连续统假设的终结
世界数学十大未解难题
世界数学十大未解难题（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”）一：P （多项式算法）问题对NP （非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数13, 717, 421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文•考克（StephenCook）于 1971 年陈述的。
二：霍奇（Hodge）猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。
在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。
三：庞加莱（Poincare）猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
史上最难数学题
史上最难的数学题连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。
1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。
因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。
希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
连续统假设（continuum hypothesis），数学上关于连续统势的假设。
常记作CH。
通常称实数集即直线上点的集合为连续统，而把连续统的势（大小）记作C1。
2000多年来，人们一直认为任意两个无穷集都一样大。
直到1847年，G.康托尔证明：任何一个集合的幂集（即它的一切子集构成的集合）的势都大于这个集合的势，人们才认识到无穷集合也可以比较大小。
自然数集是最小的无穷集合，自然数集的势记作阿列夫零。
康托尔证明连续统势等于自然数集的幂集的势。
是否存在一个无穷集合，它的势比自然数集的势大，比连续统势小？这个问题被称为连续统问题。
康托尔猜想这个问题的解答是否定的，即连续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势，记作C1；自然数集的势记作C0。
这个猜想就称为连续统假设。
1938年，K.哥德尔证明了CH对ZF公理系统（见公理集合论)是协调的，1963年，P.J.科恩证明CH对ZF公理系统是独立的,是不可能判定真假的。
这样，在ZF公理系统中，CH是不可能判定真假的。
然而到了21世纪，前人的结论又开始被动摇PS:双击获取文档，ctrl+A,ctrl+C，然后粘贴到word即可。
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希尔伯特的23个问题
19.正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理论 这问题在下述意义上已获解
决,1904年,C.Bерн mтейн[前苏联]证明了一个两个变元的、解析的非线性椭圆方
程,其解必定是解析的。这个结果后来又被Bернтейн本人和и.г.п eтров
18.由全等多面体构成空间 结晶体群理论 问题的第一部分(欧氏空间中仅有有限个不同
类的带基本区域的运动群)于1910年由L.Bieberbarch肯定解决;问题的第二部分(是否存
在不是运动群的基本区域但经适当毗连可充满全空间的多面体)已由Reinhardt(1928年)
和Heesch(1935年)分别给出三维和二维情形的例子;至于将无限个相等的给定形式的立体
决,即证明了存在群г,其不变式所构成的环不具有有限个整基。
15.Schubert计数演算的严格基础 代数几何学 由于许多数学家的努力,Schubert演算基
础的纯代数处理已有可能,但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础,已
由B.L.Vander Waerden(1938年 -1940年)与A.Weil(1950年)建立。
无理数β≠0证明了α攩β攪的超越性,1966年这一结果又被A.Baker等人大大推广和发展
了。
8.素数问题 数 论 一般情形下的Riemann猜想至今仍然是猜想。包括在其中的Goldbach
问题至今也未解决。中国数学家在这方面做出了一系列出色的工作。
9.任意数域中最一般的互反律证明 类域论 已由高木贞治[日,1921年]和E.Artin[美192
,但一般地说,公理化的物理意味着什么,仍是需探讨的问题。至于概率论的公理化,已由
集合的强大基数与连续统假设
集合的强大基数与连续统假设集合论是现代数学的基础，它提供了一个框架来研究无限集合。
集合的基数是对集合中元素数量的度量，它是一个非常重要的概念。
集合论中最重要的结果之一是连续统假设（CH），它断言实数集的基数（即连续统）等于集合所有子集的集合的基数（即幂集）。
集合的基数集合的基数是指集合中元素的数量。
对于有限集合，基数很容易确定，只需数出集合中的元素数量即可。
但是，对于无限集合，基数就变得更加复杂。
集合的基数可以用序数来表示。
序数是一个用来比较集合大小的数。
序数可以分为可数序数和不可数序数。
可数序数是指可以与自然数一一对应的序数，而不可数序数是指不能与自然数一一对应的序数。
最小的不可数序数是阿列夫-0（ℵ0），它是自然数集的基数。
阿列夫-1（ℵ1）是实数集的基数，它是第一个不可数序数。
连续统假设连续统假设（CH）断言实数集的基数（即连续统）等于集合所有子集的集合的基数（即幂集）。
这可以表示为：2^ℵ0 = ℵ1连续统假设是一个非常重要的数学问题，它已经被证明是独立于策梅罗-弗兰克尔集合论（ZFC）公理体系的。
