连续统假设的终结

连续统假设的终结

李明波

（中国辽宁鞍山）

提要：在以康托尔（Cantor）等数学家建立的集合论基础理论前提下，证明了实数集合是可数集合，并指出了康托尔证明实数集合不可数的错误所在。数学史上的连续统假设，其实是个根本不该存在的问题。

一、实数集合可数性的证明

在以康托尔等数学家建立的集合论基础理论[1,2,3]前提下，本文首先概括出所需的4个公设：

1、实无穷集合是存在的，自然数集合是最为基本的实无穷集合。

2、两个实无穷集合比较大小的法则是一一对应关系；能和自然数集合建立一一对应关系的实无穷集合是可数集合，否则是不可数集合。

3、数轴上的所有点和全体实数一一对应；所有实数都可看成10进制数；无限小数看成是其不足或过剩有限小数数列的极限；有限小数也可看成是后面有无穷多个0 或末位数字减1后续上无穷多个9的无限小数。

4、数轴上全部10进制实数的生成过程如下：在规定长度单位1和数轴原点后，从数轴原点开始在数轴正向（负向同理）作出间距为1的刻度点0，1，2，3，…，n，…；将每段长度为1的线段进行10等分，加密到间距为0.1的刻度点；再将每段长度为0.1的线段进行10等分，加密到间距为0.01的刻度点；…；将上次得到的每段最小长度线段再10等分加密刻度点；以此循环往复，次数趋于无穷，则数轴上这些无限稠密的

刻度点位置，便与全体非负10进制实数一一对应。

证明：第4条公设其实是对所有非负实数，进行了精确到整数、小数点后1位小数、小数点后2位小数、小数点后3位小数、…、小数点后m位小数、…，以至趋于精确到小数点后无穷多位小数这个极限过程的无穷描述（n和m都是自然数，从0起趋于无穷），写成数阵如下：0列 1列 2列 3列…， n列…

0行：0, 1/10^0， 2/10^0, 3/10^0，…， n/10^0，…

1行： 0, 1/10^1， 2/10^1, 3/10^1，…， n/10^1，…

2行： 0, 1/10^2， 2/10^2, 3/10^2，…， n/10^2，…

3行： 0, 1/10^3， 2/10^3, 3/10^3，…， n/10^3，…

……………………

m行： 0, 1/10^m， 2/10^m, 3/10^m，…， n/10^m，…

……………………

例如：0行中有0，1行中有0.3和0.4，2行中有0.33和0.34，3行中有0.333和0.334，…，所以该数阵0、1、2、3、…行中依次含有有限小数数列{ 0, 0.3, 0.33, 0.333，… }和{ 0, 0.4, 0.34, 0.334，… }中的各个项，而数列{ 0, 0.3, 0.33, 0.333，… }和{ 0, 0.4, 0.34, 0.334，… }的极限，都是同一无限小数0.333… =1/3。

上述数阵把全部非负实数的生成过程，列成了可数个可数集合的并集，故仍然是可数的；用对角线法也可证明：实数集合是可数集合。二、李明波悖论

笔者编出一个悖论：自然数集合是不可数的。“证明”如下：

自然数数列是 0，1,2,3，…，n，…，总可以找到这样的自然数，让它不在上述数列之中。

该自然数首先不是0，因为1就不是0；它也不是1，因为2就不是0,1；它又不是2，因为3就不是0,1,2；它还不是3，因为4就不是0,1,2,3；…；它就连可以是任意大的n都不是，因为n+1就不是0，1,2,3，…，n；以此类推以致无穷。即便自然数集合再大，总能找出不在其中的自然数，所以，自然数集合不可数。证毕。

上述悖论的错误在于：每次举出不在0，1,2,3，…，n之中的那个自然数，其实都在自然数数列的后半部n+1,n+2,n+3, …里面。

三、康托尔证明实数集合不可数的错误所在

1、康托尔证明实数集合不可数的方法

只考虑证明[0,1]区间实数不可数即可[2]，而证明所有实数不可数与此法类似。将[0,1]区间实数x用无限小数写成

x = 0.x1x2x3…x n…

假设所有这些x可以编号如下

x[1]，x[2], x[3], …, x[k], …

那么马上可以写出一个

y=0.y1y2y3…y m…

小数点后的这些单个数字y1，y2，y3，…是依次被这么确定的：y1和x[1]的第1位小数不同，y2和x[2]的第2位小数不同，y3和x[3]的第3位小数不同，…，这样一来y就和x[1]，x[2], x[3], …, x[k], 中的每个实数都不同，与把[0,1]区间所有实数能编号的假设矛盾。证毕。

2、康托尔证明实数集合不可数错在哪里？

2.1 康托尔在构造[0,1]区间实数x数列之外的实数y时，是按小数点后每个数字依次进行的，其过程是个无穷数列，依次记为

y[1] = 0.y1，y[2] = 0.y1y2，y[3] = 0.y1y2y3，…，

y[m] = 0.y1y2y3…y k，…

2.2当m=1,2,3,…,k 时，y[m]只能说明它不在x数列前半部

x [1]，x[2]，x[3]，…，x[k]，

之中，但却不能说明它也不在x数列的后半部

x [k+1]，x[k+2]，x[k+3]，…

之中。

2.3 其实y[m]必在x数列的后半部之中，因为前提已假设[0,1]区间所有实数都已被列入到了x数列之中；如果x数列的后半部之中也没有这个y[m]，那么说明x数列在编制时有遗漏，但这与前提假设相矛盾，是绝对不能被允许的。

2.4 康托尔构造y时，每一步的y[m]都是不成功的，因为它都必在x数列的后半部之中，无论m的数值有多么巨大。所以他的这个证明是错误的。康托尔的这个证明，与前述的“李明波悖论”，可谓同出一辙。证毕。

参考文献

1 【美】B.柯朗 H.罗宾。数学是什么？北京：科学出版社，1985:98-117

2 张景中。数学与哲学。北京：中国少年儿童出版社，2003:38-66

3 张锦文，王雪生。连续统假设。辽宁教育出版社。1989:31-52