC 中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平 面 ABC，且 AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几 何体的体积．
29
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解 解法一：如图，取 CM＝AN＝BD，连接 DM，MN， DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个 四棱锥．
解析 如图，连接 OA，OB.
由 SA＝AC，SB＝BC，SC 为球 O 的直径，知 OA⊥SC， OB⊥SC.
27
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
由平面 SCA⊥平面 SCB，平面 SCA∩平面 SCB＝SC， OA⊥SC，知 OA⊥平面 SCB.
设球 O 的半径为 r，则 OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱锥 S－ABC 的体积 V＝13×12SC·OB·OA＝r33， 即r33＝9，∴r＝3，∴S 球表＝4πr2＝36π.
＝4
3
3×325
3＋ 43×20×30
＝1900(cm3)．
故棱台的体积为 1900 cm3.
36
4
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 设圆柱底面圆半径为 r 尺，高为 h 尺，依题意， 圆柱体积为 V＝πr2h＝2000×1.62≈3×r2×13.33，所以 r2≈81，即 r≈9，所以圆柱底面圆周长为 2πr≈54,54 尺＝5 丈 4 尺，则圆柱底面圆周长约为 5 丈 4 尺．故选 B.
解 如图所示，在三棱台 ABC－A′B′C′中，O′， O 分别为上、下底面的中心，D，D′分别是 BC，B′C′ 的中点，则 DD′是等腰梯形 BCC′B′的高，
33
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm， 所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. S 上＋S 下＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)． 由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3 cm， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)，
25
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
3.[2017·全国卷Ⅰ]已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在 球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB， SA＝AC，SB＝BC，三棱锥 S－ABC 的体积为 9，则球 O 的 表面积为___3_6_π___．
26
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
5
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()
1121 A.6 B.2 C.3 D.3
6
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行 四边形的四棱锥，∴V＝13×1×1×1＝13.故选 D.
7
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
A．1∶1 C.2∶3
2
B．2∶1 D．3∶2
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 根据题意，三棱锥 P－BCD 的正视图是三角形， 且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图 是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的 高．故三棱锥 P－BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶ 1.故选 A.
23பைடு நூலகம்
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
2.[2018·北京模拟]某三棱锥的三视图如图所示，则该三 棱锥的表面积是( )
A.2＋ 5 C.2＋2 5
24
B．4＋ 5 D．5
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角 形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA⊥平面 ABC)，如 图，由三视图中的数据可计算得 S△ABC＝21×2×2＝2，S△SAC ＝12× 5×1＝ 25，S△SAB＝21× 5×1＝ 25，S△SBC＝21×2× 5 ＝ 5，所以 S 表面积＝2＋2 5.故选 C.
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
板块四 模拟演练·提能增分
1
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
[A 级 基础达标] 1.[2018·南昌模拟]如图，在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点，则三棱锥 P－BCD 的正 视图与侧视图的面积之比为( )
21
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
[B 级 知能提升] 1.[2018·上海模拟]如图是某几何体的三视图，则此几何 体的体积是( )
11 8 16 22 A. 3 B.3 C. 3 D. 3
22
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 根据三视图知此几何体是边长为 2 的正方体截 去一个三棱锥 P－ABC 剩下的部分(如图所示)，所以此几何 体的体积为 2×2×2－13×12×1×2×2＝232.故选 D.
12
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
又 PB⊥平面 ABCD， ∴PB⊥BD，PB⊥AB， ∴PD＝ 22＋1＝ 5，PA＝ 2＋12＝ 3， 从而有 PA2＋DA2＝PD2，∴PA⊥DA， ∴该几何体的侧面积 S＝2×12× 2×1＋2×12× 2 × 3＝ 2＋ 6.故选 C.
13
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
7.某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )
A．207 C.216－36π
B．216－92π D．216－18π
14
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 由已知三视图知该几何体为一个棱长为 6 的正 方体，切去一个底面半径为 3，高为 6 的14圆锥．其体积 V ＝63－31×41×π×32×6＝216－92π.故选 B.