这意味着CH既不能从ZFC公理体系中证明，也不能从ZFC公理体系中反证。
连续统假设的意义连续统假设的意义在于，它可以用来解决许多数学问题。
例如，它可以用来证明实数集是不可数的，并且它可以用来证明实数集的幂集是不可数的。
连续统假设还可以用来研究其他数学问题，例如连续统问题和测度理论。
连续统假设的独立性连续统假设是独立于策梅罗-弗兰克尔集合论（ZFC）公理体系的，这意味着它既不能从ZFC公理体系中证明，也不能从ZFC公理体系中反证。
连续统假设的独立性是由库尔特·哥德尔和保罗·科恩在20世纪30年代证明的。
哥德尔证明了CH不能从ZFC公理体系中证明，而科恩证明了CH不能从ZFC公理体系中反证。
连续统假设的独立性是一个非常重要的结果，它表明ZFC公理体系是不完备的。
这意味着ZFC公理体系不能用来解决所有数学问题。
希尔伯特的23个问题
04 问题四：物理学的公理基 础
问题的表述
希尔伯特提出的问题四，主要关注物理学的基础公理。他 希望找到一组基本的公理，能够作为物理学理论的基石， 并使得整个物理学理论体系严密、一致和完备。
这个问题涉及到物理学的基本概念和原理，如空间、时间、 物质、力等，以及它们之间的关系和推导。
希尔伯特希望通过公理化方法，将物理学理论建立在坚实 的逻辑基础上，避免理论内部的矛盾和冲突，并使得理论 具有更好的预测和解释能力。
对于一般的域F，克罗内克假设仍然是一个开放的问题。目前的研究主要 集中在代数几何和代数数论领域，通过研究代数曲线、代数曲面和高维 代数簇的几何结构和性质，来探讨克罗内克假设的可能性。
尽管克罗内克假设尚未得到完全解决，但它的研究对于代数几何和代数 数论的发展有着重要的意义，有助于深入理解代数的结构和性质。
问题的研究历史
自希尔伯特提出这个问题以来，许多数学家和物理学家都致力于研究这个问题，尝试建立物理学的基 本公理体系。
20世纪初，德国数学家赫尔曼·外尔和埃米·诺特等人在这方面做出了重要贡献，他们尝试将相对论和量 子力学等现代物理学理论建立在公理基础上。
然而，尽管取得了一些进展，但至今仍未能够完全解决这个问题。许多物理学家认为，完全公理化整个 物理学理论体系可能是不现实的，因为物理学理论的发展和变化是不断进行的。
总结词
希尔伯特问题五至今仍未得到完全解决，尽管已有一些进展和新的观点。
详细描述
近年来，数学界对希尔伯特问题五的关注度有所提高，新的数学工具和技术为解决这个 问题提供了新的可能性。然而，尽管取得了一些进展，但该问题仍未得到完全解决。
06 问题六：数学分析中的形 式主义系统
问题的表述
01
希尔伯特的第六问题询问的是：是否存在一种形式化的、有效 的证明方法，能够确定数学分析中的所有命题的真伪？
数学中无解的悖论
数学中无解的悖论在数学中，无解的悖论是指一些看似合理的问题或命题，但却无法找到满足条件的解或证明。
这些悖论挑战了我们对数学系统的直觉和逻辑推理，引发了对数学基础和逻辑严谨性的思考。
下面将介绍几个常见的数学中无解的悖论。
一、罗素悖论罗素悖论是由哲学家和数学家罗素提出的一个著名悖论。
它涉及集合论中的自包含集合。
考虑一个集合S，包含所有不属于自己的集合的集合。
问题在于，如果假设S不属于自己，则根据定义，S应该属于S；而如果假设S属于自己，则根据定义，S不应该属于S。
因此，无论如何假设，都会导致矛盾。
二、哥德尔不完备定理哥德尔不完备定理是由奥地利数学家哥德尔在20世纪上半叶提出的。
该定理证明了任何一种包含自然数运算的形式化数学体系，都存在无法被该体系内部证明或证伪的命题。
这意味着数学体系无法完全自洽和完备，总会存在无法确定真假的命题。
三、希尔伯特问题希尔伯特问题是由德国数学家希尔伯特在1900年提出的23个重要的数学问题。
其中第10个问题涉及到Diophantine方程是否总有解。
Diophantine方程是指多项式方程中所有变量都为整数的方程。
至今，尽管已经解决了一些特殊情况下的Diophantine方程，但对于一般情况下是否总有解仍然没有统一的回答。
四、连续统假设连续统假设是由哥德尔和科恩在20世纪上半叶提出的。
它涉及到集合论中集合的基数问题。
连续统假设表明不存在介于可数集和实数集之间的集合。
也就是说，不存在一个集合的基数既大于可数集又小于实数集。
连续统假设的真假至今尚未被证明。
这些无解的悖论揭示了数学系统的某些困境和限制。
它们挑战了我们对数学的直觉和逻辑推理，并促使我们进一步思考数学基础的严谨性和可行性。
这些悖论的存在也推动了数学领域的发展，促使数学家们不断探索和研究新的理论和方法，以更好地理解和解决这些问题。
数学之最世界上最难的道数学题
数学之最世界上最难的道数学题Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】数学之最：世界上最难的23道数学题1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是着名的连续统假设。
1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。
因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。
希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。
1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。
1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
1 988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题。
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。
M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提得过于一般。
满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。
5．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
连续统
康托居士关于连续统假设的评论康托居士 /u/1452947787 2010-04-06 17:37:11关于连续统假设的评论1. 连续统假设的来源及其历史演变连续统假设（简称CH），是康托在创立集合论时提出的一个问题，要了解这个问题，就必须了解康托是怎样建立集合论的。
康托采用了两种方法来构造越来越大的无穷集合。
[1]第一种方法是利用幂集合，他证明了一个集合总比其幂集合要小，而且自然数集N的幂集合P(N)与实数集R等势（即元素个数相等）。
这样，从自然数集N开始，利用幂集合方法，就可以形成一系列越来越大的无穷幂集合N, P(N), P(P(N)), ……第二种方法是利用超穷数，康托提出了生成超穷序数的三条原则: 第一原则，从1开始，任何序数α加1后仍是一个序数。
这样，从1开始，就可以形成一个无穷序数序列1, 2, 3, …, n, ……在这个无穷序数序列中没有最大序数存在; 第二原则，如果一个无穷序数序列中没有最大序数，那么必然存在一个极限序数ω，这是一个新的序数。
这样，从ω开始反复加1，又可以得到一系列无穷极限序数ω, …, 2ω, …, ω2,…, ωn,……但这些极限序数都是等势的。
第三原则，康托认为，这个极限序数序列中也没有最大序数，所以必然存在一个更大的超穷序数ω1，它比上述序列中任何一个极限序数的势都要大。
这样，反复利用这三条原则，就可以形成一系列越来越大的无穷极限序数（又被称为超穷基数）ω1, …, ω2, …, ωn, ……康托自然就提出这样一个问题：实数集R的基数2ω到底和上述哪个超穷基数等势呢？他认为2ω等于ω1，这就意味着在N和R之间不存在其他无穷集合。
但康托不能给出证明，这一问题就被称为连续统假设。
后来人们把CH进行了推广，认为对于任何一个超穷基数ωn,都有2ωn=ωn+1成立，这就是广义连续统假设GCH。
但不久人们就在康托的集合论中发现了悖论，为了消除这些悖论，就开始对集合论进行公理化处理，并先后建立了几个集合论公理系统，这些系统被证明都是等价的。
世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想
世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。
但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。
欧拉一直到死也没有对此作出证明。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。
200年过去了，没有人证明它。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。
这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。
随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。
至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。
陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。
希尔伯特的23个数学问题
希尔伯特提出的23个数学问题1.连续统假设1963年，P•科恩（Cohen）在下述意义下证明了该问题不可解：即连续真伪不可能在策梅罗（Zermelo）-弗伦克尔（Fracnkel）公理系统内判明。
2.算术公理的相容性1931年哥德尔“不完备定理”指出了用元数学证明自述公理相容性之不可行。
算术相容性问题至今尚未解决。
3.两等底等高的四面体体积之相等这一问题1900年即由希尔伯特的学生M•德恩（Dehn）给出肯定解答，是希尔伯特诸问题最早获得解决者。
4.直线作为两点间最短距离问题在构造各种特殊试题几何方面已有许多进展，但问题过于一般，未完全解决。
5.不要定义群的函数的可微性假设的李群概念1952年由A•格里森（Gleason）、D•蒙哥马利（Montgomery）、L•齐宾（Zippin）等人解决，答案是肯定的。
6.物理公理的数学处理在量子力学、热力学等部门，公理化方法已获得很大成功。
概率论的公理化则由A·H·柯尔莫哥洛夫等完成。
7.某些数的无理性与超越性1934年，A•O•盖尔范德和T•施奈德（Schneidcr）各自独立地解决了问题的后一半，即对任意代数α≠0，1和任意代数无理数β≠0证明了的超越性。
此结果1966年又被A•贝克（Backer）等大大推广。
8.素数问题一般情形的黎曼猜想仍等解决。
哥德巴赫猜想目前最佳结果属于陈景润，但尚未最后解决。
9.任意数域中最一般的互反律之证明已由高木贞治（Takagi Teiji）(1921)和阿廷解决10.丢番图方程可角性的判别1970年，马蒂雅谢维奇证明了希尔伯特所期望的一般算法是不存在的。
11.系数为任意代数数的二次型H•哈塞（Hasse，1929）和C•L•西格尔（Siegel，1951）在这问题上获得了重要结果。
12.阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域尚未解决。
13.不可能用两个变数的函数解一般七次方程连续函数情形1957年由B•阿诺尔德否定解决，如要求解析函数则问题尚未解决。
连续统假设的终结
连续统假设的终结————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ连续统假设的终结李明波(中国辽宁鞍山)提要：在以康托尔（Ｃaｎtｏr）等数学家建立的集合论基础理论前提下，证明了实数集合是可数集合,并指出了康托尔证明实数集合不可数的错误所在。
数学史上的连续统假设，其实是个根本不该存在的问题。
一、实数集合可数性的证明在以康托尔等数学家建立的集合论基础理论[1，２,３］前提下，本文首先概括出所需的4个公设:1、实无穷集合是存在的，自然数集合是最为基本的实无穷集合。
2、两个实无穷集合比较大小的法则是一一对应关系;能和自然数集合建立一一对应关系的实无穷集合是可数集合，否则是不可数集合。
3、数轴上的所有点和全体实数一一对应;所有实数都可看成10进制数；无限小数看成是其不足或过剩有限小数数列的极限；有限小数也可看成是后面有无穷多个0 或末位数字减1后续上无穷多个9的无限小数。
4、数轴上全部10进制实数的生成过程如下：在规定长度单位1和数轴原点后,从数轴原点开始在数轴正向（负向同理)作出间距为１的刻度点0，1,2,3,…，n,… ;将每段长度为1的线段进行10等分,加密到间距为0.1的刻度点;再将每段长度为0.1的线段进行10等分,加密到间距为0.０１的刻度点；…;将上次得到的每段最小长度线段再10等分加密刻度点;以此循环往复,次数趋于无穷，则数轴上这些无限稠密的刻度点位置，便与全体非负10进制实数一一对应。
证明:第４条公设其实是对所有非负实数，进行了精确到整数、小数点后1位小数、小数点后2位小数、小数点后３位小数、…、小数点后m位小数、…,以至趋于精确到小数点后无穷多位小数这个极限过程的无穷描述（n和m都是自然数,从0起趋于无穷)，写成数阵如下: 0列1列 2列 3列…，n 列…0行:0, 1/10^０, 2／10＾0，３/10^0, …, n／10^0,…1行： 0， 1/1０^１, 2/10^1, ３/１0＾1，…, ｎ／10^１,…2行：０, 1/1０＾2，2/10＾２， 3/１0^2，…, n/１0^2，…３行： 0, １/１0^3，２/10^３, 3／10＾3，…，ｎ/1０＾３，………………………m行： 0, 1／10^m，2/10^m, 3／10^ｍ，…, n/10＾ｍ，………………………例如:0行中有０,1行中有０.3和0.４，2行中有０.33和０．34,３行中有0.３33和０.3３4,…,所以该数阵0、1、2、3、…行中依次含有有限小数数列｛０, 0.３，0.３3, 0.33３,… }和{ 0, 0．4, 0.34，0.３3４，…｝中的各个项,而数列｛０，0.3, ０.３3, 0.33３, …}和｛ 0， 0.４, 0.34, 0.334，…｝的极限,都是同一无限小数0.３３3…=1/3。
连续统假设
Байду номын сангаас
我们知道，א0 < א1 ，自然会问，有 没有介于א0与א1之间的其它基数？
1878年，集合论的奠基人（丹麦数 学家）Cantor猜想：
没有介于א0与א1 之间的其它基数。
1900 年 ， 著 名 数 学 家 希 尔 伯 特 在 世界数学家大会上所做的重要演讲中 提出了23个著名数学问题，其中第一 个就是上述Cantor关于连续统基数的 猜想，被称为“连续统假设”。
连续统假设决不会引出矛盾！
哥德尔（Kurt Gödel; 1906 ---1978）奥地利数学家
1938年，哥德尔证明： 连续统假设决不会引出矛 盾！ （即连续统假设与现有的 集合论公理是相容的。）
连续统假设是独立的！
科恩（Paul Joseph Cohen; 1934__ ）,美国数学家
1963年，美国数学家科恩证明： 连续统假设是独立的！ （即否定连续统假设，也不会 导致矛盾。连续统假设不可能 被证明。）
100年的历史，可以简单地写成： Cantor问： 有没有介于א0与א1 之间的其它基数? Godel与Cohen答:
有也行，没有也行。
数学欣赏
数学三大危机相关内容整理
数学三大危机相关内容整理数学三大危机是指“连续统假设”、“黎曼假设”和“质数分布问题”三个数学领域中长期存在的未解决问题，这些问题的解决将对整个数学领域产生重大影响。
本文将对这三大危机进行相关内容整理。
连续统假设，又称“希尔伯特第八问题”，是指在实数轴上存在着一个未知点集，该点集是唯一的，既不可数又不可测的，且其基数介于可数集合和未经度量集合之间。
如此一来，这个点集合就不具有任何可数性和测度性，这种奇怪的存在方式是到目前为止唯一没有被证明的数学假设。
在20世纪40年代，由于克劳斯·约尔丹（Klaus Jouannaud）和吕德维希·希尔伯特（David Hilbert）等人的工作，连续统假设成为了著名的数学三大危机之一。
黎曼假设，又称狄利克雷假设，是指黎曼猜测函数的零点的分布情况。
这个函数是一种用到许多数学领域中的函数，如计算质数密度、数值分析和量子力学等。
在黎曼假设的前提下，研究人员可以通过计算黎曼积分来推导数学中的许多问题。
然而，黎曼假设在很长一段时间内一直无法得证，而其证明的困难程度使学界普遍认为，要想证明黎曼假设至少需要数学主题中还未被发现的重要数学知识。
质数分布问题，也叫“圆簇假设”，是指关于质数分布法则的数学问题，也是数学领域中的一个未解决问题。
这个假设表明，即使没有办法精确计算每个质数的位置，但是质数导出的点可以被放置为一个有序而完整的模式。
这个假设最初由欧拉在18世纪提出，但芝诺茨（Bogomolny）和马克斯-普兰克研究黎曼猜想的随后工作引发了对这个问题的关注。
至今，质数分布问题仍然未被解决。
在20世纪，由于海德与范伊克和费切斯与萨尔贡等人的工作，质数分布问题成为了著名的数学三大危机之一。
总之，数学三大危机相关内容的整理说明了这三个未解决问题的复杂性和重要性，它们的解决将对数学领域产生深刻而广泛的影响。
数学家们在解决这些问题的过程中，不仅仅需要依靠自己的数学知识和技巧，还需要在各个领域之间建立联系和进行深入交流，共同寻求解决方案。
怀特海问题 现代数理逻辑
怀特海问题与现代数理逻辑一、引言怀特海问题，又称为连续统假设，是数学领域中的一个未解决问题。
它涉及到集合论中的一些基本概念和原理，尤其是无穷集合的性质和大小。
在现代数理逻辑的发展中，怀特海问题一直是重要的研究课题，因为它对于数学的基础和公理化有着深远的影响。
本文将探讨怀特海问题与现代数理逻辑的关系，以及解决该问题的可能方向。
二、怀特海问题与连续统假设怀特海问题，或称为连续统假设，是由德国数学家康托尔提出的。
该假设认为，在可数无穷集合和不可数无穷集合之间不存在其他无穷集合。
换句话说，如果将可数无穷集合定义为集合的集合，那么在所有这样的集合和实数集之间不存在其他的无穷集合。
然而，数学家们并没有找到证据来证明或否定这一假设。
在数学史上，许多著名的数学家都尝试解决这个问题，但都没有成功。
随着现代数理逻辑的发展，怀特海问题逐渐成为研究无穷集合性质和大小的重要课题。
三、现代数理逻辑的发展现代数理逻辑是数学的一个重要分支，它涉及到形式化、推理规则和对数学概念和命题的分析。
数理逻辑为数学提供了基础和公理化体系，并被广泛应用于计算机科学、物理学等领域。
在现代数理逻辑的发展中，怀特海问题成为研究的一个重要课题。
许多数学家和逻辑学家试图通过公理化方法和形式化系统来解决怀特海问题。
四、解决怀特海问题的可能方向解决怀特海问题的方法可以有多种途径，下面列出一些可能的方向：1.集合论公理化：通过集合论公理化体系来研究怀特海问题。
例如，ZF （Zermelo-Fraenkel）公理集合论是当前最广泛使用的集合论公理化体系之一。
通过研究ZF公理集合论中的怀特海问题，可以更好地理解无穷集合的性质和大小。
2.哥德尔不完全性定理：哥德尔不完全性定理表明，任何足够强的形式化系统都存在既不能被证明也不能被反驳的命题。
因此，有些数学家认为，怀特海问题可能是哥德尔不完全性定理的一个应用实例。
如果能够将怀特海问题转化为形式化系统中的命题，那么这将对理解无穷集合的性质和大小提供新的视角。
数学之最：世界上最难的23道数学题
数学之最：世界上最难的23道数学题1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。
1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。
因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。
希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。
1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。
1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题。
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。
M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提得过于一般。
满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。
5．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1 952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
关于连续统假设
关于连续统假设1.连续统假设的来源及其历史演变连续统假设，简称CH，是康托尔在创⽴集合论时提出的⼀个问题，要了解这个问题，就必须了解康托尔是怎样建⽴集合论的.康托尔采⽤了两种⽅法来构造越来越⼤的⽆穷集合第⼀种⽅法是利⽤幂集合，他证明了⼀个集合总⽐其幂集合要⼩，⽽且⾃然数集N的幂集合P(N)与实数集R等势，即：元素个数相等，这样，从⾃然数集N开始，利⽤幂集合⽅法，就可以形成⼀系列越来越⼤的⽆穷幂集合.N, P(N), P(P(N)),...第⼆种⽅法是利⽤超穷数，康托尔提出了⽣成超穷序数的三条原则: 第⼀原则，从1开始，任何序数α加1后仍是⼀个序数，这样，从1开始，就可以形成⼀个⽆穷序数序列.1,2,3,…,n,…在这个⽆穷序数序列中没有最⼤序数存在; 第⼆原则，如果⼀个⽆穷序数序列中没有最⼤序数，那么必然存在⼀个极限序数ω，这是⼀个新的序数，这样，从ω开始反复加1，⼜可以得到⼀系列⽆穷极限序数.ω,…, 2ω,…,ω2,…,ωn,…但这些极限序数都是等势的，第三原则，康托尔认为，这个极限序数序列中也没有最⼤序数，所以必然存在⼀个更⼤的超穷序数ω1，它⽐上述序列中任何⼀个极限序数的势都要⼤，这样，反复利⽤这三条原则，就可以形成⼀系列越来越⼤的⽆穷极限序数，⼜被称为超穷基数.ω1,…,ω2,…,ωn,…康托尔⾃然就提出这样⼀个问题：实数集R的基数2ω到底和上述哪个超穷基数等势呢?他认为2ω等于ω1，这就意味着在N和R之间不存在其他⽆穷集合，但康托尔不能给出证明，这⼀问题就被称为连续统假设，后来，⼈们把CH进⾏了推⼴，认为对于任何⼀个超穷基数ωn,都有2^(ωn)=ωn+1成⽴，这就是⼴义连续统假设GCH.但不久⼈们就在康托尔的集合论中发现了悖论，为了消除这些悖论，就开始对集合论进⾏公理化处理，并先后建⽴了⼏个集合论公理系统，这些系统被证明都是等价的，⼈们通常使⽤的是ZFC，进⾏公理化后，基本上都能消除悖论.但是，接着⼜出现了新的问题，哥德尔和柯恩⼀起证明了：CH在ZFC中是不可判定的，这⼀结果⽴即引起了⼈们对数学基础问题的极⼤争论，其中，哥德尔和柯恩两⼈的看法是具有代表性的.柯恩是个形式主义者，他认为CH问题“是没有内在的意义的”，在他看来，CH在集合论中的地位，就类似于平⾏公理在⼏何学中的地位，它可能成⽴也可能不成⽴，因此就存在不同的集合论公理系统，就好像存在不同的⼏何学⼀样，他还把CH不成⽴的集合论称为⾮康托尔集论，柯恩的看法赢得了⼤多数数学家的赞同，这是主流的观点，⼀些极端的形式主义者甚⾄认为2ω可以等于任何⼀个ωn，每⼀种可能都描述了连续统上⼀种不同的流形结构，从这种意义上来说，CH问题已经得到了解决.但哥德尔恐怕很难同意上述意见，他是个客观主义者也可以说是柏拉图主义者，他认为像CH这样⼀个命题是完全可以作出判定的，⽽CH在ZFC中的不可判定性，“只能意味着这些公理没有包括那个实在(指连续统)的完备的描述”，说得更直观⼀点，像“在⾃然数集N和实数集R之间究竟还有没有另⼀个⽆穷集合”这样的问题，似乎是应该有⼀个明确结论的，从这种意义上来说，CH问题还没有得到解决.但究竟怎样来解决CH问题，两⼈的意见是⼀致的，那就是必须重新考察集合论基础，哥德尔认为：“这些问题的完全解决，只有通过对在它们中出现的词项(如‘集合’、‘⼀⼀对应’，等等)和⽀配这些词项的使⽤的公理进⾏(⽐通常所作的)更深⼊的分析，才能得到”，柯恩也认为，如果要来“发展我们的哪些公理应当被接受”，那“我们必须整个地放弃科学的计划并且返回差不多是本能的⽔平，即与⼈们最初开始思考数学问题时的精神状态多少相似的状态”，⽽且两⼈都猜测，CH很有可能是不成⽴的，对此柯恩说得很明⽩：“由构造幂集提供的连续统，不是⽤以替换公理为基础从较低的基数出发构造较⾼的基数的任何过程可以达到的，这样，2ω将被认为⼤于ω1，ω2，ωn的基数”，也就是说，2ω要⼤于任何超穷基数，⽽这正是我所证明的结果.2.关于连续统假设的否定性证明简介我差不多花了⼗年时间来研究CH问题，我的证明思想是⾮常直观和简洁的，但整个证明的展开却⾮常复杂和精致，如果不是感受到证明中的美，我是不会花这么⼤的精⼒和这么长的时间来投⼊其中的.我的出发点很简单：就是要把N的⼦集合来排成⼀个良序集，弗兰克尔曾经指出过，由⼦集合公理和选择公理产⽣的⼦集合可能与幂集合公理产⽣的⼦集合有很⼤差别，弗兰克尔曾明确指出：“康托尔认为，S的⼦集合就是S的⼀部分，⼦集合公理和选择公理产⽣的⼦集合可能与康托尔的⼦集合概念有很⼤区别，在没有弄清楚⼦集合的确切含义之前，不可能确定⼦集合的数⽬”，⽽这也正是柯恩的猜测，根据选择公理，我们可以将N的⼦集合排成⼀个良序集，选择公理的直观含义是指：对于任何⼀个⽆穷集合，我们都可以从中取出⼀个“代表元素”来，也就是说，我们可以从⽆穷集合中取出它的任何⼀个元素来组成⼀个新的集合，这样，按照⾃然数的顺序依次取出1，2，3，...，n，...来作为“代表元素”，就可以把N的⼦集合排成如下⼀个良序集：｛1｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝，｛1，4｝，...｛2｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛2，3，4｝，｛2，5｝，...｛n｝，｛n，n+1｝，｛n，n+2｝，｛n，n+1，n+2｝，｛n+3｝，...这个良序集的排列顺序与康托尔的超穷序数序列是严格对应的，我们把这个良序集记作P∞(N)，称为“N的超幂集合”，需要注意的是，P∞(N)并不⼀定等于P(N)，也就是说，幂集合公理并不⼀定成⽴，这是我解决CH问题的⼀个关键性思想.这样，从N开始，就可以形成⼀系列的⽆穷超幂集合:P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N)))，...通过重新考察集合论基础，我发展出⼀种⾮常精致的⽅法来描述超幂集合序结构的逻辑性质，但这⾥就不展开讨论了，并最后证明了两个定理:1.超幂集合P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N))),…的基数是逐次增⼤的2.所有P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N))),…的基数都⼩于2ω我的证明中还包含了许多重要的内容，其中有两个定理相当于两个较强的哥德尔不完备性定理，有⼀个定理相当于勒⽂海姆－斯科伦定理，这就说明它决不是孤⽴的，与原来的集合论之间肯定存在着某种内在的联系.3.判定连续统假设对数学的重⼤意义数学基础中最主要的问题就是如何处理⾃然数和实数的关系，即如何⽤离散的⽅法来构造连续统，⾃从古希腊⼈发现这个难题以来，⾄今它仍未得到完全解决，利⽤戴德⾦分割并不能得到所有的实数，它最多只能得到所有的代数数，⽽绝⼤多数超越数是不可构造的，甚⾄不可知的，直觉主义数学家海廷曾经评价过，戴德⾦分割，这个算法仍然没有给我们提供任何途径来判定⼀个有理数A究竟位于C的左边或右边或者刚好等于C，因此，我们将不能保证欧拉常数C是⼀个实数，⾮标准分析也给我们提供了这样⼀种印象，直线上的点其实是⽆限可分的，这就说明，我们对连续统还所知甚少，数学归纳法是数学的基本⽅法，它是建⽴在⾃然数基础上的，对连续统假设的否定性证明正好说明:⼈们可以⽤这种⽅法去⽆限逼近连续统，但却永远也不能达到其尽头，正如帕斯卡尔⽐喻的那样：⼈只是漂浮在⽆限和虚⽆这两个⽆底深渊之间的⼀叶扁⾈，我们总想要追求某种确定性，但却永远也抓不住，⼀不⼩⼼我们的整个基础就会分崩离析，⽽下⾯就是那⽆底深渊，对于⾃然，我们⼈类永远只是探索者，⽽没有终结者.。
连续统假设
连续统假设连续统是实数集的抽象。
连续统描述了像实数一样的稠密，完备（无洞）的性质。
实数集只是一个连续统的例子。
当然，实数集也可以说是原型，因为连续统是从实数集推广出去的。
在某些场合，连续统也可能被用来代指实数集。
（可能为了强调其完备性吧）注意不要跟“连续统的势（基数）”混淆。
（即直观地看，所谓集合的大小，或者个数）而且具有连续统基数的集合，未必是连续统。
比如无理数与实数等势，具有连续统基数，但是无理数集可不具有像实数那样的完备性。
题外：连续统假设可列集的势为ℵ0 。
（自然数的个数，整数的个数，平面格点的个数……）连续统的势为 c ，而且 c=2ℵ0 。
（想象任何一个实数可以用无限二进制表示嘛。
当然，严格的话，实数的二进制表示不唯一， c≤2ℵ0 。
于是还得构造康托三分集，证明 c≥2ℵ0 。
然后由康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理，得到等势）康托对角论证可知，c>ℵ0 。
（实数是不可数的）但 c 是不是大于ℵ0 的最小的基数呢？即它们之间不存在其它基数？这个问题的答案未知。
连续统假设即 c=ℵ1 （ℵ0 后的第一个基数）。
从ZFC公理出发，它不可证明，亦不可证伪。
连续统是一种集合 X 。
(1) X 是全序集。
在X 上定义了全序关系（也称线性序、简单序等）≤，即（反对称性）∀x∀y(x≤y∧y≤x⟹x=y)（传递性）∀x∀y∀z(x≤y∧y≤z⟹x≤z)（完全性）∀x∀y(x≤y∨y≤x)定义了≤，其余的≥,<,> 可以导出。
（2）稠密性。
X 的任何两个元素 x,y 之间，必存在其它元素 z ∈X 。
即\forall x\forall y(x<y\implies \exists z(x<z<y))比如有理数 Q 就满足稠密性，因为任何两个数，其中间有个平均数。
（3）完备性（直观地讲，无洞）。
（最小上界公理，或上确界原理）任何一个 X 的非空子集 A ，若有上界，则必有上确界。
选择公理与连续统假设
选择公理与连续统假设
公理与连续统假设(CCH)是由美国数学家哈尔德．丘奇（Harold Hotelling）发展而来的十分重要的数学理论，在宏观经济学、金融经济学的领域具有重要的应用价值。
CCH是以逻辑推导而来，其关键思想是建立在某种考虑和演绎的基础上，即有限个变量之间存在着永久的关系，这种关系被称为“连续统”，它符合CCH的公理原则。
CCH有其三个基本公理：第一，存在一种全局的依赖性，认为变量之间的关系不会异常的变化；第二，存在一定的抵抗变化的力量，认为变量之间会自我保护，以稳定其相互之间的关系；第三，存在一定的因果一致性，认为变量之间会有一定的影响，即变量之间会互相施加影响。
这三个基本公理是CCH中基本的思想，在实践中，它们可以用来确定变量之间最优的关系及其全局效应，从而作出准确的预测。
特别是在宏观经济学、金融经济学的应用领域中，CCH的应用也得到了广泛的认可。
CCH的公理与连续统是一种针对巨大的社会系统特征的数学模型，它可以帮助把握整体行为以及变量之间的关系，从而更有效地决策和论证社会系统所面临的复杂问题，实现社会的效率和协调发展。
总而言之，CCH的公理与连续统假设可以为我们提供一套有效的理论体系，用于研究、分析和判断社会系统的性质、关系及行为，以便更有效地管理和决策。
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连续统假设的终结
李明波
（中国辽宁鞍山）
提要：在以康托尔（Cantor）等数学家建立的集合论基础理论前提下，证明了实数集合是可数集合，并指出了康托尔证明实数集合不可数的错误所在。
数学史上的连续统假设，其实是个根本不该存在的问题。
一、实数集合可数性的证明
在以康托尔等数学家建立的集合论基础理论[1,2,3]前提下，本文首先概括出所需的4个公设：
1、实无穷集合是存在的，自然数集合是最为基本的实无穷集合。
2、两个实无穷集合比较大小的法则是一一对应关系；能和自然数集合建立一一对应关系的实无穷集合是可数集合，否则是不可数集合。
3、数轴上的所有点和全体实数一一对应；所有实数都可看成10进制数；无限小数看成是其不足或过剩有限小数数列的极限；有限小数也可看成是后面有无穷多个0 或末位数字减1后续上无穷多个9的无限小数。
4、数轴上全部10进制实数的生成过程如下：在规定长度单位1和数轴原点后，从数轴原点开始在数轴正向（负向同理）作出间距为1的刻度点0，1，2，3，…，n，…；将每段长度为1的线段进行10等分，加密到间距为0.1的刻度点；再将每段长度为0.1的线段进行10等分，加密到间距为0.01的刻度点；…；将上次得到的每段最小长度线段再10等分加密刻度点；以此循环往复，次数趋于无穷，则数轴上这些无限稠密的
刻度点位置，便与全体非负10进制实数一一对应。
证明：第4条公设其实是对所有非负实数，进行了精确到整数、小数点后1位小数、小数点后2位小数、小数点后3位小数、…、小数点后m位小数、…，以至趋于精确到小数点后无穷多位小数这个极限过程的无穷描述（n和m都是自然数，从0起趋于无穷），写成数阵如下：0列 1列 2列 3列…， n列…
0行：0, 1/10^0， 2/10^0, 3/10^0，…， n/10^0，…
1行： 0, 1/10^1， 2/10^1, 3/10^1，…， n/10^1，…
2行： 0, 1/10^2， 2/10^2, 3/10^2，…， n/10^2，…
3行： 0, 1/10^3， 2/10^3, 3/10^3，…， n/10^3，…
……………………
m行： 0, 1/10^m， 2/10^m, 3/10^m，…， n/10^m，…
……………………
例如：0行中有0，1行中有0.3和0.4，2行中有0.33和0.34，3行中有0.333和0.334，…，所以该数阵0、1、2、3、…行中依次含有有限小数数列{ 0, 0.3, 0.33, 0.333，… }和{ 0, 0.4, 0.34, 0.334，… }中的各个项，而数列{ 0, 0.3, 0.33, 0.333，… }和{ 0, 0.4, 0.34, 0.334，… }的极限，都是同一无限小数0.333… =1/3。
上述数阵把全部非负实数的生成过程，列成了可数个可数集合的并集，故仍然是可数的；用对角线法也可证明：实数集合是可数集合。
二、李明波悖论
笔者编出一个悖论：自然数集合是不可数的。
“证明”如下：
自然数数列是 0，1,2,3，…，n，…，总可以找到这样的自然数，让它不在上述数列之中。
该自然数首先不是0，因为1就不是0；它也不是1，因为2就不是0,1；它又不是2，因为3就不是0,1,2；它还不是3，因为4就不是0,1,2,3；…；它就连可以是任意大的n都不是，因为n+1就不是0，1,2,3，…，n；以此类推以致无穷。
即便自然数集合再大，总能找出不在其中的自然数，所以，自然数集合不可数。
证毕。
上述悖论的错误在于：每次举出不在0，1,2,3，…，n之中的那个自然数，其实都在自然数数列的后半部n+1,n+2,n+3, …里面。
三、康托尔证明实数集合不可数的错误所在
1、康托尔证明实数集合不可数的方法
只考虑证明[0,1]区间实数不可数即可[2]，而证明所有实数不可数与此法类似。
将[0,1]区间实数x用无限小数写成
x = 0.x1x2x3…x n…
假设所有这些x可以编号如下
x[1]，x[2], x[3], …, x[k], …
那么马上可以写出一个
y=0.y1y2y3…y m…
小数点后的这些单个数字y1，y2，y3，…是依次被这么确定的：y1和x[1]的第1位小数不同，y2和x[2]的第2位小数不同，y3和x[3]的第3位小数不同，…，这样一来y就和x[1]，x[2], x[3], …, x[k], 中的每个实数都不同，与把[0,1]区间所有实数能编号的假设矛盾。
证毕。
2、康托尔证明实数集合不可数错在哪里？
2.1 康托尔在构造[0,1]区间实数x数列之外的实数y时，是按小数点后每个数字依次进行的，其过程是个无穷数列，依次记为
y[1] = 0.y1，y[2] = 0.y1y2，y[3] = 0.y1y2y3，…，
y[m] = 0.y1y2y3…y k，…
2.2当m=1,2,3,…,k 时，y[m]只能说明它不在x数列前半部
x [1]，x[2]，x[3]，…，x[k]，
之中，但却不能说明它也不在x数列的后半部
x [k+1]，x[k+2]，x[k+3]，…
之中。
2.3 其实y[m]必在x数列的后半部之中，因为前提已假设[0,1]区间所有实数都已被列入到了x数列之中；如果x数列的后半部之中也没有这个y[m]，那么说明x数列在编制时有遗漏，但这与前提假设相矛盾，是绝对不能被允许的。
2.4 康托尔构造y时，每一步的y[m]都是不成功的，因为它都必在x数列的后半部之中，无论m的数值有多么巨大。
所以他的这个证明是错误的。
康托尔的这个证明，与前述的“李明波悖论”，可谓同出一辙。
证毕。
参考文献
1 【美】B.柯朗 H.罗宾。
数学是什么？北京：科学出版社，1985:98-117
2 张景中。
数学与哲学。
北京：中国少年儿童出版社，2003:38-66
3 张锦文，王雪生。
连续统假设。
辽宁教育出版社。
1989:31-52
李明波 简介：男，出生于1963年12月14日，辽宁鞍山甘泉人，建筑专业高级工程师。
1980年9月1在中国第三冶金建设公司参加工作做力工，1982年9月1日考入鞍钢工学院工业与民用建筑系，毕业后一直从事建筑行业的技术工作，包括施工方、甲方、监理、设计。
在建筑、数学、发明领域发表过许多论文，并在三个领域均荣获辽宁省奖励，有两项发明荣获国家专利权，28岁时被奖励一户住房。
先后被破格晋升中、高两级职称（晋中级时提前2年）。
1991年加入中国数学会，业余爱好还有：美术、书法、诗歌。
QQ1551363031。
一、在建筑方面的主要成就
1、当时任鞍山市国税局综合楼工程技术负责人，该工程于1996年被评为辽宁省优质工程。
2、1993年，纠正了前苏联建筑专家斯托鲁任科对钢管混凝土承载力定积分结果的诸多错误。
3、1996年，解决了建筑工程界技术难题：四角附着塔式起重机附着杆内力计算。
4、2005年，任房地产总工期间创立户型快速组合法，在河北廊坊阿尔卡迪亚小区规划设计详规中实施，为房地产创造数千万利润。
5、2007年在北京奥运场馆建设中，获北京远达国际工程管理公司颁发的个人成绩突出奖。
二、在数学方面的主要成就
1、数学界讲究如何对较小整数进行简单运算去逼近π，被印度誉为国宝的数学家拉马努金用422/2143≈π≈ 3.141592653（Δ≈ -1/10^9）超越了让中国人引以为荣的祖冲之密率≈π355/113 ≈ 3.1415929（Δ≈ 3/10^7），李明波用≈π22/17+37/47+88/83 ≈ 3.1415926535 （Δ≈ -1/10^10）突破了拉马努金的上述结果。
注：π=3.14159265358979323846…
2、纠正了有200多年历史的威尔逊定理，指出威尔逊定理存在唯一反例n=1。
3、给出了所有素数一元函数公式111!cos ^2+⎥⎦⎥⎢⎣⎢
++=πn n n p 、211!cos )1(2+⎥⎦⎥⎢⎣
⎢++-=πn n n p ，n 为正整数，这两结果超越了国外数学家相应的二元函数素数公式。
4、发现了用三边表三角形面积的新公式4/)(2)(4442222c b a c b a S ++-++=。
5、发现了双魔定理。
魔叶定理：以三角形边为一边做向外（或内）作正n 边形，将正n 边形中心与三角形对角顶连线，这样的三条线共点；魔星定理：三角形内角（或外角）n 等分角线交点与三角形对角顶连线，这样的三线共点。
6、通过对拿破仑三角形的研究，给出了拿破仑-李明波正六边形定理：以三角形边为一边在三角形外（或内）做正三角形ABC ’、ACB ’、BCA ’，则这三个正三角形的重心与三角形AB ’C ’、BA ’C ’、CA ’B ’的重心，恰构成一正六边形的顶点。
7、证明了著名的数学难题“古堡朝圣”是尺规作图不能问题。
8、提出了许多数学猜想。
论文《形象思维和灵感思维下的数论猜想》，在辽宁省1997年数学年会上荣获二等奖。
其中包括：1）孪中猜想：称每对孪生素数中间的偶数为孪中，A 每个不小于12的孪中均可表为两个孪中之和；B 每个不小于6的孪中均可表为两个孪中之差。
2）超越方程猜想：不定方程z y x z y x =+无正代数数解。
2015年用这些猜想向美国挑战。